电路原理第3.3节网孔分析法
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网孔分析回路分析结点分析解析
网孔分析回路分析结点分析解析网孔分析（Mesh analysis）也称为网孔电流分析（Mesh current analysis），是一种分析电路中电流的方法。
回路分析（Loop analysis）和结点分析（Node analysis）是分析电路中电压和电流的方法。
1.网孔分析网孔分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法，基本思想是将电流方程和电压方程结合起来，用矩阵方程解出未知电流。
基尔霍夫定律可以概括为：（1）基尔霍夫第一定律（节点定律）：一个节点的电流流入等于流出的总和。
（2）基尔霍夫第二定律（回路定律）：沿着一个闭合回路的电压和电流的代数和为零。
按照网孔的定义，电阻器与电源间没有分叉或分合。
电路中的每个电阻器与电源之间形成一条网孔。
每个网孔中的电流可以用符号I1、I2等表示。
通过网孔分析，我们可以得到每个网孔中的电流值，进而计算电阻器上的电压、功率等。
2.回路分析回路分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法。
基于回路定律，我们可以设置回路方程并求解未知变量。
在回路分析中，我们可以根据回路方程求解各种未知变量，包括电流、电压、功率等。
3.结点分析结点分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法。
基于结点定律，我们可以设置结点方程并求解未知变量。
在结点分析中，我们可以根据结点方程求解各种未知变量，包括电流、电压、功率等。
网孔分析、回路分析和结点分析是三种常用的电路分析方法。
它们在不同情况下有着各自的优势和适用性。
选择合适的分析方法取决于电路的特点和问题的要求。
熟练掌握这三种方法将有助于工程师更好地理解电路，并解决实际问题。
电路原理与电机控制第3章电路的一般分析方法
1
2 - 22V+ 3
3Ω
I
8A 1Ω 1Ω
25A
4
U1 = –9.43V U4 = 2.5V
U3 = 22V
I = –2.36 A
17
• 例2. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。
• 解： (1) 先把受控源当作独立
源列方程；
IS1
1 R2
+ UR2 _
1
R1
1 R2
1 R1
25
I
4
U3–U2 = 22
解得
U1 = –11.93V U2 = –2.5V
U3 = 19.5V I = –2.36 A
16
• 解二：以节点②为参考节点，即U2=0
节点电压方程如下
(1 3
1 4
)U1
1 4
U3
11
4Ω 3A
U3 (1 1)U4 17
U3 = 22
解得：
1
I1 2A
2 1
I2 +U –
2
+
2
3
I
3
用节点电压表示受控源的控制量为：
2I2 –
U U1 U2 1 U1 U2
3
3
I2
U1 2
3
3 24
1
5
U1 U 2
2 0
解之：
U1
20 7
V,
U2
16 7
V
3 3
所求电流为：I
15
• 例1. 电路如图所示，求节点电压U1、U2、U3。
电工基础 第3章 电路分析的网络方程法
第3章 电路分析的网络方程法
1 R2 i2 2
is1
i1
i3
R1
R3
0
i4
R4
＋
us4
－
图3.5 节点分析法
第3章 电路分析的网络方程法
以图3.5为例， 电路中有3个节点， 分别为0、 1、 2。 设节点0为参考节点， 节点1和节点2到参考节点的 电压分别为u1和u2。 根据KCL， 可以列两个独立的电 流方程
2
3A 3 1
＋
2
4i 1
－
i2
0
图3.7 例3.6图
第3章 电路分析的网络方程法
解 设节点0为参考节点， 那么， 节点电压为u1和 u2。 节点1的节点电压方程为
3
1
1
1 4
u1
u2 4
3 0.5i2
由图3.7可得
u2
4i1, i1
u1
u2 4
, i2
u2 2
联立上述各式， 解之得
i1=1.5 A, i2=3 A
G11u1+G12u2+… +G1(n-1)u(n-1)=is11 G21u1+G22u2+… +G2(n-1)u(n-1)=is22
…
G(n-1)1u1+G(n-1)2u2+… +G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
（3-8）
方程组（3-8）可写成通式， 对于第k个节点， 其
电路分析的网络方程法图38电路分析的网络方程法33回路分析法331回路电流法及其一般形式在电路中以假想的回路电流为电路变量通过kvl列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方解方程求出回路电流再利用回路电流求各支路电流及电压的分析方法称之为回路分析法或回路电电路分析的网络方程法图39回路分析法电路分析的网络方程法下面我们来看一下回路电流法的方程形式
电路原理第3章
④
i1 − i 2 = 0
− i1 + i3 + i5 = 0
i2 − i3 − i4 = 0
i4 − i5 = 0
6
• 一个 结点和b条支路的电路，其独立的 一个n结点和 条支路的电路 结点和 条支路的电路， KCL方程数为（n-1）。 方程数为（ ） 方程数为 二、KVL方程的独立方程数 方程的独立方程数 几个概念： 1、几个概念： 连通图： 连通图：任意两个结点之间至少存在一条路 径的图G。 径的图 。 回路(loop)：闭合路径。 回路 ：闭合路径。 一个连通图G的树 包含G的全部结点和 的树T包含 树：一个连通图 的树 包含 的全部结点和 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路 回路。 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路。 树支：树中包含的支路。 树支：树中包含的支路。 例如P54 P54图 例如P54图3-4
