7.2(2012) 正态分布总体参数的假设检验
正态分布假设检验
正态分布假设检验一、概述正态分布假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个数据集是否符合正态分布。
正态分布是指在统计学中，当数据集的频率分布呈钟形曲线时，称其为正态分布。
正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象都遵循这种分布规律。
对于一个数据集而言，如果它符合正态分布，则可以使用一系列的统计方法进行进一步的研究和分析。
二、检验方法1. 假设检验假设检验是指通过样本数据来推断总体参数的方法。
在正态分布假设检验中，我们需要对总体均值和标准差进行假设检验。
具体而言，我们需要提出原假设和备择假设两个假设：原假设：样本数据符合正态分布；备择假设：样本数据不符合正态分布。
在进行实际计算时，我们需要根据样本数据来计算出样本均值和标准差，并使用这些数据来推断总体均值和标准差是否符合正态分布。
2. 正态概率图正态概率图是判断一个数据集是否符合正态分布的常用方法之一。
它通过将数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。
具体而言，正态概率图将数据集的每个值按照从小到大的顺序排列，并计算出每个值对应的标准化值（即该值与样本均值之间的差除以样本标准差）。
然后，将这些标准化值按照从小到大的顺序排列，并绘制在图表上。
如果数据集符合正态分布，则这些标准化值应当近似于一个直线。
3. 偏度和峰度检验偏度和峰度是用来描述一个数据集形态特征的指标。
在正态分布中，偏度为0，峰度为3。
因此，在进行正态分布假设检验时，我们可以通过计算样本偏度和峰度来判断样本是否符合正态分布。
具体而言，如果样本偏度和峰度与正态分布相差不大，则可以认为样本符合正态分布。
三、实例演示以下是一个实例演示，在Python中使用scipy库进行正态分布假设检验：```pythonimport numpy as npfrom scipy import stats# 生成100个随机数data = np.random.normal(0, 1, 100)# 进行正态性检验k2, p = stats.normaltest(data)alpha = 0.05# 输出检验结果print("p = {}".format(p))if p < alpha:print("数据不符合正态分布")else:print("数据符合正态分布")```在上述代码中，我们首先生成了一个包含100个随机数的数据集。
7-2 正态总体均值与方差的假设检验
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,
2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解
正态分布的参数估计及假设检验教学指导书
正态分布的参数估计及假设检验一、实验目的掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令。
二、实验内容及要求1、掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令；2、熟练掌握单个正态总体期望和方差的区间估计；3、熟练掌握两个正态总体期望差和方差比的区间估计的命令；4、熟练掌握对单个正态总体均值、方差的假设检验；5、掌握对两个正态总体均值、方差有关的假设检验；6、对统计结果能进行正确的分析。
三、实验的重点和难点实验的重点和难点是要求学生掌握基本的MATLAB 软件的编程语言，掌握基本的调用命令。
四、实验准备掌握假设检验的相关步骤；(1) 根据问题提出合理的原假设0H 和备择假设；(2) 给定显著性水平α, 一般取较小的正数, 如0.05,0.01等； (3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式； (4) 令P{当0H 为真拒绝0H }α≤, 求拒绝域；(5) 由样本观察值计算检验统计量的值, 并做出决策: 拒绝0H 或接受0H . 五、实验步骤下面是MATLAB 软件提供的一些常用的参数估计函数命令. 一、矩估计命令：mu_ju=mean(X) % 返回样本X 的均值sigma2_ju =moment(X,2) % 返回样本X 的2阶中心矩 例1. 来自某总体X 的样本值如下：232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30，求X 的均值与方差的矩估计。
解：x=[232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48,232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30];mu_ju=mean(X)sigma2_ju= moment(X,2)输出：mu_ju =232.4025sigma2_ju =0.0255二、单个总体极大似然估计与区间估计（参数均未知）命令1: [a,b]=namefit (X, ALPHA) % 返回总体参数的极大似然估计a与置信度为100(1- ALPHA)%.的置信区间，若参数为多个，ab也是多个，若省略ALPHA，置信度为0.95常用分布的参数估计函数表3-1 参数估计函数表函数名调用形式函数说明binofit PHAT= binofit(X, N)[PHA T, PCI] = binofit(X,N)[PHA T, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)二项分布的概率的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间poissfit Lambdahat=poissfit(X)[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)[Lambdahat,Lambdaci]=poissfit(X, ALPHA)泊松分布的参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的λ参数和置信区间normfit [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,ALPHA)正态分布的最大似然估计，置信度为95%返回水平α的期望、方差值和置信区间betafit PHAT =betafit (X)[PHA T, PCI]= betafit (X, ALPHA)返回β分布参数a和b的最大似然估计返回最大似然估计值和水平α的置信区间unifit [ahat,bhat] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)均匀分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间expfit muhat =expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X,alpha)指数分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间gamfit phat =gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X,alpha)γ分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回最大似然估计值和水平α的置信区间weibfit phat = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X,alpha)韦伯分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计及其区间估计Mlephat = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)分布函数名为dist的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的最大似然估计值和置信区间仅用于二项分布，pl为试验总次数说明：各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。
正态总体下参数的假设检验
正态分布的性质
1 2
3
集中性
正态分布的曲线关于均值$mu$对称。
均匀性
正态分布的曲线在均值附近最密集，向两侧逐渐扩散。
稳定性
正态分布的方差$sigma^2$决定了曲线的宽度，方差越大 ，曲线越宽。
正态分布在统计学中的应用
两个总体比例的比较案例
案例描述
某项调查显示，某地区支持甲政 策的居民占60%，支持乙政策的 居民占40%。现从该地区随机抽 取200名居民进行调查，得到支持 甲政策的居民有120名，支持乙政 策的居民有80名。
检验步骤
首先计算两组的样本比例和支持 率，然后根据正态分布的性质计 算临界值，最后根据临界值判断 两组之间是否存在显著差异。
检验步骤
首先计算两组的样本均值和标准差，然后根据正态分布的性质计算临界值，最后根据临界值判断两组之间是否存在显 著差异。
结论
如果两组之间的差异超过临界值，则可以认为两种药物治疗慢性胃炎的疗效存在显著差异；否则，不能 认为两种药物治疗慢性胃炎的疗效存在显著差异。
单个总体比例的假设检验案例
案例描述
检验步骤
03
正态总体下参数的假设检验 方法
单个总体均值的假设检验
总结词
单个总体均值的假设检验是统计学中常见的一种检验方法，用于检验单个正态总体均值 的假设。
详细描述
在假设检验中，我们通常会提出一个关于总体均值的假设，然后使用样本数据来检验这 个假设是否成立。对于单个总体均值的假设检验，我们首先需要确定样本数据和总体分 布的性质，然后选择合适的统计量进行计算，最后根据统计量的分布和临界值来判断假
正态总体参数的假设检验
正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。
有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。
(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。
5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。
(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。
(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。
在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。
具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。
注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。
(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。
续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。
某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。
③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。
⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。
[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。
已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。
该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。
假设检验(2012)
抽样分布
拒绝域
/2 1- 接受域
观测样本 的统计量
拒绝域 /2
临界值
H0值
临界值
样本统计量
从图可知，样本统计量的值越偏离原假设的值，拒绝原假设的把握就越大， 同时，样本统计量的值越靠近原假设的值，拒绝原假设的把握就越小.
