北京理工大学2006-2007学年第一学期数学分析B期中试题
北京理工大学2006-2007学年第一学期数学分析B期末试题(A卷)
课程编号：A071001
北京理工大学 2006-2007 学年第一学期
数学分析期末试题(A)
一. 解下列各题（每小题 6 分）
xa 1. 已知 lim 9 ，求常数 a . x x a
x ln cos t 2. 设曲线的参数方程为 , 求曲线在 t 对应点处的切线方程. 3 y sin t t cos t
七. (8 分) 一容器内含有 100 升清水, 现将每升含盐量 4 克的盐水以每分钟 5 升的 速率由 A 管注入容器, 假设瞬间即可混合均匀, 同时让混合液以同样的速率由 B 管 流出容器(容器内的液体始终保持为 100 升), 问在任意时刻 t 容器内溶液的含盐量是 多少?
ln(1
八. (8 分) 设 f ( x) 在 [0,2] 上连续, 在 (0,2) 内有二阶导数, 且 lim
2. 求不定积分 x arctan xdx .
3. 已知 y1 x x 2 , y 2 3e x x 2 , y 3 2 x x 2 e x 是某二阶线性非齐次微分方
程的三个特解, 求此微分方程的通解.
e x a 4. 已知函数 f ( x) x 2 b
x 0
f ( x) ) x 3, sin x
2 1
f ( x)dx 0 ,
(1) 求 f (0) ; (2) 证明 (0,2) , 使 f ( ) f ( ) 0 .
2
2
x 0 在 (,) 可导, 求 a, b 的值, 并求 f ( x) . x0
三. (7 分) 试确定函数 y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 10 在区间 (0, ,3) 内零点的个数. 四．(8 分）设函数 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x) g ( x) , g ( x) 2e x f ( x) , 且 f (0) 0 ,
北京理工大学(已有10试题)
北京理工大学信息科学技术学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002大学物理2006——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）激光原理1999——2001，2005——2008电子电路2003——2005，2007——2008电路分析基础1999——2000信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002半导体物理学1999——2008电磁场理论1999——2000，2002——2008微机原理及应用2004——2005电动力学2003——2004理论力学1996——2008（96——98非原版）生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000机电工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电磁学2005——2008量子力学2005——2008运筹学2001——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005数学物理方程2002——2006数学物理方法2000材料力学1997——1999，2002——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）电动力学2003——2004微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002微机原理及应用2004——2005有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004安全系统工程2003——2005，2008工程热力学（不含传热学）2003——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006爆轰理论2003——2005化学2002——2005传感与测试技术2004——2005算法语言1998微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000传热学2000应用电子技术2004机械与车辆工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008 电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004机械设计2001——2008机械设计原理2001机械制造工程基础2003——2008机械制造工艺学2002理论力学1996——2008（96——98非原版）微机控制与应用技术2002——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）控制工程基础2003——2008微机原理及应用2004——2005工程热力学（不含传热学）2003——2008物理化学2003——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005交通运输系统工程学2005，2007——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000数字电路与数字信号处理2008材料科学与工程学院物理化学（A）2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004材料科学基础2003——2007材料力学1997——1999，2002——2008普通化学2008综合化学2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006理论力学1996——2008（96——98非原版）电化学原理2003——2006微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000化工与环境学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004过程控制原理2000——2005，2007——2008化工原理2002——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008电化学原理2003——2006环境微生物学2007——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000生命科学与技术学院生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006细胞生物学2004——2006微生物学2005——2008分子生物学2007——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008药理学2007信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002电子电路2003——2005，2007——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002信号理论基础2007——2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（(含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008理学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008大学物理2006——2008数学分析1995，1999——2000，2003——2008高等代数2003——2008电磁学2005——2008量子力学2005——2008电动力学2003——2004普通化学2008综合化学2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学（A）2008物理化学2003——2008有机化学1997——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）材料力学1997——1999，2002——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008数学物理方程2002——2006数学物理方法2000电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002激光原理1999——2001，2005——2008微机控制与应用技术2002——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006电化学原理2003——2006工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000管理与经济学院宏微观经济学2008管理学2003——2008（2003，2004名称叫做“管理学基础”。
北京理工大学数学专业概率论期末试题(07000221)
2008级《概率论》期末试题A 卷一、从1到30的整数中，不放回地任取3个数，求所取的3个数之和能被3整除的概率。
二、设袋中有9个红球和6个白球，不放回地任取两次，每次取两个球。
（1）求第二次取出的两个球都是白球的概率；（2）已知第二次取出的两个球都是白球，求第一次恰好取出一个红球和一个白球的概率。
三、设随机变量X 的密度函数为()2,1Af x x R x =∈+。
（1）求A 的值；（2）求21Y X =+的密度函数；（3）求概率()2P X X >。
四、设二维随机变量（X,Y ）在区域(){},|02G x y x y =<<<上服从均匀分布。
（1）写出X ，Y 的联合密度函数(),f x y ；（2）求X,Y 的边际密度函数()(),X Y f x f y ，并判断X,Y 是否独立； （3）求概率()1P X Y +<。
五、设随机变量X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，求,ED 。
六、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，Y 服从正态分布()22,3N ，且X,Y 相互独立。
（1）求()2E X Y -；（2）设,3U XY V X ==，求()cov ,U V 。
七、设随机变量X 的分布律为()1,0,1,,1P X k k n n===⋅⋅⋅-，Y 服从[]0,1上的均匀分布，且X,Y 相互独立。
令Z=X+Y ，利用特征函数法证明Z 服从[]0,n 上的均匀分布。
八、设某种电子元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为400小时。
现购买100只这种电子元件，假设它们的寿命相互独立，求这些电子元件的寿命总和在32000小时至48000小时之间的概率。
（1）用切比雪夫不等式计算；（2）用中心极限定理计算。
2010级《概率论》期末试题A 卷一、（10分）从1到9这9个数中，有放回地取3次，每次取一个，求所取的3个数之积能被10整除的概率。
北京大学数学分析期中考试试题参考解答
f
2
(x)
从而
f ′(x) f 2(x)
≤ <
0, 则 f
−
1 2
.
由
在 [0, 1] 上单调递减,
f
,
f
′
的连续性可知
∫1
0
f由f 2′ ((xx))f d(0x)<=∫021,(f−(121))=d x1,
可知 即−
1 ≤ f (x) ≤
1 f (x)
1 0
<
−
1 2
,
得到
−
1 2
<
−
1 2
,
矛盾.
f (k)
(x)
=
( eg(x)
)(k)
=
(
∑
) g(k1) (x) g(k2) (x) · · · g(kj) (x) eg(x).
j∈N+ ,ki ∈N+
由 g(k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · 且 g(0) = 0, 所以 f (k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · .
i=1
另一方面
f
(x)
=
eg(x)
(x
∈
U
(0; δ)).
首先注意到对任意可导函数
F(x),
有
( eF(x)
)′
=
F′
(x) eF(x).
