高考数学一轮复习 第5讲 指数与指数函数 文 北师大版

解析 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，
由图象可知：
如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点， 则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
答案 [－1，1]
考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用
【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D． 1.70.3<0.93.1 (2)见写一页
(4)函数 y＝14|x|的值域是(－∞，1]．( )
考点突破 考点一 指数幂的运算
【例 1】 化简下列各式：
1
23
(1)[(0. 0645)－ 2 .5]3－
3 3－π0；
8
4
1
a 3－8a3b
(2) 2 4b3＋
3
2
ab＋
2
a3
÷
a－23－2
3
a
b
×
5
Байду номын сангаас
将根式、分数指数幂统 一为分数指数幂
a·3 a2 .
考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用
【训练 3】 设函数 f(x)＝kax－a－x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的 奇函数． (1)若 f(1)>0，试求不等式 f(x2＋2x)＋f(x－4)>0 的解集； (2)若 f(1)＝32，且 g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的 最小值．
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D中，∵1.70.3>1，0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.
考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用
【例 3】 (2)若函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数， 则 a＝________．
3
2
ab＋
2
a3
÷
a－23－2
3
a
b
×
5
将根式、分数指数幂统 一为分数指数幂
a·3 a2 .
a·3 a
11
1
1
1
21
(2)原式＝(a13)2a＋3[(aa133·)3－(2b(213)b＋3)3(]2b13)2÷a3－a2b3×(a(a12··a3a)13)2
1 5
5
11
1
＝a3(a3－2b3)×
得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意
分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应 的指数型函数图象，数形结合求解．
考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用
【训练2】 (2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没 有公共点，则b的取值范围是________．
由函数图象，可得
若t＞1，则有a＞b＞0； 若t＝1，则有a＝b＝0； 若0＜t＜1，则有a＜b＜0.
故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 答案 (1)D (2)B
考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用
规律方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断 选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本 的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而
a·3 a
解 (1)原式＝1 6040015－5232－28713－1
( ) ＝140315× －52 ×23－32313－1
＝52－23－1＝0.
考点突破 考点一 指数幂的运算
【例 1】 化简下列各式：
1
23
(1)[(0. 0645)－ 2 .5]3－
3 3－π0；
8
4
1
a 3－8a3b
(2) 2 4b3＋
考点突破 考点一 指数幂的运算
1
1
【训练 1】 (1)化简： a2 a2 a；
(2)计算：4a23b－13÷－32a－13b－13.
1
11
解 (1)原式＝ a2 a2·a2
1
1 11
＝ a2·(a2·a2) 2
＝ a. (2)原式＝(－6)a23＋31b－13＋13
＝－6a.
考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用
解析 (1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73.
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62. C中，∵(0.8)－1＝1.25， ∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
(2)若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，
此时 a＝2，m＝21， 此时 g(x)＝－ x为减函数，不合题意．
若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，
故 a＝14，m＝116，检验知符合题意．
答案
(1)B
1 (2)4
考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用
规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小． (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值) 、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求 解方法一致，只需根据条件灵活选择即可．
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，
其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
(2)见下页
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出， 函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减， 所以0＜a＜1. 函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的
1
a
1×a61
a3－2b3 a6
1
2
＝a3×a×a3＝a2.
考点突破 考点一 指数幂的运算
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数 指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数 幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 ． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既 有分母又含有负指数．
第5讲 指数与指数函数
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三 例 3 训练3
夯基释疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”)
4
(1)(
(－4))4＝－4.(
)
2
1
(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1.( )
(3)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
，
所以b＜0，
故选 D．
考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用
【例2】 (2)已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五
个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，