北京理工大学2006-2007学年第一学期数学分析B期中试题

课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期

数学分析期中试题

一. 解下列各题（每小题6分）

1. 求极限n n n n )111(lim 2

++∞→. 2.. 已知f 是可导函数, 且

x x f dx d 1)1(arctan =，求)4

(πf '.微分法，可以补用考虑微分次数，不断向下推。导数法，比需两边对同一变量求导。

3. 求出23||ln )(2+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点.

4. 已知2)13(lim 2=++-+∞

→bx ax x x , 试确定其中常数b a ,. 二. 解下列各题（每小题7分）

1. 设⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t

t y t t x , 求22dx y d . 2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线34bx ax y +=的拐点, 并求出曲线的

凹凸区间.

3. 求由方程0sin 2

1=+-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 4. 已知2112sin )(1lim 30=--+→x x e x x f ，求)(lim 0

x f x →.复合函数与函数求导公式可以一起用。

三.(9分) 设数列}{n x 满足010<<-x , ),2,1,0(221 =+=+n x x x n n n , 证明}{n x

收敛, 并求n n x ∞

→lim . 四.(9分) 设)(x f 有二阶连续导数, 0)0(=f , ⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0

),0(0,)()(x f x x x f x g ，求)

(x g '

并讨论)(x g '的连续性.

五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低?

六.(8分）证明，当1>x 时，1

1ln +-≥x x x . 七. (9分）(1)已知当0→x 时, 2cos x e x -与k cx 是等价无穷小, 求c 与k 的值;

(2)求极限22

2

0sin )(cos 112lim 2x

e x x x x x -+-+→. 八.(4分)设)(x

f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 0)(≠'x f , 证明存在

),(,b a ∈ηξ, 使ηηξ---=''e a

b e e f f a

b )()(.最后一道题一定要会拼与凑。