1. 概念
为未知量， 基尔霍夫定律和 以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律和VCR 支路电流为未知量 根据基尔霍夫定律 列出电路方程，进而求解电路变量的方法。 列出电路方程，进而求解电路变量的方法。
2. 适用范围
原则上适用于各种复杂电路， 原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多 方程数增加，计算量加大。因此， 时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路 数较少的电路。 数较少的电路。
• 平面图：把一个图画在平面上，其各条支路除 平面图：把一个图画在平面上， 连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图 平面图。 连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图。 • 网孔是平面图中的“自然孔”，网孔内不再有 网孔是平面图中的 自然孔” 是平面图中的“ 其他支路。 其他支路。
平平 平
非平平平
求各元件上吸收的功率， 求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
[电路分析]网孔电流法
![[电路分析]网孔电流法](https://img.taocdn.com/s3/m/578688a2cc7931b764ce15b7.png)
网孔电流法一、网孔电流方程出发点进一步减少方程数，用未知的网孔电流代替未知的支路电流来建立方程。
图3.3-1所示电路，共有n=4个节点，b=6条支路（把电压源和电阻串联的电路看成一条支路）。
显然，独立的网孔数为b－n＋1=3个。
1、网孔电流设想每个网孔中有一个假想的电流沿着构成该网孔的各条支路循环流动，把这一假想的电流称为网孔电流（mesh current），如图3.3-1中的分别表示网孔a、b、c的网孔电流。
电路中各支路电流就可以用网孔电流表示结论：用3个网孔电流表示了6个支路电流。
进一步减少了方程数。
2、网孔电流方程根据KVL，可得图3.3-1电路的网孔电流方程网孔电流方程的一般形式自电阻×本网孔电流±Σ（互电阻×相邻网孔电流）= 本网孔中沿网孔电流方向的所有电压源的电位升之和自电阻（self resistance）是各网孔中所有支路电阻之和，互电阻（mutual resistance）是两个相邻网孔之间的共有电阻。
第二项前的正负号由相邻网孔电流与本网孔电流在互电阻上流过的方向是否一致来决定，若一致取正号；反之取负号。
网孔电流法分析电路的一般步骤确定电路中的网孔数，并设定各网孔电流的符号及方向。
按常规，网孔电流都取顺时针或逆时针方向。
列写网孔电流方程，并求解方程，求得各网孔电流。
由求得的网孔电流，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。
例3.3-1 图3.3-1所示电路中，已知us1=21V，us2=14V，us3=6V，us4=us5=2V，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，R5=6Ω，R6 =2Ω，求各支路电流。
解：1. 电路的网孔为3个。
设定3个网孔电流的符号及方向如图3.3-1所示。
2．列写网孔方程网孔a：网孔b：网孔c：代入参数，并整理，得解得网孔电流为：3．由网孔电流求各支路电流2、全欧姆定律只有一个网孔的电路，称为单回路电路（single loop circuit）。
【推荐】电路原理基础：第三章 节点分析法
13
R4 i4
uo －
②式解出ub，因虚短 ua = ub代入①式得
uo
R2 R1
u1
R2 R1
R2 R1
1 u2
R3 R4
1
由题中条件得:
uo
R2 R1
(u2
u1)
差动运算电路
输出与两输入之差成正比， 被称作差动运算电路。
二、含理想运放的节点法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL方程：
n1 : n2 :
i1 i2 iS1 i2 i3 iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 +
+
uS3
iS1
u1 G1 i1
u3
un3 R2
uo R3
ui R1
R3
(1 R4
1 R5
)
1 R5
uo
0
节点③和④：不列写！
由虚短得 un1 0
R2
R1
＋ ui
① -∞
+
③
+ -
∞
②
－
R4
R5
④ ＋ uo
un2 un3
－
可得： uo R2R3 (R4 R5 ) ui R1(R3R4 R2R4 R2R5 )
例(解节．：点求节电u点压A③)、的、方iB④程．的组电。位有分受别控为源时，G12
R4 i4
uo －
②式解出ub，因虚短 ua = ub代入①式得
uo
R2 R1
u1
R2 R1
R2 R1
1 u2
R3 R4
1
由题中条件得:
uo
R2 R1
(u2
u1)
差动运算电路
输出与两输入之差成正比， 被称作差动运算电路。
二、含理想运放的节点法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL方程：
n1 : n2 :
i1 i2 iS1 i2 i3 iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 +
