第八章 轴向拉伸和压缩 工程力学 教学课件

x Ex,
x
x
E
εx
E-材料的杨氏弹性模量
G,
G
γ G-材料的切变模量
胡克定律(Hooke’s law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
例题8-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
1
FN1 A1
50103 N (0.24m)(0.24m)
0.87106 Pa0.87MPa(压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
2
FN2 A2
150103 N
0.37m0.37m
1.1106 Pa1.1MPa(压应力)
2 1
所以，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力）
II
III
F 1 5 kN F 2 2 k0 F N 3 2 k5 F N 4 1 k0 N
[解]
I
II
III
F15kN F220kN F1
F2
F3
F4
F325kNF410kN
I
II
III
取I-I截面左侧为自由体，
进行受力分析，轴力预
先设为正（拉）：
F1
FN1
x
列平衡方程求 FN1 Fx 0 F1FN10 FN1F15kN
FF
1
FF 平面假设: 变形前为平面的横
截面变形后仍保持平面且垂直
2
于轴线
变形前 变形后
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的 ...
1
2
3
根据胡克定律 E 横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
思考-- 横截面上有没有切应力？
得到横截面上正应
F
F
力公式为:源自文库
F
截面积A
FN
FN A
横截面上的各点正应力亦相等， 且分布均匀
有 AFN
适用条件：
A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。
FN A
正应力，拉应力为“+”，压应力为
“－”
FN 轴力 A 横截面面积
1N 1m2 1Pa
1N 1mm2 1MPa
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
(x) FN(x)
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FNm , a xFN250kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题8- 2
试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力
I
II
III
F1
F2
F3
F4
I
横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直 于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
边或右边为分离体均可。
轴力的正负也可以按所对应的纵向变形为伸长或缩短规 定:当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截 面产生缩短变形为负（轴力与截面外法线同向为正，反之为 负）。
F
已知 F1=10kN；F2=20kN；
F3=35kN；F4=25kN；
解：1、计算杆件各段的轴力。
AB段
Fx 0
FN1F110kN
BC段 Fx 0 FN2F2 F1
FN2 F1F2
102010kN
CD段
Fx 0
FN3F425kN
2、绘制轴力图。
内力图的两种画法
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下列直杆的轴力图
算或积分计算。
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
胡克定律
σx
Robert Hooke O
试验表明，对于工程中常用 材料制成的杆件，在弹性范 τ 围内加载时（构件只发生弹 性变形），若所取单元体只 承受单方向正应力或只承受 切应力，则正应力与线应变 以及切应力与切应变之间存 O 在线性关系。
杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。
1
45°
C
2
FN1
y
F N 2 45° B
F
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为 1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为 研究对象
B
Fx 0 FN1co4s5FN20
F
Fy 0 FN1si4 n 5F0
x
FN1 28.3kN FN2 20kN
2、计算各杆件的应力。
2A
FN 3F
+
O
－
1F
最大应力位于CD段
A
OBF2NA OB32F A(拉)
2F
BCF2NA BC 2A F(压 )
+
x CDFN ACD2A F(拉)
maxCD2AF (拉)
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。
例题 8-6
A
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。
已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面
体的斜截面k-k上的指向。
2）拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面 上？
8.3 轴向拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
杆件在轴线方向的伸长 纵向应变
l l1l l
l
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，
由汽缸、活塞、连杆 所组成的机构中，不仅 连接汽缸缸体和汽缸盖 的螺栓承受轴向拉力， 带动活塞运动的连杆由 于两端都是铰链约束， 因而也是承受轴向载荷 的杆件。
工程实例
8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 和应力
1 横截面上的内力
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
A
1
45°
1F A N 112 2.8 32 0 1130 069 0160P a9M 0 P
4
B
C
2
FN1
F N 2 45°
y
B
FF 2F A N 221 2 25 1 0 10 6 30 8 9 160 P a8M 9 P x
F
例题8-7 试求此正方
形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
式中， 0
F A
为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
pco s0co 2s
psi n20si2 n
正应力和切应力的正负规定：
() ()
() ()
k
F
F
F
k
45
思考：1） 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力和切应 力与横截面上正应力0的关系。并示出它们在图示分离
