数学思想方法—数形结合PPT优秀课件
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数形结合PPT课件
解析： √ x2+2x+17 =√ （x+1)2+16 其几何意义是：P(x,0)到A（-1，4）
的距离
√ x2-8x+80 =√ （x-4)2+64 其几何意义是: P(x,0)到B（4，8）
的距离
8
B
|PA|+|PB|=|PA|+|PB’| 的最小值为|AB’|=13 A 4
-1
4P
.
9
例4.线段AB的两个端点为A(1,1),B(-1,3),直线l的方程y=2ax-1， 已知l与线段AB有公共点,求a的取值范围。
.
4
温馨提示:
两种转换:数 形
形数
问题的解决 问题的解决
.
5
变式1:如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么y/x的最大值是(D )
A.1/2
B. 3 / 3 C. 3 / 2 D. 3
解析：把y/x看作是点P(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，而点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上移动，因此，问题变成求：圆 周(x-2)2+y2=3上的点与原点连线斜率的最大值是什么？
y
O 123 x
2。求f(s,t)=(s-t)2+(√2-s2-9/t)2的最小值
.
12
y
1.已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，
当0<x<3时，f(x)的图象如右图所示，那么 O
不等式f(x)cosx<0的解集是（ B ）
123 x
A.(-3,-π/2)∪(0,1) ∪(π/2,3)
B. (- π/2,-1) ∪ (0,1) ∪ (π/2,3)
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
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2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
高三数学 数形结合思想教学课件
解得：k 0或k 4 3
f() 0 , f () 4
min
3 max
h
6
（二）形 化 数
D1 A1
例2（2008年高考题理科第19题，文科第20题）
如图，正四棱柱 AB C ABC D D 中 ，AA 2AB 4，
111 1
1
C1
点 E 在 C上 C ,且 C E 3 E.C
1
1
（1）证明：AC平B 面E ;D 1
h
3
数形结合思想
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图 形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使抽 象问题具体化，复杂问题简单化，从而起到优 化解题途径的目的．
数形结合的重点是研究“以形助数”．
h
4
数形结合思想的应用 （一）数 化 形
（二）形 化 数
（三）数 形 互 化
h
5
（一）数 化 形
我想，只要同学们能做到“眼”中有形，“心”中有数，就能 “ 成功人生”．
h
14
数形本是两依倚 焉能分作两边飞 数缺形时少直观 形缺数时难入微
再见
h
15
1 a b 0
所以
1
a
b
0
，
4 2 a b 0
做出区域如图所示，
h
8
令 a2bm，此式可看成坐标系 aOb 中 的一组平行线，其中 m的几何意义为平行直线系在
a轴上的截距，结合图象可知，
当 a2bm过点 C(1,2)时，
横截距 m最大，所以
.
(a2b) 5 max
h
9
课堂练习
1．酒泉市肃州中学高三（7）班的学生中，爱好文学或体育的同学共30 人，其中爱好文学的有17人，爱好体育的有22人，则既爱好文学又爱好 体育的有＿9 人．
数形结合之 精美课件PPT
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形 和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是 每行或每列小正方形个数的平方。
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？把算式补充完整。
1＝ （ 1）
2
（ 2） 1＋3＝
2
（3） 1 ＋3 ＋5 ＝
2
我发现，从1开始的连续奇数的和正好 是这串数个数的平方。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
数形结合课件(共9张PPT)
三、运用知识
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（85 ）
原式＝7 2＋62 ＝85
三、运用知识
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
你能利用规律直接写一写吗？
