人教版九年级下册 第20题 相似三角形和锐角三角函数 专题练习(无答案)
九年级数学阶段性(相似三角形、锐角三角函数)测试卷
BCA图 1图 2九年级数学阶段性（相似三角形、锐角三角函数）测试卷一、选择题1、如图1，在Rt ABC △中，ACB ∠=90o ，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B =D ．tan 3B = 2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 3、计算：︒⋅︒+︒60sin 60tan 45cos 2的值为( )A ． 1B ．2C ． 2D ． 34、如图2，把两块相同的含︒30角的三角尺按如图所示放置，若=AD 66，•则三角尺的斜边的长为( ) A ．6 B ．36 C ． 10 D ． 125、如图4，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则 AODO等于（ ）A ．2 53 B ．13 C ．23 D ．126、如右图，D 是△ABC （三边互不相等）的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在△ABC 的边上，并且点D 、E 和△ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC 相似，则这样的画法有（ ）A ．5种 B ．4种 C ．3种 D ．2种 7、如上图、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张 二、填空题： 1、当锐角α 时，102cos 3α-有意义。
D ．C ．B ．ABCA ．ABFC DEO 图 42、关于x 的方程060cos 30cos 2=︒+︒⋅-x x 的实数根情况 。
3、如图5，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自 己的影长和楼房的影长分别是5.0米和15米，已知小华的身高为6.1米，那么他所住楼房的高度为 米。
人教版九年级数学下册：相似 练习题(含答案详解)
九年级下册数学（人教版）相似三角形练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共33小题,每小题分,共0分)1.“相似的图形”是()A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形2.下列图形中一定相似的是()A．所有矩形B．所有等腰三角形C．所有等边三角形D．所有菱形3.下列两个图形一定相似的是()A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4.用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是()A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍5.如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于()A ．B ．C ．D ．6.已知＝＝＝，则a＋c＋e＝6，则b＋d＋f等于()A． 12 B． 9 C． 6 D． 47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.两个多边形相似的条件是()A．对应角相等B．对应边成比例C．对应角相等或对应边成比例D．对应角相等且对应边成比例9.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为()A． 18 B． 12C． 24 D． 3010.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE＝1，AB＝4，则AD等于()A． 2 B． 2.4C． 2.5 D． 311.如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝12.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为()A． 6 B． 9C． 12 D． 1513.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E ，如果＝，那么等于()A ．B ．C ．D ．14.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A ．B ．C ．D ．15.若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A． 3∶2 B． 3∶5C． 9∶4 D． 4∶916.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是()A． 1∶2 B． 1∶4C． 1∶8 D． 1∶1617.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A． (1，) B． (，)C． (，2) D． (，2)18.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则它们的周长比为()A． 1∶4 B． 1∶2C． 2∶1 D． 1∶19.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的()A． 9倍B． 3倍C． 81倍D． 18倍20.△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为()A． 1∶B ．∶1C． 9∶1 D． 1∶921.已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为()A． 1 B． 2C． 3 D． 422.两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是()A． 52 B． 54C． 56 D． 5823.两相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为()A． 10 cm2 B． 14 cm2C． 16 cm2 D． 18 cm224.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝25.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺26.如图：边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为()A． 60B． 64C． 68D． 7227.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费()A． 540元B． 1 080元C． 1 620元D． 1 800元28.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于()A． 10 m B． 12 m C． 12.4 m D． 12.32 m29.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为()A． 3米B． 4米C． 4.5米D． 6米30.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO ＝CD，若B(1,0)，则点C的坐标为()A． (1，－2) B． (－2,1)C． (，) D． (1，－1)31.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,4)、B(6,0)，以原点O 为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，则点C的坐标为()A． (3,3) B． (3,2)C． (2,3) D． (2,2)32.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是()A． 1 B． 2C． 3 D． 433.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB为()A． 2∶3 B． 3∶2C． 4∶5D． 4∶9分卷II二、填空题(共15小题,每小题分,共0分)34.在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是__________ km.35.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD 相似，AB＝4，则AD的长度为__________．36.一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________，__________时，这两个三角形相似．37.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C 同时出发，设运动时间为t s，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．38.在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．39.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是________．40.已知Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，若Rt△ABC的最长边长为12 cm，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为__________ cm.41.已知△ABC∽△DEF，且S △ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.42.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为__________，面积为__________．43.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．44.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．45.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__________．46.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.47.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为____________米．48.如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔__________米．三、解答题(共16小题,每小题分,共0分)49.已知：a∶b＝3∶2，b∶c＝∶0.3，求a∶b∶c.50.已知：＝＝，x－y＋z＝6，求：代数式3x－2y＋z的值．51.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．52.如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，＝，连接FC，若＝，求的值．53.如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.54.如图所示，不共面的三条直线交于O点，在O点的同侧上分别取点A和A′，B和B′，C和C′，使得＝＝，求证：△ABC∽△A′B′C′.55.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？56.已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB.57.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.58.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.59.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.(1)求△A′B′C′斜边A′B′的长；(2)求△A′B′C′斜边A′B′上的高．60.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图1，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：＝k.61.如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.(1)DE与AB的长度之比是多少？(2)已知直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．62.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．63.已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB＝90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，求：(1)线段AB的长；(2)的值．64.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.答案解析1.【答案】A【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A.2.【答案】C【解析】A.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B．所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C．所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；D．所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误．故选C.3.【答案】D【解析】A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选D.4.【答案】A【解析】∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，则A错误，符合题意．故选A.5.【答案】D【解析】∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，2x＝3y，∴x∶y＝3∶2＝，故选D.6.【答案】B【解析】由＝＝＝，得a＝b，c＝d，e＝f，则b＋d＋f＝6，即(b＋d＋f)＝6，∴b＋d＋f＝6×＝9，故选B.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】D【解析】∵对应角相等且对应边成比例的多边形相似，∴D符合定义，故选D.9.【答案】A【解析】设这个多边形的最长边是x，则＝，解得x＝18.故选A.10.【答案】A【解析】∵矩形ABCD∽矩形ADFE，∴＝，∵AE＝1，AB＝4，∴＝，解得AD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，∴＝故选D.12.【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴＝；∵AO＝2，DO＝4，BO＝3，∴＝，解得CO＝6，∴BC＝BO＋CO＝3＋6＝9.故选B.13.【答案】B【解析】∵DE∥AB，∴＝＝，∵AD为△ABC的角平分线，∴＝＝；故选B.14.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选A.15.【答案】A【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.故选A.16.【答案】B【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶4.故选B.17.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.18.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选B.19.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9，∴这两个相似三角形的相似比为1∶3，∴这两个相似三角形的周长比为1∶3，∴周长扩大为原来的3倍，故选B.20.【答案】D【解析】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶9.故选D.21.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4，∴BC∶EF＝1∶2，∵BC＝1，∴EF＝2，故选B.22.【答案】B【解析】∵两相似三角形的周长分别是36和12∴相似比为3∶1，∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5，∴周长较大的三角形的第三条边为12，∴两个三角形均为直角三角形，∴周长较大的三角形的面积＝×9×12＝54，故选B.23.【答案】D【解析】根据题意，两个三角形的相似比是5∶3，面积比就是25∶9，大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16＝2( cm2)，所以小三角形的面积为2×9＝18( cm2)．故选D.24.【答案】C【解析】A.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A错误；B.∵DE∥BC，∴＝，故B错误；C.∵DE∥BC，∴＝，故C正确；D.∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴＝，故D错误；故选C.25.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.26.【答案】C【解析】如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝4，∴EC2＝42＋42，即EC＝4，∴S2的面积为EC2＝32，∵S1的边长为6，S1的面积为6×6＝36，∴S1＋S2＝32＋36＝68.故选C27.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为180÷50＝元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×＝1 620元故选C.28.【答案】B【解析】由题意可得AB＝1.5 m，BC＝0.4 m，DC＝4 m，△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝12，故选B.29.【答案】D【解析】如图，由题意得，△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，解得BE＝6，即树的高度为6米．故选D.30.【答案】D【解析】∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1,0)，∴BO＝1，则AO＝AB＝，∴A(，)，∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，∴点C的坐标为(1，－1)．故选D.31.【答案】B【解析】∵点A(6,4)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，∴点C的坐标为(6×，4×)，即(3,2)，故选B.32.【答案】D【解析】由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选D.33.