211向量的物理背景与概念及向量的几讲义何表示

2.1.1-2.1.2向量的物理背景、概念及与几何表示

a与向量b平行，则
>且AB
）若向量AB、CD AB CD
=则a，b长度相等且方向相同或相反。

（
a b
）由于零向量方向不确定，故
点出发向西行驶了100
AD,并说明理由
高一数学《分章节案》专心听讲，勤于思考。

《分章节案》及时复习，认真完成。

下列说法中① 若a =0=；②若a =b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 //b 且0b ≠则0a ≠；一条线段； B.一段圆弧； C.两个孤立点；上有且只有两点使OA ,OB a b =⇒a b >⇒a 对于下面的说法：①向量就是有向线段，有向线段就是向量；②向量AB 的模与向量BA 的模相（只填序号）.
平行的向量有多少个？（AB 2a b =所以a b >下列各命题中，真命题是（）
a b =，则a b =长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量；a b >，则a b >。

高一数学《2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示》课件

表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，思考1：你认为如何用几何方式可以用三角函数线表示；对于一个二次表示向量最合适？函数，可以用一条抛物线表示….数学中
有许多量都可以用几何方式表示，
讲授新课
有向线段：
具有方向的线段就叫做有向线段。
三个要素：起点、方向、长度.
讲授新课
2. 向量的表示方法： ①几何表示：用有向线段表示； ②字母表示：用字母 a 、 b (黑体，印刷用)
讲授新课
思考：起点在坐标原点的单位向量，
它们终点的轨迹是什么？
讲授新课
例1. 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别
A
B C
用向量表示A地至B、
C两地的位移，并求
出A地至B、C两地的
实际距离(精确到1km).
a
判断：
（1）温度含零上、零下温度，所有温度是向量（）
（2）向量的模是一个正实数。（）
等表示；
用有向线段的起点与终点
.
字母：AB
3.相关的概念
（1）向量的模（向量的长度）：
向量 AB 的大小——向量 AB 的长度（或模）
记作 AB
0
讲授新课
（2）零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 .
0 的方向是任意的.
注意 0 与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
(1)若a b , b c , 则a c (2)若 a 0, 则a 0 (3)若 a b ,则a b a b (4)若a b ,则可以得 a // b (5)若A、B、C、D是不共线的四点，且AB DC , 则四边形ABCD是平行四边形。其中正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3

2013.2.1.1向量的物理背景与概念

例如 AB 或
注意书写规范
思考: “向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说法对吗?
北京市三里屯一中
三．向量的有关概念 1.向量 AB 的大小就是向量 AB 的长度(模)，记作 | AB | 2.两个基本向量: 零向量:长度为零的向量(方向任意). 表示为： 0, 0 0 单位向量:长度为1个单位长度的向量。
D
E
变式一：与向量
OA长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与 OA 向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量 OA 共线的向量有哪些？
北京市三里屯一中
例2.在如图所示的坐标纸中，画出下列向量：
1. OC AB 2. CD, 且 CD 5 3. BE, 且BE / /CD
北京市三里屯一中
5.数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
a A(起点)
B (终点)
北京市三里屯一中
巩固练习：判断下列结论是否正确。 • • • • • • • • (1)平行向量方向一定相同； ( ×) (2)不相等向量一定不平行； ( ×) (3)与零向量相等的向量是零向量； (√ ) (4)与任何向量都平行的向量是零向量； (√ ) (5)共线向量一定在一条直线上； ( ×) (6)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反; ( ×) (7)相等向量一定是平行向量。 (√ )
北京市三里屯一中
2.1.1向量的物理背景与概念
北京市三里屯一中
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄，身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力，质量等，大家一起分析一下，这些“量” 有什么不同？年龄，身高，长度，面积，体积，质量（只有大小）位移，力，速度，加速度（有大小，有方向）

2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示高一数学同步备课系列(人教A版必修4)

[变式训练]
下列说法正确的是 A．若a 与b 平行，b 与c平行，则a 与c一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a |>|b |，则a >b D．单位向量的长度为1
()
解析： A中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c
不一定平行．B中，共线向量不一定在同一直线上．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．显然D正确．故选D. 答案：D
[解析] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，
它们分别是 ―AB→
，
―→ AC
，
―AD→ ， ―BC→
，
―→ BD
，
―CD→ ， ―B→A
，
―CA→，―D→A ，―C→B ，―D→B ，―D→C .
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O
的横向小方格数与纵向小方格数相等．又
[变式训练]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量―B→C 相等的向量．解：与向量―BC→相等的向量有―O→D ，―AO→，―FE→.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA 为等边三角形，所以边长 AF＝|a |＝1.
谢谢大家
4．对相等向量与共线向量的理解 (1)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．

向量的实际背景及概念

向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。

本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。

二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。

三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。

还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。

学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。

(整理)向量的物理背景与概念及向量的几何表示.