其次注意到对可导函数组 F1, F2, · · · , Fs, 有 (F1F2F3 · · · Fs)′ = F′1F2F3 · · · Fs + F1F2′ F3 · · · Fs + · · · + F1F2F3 · · · Fs′, 从而归纳可证
北京理工大学真题2006年(含答案)
北京理工大学2006年Part ⅠReading Comprehension (40 points)Directions: In this part there are four passages for you to read. After each passage there are five questions, below each of whom there are four answers marked A, B, C and D. Chouse the best answer and mark the corresponding letter with a pencil on the Machine-Scoring Answer Sheet with a single line through the center.Passage OneI was introduced to the concept of literacy animator in Oladumi Arigbede's (1994) article on high illiteracy rates among women and school dropout rates among girls. According to Arigbede, literacy animators view their role as assisting in the self-liberating development of people in the world who are struggling for a more meaningful life. Animators are a family of deeply concerned and committed people whose gut-level rejection of mass human pauperization compels them to intervene on the side of the marginalized. Their motivation is not derived from a love of literacy as merely another technical life skill, and they accept that literacy is never culturally or ideologically neutral.Arigbede writes from her experiences as an animator working with women and men in Nigeria. She believes that literacy animators have to make a clear choice about whose culture and whose ideology will be fostered among those with whom they work. Do literacy educators in the United States consider whether the instruction they pursue conflicts with their students' traditional cultures or community, or fosters illiteracies in learners' first or home languages or dialects and. in their orality?Some approaches to literacy instruction represent an ideology of individualism, control, and competition. Consider, for example, the difference in values conveyed and represented when students engage in choral reading versus the practice of having one student read out loud to the group. To identify as a literacy animator is to choose the ideology of "sharing, solidarity, love, equity, co-operation with and respect of both nature and other human beings". Literacy pedagogy that matches the animator ideology works on maintaining the languages and cultures of millions of minority children who at present are being forced to accept the language and culture of the dominant group. It might lead to assessment that examines the performance outcomes of a community of literacy learners and the social significance of their uses of literacy, as opposed to measuring what an individual can do as a reader and writer on a standardized test. Shor (1993) describes literacy animators as problerm-posing, community-based, dialogic educators. Do our teacher-education textbooks on reading and language arts promote the idea that teachers should explore problems from a community-based dialogic perspective?1. A literacy animator is one who ______.A. struggles for a more meaningful lifeB. frees people from poverty and illiteracyC. is committed to marginalize the illiterateD. is concerned with what is behind illiteracy2. The author suggests that literacy educators in the US in a way ______.A. promote students' home languagesB. force students to accept their cultureC. teach nothing but reading and writingD. consider literacy as of non-neutral nature3. Arigbede worked with Nigerians probably to ______.A. teach American customs and ideologyB. make a choice of culture to be fosteredC. reject the values of the dominant classD. help maintain Nigerian language and culture4. According to the author, "choral reading" may represent ______.A. individualismB. collectivismC. competitionD. immersion5. Animator ideology emphasizes more on ______.A. the social function of literacyB. students' performance in testsC. the dominant group's languageD. the attainment of life skillsPassage TwoAccording to one survey of 12, 000 people, about 30 percent of those making New Year's resolutions say they don't even keep them into February. And only about 1 in 5 actually stays on track for six months or more, reports eDiets, com, a consumer diet and fitness Web site.But don't let those odds make you reach for the nearest bag of potato chips. Experts say you can keep those resolutions long term, even if you're struggling now."The motivation comes from within, and so when you find that you're declining in your healthy eating program, and then just ask yourself, 'Is this going to get me the results that I want?'" says Leslie Stewart, a registered dietitian and licensed nutritionist."And if you're doing something every day to eat healthy, then that's going to pay off in the long run."Stewart advises to use what she calls the 90 -10 eating rule."If you're eating healthy 90 percent of the time, then 10 percent of the time, you can cut yourself some slack and eat pleasurably."She says she believes that "healthy eating is evolution instead of resolution."The same principle can be applied to a lagging exercise resolution, too.Staying motivated is key to long-term success, and reviewing original goals can help strengthen a weakening workout program.Adding variety to a fitness regime also can prevent you from hanging up those exercise shoes. After a few weeks of well-intentioned workouts, boredom may be creeping into your routine.Setting goals too high is another common mistake, "If you're not running a marathon at the end of the month, don't worry," said Mayo Clinic experts. A too intense workout—and the resulting pain and stiffness—is discouraging and may force most to abandon a program. Starting slowly is key.But if your goals already have fallen by the wayside, Uria says to start up again immediately."A little setback is OK; get back on the horse and ride... drive toward that goal," he says.6. According to the author, only about 20% people keeping their resolutions does not necessarily mean that ______.A. the figure is rather depressing and unexpected as wellB. those who have made their resolution should give up their effortC. whoever keep their resolutions should start eating potato chipsD. long-term resolutions are not important for those facing troubles7. What is the idea behind the 90-10 eating rule acording to the passage?A. You should keep eating healthy 90% of the time.B. You should feel to eat 10% of the time.C. You should learn to eat healthy gradually.D. Sudden change will be more efficient and effective.8. Which of the following you should avoid to keep yourself interested in exercise?A. Hanging up your exercise shoes if you feel tired.B. Keeping boredom away from your daily activity.C. Making a schedule with too high goals in it.D. Running a marathon at the beginning of the month.9. How many suggestions at least have been introduced concerning the exercise resolution?A. FourB. FiveC. SixD. Seven10. What is critically important in making long-lerm resolutions successful?A. You should be struggling with yourself all the time.B. You should constantly evaluate the results you want.C. You should try to keep yourself motivated.D. You should try your best to diversify your fitness practice.Passage ThreeOur present generation of cultural critics, arriving after the assault of postmodernism and the increasingly widespread commercialization of culture, has been cast adrift, without any firm basis for judgments. Publications and institutions to support serious criticism, in this view, either no longer exist or are few in number.Critics today, it is also claimed, are too cozy behind the ivied walls of academe, content to employ a prose style that is decipherable only to a handful of the cognoscenti. The deadly dive of Uniersity critics into the shallow depths of popular culture, moreover, reveals the unwillingness of these critics to uphold standards. Even if the reasons offered are contradictory, these Jeremiahs huddle around their sad conclusion that serious cultural criticism has fallen into a morass of petty bickering and bloated reputations.Such narratives of declension, a staple of American intellectual life since the time of the Puritans, are misplaced, self-serving, and historically inaccurate, so difficult to prove. Has the level of criticism declined in the last 50 years? Of coarse the logic of such an opinion depends on the figures that are being contrasted with one another. Any number of cultural critics thriving today could be invoked to demonstrate that cultural criticism is alive and well.But many new and thriving venues for criticism and debate exist today, and they are not limited solely t6 the discussion of literary works. Actually, they became so entrusted with their own certitude and political judgments that they beacme largely irrelevant. Today the complaint is that literary culture lacks civility. We live in an age of commercialism and spectacle. Writers seek the limelight, and one way to bask in it is to publish reviews that scorch the landscape, with Dale Peck as the famous, but not a typical case in point. Heidi Julavits, in an essay in The Believer, lamented the downfall of serious fiction and reviewing. She surveyed a literary culture that had embraced "snark", her term for hostile, self-serving reviews.The snark review, according to Julavits, eschews a serious engagement with literature in favor of a sound-bite approach, an attempt to turn the review into a form of entertainment akin to film reviews or restaurant critiques. A critic found cultural criticism to be in "critical condition". For him, the postmodern turn to theory, in its questioning of objectivity, cut the critical, independent ground out from under reviewers. The rise of chain bookstores and blockbuster best sellers demeaned literary culture, making it prey to the commercial values of the market and entertainment.The criticism does not seem discontinuous. Nor should we forget that civility rarely reigned in the circles of New York intellectuals. The art critic Clement Greenberg physically pummeled the theatre critic Lionel Abel after Abel rejected the view that Jean Wahl, the French philosopher, was anti-Semitic. Though Robert Peck has the reputation of a literary hatchet man, so far as I know his blows thus far have all been confined to the printed page.Cultural criticism has certainly changed over the years. The old day's of the critic who wielded unchallenged authority have happily passed. Ours is a more pluralistic age, one not beholden to a narrow literary culture. The democratization of criticism—as in the Amazon system of readers' evaluating books—is a messy affair, as democracy must be. But the solution to the problems of criticism in the present is best not discovered in the musty basements of nostalgia and sentiment for the cultual criticism of a half-century gone. Rather the solution is to recognize, as John Dewey did almost a century ago, that the problems of democracy demand more democracy, less nostalgia for a golden age that never was, and a spirit of openness to what is new and invigorating in our culture.11. What is the possible connection between cultural critics and publications and institutions?A. Cultural critics attack postmodernism and commercialization cherished by publications and institutions.B. Postmodernism and commercialization are attacked by the serious publications and institutions.C. Cultural criticism is short of judgments and will not exist without the support of publications and institutions.D. Publications and institutions show almost no interest in serious cultural criticism.12. How do the university critics like the serious cultural criticism?A. Cultural criticism is not serious enough when the articles are written in the cozy prose style.B. Popular culture is so prevailing that serious critics are not willing to keep to the shallow standards.C. Serious cultural criticism is full of insignificant quarrels and the public do not really trust it.D. Cultural critics have become so serious as to tell the stories imbued with American intellectual Puritanism.13. What is the author's opinion of the current complaint about the literary expansion into the other fields?A. When literary critics discuss issues with political judgments, their views are likely to be meaningless.B. It is reasonable for writers to seek limelight since we are living in the age of commercialism.C. Critics should be encouraged to write and publish poignant articles which would scorch the landscape.D. It is the critics' responsibility to lament the downfall of serious fiction and reviewing.14. What does "the snark review" refer to according to Heidi Julavits?A. Cultural reviews which are unfriendly and selfless.B. Literary reviews avoiding serious criticism.C. Entertainment reviews in the film industry.D. Postmodern reviews independent of objectivity.15. In order to find a way out the current dilemma for the cultunal