【答案】A【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积的比4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴＝，故选A.34.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝280 000 cm＝2.8 km.∴这条道路的实际长度为2.8 km.35.【答案】4【解析】设AE＝x，则AD＝2x，∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，∴＝，∴AB2＝2x2，∴AB＝x＝4，∴x＝2，∴AD＝4.36.【答案】【解析】∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，∴当另一个三角形的三边的比为3∶4∶5时，这两个三角形相似，∵另一个三角形的最短边长为8，∴另外两边长为，.37.【答案】4.8或【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．38.【答案】或【解析】当＝时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当＝时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.39.【答案】4∶9【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9.40.【答案】8【解析】设Rt△A1B1C1最长边为x cm，∵Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，∴12∶x＝3∶4，解得x＝16，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为8 cm，41.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.42.【答案】90270【解析】设较大三角形的其他两边长为a，b.∵由相似三角形的对应边比相等，∴＝＝，解得a＝15，b＝36，则较大三角形的周长为90，面积为270.故较大三角形的周长为90，面积为270.43.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.44.【答案】9∶4【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4.45.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.46.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.47.【答案】5【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，＝，即＝，解得AM＝5 m．则小明的影长为5米．48.【答案】5【解析】如图，过点P作PE⊥DC，交AB于点F，设每两棵树间的间隔x m，根据题意可得：∵AB∥CD∴△ABP∽△DPC，∴＝，∴＝，解得x＝5.49.【答案】解∵b∶c＝∶0.3，∴b∶c＝(×4)∶(0.3×4)＝2∶1.2；∵a∶b＝3∶2，∴a∶b∶c＝3∶2∶1.2＝(3×5)∶(2×5)∶(1.2×5)＝15∶10∶6.【解析】首先根据b∶c＝∶0.3，可得b∶c＝2∶1.2；然后根据a∶b＝3∶2，求出a∶b∶c的值是多少即可．50.【答案】解设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入x－y＋z＝6，可得2k－3k＋4k＝6，解得k＝2，所以x＝4，y＝6，z＝8，把x＝4，y＝6，z＝8代入3x－2y＋z＝12－12＋8＝8.【解析】根据比例的性质，可用设＝＝＝k，进而解答即可．51.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．52.【答案】解∵DE∥BC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴AB∥CF，∴＝，∵＝，∴＝＝2，∴＝2.【解析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出＝，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．53.【答案】证明∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即＝＝，∴ABC∽△DEF.【解析】先根据三角形中位线性质得到DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，则可利用三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论．54.【答案】证明如图，∵＝，∴A′B′∥AB，∴＝.同理A′C′∥AC，B′C′∥BC，∴＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△A′B′C′.【解析】利“平行线截线段成比例”推知△ABC与△A′B′C′的对应边相互平行，则△ABC∽△A′B′C′.55.【答案】解△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝2a，DF＝a，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF.【解析】先根据正方形的性质，得∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，利用E为边AD的中点，CF＝3FD，得到AE＝DE＝2a，DF＝a，则可计算出＝，加上∠A＝∠D，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF.56.【答案】证明∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴＝＝，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.【解析】首先根据已知得出AD∶AC＝AE∶AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB.57.【答案】证明(1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF；(2)延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．58.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.59.【答案】解(1)∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4 cm；(2)∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2 cm.【解析】(1)由等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，根据相似比的定义，可得AB∶A′B′＝3∶1，继而求得答案；(2)由△A′B′C′是等腰直角三角形，利用三线合一的性质，可得△A′B′C′斜边A′B′上的高即是斜边A′B′上的中线，继而求得答案．60.【答案】解∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，∵AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，∴∠BAD＝∠B1A1D1，又∠B＝∠B1，∴△BAD∽△B1A1D1，∴＝＝k.【解析】根据相似三角形的性质定理得到∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，根据相似三角形的判定定理证明△BAD∽△B1A1D1，根据相似三角形的性质定理得到答案．61.【答案】解(1)由相似变换可得DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；(2)∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，∵直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2∴△DEF的周长为8 cm，S △DEF＝cm2.【解析】根据相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解题即可．62.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．63.【答案】解(1)过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，则∠BMC＝∠ANC＝∠BCA＝90°，∴∠BCM＋∠MBC＝90°，∠BCM＋∠ACN＝90°，∴∠MBC＝∠ACN，在△BMC和△CNA中∴△BMC≌△CNA，∴BM＝CN，AN＝CM，∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，∴BM＝CN＝3，CM＝AN＝1＋3＝4，在Rt△BMC中，由勾股定理，得BC＝AC＝＝5，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝5；(2)∵直线l2∥直线l3，∴∠DBC＝∠BCM，∵∠BCD＝∠BMC＝90°，∴△BCD∽△CMB，∴＝，∴＝，∴BD＝，∵AB＝5，∴＝＝.【解析】64.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】。
相似三角形及锐角三角函数
九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。
2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
3. 相似比：相似多边形对应边的比。
二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。
✓对应边成比例。
✓对应高的比等于相似比。
✓对应中线的比等于相似比。
✓对应角平分线的比等于相似比。
✓周长比等于相似比。
✓面积比等于相似比的平方。
五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（ ） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为 （ ） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。
九年级数学下册 27.2 相似三角形 27.2.2《相似三角形的性质》同步测试(A卷,无答案)(新版)新人教版
《相似三角形的性质》A卷一、单项选择题(共5题,共37分)1.若△ABC∽△DEF,相似比为 3:2,则对应高的比为( )A.3:2B.3:5C.9:4D.4:92.已知△ADF∽△DEF且相似比为4:3,若△ABC中BC边上的中线AM=8, 则△DEF中EF边上的中线( )A. 3B.4C.5D.63.已知△ABC∽△DEF,相似比为3:1，且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为 ( )A.2B.3C.6D.544.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△EOD的周长与△BOC的周长的比为( )A. 1：2B.2：3C.1：3D. 1：45.已知△ABC∽△，AD,分别是△ABC,△的高，且AD:=2:3，则（）A.△ABC与△的周长比为4:9B.AB:=2:3C.D.二、填空题(共5题,共35分)1.若△ABC∽△，对应角平分线的比为2:，且BC边上的中线AD=5，则边上的中线=____.2.如图，在AD=10cm，CD=6cm,E为AD上一点，且 BE=BC,CE=CD, BM平分∠EBC,交CE于点M, CN平分∠ECD,交ED于点N.则的值是________.3.（2017湖南湘潭中考）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC 的面积比=________.4.在△ABC中，AB=6cm,AC=5cm,点D，E分别在AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且=1:8,则AD=________cm.5.(2017福建莆田二十五中月考)如图,M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的三条边，所形成的三个小三角形(阴影部分)的面积分别是4,9,49,则△ABC的面积是________.三、解答题(共4题,共28分)1.如图，的对角线AC,BD相交于点O，点E是 AD的中点，△BCD的周长为8 cm，求△DEO的周长。
2.（2016·江苏无锡第二次联考改编）如图，已知矩形ABCD的边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O。
人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习及答案【推荐】
27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC 的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六 相似形中的综合题 9．正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 AE的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若21=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. 3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比. 8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案 1．22或42 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC=26， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，ACAEAB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时，AB AE AC AD =3AE=，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°， ∴∠ECF=∠BDF ， 又∠F=∠F ， ∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DFCF，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb2. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm，40(cm)BC ==．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512． 因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以ABGFCN CM =． 设正方形的边长为x ，则1251255xx -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760．（2）同（1），有12251255xx -=，解得4960=x ．（3）同（1），有12351255x x -=，解得6160=x ． （4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=xm,∴x =2m. (3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°. 设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==. 在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+= ∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D .∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴BF BHDG DF=， ∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ， 9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD . （3） ∵AO=OC ，∴12OCD ACD S S ∆∆=.∵12CEF OCD S S ∆∆=，∴14CEF ACD S S ∆∆=.∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .∴2CEF ACD S CF S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF =2.。