左侧检验（显著性水平与拒绝域）
抽样分布
拒绝域
1- 接受域
观测样本
的统计量
假设检验：运用统计理论对上述假设进行检 验，在原假设与备择假设中选择其一。
2 .假设检验基本原理
假设检验的基本依据—小概率原理:
小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
假设检验的基本思想 小概率 事件发生 前提： 承认 原假设
进行一次实验
拒绝 原假设
大概率 事件发生
接受 原假设
显著水平与两类错误 第一类错误：弃真（显著水平α） 显著 水平 与 两类 错误
3.假设检验的步骤
一个完整的假设检验过程，通常包括以下四个步骤：
提出原假设（Null
hypothesis）与备择假设（Alternative hypothesis）
确定适当的检验统计量，并计算检验统计量的值
规定显著性水平α
作出统计决策
二、正态总体参数的假设检验
1 .正态总体参数假设检验的步骤
第一步：建立原假设H0和备择假设H1.原假设应该 是希望犯第Ι类错误概率小的假设。 常用的假设形式 ：
属于决策中 的假设！
解：设新机床加工的零件的椭 圆度为X，且EX=μ
1）提出假设：假定新机床加工的零 件的椭圆度与以前无显著差异， 即 H0: = 0.081, H1: μ 0.081
X 0.081 N (0,1) n 3）=0.05，查表得临界值:
7.2正态总体的参数假设检验
∵ X ~ N(µ,σ )，
2
σ2 ) ∴X ~ N(µ, n
X − µ0
当H0 为真 时， 利用 统计 u = 量 这 种检 验法 称为u 检验 . 法
σ/ n
~ N(0,1)来 确定 绝域 , 拒 的
由于µ的点估计是x ,
当H 0：µ = µ 0 为真时，
当 x − µ 0 ≥ k , 拒绝H 0
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 假定切割的长度服从正态分布 且标准差没有变 试问该机工作是否正常? 化, 试问该机工作是否正常 (α = 0.05)
解 依题意 X ~ N ( µ ,σ 2 ), µ ,σ 2均为未知,
要检验假设 H 0 : µ = 10.5, H 1 : µ ≠ 10.5,
一个有用的结论
α , 当显著性水平均为 时
检验问题 H 0 : µ ≤ µ 0 , H 1 : µ > µ 0 和 检验问题 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ > µ 0
有相同的拒绝域. 有相同的拒绝域
练习：346页6（1）
(3) 假设检验H0 : µ ≥ µ0 , H1 : µ < µ0 .
P( X − µ0 ≤ −k) = P(u = X − µ0
σ/ n
≤
−k
σ/ n
) =α
σx , 当H ：µ ≥ µ 为真时， n 由于µ的点估计是 σ σ uα 则x ≤ µ 0 k+拒绝H = µ 0 − u1−α 当x − µ ≤ − ,
0 0
拒绝域为
−k
= uα 即u ≤ uα
0
0
n
n
正态分布的假设检验方法
正态分布的假设检验方法正态分布是一个重要的统计概念，经常用于解决各种实际问题。
不同于其它常见分布，正态分布具有非常特殊的性质，其中最突出的就是其反映了许多现实生活中的随机变量（例如人的身高、体重等）的分布类似于正态分布的情况。
随着科技与数据收集技术的不断进步，人们能够收集到越来越多的实际数据，并采用各种统计方法来分析这些数据。
在实际应用中，对于一些特定的问题，我们需要检验数据是否符合正态分布，并进而研究相关假设问题。
这需要运用到假设检验的方法，因此本文将对正态分布的假设检验方法进行详细阐述，包括其基础理论、假设设定方法、检验统计量的计算以及显著性检验的实现等。
一、基础理论正态分布是统计学中一个重要的概念，它是一个连续型概率分布，通常由两个参数μ和σ描述，其中μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差。
对于一个正态分布的随机变量x ~N(μ,σ²)，它的概率密度函数可以表示为：$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrme^{−(x−\mu)^2/2\sigma^2} $$在实际研究中，许多随机变量的分布都具有类似于正态分布的特性，在大样本情况下，它们的概率密度图常常能够像钟形曲线一样展示出来，因此我们可以通过正态分布模型，来描述某些随机变量的概率分布情况。
随着数据科学的不断进步，我们现在可以通过各种手段来收集数据，并利用统计工具对这些数据进行分析。
假设检验是其中一个最基础的分析方法，它通常用于判断某一假设是否成立。
正态分布的假设检验方法，就是一种基于正态分布模型的检验方法。
二、假设设定方法在进行正态分布的假设检验时，我们通常要设定两个假设，分别为原假设和备择假设。
原假设（$H_0$）是我们想要检验的假设，而备择假设（$H_1$）则是对原假设的拒绝。
在正态分布的假设检验中，常见的假设包括以下两种：1. 单样本均值检验对于单样本均值检验，我们设定以下的原假设和备择假设：$$ H_0:\mu=\mu_0 \ \ \ \ \ H_1:\mu\neq\mu_0 $$其中，$H_0$表示总体均值等于特定值$\mu_0$，$H_1$表示总体均值不等于$\mu_0$。
正态总体中参数的假设检验
正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。
下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。
一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。
在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。
其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。
