高中数学--二倍角的正弦、余弦、正切公式ppt
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
2tanα 1－tan2α
＝tan2α.
[例2] 求下列各式的值：
(1)cosπ5cos25π；
＝1＋c2os2β－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]
＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋
[例3] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2αcos2β.
[解析] 解法一：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β ＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 in2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
人教版高中数学必修4-3.1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考课件
结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式
sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2
(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)
s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2
1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin
12 13
, cos
5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
新教材高中数学第5章三角恒等变换第4课时二倍角的正弦余弦正切公式pptx课件新人教A版必修第一册
−
π
4
24
π
－1＝－ ，因为x∈ቀ ，
25
2
，因此cos 2x＝－ 1 −
1
2
3
4
7
－
2x＝________．
25
7
2
sin 2＝－ ．]
25
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示]
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
1
α＝ sin
2
sin 2
2 tan
2
2
α＝
，cos α－sin α＝cos2α，
＝tan2α．
2 sin
1−tan2
• (3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α⇒cos αcos 2αcos 22α…
• cos
sin 2
n-1
2 α＝
．
2 sin
π
4
sin
cos
−
π
+2
2
π
+
4
− ＝cos
π
π
π
∴ ＋x∈ ，
4
4
2
π
4
π
4
的值．
4
＝
2 sin
+
，∴sin
12
24
∴原式＝2× ＝ ．
13
13
5
π
cos 2
＝ ，0<x< ，求
π
13
4
cos
+
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
高中数学精品课件： 二倍角的正弦、余弦、正切公式
88
(3)2cos2 1(4)1 2sin2 75
12
2 tan 22.5
(5)
(6)sin cos cos
1 tan2 22.5
24 24 12
2化简：
（1）（sin cos )2(2) cos4 sin4
(3) 1 1 (4) 1 sin 40
1 tan 1 tan
3.若cos 1 , ( ,3 ),则cos _____
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝1 tan tan
当α＝β时, tan 2
tan2α ＝
1
2
tan tan2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
2
tan tan2
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
2 2
cos cos
2 2
2 sin 2 2 cos 2
2 2
2sin 2 (cos 2 sin 2 ) 2cos 2 (sin 2 cos 2 )
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2 .
2
2 练习p46—2(3), 3(3).
例12 求cos cos 2 cos 4 cos 8 的值。
1
17 17 17 17
求sin sin 9 sin13 sin15 的值。
16
34 34 34 34
(3)2cos2 1(4)1 2sin2 75
12
2 tan 22.5
(5)
(6)sin cos cos
1 tan2 22.5
24 24 12
2化简：
（1）（sin cos )2(2) cos4 sin4
(3) 1 1 (4) 1 sin 40
1 tan 1 tan
3.若cos 1 , ( ,3 ),则cos _____
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝1 tan tan
当α＝β时, tan 2
tan2α ＝
1
2
tan tan2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
2
tan tan2
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
2 2
cos cos
2 2
2 sin 2 2 cos 2
2 2
2sin 2 (cos 2 sin 2 ) 2cos 2 (sin 2 cos 2 )
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2 .
2
2 练习p46—2(3), 3(3).
例12 求cos cos 2 cos 4 cos 8 的值。
1
17 17 17 17
求sin sin 9 sin13 sin15 的值。
16
34 34 34 34
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
人教版高中数学必修1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》PPT课件
• 第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导，培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
养逻辑推理素养．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 2.借助运算求值，提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
x.
(2)证明：因为左边＝33－ ＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－ ＋ccooss 22AA2＝22csions22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
• [方法技巧]
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ ＝ 2－2cosα4＝ 4sin2α8. 因为 3π<α<4π，所以38π<α8<π2，所以 sinα8>0，故原式＝2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写 出正确的解题过程． •提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时， 没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
正解如下：
因为 3π<α<4π，所以32π<α2<2π，34π<α4<π，38π<α8<π2，则 cosα2>0，cosα4<0，cosα8>0.
所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ 4cos2α4
＝ 2＋2cosα4＝ 4cos2α8＝2cosα8.
明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导，培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
养逻辑推理素养．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 2.借助运算求值，提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
x.
(2)证明：因为左边＝33－ ＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－ ＋ccooss 22AA2＝22csions22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
• [方法技巧]
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ ＝ 2－2cosα4＝ 4sin2α8. 因为 3π<α<4π，所以38π<α8<π2，所以 sinα8>0，故原式＝2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写 出正确的解题过程． •提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时， 没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
正解如下：
因为 3π<α<4π，所以32π<α2<2π，34π<α4<π，38π<α8<π2，则 cosα2>0，cosα4<0，cosα8>0.