锐角三角函数值与锐角关系(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题28.7锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）一、单选题1．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为（）A ．45B ．35C ．34D ．432．已知：22sin 32cos α1+= ，则锐角α等于（）A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对3．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（）A ．35B ．45C ．53D ．544．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA·tanB 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．不确定5．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA 的值为（）A ．725B ．2425C ．724D ．2476．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，则sin B 的值为()A ．54B ．45C ．53D ．358．在ABC 中，90C ∠=，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（）A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=2k x在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．﹣3B ．1C ．2D ．310．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②OD =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D到CF 的距离为5．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤二、填空题11．已知α∠为锐角，且5sin 13α=，则cos α=______．12．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.13．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则sin 2cos 2sin cos x xx x+-＝____.15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sinα=sinB ；②sinβ=sinC ；③sinB=cosC ；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.16．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．17．如图，在Rt ABC △中．90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，点D 是边AC 上一动点．连接BD ，将ABD △沿BD 折叠，点A 落在A '处，当点A '在ABC 内部（不含边界）时，AD 长度的取值范围是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB V 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB V 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)ky k x=≠的图象上，若在ky x=的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．三、解答题19．求值：(1)260453456 cos sin tan tan+-⋅；()2已知2tanA=，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）如果sin AAEF ABCS S ∆∆的值．23．如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x=>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．24．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =35，设BC=3x ，则AB=5x ，∵BC 2+AC 2=AB 2∴AC=4x ．∴tanB=AC BC ＝4x 3x＝43．故选D ．【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．2．A解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A ．3．B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．解：∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒，∴∠A +∠B =90︒，∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0，∵sin B =35，∴sin A =45.故选B.【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.4．B【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC 的边表示出两个三角函数，即可求解．解：•.1a b tanA tanB b a==故选B ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据sin =BCA AB进行计算即可；解：∵AB=25，BC=7，CA=24，又∵22225=247+，∴222=AB BC AC +，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴sin =BC A AB =725；故选A.【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.6．D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．解：如下图所示在Rt ABC 中，tan A =BC AC，故A 不符合题意；在Rt ACD △中，tan A =CDAD，故B 不符合题意；∵∠A ＋∠ACD=90°，∠BCD ＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD ∴tan A =tan ∠BCD=BDCD，故C 不符合题意；tan A ≠ACAB，故D 符合题意．故选D ．【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．7．D【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．解：因为∠A ＋∠B ＝90°，所以sinB ＝cosA ，所以sinB ＝35．故选D【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A ＋∠B ＝90°，则sinA ＝cosB ，sinB ＝cosA8．A【分析】根据∠A +∠B =90°得出cos B =sin A ，代入即可．解：∵∠C =90°，sin A =35．又∵∠A +∠B =90°，∴cos B =sin A =35．故选A ．【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A +∠B =90°，能推出sin A =cos B ，cos A =sin B ，tan A =cotB ，cotA =tan B ．9．D解：试题分析：先求得直线y=k 1x+2与y 轴交点C 的坐标为（0，2），然后根据△BOC 的面积求得BD 的长为1，然后利用∠BOC 的正切求得OD 的长为3,，从而求得点B 的坐标为（1，3），代入y=2k x求得k 2=3．故答案选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，∵点F 是DE 的中点，∴1,//2OF BE OF BE =，∵6OF =，4CE =，∴12BE =，则8CD BC ==，∵OF ∥BE ，∴△DGF ∽△DCE ，∴12DG GF CD CE ==，∴2GF =，故①正确；∴点G 是CD 的中点，∴OG ⊥CD ，∵∠ODC =45°，∴△DOC 是等腰直角三角形，∴OD =，故②正确；∵CE =4，CD =8，∠DCE =90°，∴1tan 2CE CDE CD ∠==，故③正确；∵1tan 12CDE ∠=≠，∴45CDE ∠≠︒，∴90ODF ∠≠︒，故④错误；过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：∵点F 是CD 的中点，∴CF =DF ，∴∠CDE =∠DCF ，∴1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=，设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：5x =±，∴DH =∴正确的结论是①②③⑤；故选C ．【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．11．1213【分析】根据5sin 13α=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos α的值．解：∵22sin cos 1αα+=，5sin 13α=，∴12cos 13α=±，又∵α∠为锐角，∴12cos 13α=.故答案为：1213.【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.解：由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35，故答案为35．【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB 中，∠A +∠B ＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB ．13．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．14．43解：分子分母同时除以cosx ，原分式可化为：221tanx tanx +-，当tanx=2时，原式=2242213+=⨯-．故答案为43．15．①②③④【分析】根据∠A=90°，AD ⊥BC ，可得∠α=∠B ，∠β=∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．解：∵∠A=90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B ，∠β=∠C ，∴sinα=sinB ，故①正确；sinβ=sinC ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sinB=AC BC ，cosC=AC BC，∴sinB=cosC ，故③正确；∵sinα=sinB ，cos ∠β=cosC ，∴sinα=cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH解：过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小∵菱形ABCD 中，10AB AC ==∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形∴∠PBC =30°，∠ACB =60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH =12PB ∴此时12MP PB +得到最小值，1=2MP PB MP PH MH ++=∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键.17．53AD <<【分析】分别求出当A '落在AC 和BC 上时AD 的长度即可.解：∵∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴AC ===当点A '落在AC 上时，如图，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ADB =A DB '∠=90°，∵AD AB cosA AB AC==，∴2AB AD AC ==当点A '落在BC 上时，如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ABD =∠DBC =45°，∵DH ⊥AB ，∴∠HDB =∠HBD =45°，∴BH =DH ，∵2HD BC tanA AH AB===，∴HD =2AH =BH ，∵AB =AH +BH =2AH +AH =2，∴23AH =，43BH DH ==，∴3AD ===，∴当点A '在△ABC 内部（不含边界）时，ADAD <<．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．18．【分析】利用30°的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C在0)y k ≠上，k ∴=设()M m m(0)m >30MOF ∠=︒tan 3MOF ∴∠==解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．19．（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+（2）2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A =2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．20．（1）α=30°；（2）α=60°．【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα解：（1）解得：则α=30°；（2）解得：sinα=2，则α=60°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．(1)见分析(2)8,BD AE ==【分析】（1）由等腰三角形的性质得到,AD CD BD AC =⊥，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出AB =，由勾股定理得出BD 的长度，解直角三角形求出AF 的长度，再由菱形的性质即可求解．解：（1） BA =BC ，BD 平分∠ABC,AD CD BD AC∴=⊥ DE =DF∴四边形AECF 是菱形；（2）BD AC ⊥ ，BA ⊥AF90ADB BAF ∴∠=∠=︒BC = ，BA =BCAB ∴= AD =4∴在Rt ABD ∆中，BD 8==tan AD AF ABD BD AB∠== 48∴=AF ∴=四边形AECF 是菱形AE AF ∴==【点拨】菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）见分析；（2）14【分析】（1）先求证AEB AFC △∽△，得到AE AB AF AC =，再根据A A ∠=∠，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得AE AB的值，即可求解．解：（1）∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高∴90AFC AEB ∠=∠=︒又∵A A∠=∠∴AEB AFC△∽△∴AE AB AF AC =，即AE AF AB AC=又∵A A ∠=∠∴AEF ABC∽（2）在Rt ABE △，sin 2BE A AB ==，cos AE A AB =由锐角三角函数关系可得：1cos 2A ==，即12AE AB =由（1）得，AEF ABC∽∴21(4AEF ABC S AE S AB ∆∆==【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．23．（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∵1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =，设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24，解得：10t =，21t =-，均舍去．综上，M 点的坐标为(8,3)．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2)【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）方法一：过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∥，易证得D OHM O G △∽△，则有OH MO OD GO =，求得GO 即为正方形OEFG 的边长方法二：因为DG ⊥BD ，利用同旁内角互补证DG ∥OA ，进而得△DMG ∽△AMO 。
人教版九年级数学下册锐角三角函数同步练习附答案-精编版
28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、基础·巩固达标1.在△R t ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定2.已知α是锐角，且cosα=45，则sinα=()A.925B.45C.316D.5253.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.4.设α、β为锐角，若sinα=33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 235.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=43，求AD、AC、BC.二、综合应用达标7.已知α是锐角，且sinα=45，则cos(90°－α)=()A.43B.54C.31D.558.若α为锐角，tana=3，求coscossinsin的值.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()A.3434B. C. D. 4355图28.1－15图28.1－17图28.1－1612.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r 3 2，AC=2，则cosB的值是()A.32B.55C.32D.2313.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC=()A.45B.5C.11D. 54514.如图28.3－16，CD是△R t ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()A.35B.344C. D.43515.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和 P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.图 28.1－18图 28.1－1916.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+| 3 |；17.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若 OD ⊥AB ，BC=5，求 AD 的长.参考答案12，∠CAD=30°.一、基础·巩固达标1.在 △R t ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大 2 倍C.都缩小 2 倍D.不能确定思路解析：当 △R t ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大小不变.答案：A2.已知 α 是锐角，且 cos α=4 5，则 sin α=()A.9 25B.4 5C.3 16 D.525思路解析：由 cos α=4 5，可以设 α 的邻边为 4k ，斜边为 5k ，根据勾股定理，α 的对边为 3k ，则sinα=3 5.答案：C1 1 1 1 13.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=义计算.3x，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定答案：12，34.设α、β为锐角，若sinα=33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 23思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.38606.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=43，求AD、AC、BC.思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=求解.43，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.在△R t ABC中，∵tanB=4420，∴AC=AB= k.∵BD=9,∴k=3. 333所以AD=4×3=12，AC=203×3=20.根据勾股定理BC 20215225.二、综合应用达标7.已知α是锐角，且sinα=45，则cos(90°－α)=()A.43B.54C.31D.55思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=4 5 .