注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号
I
II
III
F15kN F220kN F1
F2
F3
F4
F325kNF410kN
I
II
III
同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。
x FN3
F4
Fx 0 FN3F40 F N 3F 4 1 0 10 kN
将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 内力图 将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 轴力图
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1 l
FN 2
F
x1
Fx 0
FN22F
-
FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
F
F q=F/l
F
l
2l
F l
F +
F
FN 图
F +
2 横截面上的应力
杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与杆件的横截 面的面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
刚性板
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然相互轴线，只是发生 了平移
A(x)
x 是横截面的位置。
注意： 1） 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2） 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
3） 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的 不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到 影响”。
4.斜截面上的应力
拉(压)杆斜截面上的应力
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
pF A A/c Fo sF Aco s0co s
第八章 轴向拉伸和压缩
§8-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例 §8-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §8-3 轴向拉伸或压缩时的变形 §8-4 材料拉伸时的力学性能 §8-5 材料压缩时的力学性能 §8-6 轴向拉伸或压缩时的强度计算 §8-7 应力集中的概念 §8-8 拉伸与压缩的静不定问题 §8-9 轴向拉伸或压缩的应变能
3. 圣维南原理
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除 了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力 系作用区域略远处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
例题8- 5
阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
1.特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线
与杆 件轴线重合，杆件变形是沿轴线 方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆
一些机器和结构中所用的 各种紧固螺栓，在紧固时，要 对螺栓施加预紧力，螺栓承受 轴向拉力，将发生伸长变形。
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
O
B
C
4F
3F
D 2F
2A
A
O Fox
B
C
4F
3F
2A
FN 3F
+
O
－
1F
D
2F 1、求反力
A
易知 O处反力
仅有水平方向的分量 FOx
F O x4 F 3 F 2 F 0
2F
FOx 3F
+
2、画出轴力图
x
因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
O
B
C
4F
3F
Fox
D
3、计算应力
2F
2 kN
4 kN
6kN
你做对了吗？
2 kN
4 kN
FN (kN)
2 0
－
-2 -4
6kN
+
x
－
例题8-4：试作此杆的轴力图。
F
q
F l
F
解： FR
F
l
2l
l
1
F2 q
1
F 2
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR =F
FR =F FR =F
FR =F
FR =F
1
F2
q
3
Fx
1
F2
3
FN1=F
FN3 =F
而其横向变形相应变细或变粗 纵向总变形Δl
F l
l1
由胡克定律 Eε
得到轴向拉压变形公式
（反映绝对变形量）
F
纵向线应变 l
l
（反映变形程度）
FN
A
l FNl EA
F
l
F
Fl l N
EA
l1
公式的适用条件 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。
通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶（主矢和主矩）简称为该截面上的内力(实为 分布内力系的合成)。
如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？
m F
截面法 F
m
q
q
F
FN FN
F
F
FN
截面
FN ~ 轴向力，简称轴力
FN ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力， 作用线与杆件的轴线重合， 单位: Ｎ kN
FN ~ 轴力正负号规定及其他注意点 1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负
FN FN
符号为正
截面
FN FN
符号为负
截面
3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的 横截面有不同的轴力
截面法求轴力,绘制轴力图
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。
I
II
III
FN1 5kN
FN2 15kN
F1
F2
F3
F4
FN3 10kN
I
II
III
FN(kN) 15 10
+
5 0
－
-5 -10 -15
x
－
例题8-3
A
F1 F1 F1
FNkN
1 B 2 C 3D
1 F2
2 F3 3 F4
FN1
FN2
F2
FN3
F4
25
10
x 10
试画出图示杆件的轴力图。
FN1 = － 5kN，正拉负压
F15kN F220kN
I
II
III
F325kNF410kNF1
F2
F3
F4
同法求II截面上的内力
I
II
III
列平衡方程求 FN2 F1
F2
FN2
x
Fx 0 F1F2FN20 F N 2F 2 F 1 2 0 5 1k 5N
若取截面的右侧则:
x FN2
F3
F4
Fx 0 FN2F3F40F N 2F 3 F 4 2 5 1 0 1k 5N