数学建模线性规划上机题演示教学

合集下载

《数学建模实验》

《数学建模》上机作业信科05-3韩亚0511010305实验1 线性规划模型一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。

二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。

三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

四、实验要求：1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。

2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。

3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。

4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。

5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。

（选做题）6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。

（选做题）五、实验内容：解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为：1211109871211109711109871211109875.232427252628252528262729)2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-=整理后得：90024255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件150030001500300015003000150030001500300015003000111210119108978710119108978791089787897877877≤-+-+-+-+-++≤≤-+-+-+-++≤≤-+-+-++≤≤-+-++≤≤-++≤≤+≤y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x又有年底库存量不少于300则：300300121112101191089787≥--+-+-+-+-++y y x y x y x y x y x x化为抽象的线性规划模型为：90024255.28275.2831255.25295.27295.31max 121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z ，;12,,8,7;0,0120030012003001200300120030012003001200300121112101191089787111210119108978710119108978791089787897877877 =≥≥--+-+-+-+-+≤-+-+-+-+-+≤-≤-+-+-+-+≤-≤-+-+-+≤-≤-+-+≤-≤-+≤-≤≤-i y x y y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x STi i线性规划目标函数的系数:f = [31; 28.5; 27; 28.5;25;24;-31.5;-29;-27.5;-29;-25.5;-25]; 约束方程的系数及右端项： A=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0 1,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0 1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0,0 1,1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0 1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,0 -1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 -1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0 -1,-1,-1,-1,0,0,1,1,1,0,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1];b=[1200;1200;1200;1200;1200;1200; 300; 300; 300; 300; 300; 300;0]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);实验2 非线性规划模型一、实验名称：非线性规划模型。

数学建模线性规划上机题

例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。

每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。

现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。

它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。

该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。

而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。

该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。

该怎样处理这个问题。

若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。

通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。

如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。

数学建模案例之线性规划

LP问题的一般概念
1. LP模型的一般形式
求一组决策变量x1,x2,…,xn的值，使其满足约束条件：
(I ) ( II )
n
a
j 1 n
ij
x j bi , i 1, 2, ..., l ;
a
j 1 n j 1
ij
x j bi , i l 1, ..., t ;
( III ) aij x j bi , i t 1, ..., m .
数学建模案例之线性规划奶制品的生产与销售
引
优化问题及其一般模型：
言
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小 …………
解：转化分为目标函数、大于等于约束、小于等于约束和自由约
束变量几个不同部分。
LP问题的一般概念
目标函数 max z=4x1+5x2+7x3-x4 min z1=-4x1-5x2-7x3+x4 约束条件 max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4 大于等于约束 s .t . x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3 x1+x2+2x3-x4 ≥1 x1 4 x2 3 x3 2 x4 5 添加剩余变量 x5 ≥0 x1 , x2 , x3 , x4 0 x1+x2+2x3-x4-x5=1 小于等于约束 2x1-6x2+3x3+x4 ≤-3 添加松弛变量 x6 ≥0 -2x1+6x2-3x3-x4-x6=3 自由变量（无）

优化模型一：线性规划模型数学建模课件

题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产计划，确定最佳的生产组合和数量，以满足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基本可行解，如果它满足所有的约束条件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用一些启发式算法或随机搜索方法，以快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一个起始点，通过迭代和优化，可以逐渐逼近最优解。

《数学建模》实验指导_03_Lingo求解线性规划问题

实验二：Lingo求解线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。

实验内容：1、求解书本上P130的习题1：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表 1（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？列出线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。

2、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作），3、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低使用Lingo 的一些注意事项1. “>”与“>=”功能相同。

2. 变量与系数间相乘必须用”*”号，每行用”;”结束。

3. 变量以字母开头，不能超过8个字符。

4. 变量名不区分大小写（包括关键字）。

5. 目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格式表示。

6. “!”后为注释。

7. 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：@bin(x) 限制x 为0或1 @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U@free(x) 取消对变量x 的默认下界为0的限制，即x 可以取任意实数 @gin(x) 限制x 为整数其他可见“Lingo 教程.doc ”如书上85页的Lindo 代码可改为如下Lingo 代码： max =72*x1+64*x2; x1+x2<50;12*x1+8*x2<480; 3*x1<100;例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：,6002100350..32min 212112121≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x在模型窗口中输入如下代码：min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮即可。