方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.答案：A8.若α为锐角，tana=3，求coscossinsin的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=310，cosα=110，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=sincos计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.答案：原式=cos sincos coscos sincos cos1tan 1311tan 1329.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是利用前面介绍过的方法求tanα.23解：设方程的另一个根为x，则()x=123∴x=4.∴5sinα=(23)+(23)，解得sinα=523，进而可求出sinα=45，然后设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，∴tanα=4k43k3.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=12b，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，2221 2ab.由题意得，平行四边形的面积S=又因为 S=ah=a(bsin α)，所以 1 1ab=absin α，即 sinα= .所以 α=30°.2 2三、回顾 展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.3－15 所示，则 sin α 的值是()A.图 28.1－1534 3 4 B. C. D.43 5 5思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C12.如图 28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD ，若⊙O 的半径r3 2，AC=2，则 cosB 的值是()图 28.1－17A.3 2B.5 5 C.32D.2 3思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 13，则 BC=()A.45B.5C.1 1 D.5 45思路解析：根据定义 sinA= 答案：BBC AB，BC=AB·sinA.14.如图 28.3－16，CD 是 △R t ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cos ∠BCD=()图 28.1－16A.3 5B.3 4 4 C. D.43 5思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到 △R t ADC 中，由“同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.图 28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：PM OM PMP M OMOM , , 1 1 , 1OP OP OPOPOPOP11，锐角 α 16.计算：21－tan60°+( 5 －1)0+ | 3 | ；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2 － －tan60°+(5－1)0+| 3|=1 3－ 3 +1+ 3 = .2 217.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB=1 2，∠CAD=30°.图 28.1－191 1 1 1 1 － 1(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.由sinB=12可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD是△R t OAD的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=12，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线. (2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.在△R t OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=∴AD=53.AD OA.。
初三下册相似三角形练习题
初三下册相似三角形练习题相似三角形是初中数学中的重要概念，掌握相似三角形的性质和解题方法对于初三学生来说至关重要。
下面我们来通过一些练习题，巩固对相似三角形的理解和应用。
1. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE =3:4，BC:EF = 5:6，AC:DF = 7:8。
如果AC = 28，求DF的长度。
解析：由已知可以得到三条等比例的边长比，我们可以设AB = 3x，DE = 4x，BC = 5y，EF = 6y，AC = 7z，DF = 8z。
根据相似三角形的性质，可列出如下比例：3x / 4x = 5y / 6y = 7z / 8z化简得：3/4 = 5/6 = 7/8根据等比例的定义，我们可以得到：x = 4/3，y = 6/5，z = 8/7因此，DF = 8z = 8 * (8/7) = 64/7。
所以，DF的长度为64/7。
2. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE =2:3，BC:EF = 4:5，AC:DF = 6:7。
如果BC = 15，求EF的长度。
解析：同样设AB = 2x，DE = 3x，BC = 4y，EF = 5y，AC = 6z，DF = 7z。
根据相似三角形的性质，可列出如下比例：2x / 3x = 4y / 5y = 6z / 7z化简得：2/3 = 4/5 = 6/7根据等比例的定义，我们可以得到：x = 3/2，y = 5/4，z = 7/6因此，EF = 5y = 5 * (5/4) = 25/4。
所以，EF的长度为25/4。
3. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE = 3:2，BC:EF = 4:3，AC:DF = 5:6。
如果AC = 20，求DF的长度。
解析：同样设AB = 3x，DE = 2x，BC = 4y，EF = 3y，AC = 5z，DF = 6z。
根据相似三角形的性质，可列出如下比例：3x / 2x = 4y / 3y = 5z / 6z化简得：3/2 = 4/3 = 5/6根据等比例的定义，我们可以得到：x = 2/3，y = 3/4，z = 6/5因此，DF = 6z = 6 * (6/5) = 36/5。
初中数学九年级下册人教新课标 相似三角形的判定 同步练习(含答案)
相似三角形的判定同步练习（一）填空：1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。
3．若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。
4．已知：===, 则=______，=_________。
5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。
6．若=, 则 x=_______。
7．已知：ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。
8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。
9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。
10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。
11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。
12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。
13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。
14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。
15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。
（二）选择题：1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（）A、1∶3B、1∶9C、3∶1D、1∶22．如图，在ΔABC中=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（）。
单元测试(八)：相似、锐角三角函数-2019-2020学年九年级数学人教版下册
2019—2020学年度下学期九年级单元测试（八）《相似》《锐角三角函数》一、选择题（每小题3分共30分） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB，则AE AC＝( )A.13B.25C.23D.35 2．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）∶（x －y ）的值等于 （ ）A.91B.－9C.9D.－91 3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )A.43B.34C.35D.454．在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBC E 的面积相等，则DEBC 等于（ ） A.2 B.12 C.1 D. 145．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线与点H ，则图中相似三角形共有（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A.13 B ．2 2 C.223 D.24第7题图第5题图第6题图9.在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若EC ＝2BE ，则BFFD 的值是( )A.12B.13C.14D.1510. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( ) A ．20B ．22C ．24D ．26二、填空题（每小题3分共18分）11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝ ． 12．在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cosC ＝ ．13．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边AB 上，F ，G 分别在CD 和BC 的延长线上， 且EF 经过AD 的中点，若△EFG 是等边三角形，则ABAD的值为 . 14．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形， 底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝2，BC ＝1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI ＝ ．15．已知,如图,矩形AOBC ,以O 为坐标原点,OB 、OA 分别在x 轴,y 轴上,点A 坐标为（0,3）,∠OAB =60°以AB 为轴对折后,使C 点落在D 点处,则D 点坐标为 ．16．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF ＝60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE ＝CF ；②∠EAB ＝∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ；④若∠BAE ＝15°，则点F 到BC 的距离为23－2.其中正确的结论是____________（填上正确结论的序号）．第14题图第11题图第13题图 第15题图 第10题图第8题图 第16题图三．解答题（共72分）17．计算（8分，每题4分）(1) 2sin30°＋(π－3.14)0＋|1－2|＋(－1)2 019；(2) －12－|3－10|＋25sin45°－( 2 019－1)2.18．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点G ；分别以点G ，B 为圆心，大于12GB 的长为半径画弧，两弧交点K ，作射线CK ；②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ；分别以点M ，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E. 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题：(1)线段CD 与CE 的大小关系是 ；(2)过点D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于点F.若AC ＝12，BC ＝5，求tan ∠DBF 的值．19.（8分）如图，在▱ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G. (1)求证：BF ＝CF ；(2)若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．20．（8分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.21.（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，连接DE．（1）求证：△EOD∽△BOC；（2）若S△EOD=9，S△BOC=25，求AE∶AC及S△ADE∶S四边形BCDE的值．22．(10分) 如图1，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．【变式】点D，E分别变到CB，AC的延长线上．如图2，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE图1 图223．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．24．(12分) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝AFAD，当k为何值时，CF＝12AD?②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．8.《相似与解直角三角形》参考答案一、选择题1-10 BC D AC AB D B D 二、填空题11、1312、32或255 13、2 14、4315、(2,32-) 16、①② 三、计算题17、(1)解：原式＝1＋1＋(2－1)－1＝ 2.(2)解：原式＝－1－(10－3)＋25×22－(2 019－2 2 019＋1) ＝－1－10＋3＋10－2 019＋2 2 019－1 ＝－2 018＋2 2 019.18、(1) CD ＝CE(2) 解：∵BD 平分∠CBF ，BC ⊥CD ，BF ⊥DF ， ∴BC ＝BF ，∠CBD ＝∠FBD. 在△BCD 和△BFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCB ＝∠DFB ，∠CBD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∴△BCD ≌△BFD(AAS)． ∴CD ＝DF.设CD ＝DF ＝x ， 在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝13， ∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝BC AB ，即x 12＋x ＝513， 解得x ＝152.∵BC ＝BF ＝5， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝152×15＝32.19. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴△EBF ∽△EAD. ∴BF AD ＝EB EA ＝12.∴BF ＝12AD ＝12BC.∴BF ＝CF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴△FGC ∽△DGA. ∴FG DG ＝FC AD ，即FG 4＝12. 解得FG ＝2.20. 解：设E 关于O 的对称点为M ，由光的反射定律知，延长GC ，FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H. ∵GF ∥AC ， ∴△MAC ∽△MFG . ∴AC FG ＝MA MF ＝MO MH， 即AC BD ＝OE MH ＝OE MO ＋OH ＝OE OE ＋BF . ∴OE OE ＋1.6＝22.1.∴OE ＝32.答：楼的高度OE 为32米．21.（1）略（2）35AE AC ；9=16ADE BCDE S S 四形边22. 解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°， ∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△ABD ∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE ＝2. ∴AE ＝9－2＝7.【变式】 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∴∠ABD＝∠DCE＝120°.∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.23.24. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)．(2)①∵在Rt △AOC 中，OA ＝3，OC ＝3， ∴AC 2＝OA 2＋OC 2＝18.∵D(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)， ∴CD 2＝12＋12＝2，AD 2＝22＋42＝20. ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°. ∵CF ＝12AD ，∴F 为AD 的中点．∴AF AD ＝12，即k ＝12. ②连接BC ，在Rt △ACD 中，tan ∠DAC ＝DC AC ＝232＝13， 在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB OC ＝13， ∴∠DAC ＝∠OCB.∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∴∠FAO ＝∠ACB. 若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF ＝∠ABC 时，△AOF ∽△CBA ，∴OF ∥BC ， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，t ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，t ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3. ∴直线OF 的解析式为y ＝－3x. 设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，9数学（下）8—11 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝4，－3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝6.∴直线AD 的解析式为y ＝2x ＋6， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋6，y ＝－3x ，解得⎩⎨⎧x ＝－65，y ＝185.∴F(－65，185)； 当∠AOF ＝∠CAB ＝45°时，△AOF ∽△CAB. ∵∠CAB ＝45°，∴直线OF 的解析式为y ＝－x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∴F(－2，2)．综上所述，点F 的坐标为(－65，185)或(－2，2)．。