照 最 形这外。样圈画有下（去，第）5个个小图正形方 1下观5你原1请 57我我观你照我你原15下1我下照1111＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋面察能式根发发察能这发能式面发面这－－333333－ －每 一 利 ＝ 据现 现 一 利 样 现 利 ＝ 每 现 每 样53＋＋＋＋＋＋99个下用7例 ，，下用画，用7个，个画515155＝＝＋＝＋＝＋＋＝＝图，规1算从，规下从规图算图下＋ ＋21的77773344中上律式上律去律中式中去114666＝＝＝＝2200结开开最面直左面直，直最左最，＝＝（（（（始始论外的接边的接第接外边外第88的的算55圈图写的图写写圈的圈55））））个个连连一有和一加和一一有加有图图续续算多下写数下写写多数多形形奇奇。少面吗是面吗吗少是少最最数数个的？大的？？个大个外外的的小算正算小正小圈圈和和正式方式正方正有有正正方有形有方形方（（好好形什右什形右形？么上么？上？））关角关角个个系的系的小小？小？小正正把正把正方方算方算方形形式形式形。。补和补和充其充其完他完他整整““LL””。。形形图图形形所所包包含含的的小小正正方方形形个个数数之之和和正正好好是是每每行行或或每每列列小小正正4方方0形形个个数数的的平平方方。。
1 ＋3＋5 ＝（3 ）2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他
“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列 小正方形个数的平方。
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关 系？把算式补充完整。
数学思想方法—数形结合优秀课件
总之：
数形结合法
由数到形，由形到数； 由形思数，以数辅形；
数与形的结合；
是代数与几何完美统一的体现；
是平面解析几何的精髓所在。
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，
数形结合之一ppt课件.ppt
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25 ）
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ 85 ）
原式＝72＋62 ＝85
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
照这样画下去，第5个图 形最外圈有（ 40 ）个 小正方形。
数学广角——数与形
数形结合之一
图1
图2
图3
1列1行
2列2行
3列3行
1×1= 1
2×2= 4
3×3= 9
列数×行数=小正方形个数
图1
图2
1
1 +3
图3
1 +3 +5
把上面的算式连接起来。
1 =1×1 = (1)2
1＋3 =2×2 = (2)2 1＋3 ＋5 =3×3 = (3)2
你发现了 什么？
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？
1＝（
1
2
）
1＋3＝（ 2 ）2
1 ＋3 ＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形 和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是 每行或每列小正方形个数的平方。
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？
1＝（
1
2
）
1＋3＝（ 2 ）2
32－1＝ 8
5 2－3 2＝ 16源自7 2－5 2＝ 24112－9 2＝ 40
布置作业
作业：第108页做一做，第2题。 第109页练习二十二，第2题。
谢谢
1 ＋3 ＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，从1开始的连续奇数的和正好 是这串数个数的平方。
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ 85 ）
原式＝72＋62 ＝85
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
照这样画下去，第5个图 形最外圈有（ 40 ）个 小正方形。
数学广角——数与形
数形结合之一
图1
图2
图3
1列1行
2列2行
3列3行
1×1= 1
2×2= 4
3×3= 9
列数×行数=小正方形个数
图1
图2
1
1 +3
图3
1 +3 +5
把上面的算式连接起来。
1 =1×1 = (1)2
1＋3 =2×2 = (2)2 1＋3 ＋5 =3×3 = (3)2
你发现了 什么？
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？
1＝（
1
2
）
1＋3＝（ 2 ）2
1 ＋3 ＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形 和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是 每行或每列小正方形个数的平方。
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？
1＝（
1
2
）
1＋3＝（ 2 ）2
32－1＝ 8
5 2－3 2＝ 16源自7 2－5 2＝ 24112－9 2＝ 40
布置作业
作业：第108页做一做，第2题。 第109页练习二十二，第2题。
谢谢
1 ＋3 ＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，从1开始的连续奇数的和正好 是这串数个数的平方。
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［点评］在确定超越方程的根的个数或含参 数的方程的根的情况时，应由数思形，观 察该方程对应的在同一坐标系中两个函数 图象的交点个数或交点的情况即可；如果 已知含参数的方程的根的情况，应由数思 形，画出该方程对应的函数的示意图，再 由形思数，挖掘出不等式或不等式组，从 而求出参数的取值范围.