criticism, the author suggests that ______.A. we should return to the old days when the critics passed their judgments without challengesB. pluralism should be held back, reinforcing the unchallenged authority in the literary criticismC. democriatic criticism should not be adopted because it is rather messy as proved in the Amazon systemD. we should encourage more democracy, dismiss nostalgia and cultivate an open attitudePassage FourIn July, almost unnoticed by the national press, a deadly bird virus arrived on a pheasant farm in Surrey. Experts from the Department for the Environment, Food and Rural Affairs (Defra) identified Newcastle disease, a virus usually mortal to turkeys and geese but not humans, in a flock of 9,000 pheasant chicks imported from France ahead of the shooting season.Within hours of the diagnosis, veterinary experts had swung into action, throwing up a 3km exclusion zone around the farm near Cobham and culling 10,000 birds. The carcasses were burned and premises cleaned to stop the virus escaping. It was four weeks before Defra's Veterinary Exotic Diseases Division felt it was safe for poultry move virus has reached Turkey, similar emergency plans are being readied by officials from Defra and other agencies. The scenario they are preparing for is that the H5Nlvirns, which so far has led to the culling of billions of chickens in south-east Asia and 60 human deaths, will soon arrive on these shores.What happens next depends on where the outbreak occurs, whether it can be contained, and most important of all—whether it mutates to become infectious between people. So far, only poultry workers or those directly exposed to chicken faeces or blood are thought to be at risk, though direct human-to-human transmission cannot be ruled out."Every time a new person gets infected with the virus there is a small chance that person will trigger a pandemic," said Neil Ferguson, a scientist at Imperial College, who has been running simulations on what might happen were H5N1 to reach Britain. "It's a very small chance, probably 1 in a 1,000, 1 in 10,00O or less."Should diseased birds reach Britain, the first step for veterinary officials would be to contain the outbreak as they did with Newcastle disease. An amber alert would be sounded and samples sent to the Veterinary Laboratory Agency (VLA) in Weybridge, Surrey. If lan Brown, the head of avian virology, there, confirms the cause of death as HSN1, the alert level will be raised to red and a whole series of emergency procedures, from quarantine,restriction of poultry movements to culling, will swing into action. Other agencies, such as the Department of Health—the Health Protection Agency and the Ministry of Defence, would be brought into the loop. In the event that the outbreak cannot be contained, Defra may have to consider mass culling programmes and the possibility of vaccination.At this point, with the risk of the virus spreading to human populations, the Department of Health would appoint a UK national influenza pandemic committee to coordinate the response of hospital trusts and local authorities. The Civil Contingency Secretariat (CCS) of the Cabinet will also be alerted and Cobra, the emergency committee which coordinates Whitehall's response to terrorism, readied for a possible breakdown in civil order.The Department of Health's pandemic preparedness plan published in March envisages as many as 54,000 Britons dying in the first few months of a flu pandemic. But in June, CCS officials warned that that could be an underestimate. The more likely figure, they said, was 700,000—a projection the Department of Health is expected to take on board when it updates its pandemic plan later this month.In the most serious case, officials estimate there would be as many death sin the 12 weeks of an epidemic as there usually are in a year. At the peak of the pandemic, 19,000 people would require hospital beds, prompting councils to requisition schools to accommodate the sick.To treat the dying, the government would begin drawing down its stockpiles of Tamiflu (药名), an anti-viral drug that treats flu. But with only 14m courses, enough for a quarter of the population, likely to be available, sooner or later rationing would have to be imposed, with health professionals and essential civil servants the first in line. The govenment would also come under pressure to release stores of its precious flu vaccine. At present there are contingency plans for just two to three million doses. But there is no guarantee that vaccines which protect against annual human flu strains will also work against H5N1.The consequences hardly bear thinking about. Earlier this year, in a dress rehearsal in the East Midlands codenames Operation Arctic Circle, officials quickly concluded that mass mortuaries would be needed to bury the dead. But no one knows whether, in the event of a pandemic, any of these measures will prove effective. John Avizienius, senior scientific officer at the RSPCA and a member of Defra's avian influenza stakeholder group, said: "All you can do is plan for the worst case scenario."The fear is that wild geese moving from western China to Siberia may have spread the virus to several species of ducks and gulls that briefly visit British shores on their annual migration north. These ducks, many of which may not show signs of illness, may be passing on the virus to poultry on British farms.In the hope that they are not, Defra and the Wildfowl and Wetland announced last week that they would be conducting tests on 11,000 wild birds—three times the normal level. "The risk of avian influenza spreading from eastern Russia to the UK via migrating birds is still low," said Defra's chief vet, Debby Reynolds. "However, we have said all along that we must remain on the look out."16. What does the "scenario" in Para. 2 mean to Turkey?A. Turkey will be exposed to the nationwide aggression of the deadly virus as the most severely attacked country on these shores.B. Turkey must kill billions of chicken and other kinds of poultry.C. Turkey has to be responsible for the arrival of HSN1 on these shores.D. All the veterinary experts in Turkey will soon swing into action.17. What is, according to Nell Ferguson, the possible risk of bird flu if one gets infected?A. Anyone's infection will trigger pandemic though it is probably one in ten thousand.B. That each time a person gets infected with the virus will cause an enormous pandemic bird-flu.C. The person infected with the virus will do great harm to people around him.D. It is impossible that the virus infection of a certain person will cause a national bird virus spreading.18. The change of alert colors from amber to red implies that ______.A. all poultry workers must leave their working places as soon as possible.B. the officials in the Department of Health must call for much more of international assistance.C. the most serious situation of bird-flu has appeared.D. the change of the color functions greatly as the weather reports do.19. What are the steps taken by the Department of Health of UK with the risk of the virus spreading to human population?A. The Department of Health required Civil Contingency Secretariat to publish documents for the pandemic preparedness.B. The Department of Health required the UK national committee to co-work with hospital trusts and local authorities.C. The Department of Health required Civil Contingency Secretariat to make a pandemic plan as soon as possible.D. The Department of Health requires every hospital to store Tamiflu, the precious flu vaccine.20. British government's fear of the wild geese from western China to Siberia is due to ______.A. the domestic ducks and gulls infected by the imported geese to Britain.B. the poultry on British farms has been infected by the immigrated wide geese.C. the migration of the wild geese every winter.D. British shores infected by the geese virus.Part ⅡTranslation (40 points)Part A Translate the following short paragraphs into Chinese. (20 points)21. Everyone has something they are ashamed of, afraid of or that they feel guilty about. Each of us, in our own way, has devised a neat little method of handling our dark side. We may know how to hide it. Few of us know how to heal it. When we refuse to admit what we have done in the past, we block out path to the future. No matter how terrible we think we are, how bad we belive we have been, how law we think we have fallen, we can clean our minds and begin again.22. We expend so much energy trying to fix who we are, we rarely get to know ourselves. If we realized how precious the gist of life is, we would not waste a moment trying to improve it. If we really understood how precious we are to the gift of life, we would not waste time trying to fix ourselves.23. We cannot draw to us more than we believe we are worth. Everything that happens to us and every choice we make is a reflection of what we believe about who we are. Our inspiration comes from our self-acceptance. Our motivation comes from our self-reliance. When we accept ourselves and rely on ourselves, we feel good about ourselves. When you feel good about something, you believe in it. When you believe in it, it will work for you!24. It is of little consequence what your past has been. What matters to you and for you is right now. It is not your concern what others may be saying or doing. When you are taking care of yourself, you have very little time to pay attention to others. People can love you or hate you, ignore you or dote on your every word. No matter what anyone else may think or do or say, it has very little impact on who you really are. It is only in your mind that you build or destroy the esteem for your "self". Selfesteem begins and ends with you. When you have it, you have it and no one can take it away from you.Part B Translate the following paragraph into English.现在，成千上万的美国人沉湎于对身材苗条的追求之中。
北理工2006年电路分析试题A、B卷
－jΩ
jΩ
1Ω
+
U
－
U 2
－
图 14
。 八、 （10 分）求图 15 所示电路中电流 I 1 I 1 :2
1
10 0° V
+
3Ω
j4Ω
－j4Ω
－
4Ω
图 15
6
。 七、 （8 分）用戴维南定理求图 14 所示电路中电流 I
2Ω + 5 0 oV －
－j2Ω
3Ω j2Ω
I
j3Ω
图 14
八、 （10 分）图 15 所示正弦稳态电路中 us(t) = cos (t+90° )V，is(t) =cos t A，求 i(t).
i(t) 2Ω + us(t) － 2H 0.2F 4Ω 0.2F
北理工2006年电路分析试题ab卷北理工自主招生试题电路分析基础试题电路分析试题及答案电路分析期末试题电路分析试题电路分析基础期末试题电路分析考试试题电路分析试卷电路分析期末试卷
课程编号：BJ053002
北京理工大学 2006 – 2007 学年第一学期
2005 级电子类电路分析基础期末试题 A 卷
+
2Ω
U
－
12Ω C
u －
+ uc
－
图8
图9
5．图 9 所示电路中已知 u 的有效值 U=20V，电流 I 的有效值 I=1A，求电容 C 两端电压 的有效值 Uc。 三、 （8 分）图 10 所示正弦稳态电路中 RL=？时 获得最大功率。 1 :2
+ us
－
2A I 3Ω + 10V － 1Ω 2Ω 2Ω
高数期中考试试卷
北京化工大学20062006——————20072007学年第一学期《高等数学》（上）期中考试试卷一、填空（每空3分，分，33分×分×27=8127=81分）1．设xx f e )(=，x x x g ln )(=，其中0>x ，1¹x ，则())(x g f = 。
2．设x x x x f e 1)e 1()(+-=，判断)(xf 的奇偶性，则)(x f 是 函数。
函数。
3．曲线x y sin =在p =x 处的切线方程是处的切线方程是 。
4．已知)(x y y =是由方程yx y e 1+=所确定的隐函数，则=)0('y 。
5．设x x x f sin )(=，2x u =，则u f d d = 。
6．设xx x f ÷øöçèæ+=11)(，其中0>x ，则)('x f = 。
7．设ïîïíì-=-=321tt y t x ，则22d d x y = 。
8．设21arcsin x y -=，其中0>x ，=y d 。
9．在括号中填入适当的函数d ( )=x x d 3sec 21010．．()x x x x x --++¥®l imlim = 。
11．x x x x x 20sin cos 1)1(ln )1(ln lim +--++®= 。
12．x x x tan 2)(sin lim p®= 。
13．已知当0®x 时，2~1ln kx x x +，则k = 。
14．1ln 2)(--=x x x f 的一个无穷间断点为x = 。
15．设)1(e )(--=x x a x f x ，已知1=x 为可去间断点，则0=x 是第是第 类间断点。
类间断点。
16．函数xx f 2)(=的n 阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项是阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项是 。
2006-2007第一学期随机数学期中考试试卷答案
北京交通大学2006----2007学年第一学期《随机数学》期中考试试卷一、本题满分30分，每小题5分1.设事件A，B，C两两独立，且解：2. 从混有5张假钞地20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中1张拿到验钞机上检验，结果发现是假钞，求抽出地2张都是假钞地概率.解：A=“抽出地2张中至少有一张是假钞”， B=“抽出地2张全是假钞”，3.设随机变量X地概率密度函数，若数a使，求a.解：显然，且4．已知随机变量X地可能取值为-1，0，1，2，其相应地概率依次为<1）求c地值；<2）求X地分布函数解：<1）由分布律地性质，知<2）5．某种布每平方M地疵点数X服从地泊松分布，求每平方M这种布地疵点数多于1不超过4地概率.解：X地分布律：，P{每平方M这种布地疵点数多于1不超过4}=6．设随机变量相互独立，且都服从参数为5地指数分布，求；解： ,二．本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分．7. 设某城市男子身高<单位cm），若公共汽车车门地高度为176cm, 求3个男子同时乘车至少有1人与车门碰头地概率.解：任一男子身高超过176地概率为：Y=“3个男子同时乘车与车门碰头地人数”，则B=“3个男子同时乘车至少有1人与车门碰头”8．对圆片直径进行测量，测量值，求圆片面积Y地概率密度.解：X地概率密度，时，严格单增处处可导，其反函数为，时，，圆片面积Y地概率密度9．甲、乙两人约定在某地相会，假定每人地到达时间是相互独立地，且均服从中午12时到下午1时地均匀分布.试求先到者需等待20分钟以内地概率.解；设甲于12时X分到达，乙于12时分到达，则X，Y相互独立，且都服从[0，60]上地均匀分布.，A=“先到者等待20分钟” =10．设二维随机变量<X，Y）地概率密度函数为求随机变量地概率密度函数.解：，11．设随机变量X和Y相互独立，且，，<1）求p地值； <2）求X和Y地联合分布律；<3）求Z=max(X,Y> 地分布律.解：<1），，， .<2），，<3），，三．本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．12．设有来自三个地区地各10名、15名和25名考生地报名表，其中女生地报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区地报名表，从中先后抽出两份.（1）求先抽到地一份是女生表地概率；（2）已知先抽到地一份是女生表，求后抽到地一份是男生表地概率.解：{第次抽到地一份是女生表}{报名表是来第自地区地}，，，<1）由全概率公式<2），13．设二维随机变量<X，Y）地概率密度函数为<1）. 求边缘概率密度函数.； <2）判断X和Y是否相互独立；<3）求； <4）求.解：<1），，，<2）故X和Y相互独立.<3），<4）14．设随机变量X地概率密度函数定义随机变量为：，<1）求二维随机变量地联合分布律，以及各自地边缘分布律；<2）求W=UV地分布律.解：<1），<2）地可能取值 -1，1申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
北京理工大学2007-2008学年第一学期数学分析B期末试题(B卷)
a
f (x)dx
af (a)
Ma 2
.