人教版数学九年级相似三角形练习题
一．填空题（共40小题）1．已知≠0，则的值为．2．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．3．已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=．4．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为．5．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．7．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D 作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．8．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为．9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．10．若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是．11．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．12．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B=°．13．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=．14．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE ：S四边形BCED=1：8，则AD=cm．15．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC 于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．17．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为．18．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）19．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）20．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM=时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．21．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有对．22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．25．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=．26．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为cm．27．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=．28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．29．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．30．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．31．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．32．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为．33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．34．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为m．35．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．36．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为m．37．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．38．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．39．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．40．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为．九年级相似练习题20171208参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．已知≠0，则的值为．【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得c=a，b=a．===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质．2．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．3．已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=4．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴==，即=，解得，AO=4，故答案为：4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为6．【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，∴=，∴EF=6，故答案为6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．5．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是10．【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，又∵=，∴=，∴=，∴BC=10cm．故答案为：10cm．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出图中的比例关系是解题的关键．6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．7．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D 作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，即=，∵AB=15，∴AE=10，∵DF∥CE，∴=，即=，解得：AF=，则EF=AE﹣AF=10﹣=，故答案为：【点评】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．8．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为．【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD=AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．【解答】解：∵AB∥CD，∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，∴OA=．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．【解答】解：∵DE∥AC，∴，即，解得：EC=．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键．10．若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是1：2．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：2，∴这两个相似三角形的周长比是1：2，故答案为：1：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．11．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为5：4．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．故答案为：5：4．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B=37°．【分析】根据相似三角形的对应角相等，可得答案．【解答】解：由△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，得∠B=∠ADE=37°，故答案为：37．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．13．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=15．【分析】根据△ADE∽△ACB，得到=，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴=，又=，DE=10，∴BC=15．故答案为：15．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．14．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S 四边形BCED=1：8，则AD=2或cm．【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．【解答】解：∵S△ADE ：S四边形BCED=1：8，∴S△ADE ：S△ABC=1：9，∴△ADE与△ABC相似比为：1：3，①若∠AED对应∠B时，则，∵AC=5cm，∴AD=cm；②当∠ADE对应∠B时，则，∵AB=6cm，∴AD=2cm；故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键．15．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x．【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．【解答】解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有3个．【分析】设AP为x，表示出PB=10﹣x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：设AP为x，∵AB=10，∴PB=10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，解得x=5，所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．17．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为3．【分析】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，∴PB=PA，又∵PA+PB=AB=5，∴PB=AB=3．故答案为：3【点评】考查相似三角形的判定及性质和轴对称等知识的综合应用．18．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC（答案不唯一），使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．19．如图，添加一个条件：∠ADE=∠ACB，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．20．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM=或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．【分析】根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．但此题中M、N 的点未定，也就是边的对应关系未定，所以需分情况讨论．【解答】解：∵正方形ABCD边长是2∴BE=CE=1，∠B=∠D=90°∴在Rt△ABE中，AE==第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即：1=2：DM，∴DM=；第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即：1=1：DM，∴DM=．所以DM=或．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．21．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有3对．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AB∥CD，得△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEC．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BC，AB∥CD，∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，∴△ABF∽△CEB．共3对．故答案为3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴=，解得：x=，则EH=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．【分析】首先根据=设AD=BC=a，则AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然后根据射影定理得到BC2=CE•CA，AB2=AE•AC从而求得CE=，AE=，得到=，利用△CEF∽△AEB，求得=（）2=．【解答】解：∵=，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC∴a2=CE•a，2a2=AE•a，∴CE=，AE=，∴=，∵△CEF∽△AEB，∴=（）2=，【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．24．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH 的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．26．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．27．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=5．【分析】首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，∠E=∠C，∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC．∴AB：AD=AE：AC，∵AB=4，AC=5，AD=4，∴4：4=AE：5，∴AE=5，故答案为：5．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC∽△ABE．28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为（2，4﹣2）．【分析】根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．29．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出==，进而求出答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴==，∵AB=8，BD=3，BF=4，∴=，解得：FC=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确得出比例式是解题关键．30．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=3．【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．31．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3﹣．【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得=，列式即可求得x．【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：x=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．32．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为 3.6．【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=3，AB=5，BC=6，∴，∴DE=3.6．故答案为：3.6．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键34．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为12 m．【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16，∴=，∴CD=12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．35．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．36．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m．【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．37．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 4.2米．【分析】方法1、在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．方法2、在同一时刻物高和影长成正比，先将落在墙上的影子作为物体，求出它在地面的影子，即可求出大树的影子全落在地面上的长，即可得出结论．【解答】解：方法1、如图，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则有，解得x=3．∴树高是3+1.2=4.2（米），故答案为4.2．方法2、将落在墙上的影子看作物体，此时它的影子设为a米，根据题意得，，∴a=0.96，所以大树的影子全部落在地面上的影子长为2.4+0.96=3.36米，设树的高度为y米，根据题意得，，∴y=4.2米故答案为：4.2．【点评】本题实际是一个直角梯形的问题，可以通过作垂线分解成直角三角形与矩形的问题．38．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．39．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是48mm．【分析】利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．【解答】解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴．设ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故答案为：48．。