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：（一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：。

（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别： ABCD2.向量的表示方法：向量与有向线段的区别：4、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

《2.1.1向量的物理背景与概念》优质课件

A.相等向量 B.模相等的向量
C.共线向量 D.共起点的向量
(2010·保定模拟)判断下列各命题的真假：
①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．
其中假命题的个数为( )
1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量 a与 b 相等，记作： a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等 •向量可以自由平移规定：0 = 0
2.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
rr 向量 a与 b 相反，记作： a -b
问题6：什么是平行向量和共线向量？
表示，例如，AB, CD
思考：向量AB与向量 B是A不是同一向量,为什么？
问题3：什么是向量的模？问题4：什么是零向量？什么是单位向量？
（三）向量的模及两个特殊向量
向量 AB的模就是向量 AB 的大小 (或长度)
记作： | AB |
注：向量的模是可以比较大小的如： | CD | | EF | , 但CD EF无意义
向量有什么关系？
位移和距离这两个量有什么不同？
o
B
1500米
2000米
A
位移既有大小又有方向距离只有大小没有方向
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫向量
向量现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？
位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量哪些量只有大小没有方向？
距离、身高、质量、时间、面积等
（4）若a = b,b = c,则a = c; ur r ur r ur ur

向量的物理背景与概念及向量的几何表示

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：（一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：。

（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：ABCD2.向量的表示方法：向量与有向线段的区别：4、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

高中数学必修四人教版2.1.1向量的物理背景与概念2ppt课件

AB
用表示向量的有向线段的长度表示.
A(起点)
向量 A的B 大小，也就是向量的长度(A或B 称模)
B(起点)
记作 AB , 如图所示：
思考5：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要，我们引入以下概念.
【零向量】长度(书写为体用00) 的向量叫零向量; 记作0.
a
③用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示，
例如
，.
AB CD
思考3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
思考4：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？
同的点表表示示不向同量的的数大量小.，箭头的指向表示向
对于量一的个方角向的.正弦、余弦和正切，
思考可2以：用向三量角的函表数示线方表法示？，…
AB
B(起点)
数学①中用有有许向多线量段都表可示以；用几何方式A(起点)
表示，②对用于字向母量ａ，、我ｂ们、又如c…何等用表几示何.方（印刷用黑体，书
式表示写呢用？）
弹簧拉长或压缩的长度
思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？
【与向量有关的概念】
数量----把只有大小，没有方向的量称为数量.
向量----数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量.
思考5：年向量龄与、数身量高的、联长系度和、区面别积：、体积、温度、
起点写在终点的前面.

向量的概念与背景

向量被定义为具有大小和方向的几何对象，通常用箭头表示，箭头的长度代Байду номын сангаас大小，箭头的指向代表方向。
早期发展
向量概念在19世纪中叶开始受到关注，英国数学家哈密顿等人在研究力学和几何学的过程中，开始使用向量来表示速度、力等物理量。
向量在数学中的发展
代数运算
数学家们为向量引入了加法、数乘、向量的数量积、向量的外积等代数运算，使得向量成为了一个完整的数学体系。
|vec{B}| times sin theta$。叉乘的结果是一个向量，它具有一些重要的性质，如反交换
律和分配律。
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积的定义为三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和 $vec{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值，即$vec{A} times vec{B} cdot vec{C} = |vec{A}| times |vec{B}| times |vec{C}| times sin theta$。混合积的结果是一个标量，它具有一些重要的性质，如分配律和反交换律。
控制系统分析
02
向量在工程学中可以用于分析控制系统的传递函数和稳定性，
优化控制系统设计。
信号处理
03
向量在工程学中可以用于信号处理，包括信号的合成与分解、
滤波和频谱分析等。
05
向量的历史与发展
向量概念的起源
起源背景
定义与表示
向量最初起源于物理学中的速度和力等物理量的表示，为了更方便地描述这些物理量，数学家们引入了向量概念。
力的作用
向量在物理学中可以表示力的作用，包括力的大小和方向。

向量的物理背景与概念课件

[解析] ①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同． ②正确． ③错误．若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四个点有可能在同一条直线上．所以 ABCD 不一定是平行四边形． ④正确．平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC 且有向线段 A→B与D→C方向相同，所以A→B＝D→C.
⑤错误．若 a∥b，b∥c，b＝0，则 a 与 c 不一定平行．
[错因与防范] (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解不正确或将向量与有向线段混淆，会对①④判断错误；混淆向量平行和直线平行，会导致对③④判断错误；忽视零向量与任意向量平行，会导致对⑤判断失误． (2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题．共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量．理解时要注意与平面几何中的 “共线”“平行”的区别．要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误．
向量
数量
方向
有
无
可以用有向线段表因为实数与数轴上的
区
表示方法示，也可以用字母符号表示
点一一对应，所以数量常常用数轴上的一
别
个点表示
位移、力、速实例度、加速度
年龄、身高、长度、面积、体积、质量、功
联系
(1)向量与数量都是有大小的量 (2)向量的模是数量
2．向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量． (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． 3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． 4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

课件9：2.1.1 向量的物理背景与概念

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
练一练
2．一辆汽车从 A 出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，
然后改变方向向西偏北 50°走了 200 km 到达 C 点，
又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点．
(1)作出向量
；
2.1.1 向量的物理背景与概念
预习导引区核心必知
1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．
【解析】①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． ②正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b. ③不正确．依据规定：0 与任一向量平行． ④不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定．
⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【答案】②⑤
讲一讲 3．如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形．
(1)找出与向量 (2)找出与向量
共线的向量；相等的向量．
解：(1)依据图形可知
方向相同，
方向相反，所以与向量共线
的向量为 (2)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向
量为
类题·通法寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．

2.1.1向量的物理背景与概念2

B(起点
用表示向量的有向线段的长度表示. A(起点)
向量AB 的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)
记作 AB,如图所示：
思考5：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要，我们引入以下概念.
【零向量】长度为0的向量叫零向量; 记作0. (书写体用0)
1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用.
2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.
第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示
问题提出 1.在物理中，位移与距离是同一个概
念吗？为什么？
2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念.
字母表示，例如 AB，CD .
思考3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无
关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同
的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起
点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向
线段.
思考4：由于向量是有大小的，那么它的大
小如何表示呢？
AB
（1）画图表示向量 AB, BC,CD；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应
的向量的模和方向.