初三数学锐角三角函数含答案

锐角三角函数

中考要求

重难点

1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值；

2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律；

3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系；

4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

课前预习

“正弦”的由来

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表．

托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．

例题精讲

模块一 三角函数基础

一、锐角三角函数的定义

如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．

（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a

A c

=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b

=． 注意：

① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、

cos 与A 、tan 与A 的乘积．

③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．

二、特殊角三角函数

这些特殊角的三角函

数值一定要牢牢记住！

三、锐角三角函数的取值范围

在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a

A b

=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．

四、三角函数关系

a A

1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos A

A A

= 2．互余角三角函数关系：

(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；

(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：

(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A

(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A

【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，ACB ∠=90，CD AB ⊥于D ，则sin A =

()AC

=

()

BC

，sin B =

()CD

=

()

AC

，

sin DCB ∠=

()()，sin ACD ∠=()()，tan A =()AC =()CD ，tan B =

()CD =()

AC

．

【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =

2

3

，AB =9，则BC = ． 【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）． A

．sin A =

B ．1

tan 2A = C

．cos B D

．tan B

【巩固】（2011江苏连云港）如图，ABC △的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =______．

D

C

B

A

C

C

B

A

【例3】 （2011山东烟台）如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形 C ．ABC △是等腰直角三角形 D ．ABC △是锐角三角形

【巩固】已知α为锐角，且1

cos(90)2

α︒-=

，则α的度数是（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒

【巩固】在ABC △中，A ∠、B ∠都是锐角，且sin A =

1

2

，cos B ，则ABC △是（ ）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

【例4】 ABC ∆中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边。已知a =b =c =，则

sin sin b B c C +的值等于 ．

【例5】 已知cos1930'︒=09426．，则sin7030'︒= ．

【巩固】在ABC △中90C ∠=︒，若sin A +cos B A ∠等于（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．75︒

【例6】 若A ∠的补角是A ∠的3倍，则sin A = ． 【巩固】α∠的补角是120°，则α∠=______，sin α=______． 【例7】 α为锐角，且满足sin 3cos αα=，求sin cos αα⋅的值．

【巩固】若α∠为直角三角形中的一个锐角，tan 3α=，则cos α=______． ．

模块二 比较大小

【例8】 比较下列各式的大小．

（1）sin53︒和cos53︒；

（2） 当A ∠是锐角时，sin A 和tan A