中考数学复习 第20课时 相似三角形测试-人教版初中九年级全册数学试题
第四单元 三角形第二十课时 相似三角形基础达标训练1. (2017某某A 卷)若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高的比为( )A. 3∶2B. 3∶5C. 9∶4D. 4∶92. (2017某某)如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )第2题图A. BC DF ＝12B. ∠A的度数∠D的度数＝12C. △ABC的面积△DEF的面积＝12D. △ABC的周长△DEF的周长＝123. (2017枣庄)如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝5，将△A B C 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )4. (2017某某)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC . 若BD ＝2AD ，则( )第4题图A. AD AB ＝12B. AE EC ＝12C. AD EC ＝12D. DE BC ＝125. (2017某某州)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A. 6B. 8C. 10D. 12第5题图第6题图6. 如图，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 与△ABC 的面积之比为( )A. 1∶3B. 2∶3C. 3∶2D. 3∶37.(2017眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )第7题图 第8题图8. (2017某某)已知AB ∥C D ，AD 与BC 相交于点O .若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝________． 9. (2017某某模拟)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为________．第9题图10. (2017随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC 上，当AE＝________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．第11题图11. (2017潍坊)如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__________．可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)12. (2017某某省卷)如图，一X三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于________cm.第12题图第13题图13. (2017某某)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________． 14. (8分)(2017某某)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．第14题图15. (8分)如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm .(1)求证：△AEH ∽△ABC ；(2)求这个正方形的边长与面积．第15题图16. (8分)(2017某某中考模拟卷四)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且CE ＝13AC ，BF ＝13BC . (1)求证：∠EDF ＝90°；(2)若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长．第16题图能力提升训练1. (2017某某)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A. 18B. 1095C. 965D. 253第1题图第2题图2. (2017东营)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.其中正确的是( )A. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①③④3. (9分)(2017某某)如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD于E，AC于F.(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.第3题图4. (9分)(2017某某)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.(2)如图②，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．第4题图答案1. A2. D3. C4. B5. C【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴四边形DEFB为平行四边形，∴DB＝EF，DE＝BF，又∵ADDB ＝53，∴EFAB＝38，又∵EF∥AB，∴CFBC＝EF AB ，即66＋BF ＝38，∴BF ＝10，∴DE ＝BF ＝10. 6. A 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠A ＝60°，∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠CED ＝∠BDF ＝90°，∴∠BFD ＝∠CDE ＝∠AEF ＝30°，∴∠DFE ＝∠FED＝∠EDF ＝60°，BD BF ＝12，∴△DEF 是等边三角形，∴BD ∶DF ＝1∶3①，BD ∶AB ＝1∶3②，△DEF ∽△ABC ，①÷②＝AB DF ＝3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∴△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于1∶3.7. B 【解析】设井深x 尺，则AD ＝(x ＋5)尺，∵BC ∥DE ，∴0.45＝5x ＋5，解得x ，经检验x ，∴井深为57.5尺．8. 4 【解析】∵AB ∥CD ，∴OA OD ＝OB OC ＝23，∴OA ＝25AD ，∵AD ＝10，∴OA ＝25×10＝4. 9. 40 m 【解析】∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠D ，又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE ，∴AB CD ＝BE CE ，解得AB ＝CD ·BE CE ＝20×2010＝40 m . 10. 53或125 【解析】根据题意，分两种情况：如解图①，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AB ＝AE AC时，△ADE ∽△ABC ，∴26＝AE 5，解得AE ＝53；如解图②，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AC ＝AE AB时，△ADE ∽△ACB ，∴25＝AE 6，解得AE ＝125.11. DF ∥AC 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB，∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB 相似，原问题转化为，使△DFB 相似△ACB ，则DF ∥AC 即可．12. 154【解析】如解图，折痕为MN ，在R t △ABC 中，AB ＝62＋82＝10，由折叠性质得：AM ＝BM ＝5，∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠C ＝90°，∴△AMN ∽△ACB ，∴AM AC ＝MN CB ，∴MN ＝AM ·CB AC＝5×68＝154.第12题解图13. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴DM ＝12AB ＝3，∵ME ＝13DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是三角形的中位线，∴BC ＝8.14. (1)证明：∵在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，在△AEF 和△ACG 中，∵∠AFE ＝∠AGC ，∠EAF ＝∠GAC ，∴△AEF ∽△ACG ，∴∠AEF ＝∠C ，在△ADE 和△ABC 中，∵∠AED ＝∠C ，∠EAD ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC ；(2)解：由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝35， 又∵△AEF ∽△ACG ，∴AF AG ＝AE AC ＝35. 15. (1)证明：∵四边形EHGF 为正方形，∴EH ∥BC ， ∴∠AHE ＝∠ACB ，在△AEH 和△ABC 中， ∠AHE ＝∠ACB ，∠EAH ＝∠BAC ， ∴△AEH ∽△ABC ；(2)解：设正方形边长为x cm ，如解图，设AD 与EH 交于P 点，则AP ＝AD －PD ＝(30－x ) cm ， 由(1)得△AEH ∽△ABC ，第15题解图∴AP AD ＝EHBC， 即30－x 30＝x 40，解得x ＝1207， ∴正方形面积为(1207)2＝1440049cm 2， 故正方形的边长为1207cm ，面积为1440049cm 2.16. (1)证明：∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△C D B ，∴AC CD ＝BC BD ，即AC BC ＝CD BD ，∴EC BF ＝CD BD， 又∵∠ACD ＝∠CBD ，∴△EDC ∽△FDB ，∴∠EDC ＝∠FDB ，∵∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝∠FDB ＋∠CDF ＝∠CDB ＝90°，∴∠EDF ＝90°；(2)解：∵BC ＝6，AB ＝43，∴AC ＝23，CE ＝233，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝33， 由(1)得，△EDC ∽△FDB ，∴ED DF ＝CD BD ＝33， 又∵∠EDF ＝90°，EF ＝CE 2＋CF 2＝2393， ∴DE ＝393.能力提升训练1. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，AD ＝AB ＝12，AD ∥BC ，∵AB ＝12，BM ＝5，由勾股定理得AM ＝13，∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠AMB ，∵∠AME ＝∠B ＝90°，∴△EAM ∽△AMB ，∴AE AM ＝AM BM ，即DE ＋1213＝135，解得DE ＝1095. 2. C 【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝60°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBA ＝∠A ＝90°，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中可得BE ＝2AE ，①正确；∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝∠BPC ＝∠PCB ＝60°，BC ＝CP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝45°，∴∠HBP ＝∠CBP －∠CBD ＝15°，∵AD ∥BC ，∴∠DFP ＝∠BCP ＝60°＝∠BPH .∵CD ＝BC ，∴CD ＝CP ，∵∠PCD ＝∠BCD －∠BCP ＝30°，∴∠CDP ＝12(180°－∠DCP )＝75°，∴∠FDP ＝15°＝∠PBH ，∴△FDP ∽△PBH ，故②正确；∵∠PDB ＝∠BDF －∠FDP ＝45°－15°＝30°≠∠DFP ，∴△PDF 与△PDB 不相似，故③错误；∵∠PDH ＝30°＝∠DCP ，∠CPD ＝∠DPH ，∴△CPD ∽△DPH ，∴CP DP ＝DP PH ，即DP 2＝CP ·PH ，故④正确． 3. (1)证明：∵BF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠BED ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BD BE ＝BE ， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL )；(2)证明：①如解图，取BD 的中点H ，连接GH ，第3题解图∵G 是BA 的中点，∴AD ∥GH ，即MD ∥GH ，∴GM MC ＝HDDC， ∵BD ＝2HD ，BD ＝4DC ，∴HD ＝2DC ，∴GM ＝2MC ；②如解图，过点C 作CK ⊥AC 交AD 的延长线于点K ，∴∠ACK ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ACK ＋∠BAC ＝180°，∴AB ∥CK ，∴△AGM ∽△KCM ，∴AG KC ＝GM CM＝2， ∴CK ＝12AG ， 又∵AB ＝2AG ，∴AB ·CK ＝2AG ·12AG ＝AG 2， ∵AB ∥CK ，∴∠KAB ＝∠AKC ，∵∠ABF ＋∠KAB ＝90°，∠AKC ＋∠CAK ＝90°， ∴∠ABF ＝∠CAK ，∴△ABF ∽△CAK ，∴AF CK ＝AB AC， ∴AF ·AC ＝AB ·CK ，∴AG 2＝AF ·AC . 4. (1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.又∵∠AGB ＝90°，∴∠BAE ＋∠A B G ＝90°，∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△ABE ≌△BCF (ASA )，∴BE ＝CF ；②证明：∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点， ∴MG ＝MA ＝MB ，∴∠GAM ＝∠AGM ，又∵∠CGE ＝∠AGM ，∴∠CGE ＝∠ECG ＝∠GCB ，∴△CGE ∽△CBG ，∴CE CG ＝CGCB ，即CG 2＝BC ·CE ， 由∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF ，得CF ＝CG ， 由①知，BE ＝CF ，∴BE ＝CG ，∴BE 2＝BC ·CE ；第4题解图(2)解：如解图，延长AE ，DC 交于点N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠N ＝∠EAB ，又∠CEN ＝∠BEA ，∴△CEN ∽△BEA ，故CE BE ＝BA ，即BE ·＝AB ·CE ， ∵AB ＝BC ，BE 2＝BC ·CE ， ∴＝BE ，由AB ∥DN 知，AM ＝CG GM ＝CF MB ，又AM ＝MB ，∴FC ＝＝BE ，假设正方形边长为1，设B E ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ， 得x 2＝1·(1－x )，解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，∴BE BC ＝5－12，∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12.。
九年级下册数学同步练习题库：相似三角形(填空题：较易)
相似三角形（填空题：较易）1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②=2；③sin∠CAD=；④AB=BF．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．2、已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为____.3、如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，可添加一个条件________4、已知女排赛场标准球网的高度是2.24米，在2016年奥运会女排比赛中，某队球员在一次扣球时，球恰好擦网而过（击球擦网落地过程为直线），落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，则该运动员击球的高度是米．5、如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1．4米，BP=2．1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是________米．6、如图，在□ABCD中，直线DE交AD点F、交CD延长线于点E，若AF=8，BC=12，CD=6，(1).求DE的长，(2).若△DEF的面积为,写出□ABCD的面积(用含有式子表示)。