然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。
通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。
二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。
通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。
2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。
3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。
4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。
5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。
6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。
7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。
三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。
我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。
正态总体参数假设检验公式
正态总体参数假设检验公式正态总体参数假设检验，这可是统计学里挺重要的一块知识呢！咱先来说说啥是正态总体。
简单来讲，就是一堆数据形成的分布，长得像个“钟形”，两边低中间高，挺对称的那种。
那为啥要对正态总体的参数进行假设检验呢？比如说，咱们想知道某个班级学生的考试成绩是不是符合某种预期，或者工厂生产的零件尺寸是不是在规定的范围内。
这时候，就需要用假设检验的公式来判断啦。
假设检验的公式有好几个，咱先来说说关于均值的。
比如说，有一个总体的均值我们假设是μ0，然后从这个总体里抽了个样本，算出样本均值是x，样本标准差是 s 。
这时候，就可以用 t 检验的公式：t = (x - μ0) / (s / √n) 。
这里的 n 是样本的数量。
我给您讲个我遇到的真事儿吧。
有一次，我去一个工厂，他们生产一种零件，标准的长度应该是10 厘米。
我随机抽了50 个零件来测量，算出来样本均值是 9.8 厘米，样本标准差是 0.5 厘米。
然后我就用这个t 检验的公式来算算，看这批零件的长度是不是跟标准的有显著差别。
再来说说关于方差的假设检验。
比如说，我们想知道一个总体的方差是不是等于某个值σ0² ，这时候就要用到卡方检验的公式啦。
假设检验可不是随便乱用的哦，得先搞清楚一些条件。
比如说，样本是不是独立的呀，是不是来自正态总体呀等等。
而且，在实际应用中，可不能光套公式，得理解背后的原理。
就像刚才说的工厂零件的例子，如果不理解为啥要这么做，就算算出结果来，也不知道到底意味着啥。
总之，正态总体参数假设检验公式是个很有用的工具，但要用好它，得下点功夫，多练习，多琢磨。
希望您在学习和使用这些公式的时候，能顺顺利利的，别被它们给难住啦！。
品检中的正态分布假设检验
品检中的正态分布假设检验正态分布假设检验是品检中常用的统计方法之一。
品检是指通过对产品或过程样本的抽样检验，以确定产品或过程是否符合预定的质量要求。
在品检中，我们常常需要判断样本数据是否来自正态分布的总体。
正态分布是一种特殊的概率分布，对于许多工程和科学应用具有重要意义。
品检中的正态分布假设检验依赖于样本数据的抽样。
抽样是从总体中选取一部分个体进行检验，以推断总体的特征。
通常，我们假设总体分布是正态的，即符合正态分布的特征。
假设检验的目的是判断样本的观察结果是否支持这一假设。
接下来，我们需要通过计算样本数据的统计量来进行假设检验。
在正态分布假设检验中，常用的统计量是样本均值和样本标准差。
样本均值是对总体均值的估计，而样本标准差则是对总体标准差的估计。
通过计算这些统计量，我们可以对样本数据与假设的总体分布进行比较。
在进行正态分布假设检验时，我们通常采用t检验或者F检验。
t检验适用于小样本量的情况，而F检验则适用于大样本量的情况。
这两种检验方法都是基于正态分布理论的基础上进行的。
在进行t检验时，我们需要计算出一个统计量t值，并与一个临界值进行比较。
t值的计算方法为样本均值与总体均值之间的差异除以标准差的比值。
根据t值与临界值的比较结果，我们可以判断样本数据是否支持正态分布假设。
在进行F检验时，我们需要计算出一个统计量F值，并与一个临界值进行比较。
F值的计算方法为两个样本的方差比值。
与t检验类似，根据F值与临界值的比较结果，我们可以判断样本数据是否支持正态分布假设。
除了t检验和F检验之外，还有一些其他的正态分布假设检验方法，如卡方检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
这些方法在特定的情境下具有应用的价值，可以根据具体问题的需求选择合适的检验方法。
在进行正态分布假设检验时，我们还需要设置显著性水平。
显著性水平是指根据样本数据进行假设检验时所接受的错误概率。
常见的显著性水平有0.05和0.01等。
7-2正态总体参数的检验.ppt
8.05 8.15 8.20 8.10 8.25
该接收方是否有理由认为甲地发送的讯号值为8 ? (取显著性水平为α =0.05) (P338)
2. σ2 未知,关于μ的检验（t 检验）
1
P
(
0
n
u1 / 2
x
n
0
n
u1 / 2 )
1
( 0
n
u1
/2)
( 0
n
u1
/2)
μ=μ0时, g(μ)=g(μ0)=α,故上述求出的检验是水平α为的检验. 综上, 对三种假设检验问题, 只要在μ=μ0 处控制犯第一
类的错误, 则检验就是水平为 α 的显著性检验.
