线性代数关于等价、相似、合同的对比

定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。

等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；

对称性若A与B等价，则B与A等价

传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程

最常见的方程有以下两类：

（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B

原理：AX＝B时

（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。

解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1

要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。

因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T

所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。

定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。

向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有

定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A 和B是相似的，记为A～B。

当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。

同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：

（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。

事实上，有矩阵等式

（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。

事实上，有

（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。

事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）

定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。

定理5.2.2n阶方阵A与对角阵P-1AP =相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似.

定义5.3.4 如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。

定义5.3.5 若是 R n中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）

定理5.3.1 正交向量组必线性无关。

必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组)

定义5.3.5 如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。

定义5.4.1 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。定理5.4.3 （对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩

阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A 的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。

定理5.4.4 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵

定义6.1.3 设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。

由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交，则

,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。

合同关系也有

反身性：即任给方阵A，有，所以， A与A合同；

对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使得，则

所以B与A也合同。

传递性:因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P，Q，使得，

，注意PQ一定可逆，所以A与C合同。

定理6.2.1 实对角矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零。

定理6.2.2 设n阶矩阵是正定矩阵，则A中所有对角元

定理6.2.3 设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。定理6.2.4 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。

定理6.2.5 n阶对称矩阵是正定矩阵的n个特征值全大于零

定理6.2.6 n阶对称矩阵是正定矩阵的n个顺序主子式

推论（1）n阶对称矩阵是正定矩阵的正惯性指数为n.

（2）n阶对称矩阵是正定矩阵合同于单位矩阵。

(3)任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.