等比数列定义及性质

an1 2 an
(3) (4)
1,
1 2
,
1 4
,
1 8
,
5, 5, 5, 5, …
…
a n=
( 1)n1 2
a n=5
an1 ( 1)
an
2
an1 1
an
1.求下列各等比数列的通项公式： （1） a1 2, a3 8
解：
a3 a1q q 2 4 q 2
an (2)2n1 2n 或an (2)(2)n1 (2)n
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
用什么方法推出的呢？
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示
(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？
等差数列
等比数列
an –an-1=d(n≥2) 或 an+1-an=d(n≥1)
叠加法
叠乘法 a2
q
___
a1
a3 _q__
a2
n－1个
a 4 －a 3 = d ……
n－1个
×)
…
an an1
q
___
+ ) a n －a n －1 = d a n －a 1 = ( n－1 ) d (n≥2）
等差数列 { a n } 的首项为 a 1， 公差为 d 的通项公式为
a__n _=_a__1_+__( _n_－__1_)_d_，n ∈N +
等比数列 由于等比数列的每一 项都有可能作分母，
故a n ≠0 且 q ≠0
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
(2)
1,1,1, 1 , 2 4 8 16
…
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，…
(6) 0，0，0，0，…
(７)
1,
x
,
x
2
，x
3
，…
是,公比 q=3 是,公比 q= 1
2 是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
等比因数为x的列正的负性有不确关概念
观察数列定增，减( 1所性) 以等2该尚，数不4，列能8的确，16，32，64.
公比 q=2 递增数列
(2) 定1，。3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
n
n1 1
aa41
a2 a5
3 24
a1aq13((11qq))
3 24
aq1
1 2
答： q和a1分别是2和1。
例题讲解:
在等比数列
a n
中,
(1)a4 27,q 3,求a7;
(2)若a2 18,a4 8,求a1与q;
(3)a5 4,a7 6,求a9;
(4)a5 a1 15,a4 a2 6,求a3 .
2,则 2a1 a2 的值为多少. 1
2a3 a4
4
3．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续 三项，则x的值为（ A ） （A）－4 （B）－1 （C）1或4 （D）－1或－4
等比数列的通项公式练习
a a • q 1 在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。
解：由已知得：
1,
1 2
,
1 4
,
1 8
,
…
(2)
2.对于数列(2),从第2项起,每一项
与前一项的比都等于_1_/_2_
1，20，202，203 ，… (3) 3.对于数列(3),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_2__0_
等差数列定义
1.等比数列定义：
如果一个数列从第 如果一个数列从第
二项起，每一项与它 __项二起，每一项与它
q
3 2
③
把③代入①，得
a1
16 3
因此
a2
a1q
16 3
源自文库
3 2
8
答 ：这个数列的第1项与第2项分别是
16 3
与8。
1.由下面等比数列通项公式,求首项与
公比.(口答)
(1). an 2n a1 2, q 2
(2)
a
n
1 4
•10n
a1
5 2
,
q
10
2.设 a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为
(3) 1, x, x2 , x3, x4 ,(x 0)公比 d= x
(4) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
公比 q=
1 递减数列
2
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公比 q=1 非零常数列
(6) 1，-1，1，-1，1，…
公 比q= -1 摆动数列
以上6个数列的公比分别为…
等比数列中：
an q n1 (n≥2）
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
an1 2 an
(2) 2，2
2, 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
例4．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5
(1) aq110或0a1q0 1 an递增
(2)
0a1q0
或 1
aq110
an
递减
(3)q＝1 an为常数列
(4)q 1an为摆动数列
等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的
等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d
(2)a1 5,2an1 3an
解：
q an1 3
an
2
又：a1 5
an
5 (
3 ) n1 2
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18， 求它的第1项与第2项。
解： 设这个等比数列的第1项是 a1,公比是q，那么
a1q 2 12, ①
a1q3 18
②
把②的两边分别除以①的两边，得