例1.从甲地发送一个讯号到乙地. 设乙地接收到的讯号值
对于检验问题 (2) H0 : 0 vs H1 : 0
拒绝域为: W {t t (n 1)}
对于检验问题 (3) H0 : 0 vs H1 : 0
拒绝域为: W {| t | t1 /2 (n 1)}
例2 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设
定为240cm.现从该厂抽取5件产品,测得其长度(cm)如下： 239.7 239.6 239 240 239.2 试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？(α=0.05)
检验统计量
u x 0 n
0
~ N (0,1)
故此检验法称为 u 检验法。
对于检验问题 (1) H0 : 0 vs H1 : 0
因为H0 中的μ全部都比 H1 中的要小,从直观上看,较合理
正态总体参数假设检验
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第七章 假设检验
第18页
7.2.2 两个正态总体均值差的检验 检验 法 u检 验 t检 验 条 件 原假 设 备择 假设 检验统 计量 拒绝域
已 知
未 知
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16 July 2012
第七章 假设检验
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大样 本检 u验 近似 t检 验
未知 m,n充 分大 未知 m,n不 很大
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第七章 假设检验
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第七章 假设检验
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该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。 下面以 由 为例说明： 可推出具体的拒绝域为
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布 写出，具体为
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16 July 2012
16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0
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第七章 假设检验
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这是两正态总体方差之比的双侧假设检验问题， 待检假设为 此处 m=7，n=8，经计算
于是 查表知 ，若取 =0.05，
通常 , 均未知，记 , 分别是由 算得的 的无偏估计和由 算得的 的无偏估计.
16 July 2012
嘉兴学院
第七章 假设检验
第28页
可建立检验统计量: 三种检验问题对应的拒绝域依次为
或
16 July 2012
}。
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第七章 假设检验
第29页
例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为 X (机 床甲) Y (机 床乙)
如何利用正态分布进行假设检验
如何利用正态分布进行假设检验在统计学中，假设检验是一种常用的方法，用于判断样本数据是否支持某个假设。
正态分布是统计学中最为常见的分布之一，因此在进行假设检验时，常常会利用正态分布进行分析。
本文将探讨如何利用正态分布进行假设检验，并介绍一些相关的概念和步骤。
一、假设检验的基本概念假设检验包括两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是我们要进行检验的假设，备择假设则是对原假设的否定。
在进行假设检验时，我们首先假设原假设成立，然后根据样本数据的统计量来判断是否拒绝原假设。
二、正态分布的基本特征正态分布是一种连续概率分布，其密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值处。
正态分布的均值和方差完全决定了整个分布的形态。
正态分布在统计学中的应用非常广泛，许多自然现象和实验结果都可以近似地服从正态分布。
三、利用正态分布进行假设检验的步骤1. 提出假设：根据研究问题和目标，明确原假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是指在进行假设检验时，犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