线性规划：模型标准式及图解法

x1 x 2 3( x3 x3 ) s1 40 x1 x 2 3 x3 40 x 9 x 7 x 50 x 9 x 7 ( x x 1 1 2 3 2 3 3 ) s2 50 s.t s.t 5x1 3x2 20 20 5 x1 3 x 2 x 0 , x 0 , x 0 , x x1 0, x 2 0, x3无符号限制 2 3 3 0, s1 0, s2 0 1
0
0

则称X 0为问题( LP)的一个可行解
AX b 满足约束方程 X 0
AX b X 0
（2）可行域：（LP）的全体可行解构成的集合称为可行域
即：可行域 S X | AX b，X 0
（3）最优解及最优值：设S是（LP）的可行域都有CX * CX 使得对任意的 X S，若存在 X * S，
x1 , x2 , xn 0
1.1.2 线性规划的标准形式和矩阵表达式
线性规划问题的一般形式：
max （或min ）z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (或，或）b1 a 21 x1 a 22 x2 a 2 n x n (或，或）b2 s.t a m1 x1 a m 2 x2 a mn x n (或，或）bm
例已知线性规划问题 min z 3x1 3x2 7 x3
x1 x 2 3 x3 40 剩余变量s2 x 9 x 7 x 50 2 3 s.t 1 (1) 5 x 3 x 20 1 2 x1 0, x 2 0, x3 无符号限制试将此问题化为标准型式。令x3 x3 x3 , x3 0, x3 0

数学建模(线性规划).

已知该部门现有资金100万元，试为该部门确定投资方案，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？
1）模型建立。
①决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4) 四个项目的投资额为xij（万元）。 ②目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z，为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
年份
1 x11
2 x21 x23 x24
3 x31 x32 x34
4 x41
5
项目
投资限额/万元
A B C D
年年末回收的本利之和，于是，目标函数为 ③约束条件 z 1.15x41 1.25x32 1.40 x23 1.06 x54

数学建模测试地的题目-线性规划部分

313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。

模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。

写在作业本上。

按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。

习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。

这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。

问各种原料投放比例为多少能习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。

且1张桌子必须配4把椅子。

已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。

本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。

（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。

习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。

问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。

数学建模MATLAB之线性规划PPT课件

fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满
足条件的情况下使总加工费最小为13800.
第15页/共45页
例2 问题二的解答问题
改写为：
m z 4 i 3 0 n x x 1 2 6 s . t . 5 3 x x 1 2 ( 4 )5
能力增减不影响利润 4)
SLACK OR SURPLUS
0.000000 0.000000 40.000000
REDUCED COST
X1
20.000000
X2
30.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
NO. ITERATIONS= 2
reduced cost 值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）,目标函数减少的量 (对max型问题) .
解编写M文件如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900];
的整数规划应用专门的方法求解.
第18页/共45页
返回
用LINDO、LINGO优化工具箱解线性规划
第19页/共45页
一、LINDO软件包
下面我们通过一个例题来说明LINDO 软件包的使用方法.
第20页/共45页
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
连续优化
优化模型整数规划(IP)

大学生数学建模：作业-线性规划的实验

实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。

工作效率（个/人、天）如下表。

如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。

现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。

在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。

南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。

当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。

南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。

一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。

这些数据由下表给出。

注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。

南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。

农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。

三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。

所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。

对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。

5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

线性规划建模及其单纯形法课件

线性规划建模及其单纯形法课件
15
n
. Max(Min) z c j x j j 1
n
s.t.
Pj x j ( , b)
j 1
xj 0 ( j 1 , 2 , n, )
线性规划建模及其单纯形法课件
16
❖ c-目标函数系数向量 ❖ b - 右端项 ❖ A - 约束系数矩阵
线性规划建模及其单纯形法课件
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
线性规划建模及其单纯形法课件
23
为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s称为 “松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。
线性规划建模及其单纯形法课件
24
例2.2：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f=3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 =38
线性规划建模及其单纯形法课件
4
目标函数 Max z =1500x1+2500x2 约束条件 s.t. 3x1+2x2≤65
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
线性规划建模及其单纯形法课件
5
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。
其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含义为“最大化”；
线性规划建模及其单纯形法课件
33
(2)绘制可行域：对每个约束(包括非负约束)条件，作出其约束半平面 (不等式)或约束直线(等式)。各半平面与直线交出来的区域若存在，其中的点为此线性规划的可行解。

《数学建模》实验指导_02_Lingo求解线性规划问题

实验二：Lingo求解线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。

实验内容：（选做两题以上）1、求解书本上P130的习题1：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表 1（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。