0
2
2
8分设室温为200c恒温一个表面温度为1000c的热物体经过20分钟冷却到600c假定任意时刻热物体表面温度的下降速度与物体表面温度和室温的差值成正比问t分钟后该物体的表面温度为多少
课程编号：A071001
信息与电子学部学生会 学习部整理
北京理工大学 2007-2008 学年第一学期
2007 级数学分析 B 期末试题(B)
假定任意时刻热物体表面温度的下降速度与物体表面温度和室温的差值成正比, 问 t 分钟后该物体的表面温度为多少?
六. (14 分)设函数 f (x) 连续, 且满足方程
x
(x
t)
f
(t)dt
xex
f
(x)
,
求f
(x)
.
0
1
信息与电子学部学生会 学习部整理
七. (8 分)设对(,) 内任意两点 x1, x2 , 函数 f (x) 都满足 f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) , 且 f (x) 在 x 0 处连续, 证明 f (x) 在 (,) 内连续.
, b
, c
.
1 2x
9. 由曲线 y x 与直线 x 4 及 x 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积等
于
.
10. 微分方程 dy 4xy 2x 的通解为
.
dx
二. (8 分)计算定积分 x sin xdx.
0
2
三. (8 分)求函数 f (x) 3 (x 2 2x)2 在[2,3]上的最大值和最小值.
八. (8 分) 已知 x 0 时 f (x) x2 ln(1 t 2k ) dt 与 g(x) a(cos x 1)(1 1 x ) 是2 等价
2006——2007学年第二学期数学分析试题B答案
2006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1. 12. ≤3. 1、04. 05. ''()()x t y t 与不同时为06. ()x e C ϕ+7. 绝对收敛8. 1p >9. 充要条件 10.[,]a b 二：判断（16分）⨯∨⨯∨∨⨯⨯⨯三：计算下列各题（15分）2222212221()(3)21241)241(1) (5)22x x x x x x C ====-+⎰⎰分分分2令6x u =则原式变为523216(1)(3)16(ln |1|)326ln |1| 5u u du u u u u u C C ==-+-+=-+-++=+⎰⎰分（分）2020220020cos 3sin cos 1cos sin sin cos (3)2sin cos 11(sin cos )22sin cos (ln |sin cos |)| (4)44d d d d πππππθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπ++-+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰分分 (5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数0011,12121n n n x n n ∞∞====±++∑∑2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)- （4分）设3521()3521n x x x F x x n +=++++++在收敛区域||1x <内逐项微分之，得'2321()11F x x x x =+++=- （5分） 注意(0)0F =，即得2011()ln (||1)121xdt xF x x t x+==<--⎰于是当||1x <时，有352111ln (||1)352121n x x x x x x n x+++++++=<+- （7分）2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x t x t x dte dt e 022022lim 解：该极限是∞∞型的不定式极限，利用洛必塔法则有 ()22222222222020lim2lim(3)2lim (5)2lim20 (7)x t xx t x xt x x xt x x xxx e dt e dte e dtee dte e xe →∞→∞→∞→∞====⎰⎰⎰⎰分分分112(1)3lim sin sin sin1(1)lim sin (3)n n n i n n n n n i n n ππππππ→∞→∞=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-=⋅∑分其中的和式是()sin f x x =在区间[0,]π上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),i i i x nn ππξ-∆==为小区间1,(1)[][,]i i i i x x n nππ--=的左端点，1,2,,i n =故有12(1)lim sin sin sin1sin (6)n n n n n n xdxπππππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎰分1(cos )|2(7)x πππ=-=分4 解：为方便起见。
2006年北京大学数学分析试题解答(初稿)
2006年北京大学数学分析考试试题解答说明: 本试题解答由SCIbird 提供，博士家园论坛首发。
大家若有转载，请注明转自博士家园论坛。
这份解答是以根据论坛上网友所发的06北大数学分析试题手抄本为基础, 加上自己的理解修改整理而成. 我本人对题目略做改动, 第4题将被积表达式由2次项改为3次项, 第8题将最后问题中的积分区间由[a , b ]改为[c , d ]. 另外, 本套题是我在论坛上发的最后一套真题解析, 自此以后我将不再发任何真题解答. 加上之前我发过的5套真题解答总共6套真题解析, 希望这6套真题解答会对大家的学习有所帮助. 至于以后的真题解答还是请数学系的专业人士来写吧, 我本人已无多余时间和精力来写数分和高代解几真题解答了. 现在的我想把张筑生老师的<<微分拓扑新讲>>和<<微分动力系统原理>>彻底看完, 以完成我本科时许下的愿望. 最后, 我还是希望每年都能品尝到北大的数分和高代解几大餐的, 这就要拜托论坛上考北大的朋友们了. 感谢大家对我的支持, 在新年即将到来之际, 为大家送去一份祝福, 祝福大家新年好运到!1. 确界原理是关于实数域完备性的一种描述, 试给出描述实数域完备性的一个其它定理并证明其与确界存在原理等价.证: 确界存在原理 ⇔闭区间套定理. 证明如下:⇒. 设,{[]}n n a b 为一个闭区间套, 令{}n S a =, 则S 有上界n b . 由确界存在原理知S 有上确界ξ且n b ξ≤. 下证ξ为闭区间套序列,{[]}n n a b 的惟一公共点. 假设另有一公共点η, 则由0n n a b ξη−≤→−+, 知ξη=.⇐. 设数集S 为一有上界的集合, M 为其一个上界. 不妨设S 中无最大值, 0S x ∀∈, 将区间0[],x M 二等分, 若右半区间含有S 中的点就记右半区间为11[,]a b , 否则记左半区间为11[,]a b . 然后对11[,]a b 二等分, 仿照前面的方法选出22[,]a b . 如此无限下去, 我们可以得到一个闭区间套序列,{[]}n n a b .由闭区间套定理可知, 存在惟一的公共点,[]n n a b ξ∈,n ∀∈`. 由闭区间套的构造方法知n b 为S 的上界, 所以lim n n b ξ→∞=也是S 的上界.现0ε∀>, 因为0lim ()n n n b a →∞−=, 所以存在0n 使得0n n b a ε−<.故0n n a b εξε>−≥−. 这就证明了sup S ξ=.注: 关于实数完备性的几个基本定理的互推是十分重要的, 不光是为了理论上的完善, 这里面也有许多精巧的方法和深刻的数学思想, 是训练扎实基本功的好方法!2. 设323621(,)f x y x xy y x y =+−−++, 求(,)f x y 在22(,)−处的二阶带Peano 余项的Taylor 展开. 问(,)f x y 在2\上有哪些关于极值的判别点, 这些判别点是否为极值点?说明理由. 解: 直接计算得,2336322,f f x y x y x y∂∂=+−=−+∂∂ 及 22222632,,ff f A x B C x y x y∂∂∂======−∂∂∂∂ , 则泰勒展开为:00002222222000000222(,)(,)()()()()()()[()()]f f f x y f x y x x y y x yf f f x x x x y y y y o x x y y x y x y ∂∂=+−+−∂∂∂∂∂+−+−−+−+−+−∂∂∂∂ 取0022(,)(,)x y =−, 可知22227122821226222222(,)()()()()()()[()()]f x y x y x x y y o x y =−++−−−+++−−−+++−令0f x ∂=∂, 0f y∂=∂ 解得极值判别点(驻点)为 172224(,)(,),(,)x y =−− (1). 当22(,)(,)x y =−−时, 1232,,A B C =−==−.因为249150120,A BA B C=−=>=−<, 所以22(,)−−为极大值点. (2). 当1724(,)(,)x y =时, 332,,A B C ===−因为0A B B C <, 所以1724(,)非极值点.注: 关于多元函数Taylor 展开, 及利用二阶偏导数判断极值的充分条件是基本定理, 要熟记在心. 我们在平时最好记忆一些基本定理低维情形的推导过程, 这里面有很多不错的数学思想值得借鉴. 比如求二元函数的Taylor 展开, 一个经典证明是利用一元函数Taylor 展开式, 即令()(,)t f x h y k ϕ=++, 对1()ϕ在0t =点作Taylor 展开, 想法十分巧妙!3. 设325(,)||F x y y x x y y =++−.a). 证明方程0(,)F x y =在(,)−∞+∞上确定惟一的隐函数()y f x =;b). 求()f x 的极值点.证: 32325050,(,),y x xy y x F x y y x xy y x ⎧⎪++−≥⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎪⎩a) 我们只需证明0(,),x ∈−∞+∞∀ 存在惟一的0y 满足000(,)F x y =. 当00x =时, 显然只能取05y =.当00x >时, 记20305()g y y x x y y =++−, 则由05()g =−及lim ()y g y →+∞=+∞可知存在00y >, 满足00()g y =, 即000(,)F x y =. 这就证明了0y 的存在性.