3. 计算统计量：根据样本数据计算出适当的统计量，如样本均值、标准差等。
4. 计算临界值：根据显著性水平和自由度，查找对应的临界值。
临界值是用来判断在原假设成立的情况下，样本统计量是否落在拒绝域内。
5. 判断结果：比较计算得到的统计量与临界值，如果统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，得出关于原假设的结论。
四、实例演示假设我们想要检验某个药物对疾病的治疗效果。
我们将100名患者分为两组，一组接受药物治疗，另一组接受安慰剂治疗。
我们的原假设是药物对疾病的治疗效果没有显著影响，备择假设是药物对疾病的治疗效果有显著影响。
首先，我们选择显著性水平为0.05。
然后，根据样本数据计算出两组的均值和标准差。
接下来，计算统计量，可以选择 t 检验或者 z 检验，具体选择哪种检验方法取决于样本量和总体方差是否已知。
正态总体参数假设检验
犯第一类 错误 正确
正确 犯第二类 错误
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Chapter 7 假设检验
犯第一类错误的概率 和犯第二类错误的概率 可以用同一个函数表示，即所谓的势函数。定义 如下： 定义7.1.1 设检验问题 H0 : 0 vs H1 : 1
的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域内 的概率称为该检验的势函数，记为
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Chapter 7 假设检验
正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个 结论一样，用一个样本（例子）不能证明一个 命题（假设）是成立的，但可以用一个例子 （样本）推翻一个命题。因此，从逻辑上看， 注重拒绝域是适当的。
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Chapter 7 假设检验
三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误： 其一是 H 0为真但样本观测值落在拒绝域中， 从而拒绝原假设 H 0 ，这种错误称为第一类错 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率， 或称拒真概率，通常记为.
用参数估计 的方法处理
用假设 检验的 方法来 处理
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Chapter 7 假设检验
假设检验的一般问题
一、什么是假设检验 二、假设检验的基本思想 三、双侧检验和单侧检验 四、假设检验中的拒绝域和接受域 五、假设检验的两类错误 六、假设检验中的P值 七、假设检验的步骤
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Chapter 7 假设检验
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验是统计推断的两个 组成部分，都是利用样本对总体进行某 种推断，但推断的角度不同。参数估计 讨论的是用样本统计量估计总体参数的 方法。假设检验讨论的是用样本信息去 检验对总体参数的某种假设是否成立的 程序和方法。
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723正态总体参数的假设检验
解: x 1 (32.56 29.66 ... 31.03) 31.13 6
1.提出假设 H0 : 32.5 H1 : 32.5
2. 2 1.21已知, 检验统计量 Z X 32.5
1.1 6
H
为真时,显然
0
Z
~
N (0,1)
3.给定 0.05, 临界值z 2 z0.025 1.96
得拒绝域为:
x 32.5
z 1.1 /
6
z0.025 1.96
4. z x 32.5 31.13 32.5 3.05 >1.96
1.1/ 6
1.1/ 6
检验统计量 z 的实测值落入拒绝域，故拒绝H0
且 T X t(n 1)
S/ n
H1为真(即拒绝H0 )时,样本均值的观测值x往往偏大.
拒绝域形式: x k 或者t x 0 c
s/ n
(3)选定 ,根据P(拒绝H0 | H0为真) ,确定拒绝域.
P(拒绝H0 | H0为真)
P0 (T
c)
P
0
(
X S
/
0
n
c)
X
P0 ( S /
它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变,现随机取26只电池,
测出其寿命的样本方差s2 9200.问根据这一数据能否推断这批
电池的寿命波动性较以往有显著的变化?(取 =0.02)
解 : 提出假设 H0 : 2 5000 检验统计量: 2 (n 1)S2
5000
H1 : 2 5000
0.02, n 26
(右边检验)
H1为真(即拒绝H0 )时,样本均值的观测值x往往偏大.