7、如图，是□边的中点，对角线与交于点，若△的面积为2，则□的面积为______.8、如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是____________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．9、如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米．如果小明的身高为1．6米，那么路灯高地面的高度AB是米．10、如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当MD＝____________时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．11、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.12、两个相似三角形的一对对应边分别为20cm，8cm，它们的周长相差60cm，则这两个三角形的周长为________、_______.13、如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形____________(用相似符号连接)．14、如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是__．15、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为4∶9，则AB∶DE=______．16、两个相似三角形的面积比为1:9，那么它们的对应中线的比为______17、如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是___________.（只要写一个条件）18、若两个相似三角形的面积比为1：9，则这两个相似三角形的周长比是_____．19、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为_____m．20、若△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．21、如图，EF为△ABC的中位线，△ABC的周长为6cm，则△AEF的周长为______cm．22、已知，相似比为3：1，且的周长为18，则的周长为_____________．23、如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．24、如图，直线A l A∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是________．25、如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________米.26、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．27、如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为_____________．28、已知两个相似三角形对应高的比为3:10，且这两个三角形的周长之差为56cm，则较小的三角形的周长为______cm．29、若两个等边三角形的边长分别为与3 ，则它们的面积之比为_________.30、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= ．31、若△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．32、如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）33、如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，…. 若和的面积分别为1、9，则的面积是_________．34、△ABC∽△A’B’C’，且相似比是3：4，△ABC的周长是27 cm，则△A’B’C’的周长为___________cm．35、将一副三角板按图叠放，∠A=45°，∠D=60°，∠ABC=∠DCB=90°，则△AOB与△DOC的面积之比为__________36、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE：FG：BC= ．37、如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C （4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为38、如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC=12，则GE= ．39、将一副三角板按图叠放，∠A=45°，∠D=60°，∠ABC=∠DCB=90°，则△AOB与△DOC的面积之比为__________40、如图，直角三角形中，，，，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为H；的中点的对应点记为G. 若∽，则=__________.41、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为 cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．42、如果△ABC∽△DEF，且对应高之比为2：3，那么△ABC和△DEF的面积之比是．43、两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的对应中心线的比为．44、如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为 cm2．45、如图，、分别为△的边、上的点，当时（填一个条件），△与△相似；46、已知△ABC与△DEF相似且对应中线之比为3：4，则△ABC与△DEF的周长之比为．47、如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为．48、若两个相似三角形的相似比是，则它们的面积比是 .49、若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为．50、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC= ．51、如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF：S△ABC 的值为．52、如图，已知△ABC∽△ACD，且相似比是2，已知AB=8，则AD= ．53、在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为12m，则旗杆的高度为 m．54、在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度是 m．55、（2015秋•娄星区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，则CE的长为．56、（2015秋•吉安期中）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且AD、BC为线段．若线段AB=4cm，则线段CD= cm．57、（2015秋•丹江口市期末）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= ．58、（2013•黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是．59、（2015秋•淮北期末）如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB 与△ADC相似．60、（2015秋•惠山区期末）若△ABC∽△ACD，AB=1，AD=4，则AC= ．61、（2010•内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m．62、如图△ABC中，BE平分∠ABC， DE∥BC ，若DE＝2AD， AE＝2，那么EC＝_____________．63、若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．64、（2015•抚顺县四模）如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为．65、如图，x= ．66、若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了 m．67、在太阳光下，如果一古塔在地面上留下的影长为50米，同时高1．5米的测竿的影长为2．5米，则古塔的高为米．68、（2013春•邗江区期末）已知，如图△ABC∽△AED，AD=5cm，EC=3cm，AC=13cm，则AB= cm．69、若，且与的相似比为2：3，则与的周长之比为．70、已知，如图所示，在△中，为上一点，在下列四个条件中：①；②；③·；④··．其中，能满足△和△相似的条件是．（填序号）参考答案1、①②④2、103、∠C=∠ABD4、3.085、86、(1)DE=3;(2).7、128、∠B＝∠DEC(答案不唯一)9、5．610、或11、∠ADE＝∠C(答案不唯一)12、 100cm 40cm13、答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等14、2：315、2:316、1:317、∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或等．（此题答案不唯一）18、1:319、10.520、21、622、623、6．24、925、26、427、28、24cm29、1:930、6．31、32、∠C=∠BAD33、34、3635、36、1：：．37、(1)、答案见解析；(2)、；(3)、(2，6)38、439、40、3.241、（1）；（2）.(3) 当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．42、4：943、1：244、945、∠ADE=∠C46、3：447、81°8′．48、1:449、1：450、16：8151、252、253、9.654、1255、56、657、4：9．58、1659、4．60、261、762、4．63、4：964、21．65、3．66、6．67、30．68、2669、2:370、①②③【解析】1、试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，∴△CEF∽△ADC，故①正确；∵AD∥BC，∴△CEF∽△ADF，∴，∵CE=BC=AD，∴=2，∴AF=2CE，故②正确，设CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=a，AD= a∴sinCAD=，故③错误．连接AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，∴A、B、E、F四点共圆，∴∠AFB=∠AEB，∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，∴△ABE≌△CDE，∴∠AEB=∠CED，∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，∴∠BAF=∠CED，∴∠BAF=∠BFA，∴BA=BF，故④正确．故答案为①②④．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.解直角三角形．2、试题分析：三角形周长的比等于相似比.试题解析：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：5，△ABC的周长为6，∴6：△DEF的周长=3：5，∴△DEF的周长=10．3、试题分析：当两个角对应相等时，则两个三角形相似，即可添加∠C=∠ABD.考点：三角形相似4、试题分析：根据题意可得：，解得：x=3.08考点：相似三角形的应用5、试题分析：根据题意可得△ABP∽△CDP，∴．∴，解得CD=8（米）．考点：相似三角形的判定与性质．6、(1)AB,,AF=8，BC=12，CD=6,=，DE=3.(2)由（1）相似比是2:1，△DEF="S," ,AB,,.,.7、如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G.∵点E是边AD的中点，又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，∴，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴.∵BG⊥AC，∴△ABF的面积为，△ABC的面积为，∴△ABF与△ABC的面积之比为.∵∴AC=AF+CF=AF+2AF=3AF，∴△ABF与△ABC的面积之比为，即△ABC的面积是△ABF的面积的3倍，∵△ABF的面积为2，∴△ABC的面积为，∵△ABC的面积是平行四边形ABCD面积的一半，∴平行四边形ABCD面积为.故本题应填写：12.8、试题解析：答案不唯一，如可添加故答案为：点睛：两角分别相等的两个三角形相似.9、试题分析：根据AB∥CD，可得△ECD∽△EBA，由相似三角形的性质可得，而CD=1．6，AD=5，DE=2，因此代入可求AE=AD+DE=7，代入比例式可得，解得AB=5．6米．考点：相似三角形的判定与性质10、试题解析：∵四边形是正方形，又∵与以为顶点的三角形相似，∴①与是对应边时，解得②与是对应边时,解得∴为或时，与以为顶点的三角形相似，故答案为：或11、本题考查相似三角形的判定条件,在△ABC和△AED中,已知∠BAC＝∠EAD,可添加∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B利用两角对应相等可判定△ABC和△AED相似,也可以添加,利用两边对应成比例且夹角相等判定△ABC和△AED相似.12、试题解析：两个相似三角形的一对对应边分别为它们的相似比是它们的周长比也是设它们的周长分别是则：解得：这两个三角形的周长分别是：故答案为：13、(1)在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90∘∴△BDE∽△CDF(2)在△ABF和△ACE中∵∠A=∠A,∠AFB=∠AEC=90∘∴△ABF∽△ACE【点睛】要找相似三角形，就要用到相似三角形的判定方法：由高线可得一对直角相等，再找一对相等角就可以了．14、试题解析：∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴两个相似三角形相似比是2：315、试题分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，求出相似比，即可求出对应边之比．解：△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积的比为4:9，∴△ABC和△DEF的相似比为2:3，∴AB:DE=2:3，故答案为：2:3.16、∵两个相似三角形的面积比为1:9，∴两个相似三角形的面积比为1:3，∴它们的对应中线的比1:3，故答案为：1:3.17、试题分析：由∠A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或等．试题解析：∵∠A是公共角，∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或等．考点：相似三角形的判定．18、根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解．解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，得它们的相似比为1：3，又由周长的比等于相似比，∴它们的周长比为1：3．“点睛”本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．19、先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故答案为10.5．20、试题分析：根据题意，由△ADE∽△ACB，且，可得△ADE与△ACB的面积比为：，进而可知△ADE与四边形BCED的面积比为：，再由四边形BCED的面积是2，求得△ADE的面积是．考点：相似三角形的性质21、易得新三角形与原三角形相似，相似比为1：2，那么周长比为1：2，即可求得新三角形的周长．解：∵DE是△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，相似比为，∴△ADE的周长是△ABC的周长的一半即×12=6cm．“点睛”根据中位线的性质及相似三角形周长的比等于相似比．22、的周长为18÷3=6,相似三角形周长的比等于相似比.23、试题分析：根据中位线的性质可得：DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.点睛：本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.一般相似三角形的判定定理：(1)、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为两角对应相等两三角形相似)；(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)； (3)、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例,两个三角形相似).24、根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．解：∵A l A∥BB1∥CC1，∴=，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3．∴A1C1= A1B1+ B1C1=6+3=9．“点睛”考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．25、作辅助线，连接AE和BD，根据题意知：=，可将窗口底边离地面的高BC求出.，可将窗口底边离地面的高BC求出．解：∵光是沿直线传播的，∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，∴，即，解得：BC=．故答案为：．“点睛”本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．26、根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，所以，，，所以，＝1，又，所以，4．“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.27、试题分析：根据题意可知AB=2，BP=1，根据勾股定理可知AP=，根据图像可得：△ABP和△CEP相似，则，即，解得：CE=.点睛：本题主要考查的就是圆的基本性质以及三角形相似的应用.解决本题的关键就是能够根据题意得出三角形相似，然后根据相似的性质求出未知线段的值.在解答圆中的相似问题时，我们一定要学会根据弧和角之间的关系得出角相等，然后再利用相似进行计算.在圆里面的很多题目我们需要通过转化成直角三角形来进行求解.28、试题分析：本题主要考查的就是相似三角形的性质，相似三角形的高之比，周长之比都等于相似比，根据题意可得：设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为(x+56)cm，根据相似比可得：x：(x+56)=3:10，解得：x=24cm，即小三角形的周长为24cm.29、试题解析：∵两个等边三角形的边长分别为a与3a，∴两个等边三角形为相似三角形，∴面积比等于边长的平方的比即为1：9．30、试题分析：根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC．∴=，即=解得：BC=6．故答案为：6．【考点】相似三角形的判定与性质．31、试题分析：根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ADE与△ACB的面积比为：，因此可得△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，可求得△ADE的面积是．考点：相似三角形的性质32、试题分析：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．考点：相似三角形的判定．