又因为2200310()g y x y x ′=++>, 故()g y 在(,)−∞+∞上单调递增. 这就证明了0y 的惟一性.当00x <时, 记20305()h y y x x y y =−+−. 则仿照上面的证明可知, 存在惟一 的00y >满足000(,)F x y =且0()h y ′>.综上讨论, 我们证明方程0(,)F x y =在(,)−∞+∞上确定惟一的隐函数()y f x = 其中, 0():(,)f x →+∞\. b) 0x =是函数()f x 的惟一极值点.由(,)F x y 的表达式可知(,)F x y 在平面上连续, 由a)的证明过程可知00(,),x ≠∈−∞+∞∀ 存在惟一的0y 满足000(,)F x y =且000(,)y F x y ′>.又(,)F x y 具有一阶连续的偏导数, 由隐函数定理可知0x ≠时, ()y f x =连续可导. 当0x >时,22220311(,)(,)()()x y F x y y xy f x F x x y y x ++′′=−−+=<′ (这里0()y f x =>)当0x <时22220311(,)(,)()()x y F x y y xy f x F x x y y x −−′′=−−+=>′ (这里0()y f x =>)所以从导数符号变化可知0x =是函数()f x 的惟一极值点, 且为极大值点.注: 一般的隐函数存在定理都是局部的, 而对大范围内隐函数的存在性是个难题. 本题利用隐函数的定义来证明大范围内隐函数的定理. 大致思想是证明方程有根, 利用函数连续性证明根存在, 再利用单调性证明了根的惟一性. 至于判断极值, 便要用到导数了, 为此要熟悉隐函数求导.4. 计算第二类曲面积分 333dydz y dzdx I x z dxdy Σ=++∫∫其中曲面∑为椭球面 2222221x y z abc++=, 方向取外侧.解: 由Gauss 公式得,2223()I x y z dxdydz Ω=++∫∫∫, 其中Ω为题中椭球面所围区域.作变换 123,,x ax y bx z cx ===, 则由重积分变量替换公式可知 22212322222212311233()x x x I a x b x c x abcdx dx dx ++≤=++∫∫∫-------(*) 因为22212321222123012212345()sin x x x x x x dx dx dx d d r r dr ππθϕϕπ++≤++=⋅=∫∫∫∫∫∫ 再由积分式及积分区域的对称性, 得2221234413515x dV x dV x dV ππ===×=∫∫∫∫∫∫∫∫∫最后代回(*)式可得, 22245()I abc a b c π++=. 注: 本题方法很多, 我只采用了一种方法算是抛砖引玉吧. 对闭曲面的第二类曲面积分, 通常首选Gauss 公式, 化为三重积分. 其它方法比如利用曲面参数式 cos sin ,sin sin ,cos x a y b z c θϕθϕϕ===或者直接计算, 或者化为第一类曲面积分再利用曲面第一基本式等等, 区别可能只是计算量有些差异. 在计算时不要一味死算硬算, 要观察问题特点, 利用对称化简计算. 另外, 很容易看出本题结果具有轮换对称性, 实际计算只需算一项即可, 其它两项可轮换得出.5. 证明: 广义积分sin xdx x+∞∫收敛, 并计算此积分. 证: 0A ∀>,02sin cos cos Axdx A =−≤∫, 而1x单调递减趋于0.所以由狄利克雷判别法知广义积分sin xdx x +∞∫收敛. 我们引入收敛引子txe−, 记00sin ()()txxI t e dx t x+∞−=≥∫ 因为1sin sin txtxxedx xdx xxe+∞+∞−=∫∫, 所以由狄利克雷判别法知此积分收敛及()I t 是连续的. 对t 求导并由分部积分计算得到,(因为求导后的积分对0t ≥是一致收敛的, 所以求导是允许的)211)s (in tx x I e tdx t +∞−′=−=−+∫积分得, ()arctan I t t C =−+.再由()I t 的定义式可知, 0lim ()t I t →+∞=, 故2C π=. 所以由()I t 的连续性, 得02sin lim ()t xdx I t x π+∞→+==∫.注: 本题是一个相当经典的积分, 甚至可以当作定理了, 证明方法更是种类繁多, 各有特色. 这里我选用的方法是"收敛因子"法, 之所以选用此方法是因为它是很一般的通用方法, 操作简单(主要是微分和积分运算), 门槛也不高. 另一方面, "收敛因子"不仅仅是一个技巧的事, 更是一种相当重要的数学思想. 这方面最成功的一个代表就是Laplace 变换!6. 设(,)f x y 是定义在(,)[,]a b c d ×上的函数, 当x 固定时对y 的连续. 取定0(,)x a b ∈, 设对任意[,]y c d ∈, 极限0lim (,)()x x f x y g y →=收敛.证明: 重极限000,lim(,)()x x y y f x y g y →→=对任意0[,]y c d ∈都成立的充分必要条件是极限lim (,)()x x f x y g y →=在[,]c d 上一致收敛.证: 充分性. 任取0[,]y c d ∈, 0ε∀>, 因为(,)f x y 当x 固定时对y 的连续, 所以10δ∃>使得当01y y δ−<时, 02(,)(,)f x y f x y ε−<. 又0lim (,)()x xf x yg y →=在[,]c d 上一致收敛, 故20δ∃>, 当02x x δ−<时,002(,)()f x y g y ε−<. 取12min{,}δδδ=, 则当00,x x y x δδ−<−<时, 000022(,)()(,)(,)(,)().f x y g y f x y f x y f x y g y εεε−≤−+−<+= 这就证明了重极限000,lim(,)()x x y y f x y g y →→=对任意0[,]y c d ∈都成立.必要性. 这几天一直被这个问题卡住了, 实在是思考不动了, 以后有时间在补上吧sigh !7. 设()f x 是定义在[,]a b 上的有界函数, 给出并证明()f x 在[,]a b 上的Riemann 和的极限101()lim()()ni i i i f x x λξ−Δ→=−∑收敛的Cauchy 准则. 解: Riemann 和极限收敛的Cauchy 准则:有界函数()f x 在[,]a b 上的Riemann 和的极限收敛的充分必要条件是,00,,εδ∀>∃> 使得对[,]a b 的任意分割101:n a x x x b <Δ=<<="和 021:m a x x x b ′<′′Δ=<<=", 以及任意介点1,[]i i i x x ξ−∈, 1,[]j j j x x η−′′∈, 只要其相应的最大模 12(),()λδλδΔ<Δ<, 就有1111()()()()n mi i i j j j i j f x x f x x ξηε==−−′′−−−<∑∑.充分性证明.0ε∀>,0δ∃>, 任取一分割Δ满足()λδΔ<依Cauchy 准则有11112()()()()i i i i i n ni i i f x x f x x εξη==−−−−−<∑∑ 在1,[]i i x x −上, 用sup (),inf ()i i M f x m f x ==分别代替()i f ξ与()i f η, 并记相应的 达布上和为()S Δ, 达布下和为()s Δ. 则有2|()()|S s εεΔ−Δ≤< 这就证明了()f x 在[,]a b 上的Riemann 和的极限收敛.必要性证明. 设()f x 在[,]a b 上的Riemann 和的极限收敛, 相应极限值为I . 则 00,,εδ∀>∃> 对满足12(),()λδλδΔ<Δ<的任意分割12,ΔΔ, 有112()()ni i i i f x x I εξ−=−−<∑ , 112()()mj j j j f x x I εη−=′′−−<∑ 所以由三角不等式, 得1111111122()()()()()()()().i i i j n mj j i j n mj j j i i i i j f x x f x x f x x I I f x x ξηεεξηε−−−−====′′−−−′′≤−−+−−<+<∑∑∑∑注: 有的书上把Cauchy 准则称作Cauchy 定理, 应用范围很广, 从数列到级数, 到广义积分, 到Riemann 积分等等. 不管怎么说吧, 基本上可以看作是从数列中的Cauchy 收敛原理演化而来. 我们这里抽象地归纳下Cauchy 准则的”套路”(作为模版吧):00,εδ∀>∃>, 对于任意两个抽象的量12,ΔΔ, 只要它们与δ满足某种关系,就有 21()()εΔ−Δ<P P .8. 设{()}n f x 是(,)−∞+∞上一连续函数列, 满足存在常数M , 使得对于任意()n f x 和(,)x −∞+∞∈恒有)||(n x f M ≤, 即一致有界. 假定对(,)−∞+∞中的任意区间[,]a b 都有 0(lim)bn an x dx f →∞=∫. 证明: 对任意区间(,[,])c d −∞+∞⊂以及[,]c d上绝对可积函数()h x 恒有0(im )()l dn cn x h x dx f →∞=∫.证: 我们分两种情形讨论.(1). 当()h x 在[,]c d 上有界时, 0ε∀>, 存在[,]c d 的一个分割01:k c x x x d Δ=<<<=", 满足1()ki i i M m ε=−<∑.其中在1,[]i i x x −上, sup (),inf ()i i M f x m f x ==. 构造阶梯函数()g x , 1(),,(]i i i g x m x x x −∈=, 则()g x 满足1|()()|()kdci i i f x g x dx M m ε=−≤−<∑∫.因为()()()()()||()()||dddn n n cccx h x dx x g x dx x h f f x g x dx f ≤+−∫∫∫注意到由已知条件)||(n x f M ≤知()||(|)()|dn cx h x g f dx M x ε−<∫.又对(,)−∞+∞中的任意区间[,]a b 都有 0(lim)bn an x dx f →∞=∫以及无穷小的有限可加性, 故110()()()ii kdn i nci x x x g x dx f x dx f m −=→=∫∑∫ (当n →∞).因此存在0N >, 当n N >时()()dn cx g x dx f ε<∫.所以, 当n N >时,()()dn cx h x dx f M εε<+∫.这就证明了0(im)()l dn cn x h x dx f →∞=∫.(2). 当()h x 在[,]c d 无有界时, 我们可以设()h x 在[,]c d 只有一个奇点, 否则只需分段讨论即可. 