正态总体中参数的假设检验
• 由于在
( X Y ) 0 H 0为真时T t (m n 2),因此 1 1 SW m n 拒绝域为W {| T | t 2 (m n 2)}
对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒 绝域写出．
• 例3.5 某种食品在处理前后含脂率抽样数据如 下： 处理前： 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27 处理后： 0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12 假定处理前后的含脂率均服从正态分布， 且标准差保持不变，问在0.05显著性水平下， 处理前后的含脂率有无显著变化？
未知时, 关于的单侧假设检验 H0 : 0 (0为已知数); H1 : 0
2
拒绝域的形式为 W {X c} 如果记 X 0 T S n
类似地可以得到拒绝域为
W {T t (n 1)}
(3)未知时, 关于 的假设检验
2
H0 : ( 为已知数); H1 :
• 解：这是关于方差的假设检验检验问题 .设这 X ~ N ( , 2 ) ，作假设 一批电池的寿命 H0 : 2 5000; H1 : 2 5000
这里n=26,s 7200, 0.02.查表得 2 2 0.01 (25) 44.314, 0.99 (25) 11.524
(n 1) S 2
2 0
(n 1)c2
2 0
来确定 c1 , c2
2 而在H0 : 2 0 为真时 ， (n 1) S 2 2 ~ 2 (n 1) 2 0
由分位数可 取 (n 1)c1 (n 1)c2 2 2 (n 1); 21 2 (n 1) 2 2
7.2 正态分布总体参数的假设检验
接受域W0 : U U 1
2
拒绝域W1 : U U 1
2
例 7.1.1
某药厂包装硼酸粉， 规定每袋净重为 0.5
（ kg ） 设 每 袋 重 量 服 从 正 态 分 布 ， 标 准 差 ，
0.014 (kg） 。为检验包装机的工作是否正常，随
机抽取 10 袋，称得净重分别为： 0.496 0.510 0.515 0.506 0.518 0.512 0.524 0.497 0.488 0.511 问这台包装机的工作是否正常？ ( 0.05)
U
Hale Waihona Puke 2、 2未知， 的假设检验
X 0 选统计量T S n 1 n ~ t(n 1)
检验法： t 检验法” “
双侧检验： H 0： 0，H1： 0
接受域W0 : T T1
2
拒绝域W1 : T T1
2
参数
H0
H1
统计量
W1
0 0
2 2 H 0： 2 0，H1： 2 0
统计量 2
( X i 0 )2
i 1
n
02
1 2
2 (n)
2 临界值 ， 2 2
2 拒绝域( ， ) 12 ， ） （ 2 2
2、单个总体，未知，的检验
统计量
正态总体参数的
假设检验
7.2.1 正态总体均值的检验
N ( , 2 ) 均值 的检验 一、单个总体
2 1、已知 2 0，的假设检验
选统计量U
X 0
0
n
~ N (0, 1)
检验法： U 检验法”或“ Z 检验法” “
7-2正态总体参数的假设检验
α 下 H 0 的拒绝域
1− 2
§7.2 正态总体参数的假设检验 一、单正态总体参数的假设检验 设总体 ξ ~ N ( µ , σ )
2
统计量
拒绝域
H 0 为真
σ 2 = σ 02
σ =σ
2
σ 2 ≠ σ 02 σ 2 > σ 02
σ 2 ≤ σ 02
σ =σ
2
或
2 0
χ2 =
H0
( n − 1) S
1−
( 2 ) H 0 : σ 22 = 162 ; H1 : σ 22 ≠ 162 H 为真 2 n − 1) Sn −1 选统计量 χ 2 = ( χ 2 ( n − 1)
σ 02
～
0
2 2 2 拒绝域为 χ 2 < χ α ( n − 1) 或 χ > χ 1− α ( n − 1 ) 2 2
H 0 为真
X −Y
T >t
1 1 + m n
1−
α
2
( m + n − 2)
【例1】为考察甲，乙两种安眠药的疗效，现独立地考察 20 个 病人，其中10人服甲药， 10人服乙药．以 ξ , η 分别表示病人服 甲药和乙药延长睡眠时数，具体数据如下表：
甲 x 乙 y
1.9 0.8 1.1 0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 0.1 3.7 0.0 2.0 0.8