提示：可参考书上4.1节。

模型可以如下建立：设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5 万元.max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5x2+x3+x4>=400x1+x2+x3+x4+x5<=1000(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4(9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=52、建立模型并求解P130页第3题。

（建立线性规划模型的技巧：问什么假设什么，如何雇用即雇用多少全时服务员以12:00-1:00为午餐, 雇用多少全时服务员以1:00-2:00为午餐，雇佣多少从9:00、10:00、11:00、12:00、1:00开始工作的半时服务员）。

建立线性规划模型：设全时工人为X1：工作时间：9—12 、13—17 工资为100元X2：工作时间：9—13 、14—17 工资为100元半时工人：工资为40元Y1：工作时间：9—13Y2：工作时间：10—14Y3：工作时间：11—15Y4：工作时间：12—16Y5：工作时间：13—17Min= (x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40Y1+y2+y3+y4+y5<39-10 X1+x2+y1>410-11 X1+x2+y1+y2>311-12 X1+x2+y1+y2+y3>412-13 x2+y1+y2+y3+y4>613-14 X1+y2+y3+y4+y5>514-15 x1+x2+y3+y4+y5>615-16 x1+x2+y4+y5>816-17 x1+x2 +y5>8Min =(x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40;y1+y2+y3+y4+y5<3;x1+x2+y1>4;x1+x2+y1+y2>3;x1+x2+y1+y2+y3>4;x2+y1+y2+y3+y4>6;x1+y2+y3+y4+y5>5;x1+x2+y3+y4+y5>6;x1+x2+y4+y5>8;x1+x2 +y5>8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);Global optimal solution found at iteration: 14Objective value: 820.0000Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 100.0000 X2 5.000000 100.0000 Y1 0.000000 40.00000Y3 1.000000 40.00000 Y4 1.000000 40.00000 Y5 1.000000 40.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 820.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 4.000000 0.0000005 4.000000 0.0000006 1.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 4.000000 0.0000009 1.000000 0.00000010 0.000000 0.000000第二问：Min =(x1+x2)*100;x1+x2 >4;x1+x2>3;x1+x2>4;x2 >6;x1 >5;x1+x2 >6;x1+x2 >8;x1+x2 >8;@gin(x1);@gin(x2);Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 1100.000Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 100.0000 X2 6.000000 100.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 1100.000 -1.0000002 7.000000 0.0000004 7.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 5.000000 0.0000008 3.000000 0.0000009 3.000000 0.000000第三问：Min =(x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40;x1+x2+y1>4;x1+x2+y1+y2>3;x1+x2+y1+y2+y3>4;x2+y1+y2+y3+y4>6;x1+y2+y3+y4+y5>5;x1+x2+y3+y4+y5>6;x1+x2+y4+y5>8;x1+x2 +y5>8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 560.0000Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 100.0000 X2 0.000000 100.0000 Y1 4.000000 40.00000 Y2 2.000000 40.00000 Y3 0.000000 40.00000 Y4 0.000000 40.00000 Y5 8.000000 40.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 560.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 5.000000 0.0000007 2.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.0000003、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作），4、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低使用Lingo的一些注意事项Min z1.“>”与“>=”功能相同。

数学建模-线性规划

T T
x2
P1
P2 P3 P4 P5
M
O点 Q点 R点 P点
B [P P 1 3 B [P 2 P 3
P ] x (0,1, 3, 0,16) 5 P ] x (4,1, 5, 0, 0) 3
T
T
R
P Q
B [P P 1 2
0
x1
最优解
数学建模之线性规划
单纯形算法举例
m in s .t z = -2 x 1 -3 x 2 -x 1 + x 2 2 x1 +2x 2 10 3x1 +x 2 15 x1, x 2 0
min z min( z ) max z C X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式；（3）对于无约束的决策变量：譬如 x (, ,则令 )
x x x,使得 x, x 0 ,代入模型即可。
n
,称之为决策变量， B j 产量为 x j ( j 1, 2, , n)
所得的利润为 z ,则要解决的问题的目标是使得总利润
函数
z c j x 有最大值。决策变量所受的约束条件为 j
j 1
数学建模之线性规划
aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, , n) j
数学建模
线性规划问题
数信学院任俊峰
2012-7-9
数学建模之线性规划
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、 “最小”、“最高”、“最低”、“最多”等等。