不妨设d 为惟一奇点., 因为()h x 在[,]c d 上绝对可积, 所以0ε∀>, 0δ∃>,使得2|()|dd h x dx Mδε−<∫. 又()h x 在[,]c d δ−上有界, 故由(1)结论可知存在0N >, 当n N >时2()()d n cx h x dx f δε−<∫ 所以,()()()()|()||()|dd dn n n ccd x h x dx x h x dx f x d f f h x x δδ−−≤+∫∫∫22.MM εεε<+⋅= 故0(im )()l d n c n x h x dx f →∞=∫.综合(1)(2)讨论, 命题得证.注: 如果你觉得(1)不够简洁, 或考场上时间不够的话, 你可以直接说存在阶梯函数()g x , 满足()()||dch x g x dx ε−<∫. 谈谈本题思路, 本题属于典型的倒着思考正着写. 一看到绝对可积自然联想到奇点, 不妨设只有端点一个奇点. 因为绝对可积, 所以我们可以在奇点处挖去一个小邻域, 其上积分值可以任意小. 剩下的函数部分就是有界的了, 于是我们只需考虑有界部分是否趋于0. 关键在于题目中那个任意区间[a , b ]如何利用? 对一般的函数f (x ), 我们想一下干掉它, 结果发现没思路, 咋办? 退!先找几个特例试试, 比如f (x )是常函数, 结论成立. 比常函数稍微复杂一点的是分段常函数, 即阶梯函数, 取极限也是0. 我们又知道可积函数可由阶梯函数任意逼近, 这不就OK 了吗? 剩下的就是整理出严格的数学证明了. 最后就本题补充一个很强的积分号下取极限定理: 阿尔泽拉定理 (实变函数中相应定理为Lebesgue 控制收敛定理)(阿尔泽拉) 设{()}n f x 是区间[,]a b 上的Riemann 可积函数列, 满足对任意的[,]x a b ∈,lim ()()n n x f x f →+∞=收敛, 如果:a). {()}n f x 在区间[,]a b 上一致有界, 即0,,[,]M n x a b ∃>∀∀∈有()n f x M ≤; b). 极限函数()f x 在区间[,]a b 上Riemann 可积.则 lim (())bbn aan x dx f f x dx →+∞=∫∫ .9. 设存在一区间[,]a b 使得两个Fourier 级数102cos sin n n n a a nx b nx ∞=++∑,12cos sin n n n nx nx ααβ∞=++∑都在[,]a b 上收敛, 并且其和函数在[,]a b 上连续且相等.试问对于任意自然数n , ,n n n n a b αβ==是否成立? 如成立, 请证明. 如不成立,加上什么条件后能保证成立. 说明理由.解: 如果对区间[,]a b 不加限制的话, 则一般情况下两Fourier 级数对应系数未必相等. 因为由Riemann 局部化原理可知, Fourier 级数在一点收敛与否, 只与函数在该点邻域内的性态有关. 而Fourier 系数却与函数在整个周期区间上的性态有关. 为此可构造如下反例, 设a b ππ−<<<, 构造函数()f x 和()g x0,(,)(),x x f x x πππ⎧⎪∈−⎪=⎨⎪=±⎪⎩ 以及 0,[,],(,)(),(,),x x a b a x a g x b x b x πππ⎧⎪∈⎪⎪⎪∈−⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎪⎪=±⎪⎪⎩显然()f x 和()g x 是[,]ππ−上的有界分段单调函数, 由狄利克雷判别法可知()f x 和()g x 对应的Fourier 级数在[,]a b 上收敛到自身, 即区间在[,]a b 上(,)n f S x x →及(,)n g S x x →. 这两个Fourier 级数满足题目要求, 但()f x 对应的Fourier 级数中0n a ≡, 而()g x 对应的Fourier 级数中n α不一定恒为0.因为题目中并没有要求加上最一般的条件, 我们可以比较随意加上比较强的条件. 比如, 加上2b a π−=和题中两Fourier 级数是一致收敛的.记和函数()S x , 则逐项积分可知两Fourier 级数是相等的, 即都是()S x 的Fouroer 级数. 续:上面添加的条件有些应试取巧的成分, 我不想做过多的停留. 我们这里着重说明最一般的, 也是很深刻条件, 只需加上2b a π−=这一条件即可. 证明如下:设第一个Fourier 级数是()f x 的Fourier 展开, 其对应的费耶和(Fourier 级数的算术平均和)为(,)n f x σ, 则由费耶定理知, 在()f x 的连续点处, 有(,)()n f x f x σ→. 又因为(,)n S f x A →时, 必然有(,)n f x A σ→. 所以在()f x 的连续点处有()()f x S x =. 同理, 在()g x 的连续点处, ()()g x S x =.由于()f x 和()g x 是Riemann 可积或绝对可积的, 故其在区间[,]a b 不连续点都是零测集, 于是对任意的自然数n ,111()sin ()sin ()sin b b ba a n an b f x nxdx S x nxdx g x nxdx πππβ====∫∫∫同理可证, 00,n n a a αα==. (改变函数在一个零测集上的值并不影响积分值) 注: 本题考察的是Fourier 级数的一个很奇妙的性质: 从Fourier 级数系数公式看, 它是定义在这个周期区间上的, 按理说整个Fourier 级数在某点的收敛性应该也与函数在整个区间上的性态有关, 但是Reimann 局部化定理告诉我们Fourier 级数在一点的收敛性只取决于函数在该点的某个邻域内的性态. 回到本题, 由于从区间[a , b ]到这个周期的延拓是不惟一的, 所以仅仅从两Fourier 级数和函数在区间[a , b ]上相等一般是不能推出系数相等的. 本题当然有更深刻的背景, 对三角级数论有些了解的朋友们立刻可以看出当补充了 2b a π−=这个条件后, 本题可看成三角级数理论中的海涅-康托定理特例, 或者看作杜布瓦.雷蒙德定理的推论. 这个两个定理的证明十分困难, 但结论却很好记(记点难的定理总是有好处的). 想看看证明细节的朋友可参看<<微积分学教程>>第三卷. (海涅-康托定理) 如果下面的三角级数012cos sin n n n nx b a a nx ∞=++∑在区间[,]ππ−上(可能除去有限个未知点外)处处收敛于0, 则它的一切系数均为0. (杜布瓦.雷蒙德定理) 如果区间[,]ππ−上的Riemann 可积函数()f x 可以展成如下三角级数: 012cos si )n (n n n nx b nx a f x a ∞==++∑则该级数必为它的Fourier 级数.当然这些结果也可以推广到Lebesgue 积分理论中去, 这就涉及到实变函数中的内容了.最后简单说下, Fourier 级数和三角级数. 前者说白了是指存在一个可积或绝对可积函数能把系数写成那个积分公式形式. 而三角级数系数就比较任意了, 也就是不一定能写成那个积分公式形式.比如:n ∞=就不可能是Fourier 级数, 因为它不满足贝塞尔不等式. 如果已知问题里出现的三角级数是Fouier 级数了, 那么问题就好办了. 因为我们有费耶定理, 事实上该定理有更强的形式, 只要1f L ∈, 则费耶和几乎处处收敛到函数()f x . 实际上就是证明费耶和在Lebesgue 点处收敛到()f x , 这当然是实变函数的内容了. 像费耶和这样的算术平均和求和方式也称作1C 求和法, 属于发散级数求和理论. 总之本题要是深说起来, 那话就长了.10. 设函数()f x 在0[)+∞上内闭Riemann 可积, 证明: 广义积分()f x dx +∞∫绝对可积的充分必要条件是: 对于任意满足00,n x x =→+∞的单调递增序列{}n x , 级数1()n nx xn f x dx +∞=∑∫绝对收敛.证: ()f x 在0[)+∞上内闭Riemann 可积必要性. 任取满足00,n x x =→+∞的单调递增序列{}n x , 依题意有|()|f x dx +∞<+∞∫, 由于部分和{}m S 单调递增且有上界, 即1111100()|()|n n nnm m x x xxn n m S f x dx f x dx +++++===≤∑∑∫∫1|()||()|m x f x dx f x dx ++∞=≤<+∞∫∫,所以, 级数1()n nx xn f x dx +∞=∑∫绝对收敛.充分性. 考虑区间1[,]n n +上的积分值, 存在区间1[,]n n +的一个分割011:nn n nn m x n x n x Δ=<<=<+", 使得112()nm n k k k nk m M x =−Δ<∑ , 其中1n n nk k k x x x −Δ=−在小区间1[,]nnk k x x −上, sup ()k M f x =, inf ()k m f x =. 下面为了推导方便, 暂时用k x 代替nk x . 因为111[()]()kkkk k k x x x xk k k k xk xk M dx M f M x M x x dx f x dx −−−==+ΔΔ≤−∫∫∫,所以求和可知,11111112(()())n nnnkkk k x x xm m m m nk k k k kxnk k k k m f x dx f x x dx M x M −−====Δ≤Δ+<+−∫∑∑∑∫∑取遍所有的自然数n , 所有的分割点构成了一单调递增到正无穷的数列, 依题意110112(),nkk x xn m nk n f x dx −∞===∞<+∞<+∞∫∑∑∑因此有10nm nk k k n M x ∞==Δ<+∞∑∑. 同理可得, 10nm nk k k n m x ∞==Δ<+∞∑∑.又因为在区间1[,]nnk k x x −上, ()k k m f x M ≤≤ 所以, ()max{,}k k k k f x m M M m ≤≤+ 因此,()11001|()|nnkk m x xn n m nkk k k k f x dx M m x −∞∞====+≤Δ<+∞∑∑∑∑∫故|()|f x dx +∞<+∞∫, 即0()f x dx +∞∫绝对可积.注: 本题看似不等式推导有些眼花缭乱, 其实静下心看后会发现只是一些很简单的三角不等式放缩. 值得提醒的是审题要仔细, 因为级数绝对收敛时, 绝对值是在积分号外面, 而不是积分号里面. 本题充分性证明也可以下面的方法, 而且更本质: 0ε∀>,111112||()()||()nnkkk k m m n nk x x x x k f x dx f x f d dx x x ε−−+===≤+∫∫∫∑∑-------(*)仿上面的证明易知,111()nnkk m m k k k x k x f x d x x M ε−==Δ≤+∑∫∑.