数学思想方法—数形结合PPT优秀课件

四、 数形结合常见题型：
题型一：数形结合在集合中的应用 例1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4， 则甲是乙成立的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【解析】
来自百度文库
将两个命题用数轴表示，如下图：
从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不 必要条件.
［点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是
含字母参数的，可以画韦恩图，如果是具体的数集，则可以画数 轴，都可以使集合间的关系直观化.
恒不成立。
［点评］对于此类不等式问题，用代数方法 难以处理，可将问题等价地转化为函数与 方程的综合问题，构造函数，通过函数思 想方法，结合函数图象来处理．
题型四 ：数形结合在方程中的应用
2 例 4 . 若方程 lg( x 3 x m ) lg( 3 x ) 在 x ( 0 , 3 ) 内
则 y max
3 3 , y min 。 3 3
2 例 6 . 已知直线 yx b 与曲线 x 1 y 有且只有一个公
求 b 的取值范围。
法一 用代数方法转化为方程处理
2 消 y 得 :x 1 ( x b ) 2 2 x 0 且 2 x 2 bx b 1 0
三、数形结合的相关内容
(1)实数与数轴上的点的对 应关系 ; (2)函数与图象的对应关系 ; (3)曲线与方程的对应关系 ; (4)以几何元素和几何条件 为背景 , 建立起来的 概念 , 如复数 , 三角函数等 ; (5)所给的等式或代数式的 结构含有明显的几何意 义 , 如等式 y 2 2 2 (x 2) ( y 1) 4, , y 1 x2 等 x 1
题型三 ：数形结合在不等式中的应用 2
例 3 . 若 x (1,2) 时，不等式（ x -1) log ax 恒成立，则 a 的取值范围为 __________ _
[ 解析 ] 令 y 1 ( x 1 ) 2 , y 2 log
a
x
(1 ) 若 a 1 , 两函数图象如图所示，
（思考）
0 0
0
①
② 一正一负
③ 一零一负
两个相等非负根
综上可知 : b 2 或 1 b 1
y
l3
l2
o
x
l1
法二 : 数形结合法 如图 , y x b表示平行于 y x的直线系， x 1 y2 表示单位圆的右半部分 （半圆）。 直线与半圆有且只有一 个公共点， 当直线的位置在 l1时或在 l2到l3之间运动时，符合题意 。 当直线的位置在 l1时，直线与圆相切。
有唯一解，求实数 m 的取值范围。
［解析］
原方程变形为
3 x0 2 x 3 xm 3 x
3 x 0 2 ( x 2 ) 1 m 即：
2 设曲线 y ( x 2 ) , x ( 0 , 3 ) 和直线 y 1 m , 如图
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0, ∴ m＝1或－3<m≤0
题型二： 数形结合在函数中的应用
例2.函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实 数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ ［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象
情形1：
a＞ 0 a＞ 1
a＞1
情形2：
a＜ 0 a＜ 1
a＜－1
［点评］ 在使用数形结合方法解决函数问题时，首先 要画好函数图象，其次也要注意对含字母参数 的讨论，本题中，主要是分a＞0与a＜０两种情 况.
1.
2. 运用数形结合思想解题，不仅直观易 于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和 推理，简化解题过程，在填空中更显优越。
二、 知识回顾
1. 数与形转换的三条途径： (1)通过坐标系的建立：引入变元化静为动，以动求解. (2)转化：通过分析数与式的结构特点，把问 题转化到形的角度来考虑.如将 2 2 转化为勾股定理或 a b 平面上两点间的距离等. (3)构造：比如构造一个几何图形，构造一个函数，构 造一个图表等. 2. 数形结合的主要解题方式有： (1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点,构造符合 条件的几何图形，用几何方法去解决. (2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究 几何问题. (3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合 ，使问题变得简捷、直观、明了.
2 显然当 x ( 1 , 2 ) 时，要使 y y , 只需使 log 2 ( 2 1 ) 1 2 a
即 a 2
2 综上可知：当 1 a 2 时，不等式 (x 1) log x a
对 x (1,2) 恒成立。
2 （ 2 ）若 0 a 1 , 显然当 x ( 1 , 2 ) 时，不等式 ( x 1 ) log x a
sin x 例 5 . 函数 y 的最大值为 _______, 最小值 ____ 2 cos x
[ 解析 ] sin x y 表示 P (cos x , sin x )与点 A ( 2 ,0 ) 连线的斜率的取值范围 2 cos x 而点 P 在单位圆上，如图。 过点 A 作单位圆的切线 AB 、 AC 。 3 3 易知 k AB , k AC 3 3 为斜率的最大值和最小 值。 。
数学思想方法——数形结合
一、 目标要求
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的 图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维 结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使 得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而 起到优化解题途径的目的。数形结合的重点 是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高 考中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。
［点评］在确定超越方程的根的个数或含参 数的方程的根的情况时，应由数思形，观 察该方程对应的在同一坐标系中两个函数 图象的交点个数或交点的情况即可；如果 已知含参数的方程的根的情况，应由数思 形，画出该方程对应的函数的示意图，再 由形思数，挖掘出不等式或不等式组，从 而求出参数的取值范围.
题型五：数形结合在解析几何中的应用