所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ 4cos2α4
＝ 2＋2cosα4＝ 4cos2α8＝2cosα8.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(共11张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
cos 4α = cos [2×(2α)] = 1 −
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
高考数学复习知识点讲义课件46---二倍角的正弦、余弦、正切公式
7
·cos
7
2sin ＝－
7
·cos
7 π
·cos
7
2sin7
4sin7
4π 4π
8π
＝－2sin87sin·cπ7os 7 ＝－s8isnin7π7＝18.
(2)cos51ππ6－sin51ππ6＝cos51π6cos1π6π－sinπ51π6sin1π6＝c1os38ππ＝2cosπ2－π π8＝2sinππ8＝2.
(2)对于 S2α 和 C2α，α∈R ，但是在使用 T2α 时，要保证分母 1－tan2α≠0 且 tan α 有意义，即 α≠π4＋kπ 且 α≠－π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z )．当 α＝π4＋kπ 及 α＝－π4＋kπ(k∈Z )时，tan 2α 的值不存在；当 α＝π2＋kπ(k∈Z )时，tan α 的 值不存在，故不能用二倍角公式求 tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出 tan 2α＝tan(π＋2kπ)＝0.
答案：C
3．(2021·全国乙卷)cos21π2－cos251π2＝
()
1 A.2
C.
2 2
3 B. 3
D.
3 2
解析：因为1π2＋51π2＝π2，所以 cos51π2＝cosπ2－1π2＝sin 1π2，所以 cos21π2－cos251π2 ＝cos21π2－sin21π2＝cos2×1π2＝cosπ6＝ 23.故选 D.
矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成
的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在
圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6
米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
二倍角的正弦、余弦、正弦公式 课件
第三章
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝______2_s_i_n_α_c_o_sα________
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α＝______2_c_o_s2_α_－__1___＝ ____1_－__2_s_in_2_α_____
〔跟踪练习3〕化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－ 180°)．
[解析] 原式＝1＋cos22θ＋30°＋1－cos22θ－30°＋12sin2θ＝1＋12[cos(2θ＋
30°) －
cos(2θ
－
30°)]
＋
1 2
sin2θ
＝
1
＋
1 2
(cos2θcos30°－
『规律总结』 二倍角公式的变形应用 (1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”． (2)公式变形的主要形式有 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1 ＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α．
2tanα 正切 tan2α＝____1_－__ta_n_2_α__________
S(α＋β)
简记 S2α
C(α＋β)
C2α
T(α＋β)
T2α
[知识点拨]1.倍角的含义： 对于“二倍角”应该有广义的理解，如 2α 是 α 的二倍角，4α 是 2α 的二倍角， 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍” 是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件： 在 S2α，C2α 中，α∈R，在 T2α 中，α≠k2π＋π4且 α≠kπ＋π2(k∈Z)，当 α＝kπ＋π2 (k∈Z)时，tanα 不存在，求 tan2α 的值可采用诱导公式．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝______2_s_i_n_α_c_o_sα________
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α＝______2_c_o_s2_α_－__1___＝ ____1_－__2_s_in_2_α_____
〔跟踪练习3〕化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－ 180°)．
[解析] 原式＝1＋cos22θ＋30°＋1－cos22θ－30°＋12sin2θ＝1＋12[cos(2θ＋
30°) －
cos(2θ
－
30°)]
＋
1 2
sin2θ
＝
1
＋
1 2
(cos2θcos30°－
『规律总结』 二倍角公式的变形应用 (1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”． (2)公式变形的主要形式有 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1 ＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α．
2tanα 正切 tan2α＝____1_－__ta_n_2_α__________
S(α＋β)
简记 S2α
C(α＋β)
C2α
T(α＋β)
T2α
[知识点拨]1.倍角的含义： 对于“二倍角”应该有广义的理解，如 2α 是 α 的二倍角，4α 是 2α 的二倍角， 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍” 是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件： 在 S2α，C2α 中，α∈R，在 T2α 中，α≠k2π＋π4且 α≠kπ＋π2(k∈Z)，当 α＝kπ＋π2 (k∈Z)时，tanα 不存在，求 tan2α 的值可采用诱导公式．
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练习：
讲授新课
思考：
讲授新课
思考：
由此我们能否得到sin2，cos2， tan2的公式呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦律，学 会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.132到P.134; 2. 《习案》作业三十二.
3.1.3 两倍角的正弦、 余弦、正切公式
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
练习：
1.在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
注意：
讲解范例： 例1.
讲解范例： 例2. 在△ABC中,
讲解范例： 例3.
讲解范例： 例4.
讲解范例： 例4.
练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.
课堂小结