故111111|()||||()(|)nnnk kk k x m m m n k k k nk k k x x x f x dx M f x dx f x M dx x −−+===−=≤+Δ∑∫∫∑∑∫111112))((()nnnkkk k x m m m nk k kk k k x x x m f x d x x M f x dx εε−−===≤Δ+−++<∫∑∫∑∑.往下取12nε=, 再求和即可.下面谈谈如何思考本题, 这里(*)式十分重要, 但思路却很自然.设想如果函数f (x )如果十分规则的在一系列小区间上变号, 注意到题中数列可以任意取, 特别的我们把数列取为这些小区间的端点, 则不难证明我们的问题. 但若函数f (x )符号变化不太规则怎么办, 我们可以退一步思考, 注意到可积函数可由阶梯函数任意逼近, 而阶梯函数的变号是比较规则的. 由此思考下去不难得到(*)式, 这里(*)式把绝对值符号从积分号里面变到了积分号外面.后记: 既然这份解答是我写的最后一份解答, 请允许我多说点吧. 加上这份解答SCIbird共为论坛奉上6份解答, 按时间先后分别是07南开数分, 08北大数分, 08科大数分, 08北大高代解几, 06北大高代解几, 06北大数分. 试题本身质量是有保证的, 解答过程中参看了一些资料, 也吸收了论坛上一些朋友的精彩想法, 同时也融入了我本人的一些理念. 由于解答是我本人动笔写的, 自然带着自己的风格. 我本人是非数学专业的, 也并不清楚数学系的人心中的解答是什么样, 也许他们更喜欢简洁漂亮的证明吧. 我写的四套数分解答是效仿张筑生老师的<<数学分析新讲>>的风格, 写解答的大致原则可以概括为三点:(1). 尽量使用基本工具和基本方法来解决问题, 尽可能避免默认用比较深的定理. (2). 书写和表述在力所能及的范围内尽可能把证明写的细致一些. (3). 在评注中写点文字, 以展现自己的思路和思想, 我是怎样想的.由于自己的水平与张老师根本不是一个量级上的, 所以写出来的解答远不及新讲, 但我还是硬着头皮写下去了. 因为我总是试图把自己的思维过程写进解答中去, 也就很容易导致我的解答中带有许多脚手架, 直接结果是看起来可能既不简洁, 也不漂亮. 不过我本人认为这并不重要, 因为一旦读者明白了我的想法后, 相信他们自己可以写出简洁漂亮的证明. 如果我像偶像Gauss 那样把脚手架都拆掉后, 那么我的解答可能会比原先简洁漂亮些. 但这样的解答真的比先前的写法更有帮助吗? 我本人对此持怀疑态度.对于我写的解答, 我还是希望有尽可能大的读者面的,而不仅仅是报考北大的那些少数高手, 这也是我大量使用基本方法的一个原因.有时候我想,如果一个数学水平比较好的工科生看过我的解答后感慨"原来北大的题这么简单啊!".那么,我的目的达到了,不求解答最漂亮, 但求解答最通俗易懂. 至于北大那两份高代解几试题解答,算是我这个高代初学者顺手写的,根本不在我的能力控制范围内,我也不敢说我的高代解几解答写的很通俗易懂.按我的想法,能保证解答的正确性和完整性就达到目的了,其它什么通俗漂亮之类的不再能力范围之内.我现在学数学的风格可能与不少人不一样. 以前的我学数学是浪漫主义风格, 但我发现这对我学数学帮助不大, 后来我渐渐转为"重剑无锋"这种实干主义风格, 为此我给自己立了个学习数学三大原则:1. 解决问题为第一原则;2. 方法上要体现深刻性和一般性;3. 简洁漂亮的证明. 我本人是喜欢简洁漂亮的数学证明的, 这是数学的魅力所在. 但这么多年的自学数学经历 使我明白了简洁漂亮的证明来之不易, 通常也不可能一步达到. 而且一味追求简洁漂亮的数学证明往往使我离数学更远, 高中时的奥赛惨败经常提醒着我警钟长鸣! 我想大二时我 在机缘巧合之下看到张老师的新讲实在是一件很幸运的事, 虽然不是每个人都适合新讲的 风格, 但对我来说我找到了自己的方向.写完这6份解答后, 我想完成本科时的一个很简单的数学愿望: 完张筑生老师一生唯一的三部作品<<数学分析新讲>>,<<微分拓扑新讲>>和<<微分动力系统原理>>. 如今的我已经掌握了数分,复变,实变,泛函,PDE,ODE,解析几何,高代,点集拓扑和微分流形, 也算初步建立了自己的数学体系, 我想是时候看<<微分拓扑新讲>>和<<微分动力系统原理>>了.如果我还有多余的时间的话, 我会把我发过的6套题修订下, 在修订解答中我会把论坛上朋友们的部分精彩解法收录进去,如果我有新的灵感和想法,感悟的话,我也会写进去.总的说我不一味追求完美, 但尽量做的好些吧.SCIbird2008年12月28日。
北理工06-08年历年真题讲解_自动化
北京理工大学自动化学院自动化专业——2006年真题及解析科目一：代码810 科目名称自动控制理论第 1 页 共 51 页一、真题北京理工大学2006年自动控制理论考试试题一、根轨迹方法 （25分）单位反馈系统如图1，其中()()21+=s s s G 。
为简便起见，图中用R 表示r(t)的Laplace 变换R(s)。
其余的符号和以后的图均采用这种简便记法。
（1）设()K s G c =,画出根轨迹图；（2）确定K 的值，使闭环系统单位阶跃响应的最大超调量为π-=e M p 。
计算相应的上升时间r t ； （3）设计控制器()()11++=Ts Ts K s G c c αα使最大超调量p M 保持不变，上升时间为83π=r t ，并使闭环系统尽可能地简单。
图1：单位反馈系统二、状态空间方法 （30分）第 2 页 共 51 页考虑系统 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=DuCx y BuAx x 。
（1）先设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210100100a a a A （ⅰ）证明：若()()()2122101223,λλλλ≠--=+++=其中s s a s a s a s s f ，则可通过状态空间中的线性变换Tx x=ˆ，将状态空间表达式（1）变为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=Du xC y u B x A x ˆˆˆˆˆˆ。
（2）其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2211000ˆλλλJ A T 可取为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222221112101λλλλλT （ⅱ）设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110001000A 求At Jt e e 和。
（ⅲ）A 同（ⅱ）， [][]100,011==C B T第 3 页 共 51 页判断系统的可控性和可观测性。
若系统不可控或不可观测，确定不可控或不可观测的模态；（ⅳ）A,B,C 同（ⅲ），D=0，()[]()t x x T,1110-=是状态方程在初态()0x 下的解，证明()()()0,30≥∀=-t t u e t x x t T ，并解释这个结果。
北京理工大学2007-2008学年第一学期数学分析B期中试题及答案
北京理工大学2007-2008学年第一学期数学分析期中试题一. 填空题（每小题3分, 共30分）1. 极限=--+-→xe e x x x cos 12lim220__________. 2. 设11211)(-+=x x f , 则=+→)(lim 1x f x _____, =-→)(lim 1x f x _____, 1=x 是)(x f 的第_____类间断点. 3. 设)1ln(1)(22++-+=x x x x x f , 则化成最简形式时, =')(x f __________________.4. 方程0133=+-x x 有_____个实根, 其中有_____个正实根, _____个负实根.5. x xe x f 2)(=的带皮亚诺型余项的三阶麦克劳林公式____________________________.6. 一动点沿抛物线2x y =向右移动, 已知动点经过点)4,2(时沿x 轴方向的分速度为s cm /3, 则它沿y 轴方向的分速度为_______s cm /.7. 设当0→x 时x x -sin 与k cx 是等价无穷小, 则=c ______, =k ______.8. 设)(1)(arctan 2x g x f y ++=, 其中g f ,可导, 则=dy _________________________.9. 曲线23223+-=x x x y 有斜渐近线____________________.10. 函数x x x x f --=2)1()(在点_________________处导数不存在. 二. (8分) 已知方程e xy ye x =+)ln(确定函数)(x y y =, 求dx dy 及1=x dxdy .三. (8分) 设⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln , 求dx dy , 22dx yd . 四. (8分) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-++=121)2)(1()(23x x x x bax x x f 在1=x 处连续, 求b a ,的值.五. (8分) 证明不等式22)1(ln )1(x x x <++ )0(>x . 六. (12分) 利用导数研究函数1212+-=xxy 的的性态, 并作出其图形.七. (10分) 由抛物线2x y =, 直线8=x 和x 轴围成一曲边 三角形OAB (如图), 在曲线OB 上求一点M , 使过M 点所作抛物线的切线与AB OA ,所围成的三角形APQ具有最大面积..八. (8分) 设)(x f 在0=x 处可导, 且310)1)(1(lim e xx f xx =-+→. (1) 求)0(f , )0(f '; (2) 求xx xx f x 10)1)(1(lim -++→. 九. (8分) 设函数)(x f 在区间]2,0[上可导, 且0)0(=f , 1)2()1(==f f , 证明在区间)2,0(内至少存在一点ξ, 使12)(-='ξξf .数学分析B 参考解答(2007.11)一. 1. 82. 0, 1, 一 (各1分)3.2322)1(+-x x (没化成最简形式扣1分)4. 3, 2, 1 (各1分)5. )(22332x o x x x +++6. 127. 61-, 3 (1分, 2分)8. dx x g x g x g x x f ))(1)()(1)(arctan (22+'++' (其中两个导数各1分)9. 62+=x y 10. 0=x二. 