数学建模讲座之三-用MATLAB求解线性规划linprog函数

约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为g1(x1, x2, ..., xn) <= 0, g2(x1, x2, ..., xn) <= 0, ..., gn(x1, x2, ..., xn) <= 0。
线性规划的求解方法
01
线性规划的求解方法有多种，包括图解法、单纯形法、对偶法等。
02
运输问题
总结词
运输问题是一个经典的线性规划应用案例，旨在通过合理安排运输路线和车辆配置，降低运输成本并提高运输效率。
详细描述
在运输问题中，企业需要考虑货物的运输路线、车辆配置、运输时间等多个因素，以最小化运输成本并最大化运输效率。通过建立线性规划模型，可以找到最优的运输方案，使得企业在满足客户需求的同时获得最大的利润。
02
fval
目标函数的最小值
03
04
exitflag
退出标志，表示求解是否成功，0表示成功，其他值表示失
败
output
输出信息，包括迭代次数、最优解等信息
03
使用linprog函数求解线性规划问题
建立线性规划问题
确定决策变量
首先需要确定问题的决策变量，即需要优化的变量。
确定目标函数
根据问题需求，确定目标函数，即需要最大化或最小化的函数。
05
总结与展望
线性规划的重要性和应用领域
线性规划是一种优化技术，通过合理分配有限资源达到最优目标。它在生产计划、物流管理、金融投资等领域有广泛应
用。
在生产计划中，线性规划可用于确定最优的生产组合，以最
小化成本或最大化利润。
在物流管理中，线性规划可用于货物运输和配送路线优化，降低运输成本和提高效率。

简单线性规划问题公开课共23页PPT资料

x=1
6
平移，使之与可行域有交点。
最大截距为过C (1, 22 ) 5
的直线 l 1
5• 4 C•
最小截距为过A(5,2) 3
A
x-4y+3=0
的直线l 2
l1
2
•
注意：此题y的系数为负，当直线取最大截
1 B•
3x+5y-25=0
距时，代入点C，则z
-1 O 1 2 3 4 5 6 7
x
有最小值
zmin12252359l 0

x

0
y_
_900
目标函数为：z =0.7x +1.2y
y 0
作出可行域：
目标函数为：z =0.7x +1.2y(x,yN) _400
作直线l:0.7x+1.2y=0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，
_300
_C ( 200 , 240 )
当直线经过可行域上的点C时，
_7 x + 12 y = 0
不等式组的（x,y）
线性规划问题
可行域所有的可行解
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数；
2.画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
4.求：通过解方程组求出最优解；
3x

5
y

25
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
x 1
y
解：不等式组表示的平
x=1
面区域如图所示：
6
A(5,2), B(1,1),

《数学建模案例之线性规划》PPT课件

线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法，也是应用最早的一种最优化方法；
线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线性函数；
线性规划是学习运筹学的首要课程之一； 1947年，丹茨格（Dantzig）提出了单纯形法，使线性规划的算法趋于成熟；在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问题，即在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束）下，找出一个线性函数的最大值或最小值。
引言
数学规划模型分类:
Special lecture notes
“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
min z1 4x1 5x2 7x3 x4
s.t.2xx11
x2 2x3 6x2 3x3
x4 x5 1 x4 x6 3
x1 4x2 3x3 2x4 5
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
LP问题的一般概念
Special lecture notes
4.单纯形法 G.B.Dantzig的单纯形法（Simplex method）是一个顶点
x5 150
x1, x2, x3, x4, x5 0
LP问题的一般概念
Special lecture notes
Step2. 建立初始单纯形表，求出初始的基本可行解x(0)及对应的
目标函数值z0

第章简单的线性规划问题文稿演示

[思路探究] 根据题目设出未知数，列出线性约束条件．设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最大值．
[解] 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系
A 原料 B 原料
甲产品 x 吨 3x 2x
乙产品 y 吨 y
3y
x>0，则有y3>x＋0，y≤13，
2x＋3y≤18.
目标函数 z＝5x＋3y，作出可行域如图所示．
[规律方法] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺； (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
[跟踪训练]
x＋2y≥0， 1．若变量 x，y 满足约束条件x－y≤0，
x－2y＋2≥0，
则 z＝2x－y 的最小值等
于________.
【导学号：57452090】
[解析] 作可行域如图，由图可知，当直线 z＝2x－y 过点 A 时，z 值最小．
由xx－＋22yy＋＝20＝0，得点 A－1，12， zmin＝2×(－1)－12＝－52. [答案] －25
[跟踪训练] 2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？