µ1 , µ2 未知. 2 2 对 H 0 : σ 12 = σ 2 ; H 1 : σ 12 ≠ σ 2 2 2 2 2 2 当 H 0 成立时，由于 σ 1 σ 2 = 1 ，而 S x , S y 分别为 σ 12 , σ 2
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1、已知 ， 的假设检验
2 2 0
H0： 0，H1： 0
选统计量U
X 0
0
n
2
~ N (0,1)
接受域W0 : U U1
拒绝域W1 : U U1
2
2、 未知， 的假设检验
n
i
X X 0 )
2
[( X
i 1
n
i
X ) ( X 0 )]2
2 2 ( X X ) ( X ) 2 ( X i X )( X 0 ) i 0 i 1
n
i 1
i
X ) n( X 0 ) 2( X 0 ) ( X i X )
2
X 0 选统计量T n ~ t(n 1) S n 1
检验法： “ t 检验法”
（1）双侧检验： H0： 0，H1： 0
接受域W0 : T T1
2
拒绝域W1 : T T1
2
2 ~ N ( , ), 例2. 某厂生产合金钢，其抗拉强度
现在抽查5件样品，测得抗拉强度为 46.8，45.0，48.3，45.1，44.7， 要检验假设强度是否为48？
接受域W0 : U U1
2
拒绝域W1 : U U1
2
例 7.1.1
某药厂包装硼酸粉， 规定每袋净重为 0.5
（ kg ） ，设每袋重量服从正态分布，标准差
0.014 (kg） 。为检验包装机的工作是否正常，随
机抽取 10 袋，称得净重分别为： 0.496 0.510 0.515 0.506 0.518 0.512 0.524 0.497 0.488 0.511 问这台包装机的工作是否正常？ ( 0.05)
正态总体参数的
假设检验
7.2.1 正态总体均值的检验
2 N ( , ) 均值 的检验 一、单个总体
2 1、已知 2 0 ，的假设检验
选统计量U
X 0
0
n
~ N (0,1)
检验法： “ U 检验法”或“ Z 检验法”
（1）双侧检验： H0： 0，H1： 0
2
2
2 (n 1) Sn 1
2 0
(n 1)
2
临界值 2 和
2 1 2
解：1） H 0 : 0 ;
H1 : 0
n
H 0成立
2）统计量 T X 0 Sn 1 3）计算观测值
~ t(4)
X 45.98, S n 1 1.535
|T | | 45.98 48 | 2.942 1.535 / 5
4）与临界值比较
| T | 2.942 2.7764 t 0.025 (4)
2 2
1
2
(n)
2 2
拒绝域( ， (n) ) （1 (n)， ）
2 2
( X i 0 )
2 2 i 1 2 0
n
2 2 [(n 1) Sn n ( X ) 1 0 ]
2 0
( X
i 1
n
i
0 )
2
( X
i 1
2 ( X ) i 0 i 1 n
统计量 2
2
02 02 2 (n)
2 2 (n 1) Sn n ( X ) 1 0
临界值 ，
2
2
1
2
2 拒绝域( ， ) （12 ， ） 2 2
4、未知， 的检验
统计量
查表得U1 / 2 U0.975 1.96
临界值
接受域为W0 [U1 / 2 ,U1 /2 ] [1.96, 1.96]
U W0
不拒绝H0
p P{|U | U}
p 2
p 2
U
U
当 p 时，落在接受域 不拒绝H0
2、 未知， 的假设检验
2 X ~ N ( , 0 . 014 ) 解：设每袋净重为随机变量 X ，则
H 0 : 0 , H 1 : 0
X 0 X 0.5 取统计量U 0 n 0.014 10
0.5077 0.5 计算得 U 1.7393 统计量观测值 0.014 10
2 2 i 1
n
2 2 2 2 (n 1)Sn n ( X ) 0 ( n 1 ) S n ( X ) 1 0 n1 0
2、单个总体，未知， 的检验
统计量
2
( X
i 1
n
i
X)
2 0
2
2
2 (n 1) Sn 1
2 0
(n 1)
（统计量的值落在拒绝域内）
结论：拒绝原假设，即认为 48
7.2.2
正态总体方差的检验
2 0 ， 1、单个总体，已知 的检验
2 2 H0： 2 0 ，H1： 2 0
统计量
2
( X
i 1
n
i
0 )
2 0
2
2
(n)
2
临界值 (n)，
2
H0： 0，H1： 0
X 0 选统计量T n ~ t(n 1) S n 1
检验法： “ t 检验法”
接受域W0 : T T1
2
拒绝域W1 : T T1
2
2 3、已知 0 ， 的检验
2 2 H0： 2 0 ，H1： 2 0