方程两端对x 求导 0)(1='+++'y x y xyye e y x x …………………………(4分)ye x ye dxdy x x 11++-= …………………………(6分) 在已知方程中令1=x , 得e y ye =+ln , 1=y ………………………(7分) 11-==x dxdy …………………………(8分)三.t t tt t t t t dxdy cos cos sin sin cos cos -=-+-= …………………………(4分)t tt t t tt t t t dxy d sin cos sin cos cos sin sin cos 222-=-+-=………………………(8分)四. 由题设得 2)2)(1(lim 231=+-++→x x bax x x …………………………(1分)故 01)(lim 31=++=++→b a b ax x x ………………………(3分))2)(1(1lim)2)(1(lim 231231+---+=+-++→→x x a ax x x x b ax x x x 23321lim 221=+=++++=→ax a x x x …………………………(6分) 3=a 41-=--=a b …………………………(8分)五. 设 22)1(ln )1()(x x x x f -++= …………………………(1分) x x x x f 2)1ln(2)1(ln )(2-+++=' …………………………(2分) 21211)1ln(2)(-++++=''xx x x f …………………………(3分) 222)1(2)1()1ln(2)1(2)(x x x x x f +-++-+='''0)1()1ln(22<++-=x x …………………(4分) )(x f '' 又0)0(=''f 0)(<''∴x f ………………………(6分) )(x f ' 又 0)0(='f 0)(<'∴x f ………………………(7分) )(x f 又0)0(=f 0)(<∴x f即 22)1(ln )1(x x x <++ …………………………(8分)六. 定义域为),0()0,(+∞-∞+∞=+-→)121(lim 20x x x , 1)121(lim 2=+-∞→xxx ,故0=x 是垂直渐近线, 1=y 是水平渐近线…………………………(2分)323)1(222xx x x y -=+-=' …………………………(3分) 434)23(246x x x x y -=-+='' …………………………(4分)令0='y , 得1=x , 令0=''y , 得23=x …………………………(6分)分) 分)…………………(10分)(12分)七. 设),(2x x M , 则过M 点的切线斜率为x x 2)(2=' ……………………(1分)切线方程为 )(22x X x x Y -=- …………………………(2分)令 0=Y , 得 2xX =, 令 8=X , 得 216x x Y -= ………………(4分) )16)(28(2121)(2x x xPA QA x S --=⋅= )80(<<x ………………(6分))216)(28(21)16)(21(212x xx x dx dS --+--= )256643(412+-=x x ………………………(8分) 令 0=dx dS , 得 316=x …………………………(9分) 由问题的实际意义, 三角形的面积确有最大值, 且驻点惟一, 故点))316(,316(2为所求. …………………………(10分)八. (1) 由题设, 有 3)1)(1ln(lim 0=-+→xx x f x …………………………(1分)0)1)(1ln(lim 0=-+→xx f x …………………………(2分)01)(lim 0=-→xx f x0)1)((lim 0=-→x f x …………………………(3分)1)(lim )0(0==∴→x f f x …………………………(4分)01)(lim )0()(lim)0(00=-=-='→→xx f x f x f f x x …………………………(5分)(2) x x x f x 1)(lim 30-=→201)(lim x x f x -=→ …………………………(6分) xx x f x x x x f x x x 1)(lim)1)(1ln(lim 00-+=-++→→ 4311)(lim 120=+=-+=→xx f x …………………………(7分) 410)1)(1(lim e xx f x xx =-++∴→ …………………………(8分)九. 令 x x x f x F +-=2)()( …………………………(2分) 则)(x F 在区间]2,0[上可导(没此叙述不扣分)0)0(=F , 01)1(>=F , 01)2(<-=F ………………………(4分) 由介值定理, )2,1(∈∃c , 使 0)(=c F …………………………(6分) 由洛尔中值定理, )2,0(),0(⊂∈∃c ξ, 使0)(='ξF即 012)(=+-'ξξf 12)(-='ξξf …………………………(8分)。
(NEW)北京理工大学数学与统计学院601数学分析历年考研真题汇编
考试科目：数学分析（A）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、(40分，每小题10分)
(1)
；
(2)
；
(3) 设 最大整数，计算二重积分
，
表示不超过
的
；
(4) 设
.求 .
二、(10分) 论证是否存在定义在 上的连续函数使得
，使得
七、(15分) 设二元函数 的两个混合偏导数
在
附近存在，且
在 处连续.证明：
.
八、(20分) 已知对于实数 ，有公式 是对所有不超过 的素数 求和.求证：
，
，其中求和
其中求和也是对所有不超过 的素数 求和， 是某个与 无关的常 数.
2．兄弟院校数学分析考研真题 2015年华南理工大学625数学分析考研真题 2015年电子科技大学601数学分析考研真题 2015年中山大学668数学分析考研真题 2014年南开大学701数学分析考研真题 2013年浙江大学819数学分析考研真题
1．北京理工大学数学分析考研真题
2008年北京理工大学614数学分析考研真题
2007年北京理工大学614数学分析ห้องสมุดไป่ตู้研真题
2006年北京理工大学314数学分析考研真题
2005年北京理工大学314数学分析考研真题
2004年北京理工大学314数学分析考研真题
2003年北京理工大学314数学分析考研真题
2001年北京理工大学314数学分析考研真题
.
三、(15分) 讨论函数项级数
的收敛性与一致收敛性.
四、(15分) 设
北京理工大学 2006级数值分析期末试题(B)
8x1 x2 x3 1 性方程组 2x1 10x2 x3 4 一定收敛。
6 x1 x2 ax3 3
8. 向量 X=(1,-2,3)，Y=(3,4,0)，则向量 X 的 1-范数||X||1=
范数|||Y||2=
。
9.
已知
n=4
时的牛顿-科特斯系数则
C (4) 0
7 90
,
C
(4 3
时
，上述两类误差分配最为合理。
2. 已知 a=3.201，b=0.57 是经过四舍五入后得到的近似值，则 ab 的结果的计算误差
大约为
，a+b 的结果的计算误差大约为
。
3. 用 双 点 弦 截 法 求 解 方 程 x 4 2x 4 0 在 [1,2] 之 间 的 根 的 迭 代 公 式
是
。
4.
)
16 45
,
C (4) .1
C (4) 2
。
I
10. 用复化辛卜生公式求积分
1 dx
0 1 x
的近似值时，至少需
函数值，才能保证所求积分近似值的误差不超过 10－5。
，向量 Y 的 2，
个节点处的
11. 当 x=1,-1,2 时 ， f(x)=0,-3,4 ， 则 f(x) 的 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式
6. 用 Euler 法、隐式欧拉法、梯形法求解初值问题, 取 h＝0.1,计算到 x=0.5，要求计算 结果保留小数点后 5 位。
y y
' y2 (0)
, 1
0 x 0.5
2
3.
设方程组
0x.14
0.4x2 x1 x2
0.4 x 3 0.8 x 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期
数学分析期中试题
一. 解下列各题（每小题6分）
1. 求极限n n n n )111(lim 2
++∞→. 2.. 已知f 是可导函数, 且
x x f dx d 1)1(arctan =，求)4
(πf '.微分法，可以补用考虑微分次数，不断向下推。
导数法，比需两边对同一变量求导。
3. 求出23||ln )(2+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点.
4. 已知2)13(lim 2=++-+∞
→bx ax x x , 试确定其中常数b a ,. 二. 解下列各题（每小题7分）
1. 设⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t
t y t t x , 求22dx y d . 2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线34bx ax y +=的拐点, 并求出曲线的
凹凸区间.
3. 求由方程0sin 2
1=+-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 4. 已知2112sin )(1lim 30=--+→x x e x x f ，求)(lim 0
x f x →.复合函数与函数求导公式可以一起用。
三.(9分) 设数列}{n x 满足010<<-x , ),2,1,0(221 =+=+n x x x n n n , 证明}{n x
收敛, 并求n n x ∞
→lim . 四.(9分) 设)(x f 有二阶连续导数, 0)0(=f , ⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0
),0(0,)()(x f x x x f x g ，求)
(x g '
并讨论)(x g '的连续性.
五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低?
六.(8分）证明，当1>x 时，1
1ln +-≥x x x . 七. (9分）(1)已知当0→x 时, 2cos x e x -与k cx 是等价无穷小, 求c 与k 的值;
(2)求极限22
2
0sin )(cos 112lim 2x
e x x x x x -+-+→. 八.(4分)设)(x
f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 0)(≠'x f , 证明存在
),(,b a ∈ηξ, 使ηηξ---=''e a
b e e f f a
b )()(.最后一道题一定要会拼与凑。