题型五：数形结合在解析几何中的应用
恒不成立。
［点评］对于此类不等式问题，用代数方法 难以处理，可将问题等价地转化为函数与 方程的综合问题，构造函数，通过函数思 想方法，结合函数图象来处理．
题型四 ：数形结合在方程中的应用
2 例 4 . 若方程 lg( x 3 x m ) lg( 3 x ) 在 x ( 0 , 3 ) 内
sin x 例 5 . 函数 y 的最大值为 _______, 最小值 ____ 2 cos x
[ 解析 ] sin x y 表示 P (cos x , sin x )与点 A ( 2 ,0 ) 连线的斜率的取值范围 2 cos x 而点 P 在单位圆上，如图。 过点 A 作单位圆的切线 AB 、 AC 。 3 3 易知 k AB , k AC 3 3 为斜率的最大值和最小 值。 。
题型三 ：数形结合在不等式中的应用 2
例 3 . 若 x (1,2) 时，不等式（ x -1) log ax 恒成立，则 a 的取值范围为 __________ _
[ 解析 ] 令 y 1 ( x 1 ) 2 , y 2 log
a
x
(1 ) 若 a 1 , 两函数图象如图所示，
四、 数形结合常见题型：
题型一：数形结合在集合中的应用 例1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4， 则甲是乙成立的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【解析】
将两个命题用数轴表示，如下图：
从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不 必要条件.
［点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是
含字母参数的，可以画韦恩图，如果是具体的数集，则可以画数 轴，都可以使集合间的关系直观化.
1.
2. 运用数形结合思想解题，不仅直观易 于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和 推理，简化解题过程，在填空中更显优越。
二、 知识回顾
1. 数与形转换的三条途径： (1)通过坐标系的建立：引入变元化静为动，以动求解. (2)转化：通过分析数与式的结构特点，把问 题转化到形的角度来考虑.如将 2 2 转化为勾股定理或 a b 平面上两点间的距离等. (3)构造：比如构造一个几何图形，构造一个函数，构 造一个图表等. 2. 数形结合的主要解题方式有： (1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点,构造符合 条件的几何图形，用几何方法去解决. (2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究 几何问题. (3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合 ，使问题变得简捷、直观、明了.
三、数形结合的相关内容
(1)实数与数轴上的点的对 应关系 ; (2)函数与图象的对应关系 ; (3)曲线与方程的对应关系 ; (4)以几何元素和几何条件 为背景 , 建立起来的 概念 , 如复数 , 三角函数等 ; (5)所给的等式或代数式的 结构含有明显的几何意 义 , 如等式 y 2 2 2 (x 2) ( y 1) 4, , y 1 x2 等 x 1
2 显然当 x ( 1 , 2 ) 时，要使 y y , 只需使 log 2 ( 2 1 ) 1 2 a
即 a 2
2 综上可知：当 1 a 2 时，不等式 (x 1) log x a
对 x (1,2) 恒成立。
2 （ 2 ）若 0 a 1 , 显然当 x ( 1 , 2 ) 时，不等式 ( x 1 ) log x a
题型二： 数形结合在函数中的应用
例2.函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实 数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ ［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象
情形1：
a＞ 0 a＞ 1
a＞1
情形2：
a＜ 0 a＜ 1
a＜－1
［点评］ 在使用数形结合方法解决函数问题时，首先 要画好函数图象，其次也要注意对含字母参数 的讨论，本题中，主要是分a＞0与a＜０两种情 况.
数学思想方法——数形结合
一、 目标要求
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的 图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维 结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使 得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而 起到优化解题途径的目的。数形结合的重点 是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高 考中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。
则 y max
3 3 , y min 。 3 3
2 例 6 . 已知直线 yx b 与曲线 x 1 y 有且只有一个公
求 b 的取值范围。
法一 用代数方法转化为方程处理
2 消 y 得 :x 1 ( x b ) 2 2 x 0 且 2 x 2 bx b 1 0
（思考）
0 0
0
①
② 一正一负
③ 一零一负
两个相等非负根
综上可知 : b 2 或 1 b 1
y
l3
l2
o
x
l1
法二 : 数形结合法 如图 , y x b表示平行于 y x的直线系， x 1 y2 表示单位圆的右半部分 （半圆）。 直线与半圆有且只有一 个公共点， 当直线的位置在 l1时或在 l2到l3之间运动时，符合题意 。 当直线的位置在 l1时，直线与圆相切。
有唯一解，求实数 m 的取值范围。
［解析］
原方程变形为
3 x0 2 x 3 xm 3 x
3 x 0 2 ( x 2 ) 1 , x ( 0 , 3 ) 和直线 y 1 m , 如图
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0, ∴ m＝1或－3<m≤0