33、根据面积比等于相似比的平方，从而可推出相邻两个三角形的相似比为1：3，面积比为1：9，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个三角形的面积，再根据规律即可解决问题. 解：∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，∴∠B1B2A2=∠B2B3A3，∠A2B1B2=∠A3B2B3，∴△A2B1B2∽△A3B2B3，∴====，∵A3B2∥A2B1，∴△OA2B1∽△OA3B2，∴===，∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，∴△A1007B1007A1008`的面积为×32（n-1）=32n-3=32011，故答案为32011.“点睛”此题考查了相似三角形的判定与性质即平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律.34、试题分析：相似三角形的周长之比等于相似比，则△A’B’C’的周长=27×=36cm.考点：相似三角形的应用35、试题分析：根据题意可得：△AOB∽△COD，则根据三角形的面积之比等于相似比的平方可得面积比为.考点：三角形相似的应用36、试题分析：由平行线可得△ADE∽△AFG∽△ABC，进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比，即可得出结论．∵S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴=， =，由于相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴DE：FG：BC=1：：．故答案为：1：：．考点：相似三角形的判定与性质．37、试题分析：(1)、根据相似三角形的性质画出相似图形；(2)、根据等面积法求出AC的高；(3)、根据外接圆圆心的画法得出圆心的坐标.试题解析：(1)、如图(2)、高(3)、（2,6）；考点：相似三角形38、试题分析：首先根据G点为△ABC的重心，判断出AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判断出，即可求出GE =CD==4．考点：三角形的重心39、试题分析：根据题意可得：△AOB∽△COD，则根据三角形的面积之比等于相似比的平方可得面积比为.考点：三角形相似的应用40、试题分析：利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1=10-3x，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=，然后利用勾股定理列式求出E1F=，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=，从而可得AD的长为2×==3.2．考点：1、相似三角形，2、勾股定理41、试题分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；（2）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（3）根据“S=S△ABC-S△BPH”列出S与t的关系式S=（t-）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．试题解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BPH∽△BAC，∴∴，解得：PH=（cm），（2）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，，即，解得t=；②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，∵由（1）知：PH=，∴S=S△ABC-S△BPN，=×3×4-×（3-t）t，=（t-）2+（0＜t＜2.5）．∵＞0，∴S有最小值．当t=时，S最小值=．答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．考点：相似形综合题.42、试题解析：∵△ABC∽△DEF，对应高之比为2：3，∴△ABC和△DEF的相似比为2：3，∴△ABC和△DEF的面积之比是4：9，考点：相似三角形的性质．43、试题分析：直接根据相似三角形的性质即可得出结论．解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的对应中心线的比为1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．44、试题分析：∵两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为9cm2，故答案为9．考点：相似三角形的性质．45、试题分析：要判定△与△相似，已知∠DAE=∠CAB,还要得到一组对应角相等才行，可以是∠ADE=∠C；考点：相似三角形的判定方法；46、试题解析：∵△ABC与△DEF相似且对应中线之比为3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，∴△ABC与△DEF的周长之比为：3：4．考点：相似三角形的性质.47、试题分析：首先根据平行线的性质可得∠D=∠B=50°56′，再根据三角形外角的性质可得∠BOC=30.2°+50°56′=81°8′．解：∵AB∥CD，∴∠D=∠B=50°56′，∵∠C=30.2°，∴∠BOC=30.2°+50°56′=81°8′．故答案为：81°8′．考点：三角形的外角性质；度分秒的换算；平行线的性质．48、试题分析：因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以两个相似三角形的相似比是，则它们的面积比是1:4.考点：相似三角形的性质.49、试题分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故答案为：1：4．考点：相似三角形的性质．50、试题分析：由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（）2=，故答案为：16：81．考点：相似三角形的判定与性质．51、试题分析：如图，设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE2=22+22，EF2=22+42，∴DE=2，EF=2；同理可求：AC=，BC=，∵DF=2，AB=2，∴=，∴△EDF∽△BAC，∴S△DEF：S△ABC=DF2：AC2=2，故答案为2．考点：相似三角形的判定与性质．52、试题分析：由△ABC∽△ACD，且相似比是2，根据相似三角形的对应边成比例，可得AB：AC=AC：AD=2，又由AB=8，即可求得AC的长，进而得到AD的长．解：∵△ABC∽△ACD，且相似比是2，∴AB：AC=AC：AD=2，∵AB=8，∴8：AC=AC：AD=2，∴AC=4，AD=2．故答案为：2．考点：相似三角形的性质．53、试题分析：利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．设旗杆的高度为xm．根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，解得：x=9.6．故答案为：9.6．考点：相似三角形的应用．54、试题分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解：设旗杆高度为xm，由题意得，=，解得：x=12．故答案为：12．考点：相似三角形的应用．55、试题分析：由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=3，BC∥AD，∵E为BC上一点，∴CE∥AD，∠FEC=∠FAD，∠FCE=∠D，∴△FCE∽△FDA，∴==，又∵CD=3，CF=1，AD=4，∴CE=，故答案为：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．56、试题分析：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，根据平行线分线段成比例可得=，代入计算即可解答．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴=，即=，∴CD=6cm．故答案为：6．考点：平行线分线段成比例．57、试题分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC：S△DEF=（）2=．故答案为：4：9．考点：相似三角形的性质．58、试题分析：根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可．解：两个相似三角形周长的比为2：3，则相似比是2：3，因而面积的比是4：9，设小三角形的面积是4a，则大三角形的面积是9a，则9a=36，解得a=4，因而较小的三角形的面积是16．故答案为：16．考点：相似三角形的性质．59、试题分析：由已知条件和勾股定理得出△ADC是等腰直角三角形，AC==2，△ACB 是等腰直角三角形，BC=AC=2，再由勾股定理求出AB即可．解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，∵△ACB与△ADC相似，∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，∴AB==4，即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；故答案为：4．考点：相似三角形的判定．60、试题分析：由△ABC∽△ACD，根据相似三角形的对应边成比例，可得AB：AC=AC：AD，结合已知条件即可求得AC的长．解：∵△ABC∽△ACD，∴AB：AC=AC：AD，∵AB=1，AD=4，∴1：AC=AC：4，∴AC=2．故答案为2．考点：相似三角形的性质．61、试题分析：此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故答案为：7．考点：相似三角形的应用．62、试题分析：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE，∵DE=2AD，∴BD=2AD，∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，∴EC=2AE=2×2=4．故答案为4．考点：①平行线分线段成比例定理；②等腰三角形的判定与性质．63、试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．考点：相似三角形的性质．64、试题分析：由DE∥BC可以得出△ADE∽△ACB，可以得出，由可以得出，进而可以求出△ABC的面积．从而得出四边形DEBC的面积．解：∵，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴．∵△AED的面积是4m2，∴，∴S△ACB=25，∴四边形DEBC的面积为：25﹣4=21．故答案为：21．考点：相似三角形的判定与性质．65、试题解析：如图所示：两三角形中有两对应角相等，故两三角形相似，∴，解得：x=3．考点：相似三角形的判定与性质．66、试题解析：如图：由题意得，BC：AC=3：4．∴BC：AB=3：5．∵AB=10，∴BC=6．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．67、试题解析：设这棵树的高度是xm，∵，即，。
2020—2021年人教版初中数学九年级下册相似三角形的性质单元同步测试题(精品试题).docx
相似三角形的性质 练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ；2.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且43=''B A AB ，△ABC 的周长为12cm ，则△A ′B ′C ′的周长为 ； 3.如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BCDE= ；S △GED ：S △GBC = ； 4.如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ；5.如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ，NCBN= ； 6.如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 7.两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ；8.如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ；9.两个三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的比为 ，对应边的高的比为 ；10.已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个边长分别为x 、y 、12，则x 、y 的值分别为 ； 二、选择题11.下列多边形一定相似的为（ ）A 、两个矩形B 、两个菱形C 、两个正方形D 、两个平行四边形12.在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则最长边是（ ）A 、18cmB 、21cmC 、24cmD 、19.5cm 13.如图，在△ABC 中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OBC 、AD ·AC=AE ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO14.已知，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BC=5，CD=3，则AD 的长为（ ） A 、2.25 B 、2.5 C 、2.75 D 、3A BCD E G 图1AB CD E图2AB C M N图3ABCDE图4A BCD F图5G E A E BC DOQ15.如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA ：PQ 等于（ ） A 、1：3 B 、1：2 C 、1：3 D 、2：316.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点， AD BD =CEAE=3，且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9 三、解答题17.如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2=AD ·BE 。
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中考简答题第20题相似三角形与锐角三角函数
类型一与相似三角形有关的几何测量
1.如图,小明想利用所学的几何知识测量学校操场上旗杆AB的高度,他的测量方案如下:他在测量过程中两次利用镜子,第一次把镜子放在C点,小明在F点正好在镜子中看见旗杆顶端A，第二次把镜子放在D点,小明在H点正好在镜子中看到旗杆顶端A.已知图中的所有点均在同一平面内AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，小明的眼晴到地面的距离EF=GH=1.68米，测得CD=10米，CF=
2.4米，DH=
3.6
米,请你利用这些数据求出旗杆AB的高度。
2.小明想用镜子测量一颗松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次把镜子放在C点，人在F 点时，正好在镜子中看到树尖A，第二次把镜子放在D点，人在H点时，正好看到树尖A，已知小明的眼睛距离地面1.6m，量的CD=12m，CF=1.8m，DH=
3.8m，请你求出松树的高。
3.春节期间的一天晚上,小玲和小明去看灯展.如图,当小明站在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处,小林的身高为EF,小玲发现了奇怪的一幕:小明在灯A的照射下,影子恰好落在灯杆CD的底部D点处,小明在灯C的照射下,影子恰好落在灯杆AB的底部B点处.已知图中所有点都在同一平面内，AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=2m，CD=6m，
求小明的身高EF。
4.大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼卫代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范，（如图①），小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究发现需要两次测量:如图②,首先,在阳光下,小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD,此时,小花测得标杆CD的影长CE=2米;然后,小风从C点沿BC方向走了
5.4米,到达G处,在G处竖立标杆FG,接着沿BG后退到点M处时,恰好看见紫云楼顶端A和标杆顶端F在一条直线上,此时,小花测得GM=0.6米.已知小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米,标杆CD=FG=2米AB⊥BM，CD ⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM,请你根据题中提供的相关信息,求出紫云楼的高AB。
5.在一个阳光明媚的上午,陈老师组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON=30°),站立在水平地面上身高为1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米,此刻大树CD在斜坡OM上的影长DQ为5米,求大树CD的高度.(结果保留根号)
类型二与锐角三角函数有关的几何测量
1.大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计的.在一次课外活动中甲、乙两位同学想测量玄奘铜像的高度.如图,他们分别在A、B两处用高度为1.8m的测角仪测得铜像顶部C的仰角分别为30°、60°,两人间的水平距离AB为10m,求玄奘铜像的高度CF.(结果保留根号)
2.为建设美丽宜居的公园城市,某市近年来先后打造了怡水公园、得趣公园等一系列生态公园.如图,某游客在点O处测得怡水公园A位于他的南偏东30°方向,测得得趣公园B位于他的南偏东16°方向,且怡水公园A位于得趣公园B的正北方向.若OB=26千米,求游客从O点出发,沿OA方向去怡水公园A的距离OA.(结果精确到0.1米参考数据:sin16°≈0.28，co s16°≈0.96，tan16°≈0.29)
3.如图,一幢楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB,某数学兴趣小组在一次活动中,准备测量该楼的高度,但被建筑物FGHM挡住,不能直接到达楼的底部,他们在点D处测得条幅顶端A的仰角为45°,向后退8米到E点,测得条幅底端B的仰角30°(点C、D、E在同一直线上,EC⊥AC).请你根据以上数据,帮助该兴趣小组计算楼高AC.(结果精确到0.01米,参考数据:2≈1.414，3≈1.732)
4.如图是某种品牌的篮球架示意图,已知底座BC=0.6米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF=2.5米,篮板顶端F到篮筐D的距离FD=1.4米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮筐D到地面的距离.(结果精确到0.1米.参考数据:sin75°≈0.97,cs75°≈0.26.an753.733≈1.73)。