+
uS3
iS1
u1 G1 i1
u3
un3 R2
uo R3
ui R1
R3
(1 R4
1 R5
)
1 R5
uo
0
节点③和④：不列写！
由虚短得 un1 0
R2
R1
＋ ui
① -∞
+
③
+ -
∞
②
－
R4
R5
④ ＋ uo
un2 un3
－
可得： uo R2R3 (R4 R5 ) ui R1(R3R4 R2R4 R2R5 )
例(解节．：点求节电u点压A③)、的、方iB④程．的组电。位有分受别控为源时，G12
电路原理电路的分析方法
设电路含有n个节点，b条支路，则
（1）独立节点为（n－1）个，因此有（n－1）个KCL独立方程。 （即独立KCL方程：（n-1）个）
（2）平面网孔有b－（n－1）个，因此有b－（n－1）个KVL独 立方程。（即独立KVL方程：b-(n-1)个（平面电路的网孔数）
（3）b条支路共有b个VCR方程。故总的独立方程为2b个。（即
第3章 线性电路分析方法
简单电路：仅有一个独立节点或一个回路. 复杂电路：含有多个节点或回路。
平面电路：可画在一个平 面上，且使各条支路除连 接点外不再有交叉支路的 电路。
对于平面电路，可以引入 网孔的概念。
精选课件
1
支路法：
3.1 2b方程法
定义：以支路电压、支路电流为待求量列写电路方程
求解电路的方法。
ia
(1) 选择网孔电流,参考 方向取顺时针方向；
I2 ib
(2) 列写网孔电流方程：
15ia - 5 ib = 40 - 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流
ia = 3A
ib = 1A
(4) 求各支路电流 I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A
i1 = Ia i2=Ia - Ib
i1
i2
i3
i3=Ib i4=Ia - Ic i5=Ic
i6
i4
i5
i6=Ic - Ib
独立性：网孔电流彼此独立，不能互求。
节点1: - i1 + i2 + i3=0
用网孔电流表示: - Ia +(I精a选-课Ib件) + Ib=0
8
三、网孔电流法：u(Isb6-+IaI)aRR46+-u(Isb5-+Ic)(RIa-2I+c)Rus52+-(uIas-1I+b)IbRR41==00
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔电流：沿每个网孔边界自行流动的闭合的假想电流。一般对于M个网孔，自电阻×本网孔电流+ ∑（±）互电阻×相邻。
网孔电流+ ∑本网孔中电压升。
网孔分析法的分析方法
网孔分析法是电路基本分析方法的一种以网孔电流为待求变量按kvl建立方程求解电路的方法
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔分析法简单步骤及简单例题法的一种，以网孔电流为待求变量，按KVL建立方程求解电路的方法。
根据基尔霍夫定律：可以提供独立的KVL方程的回路数为b-n+1个，网孔只是其中的一组。
网孔电流+ ∑本网孔中电压升。
网孔分析法的分析方法
网孔分析法是电路基本分析方法的一种以网孔电流为待求变量按kvl建立方程求解电路的方法
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔分析法简单步骤及简单例题法的一种，以网孔电流为待求变量，按KVL建立方程求解电路的方法。
根据基尔霍夫定律：可以提供独立的KVL方程的回路数为b-n+1个，网孔只是其中的一组。
电路分析基础网孔分析法
R21im1
R22im2
R1nimn us11 R2nimn us22
Rn1im1 Rn2im2 Gnnimn usnn
X
2.网孔分析法
R ii :网孔i的自电阻(self resistance)，等于网孔i内的所有电阻之和。
自电阻恒为正。
R ij :网孔i与网孔j之间的互电阻(mutual resistance)，等于i、j两网
的、具有特定功能的集成电路。
Offset null 1
Inverting input 2
NC
8
7 V
6 Output
+
Offset null 1 Inverting input 2 Noninverting input 3
8 NC
7 V
6 Output
Noninverting input 3
5 Offset null
4
V¯
金属外壳封装
V¯ 4
5 Offset null
DIP封装
1.运算放大器及其外部特性
7
39kΩ
4.5kΩ
3
2
30pF 7.5kΩ
25kΩ 6
50kΩ
1 1kΩ 50kΩ
5 1kΩ 5kΩ
50kΩ 50kΩ 4
LM741的电路原理图
1.运算放大器及其外部特性
a
符号 u - -
A
ud
+
b
o uo
电路分析基础网孔分析法
内容提要
定义 网孔分析法 几种特殊情况
X
1.定义
网孔分析法是以网孔电流作为电路变量列写方程求 解的一种方法。 网孔电流是一种假想的沿着网孔边界流动的电流。 基本思路：首先指定网孔电流方向；然后对各网孔列 写KVL方程，并根据各支路的VCR，将支路电压用网 孔电流表示；最后将用网孔电流表示的各支路的VCR 代入KVL方程，整理即得所求的网孔电流方程。 网孔分析法的实质：网孔的KVL方程。
电路分析基础例题集(第1-5章)讲解
所以
（b）图中的 、 为关联参考方向，故其功率为
所以
（c）图中的 、 为非关联参考方向，故其功率为
所以
例1.3如图1.3所示电路，已知 ，求 和 。
图1.
解题思路：可由电容的 求出电容电流，由欧姆定律求出电阻电流，然后由后面将要介绍的基尔霍夫电流定律（ ）求出电感电流 ，再由电感的 求出电感电压，最后由基尔霍夫电压定律（ ）求出 。
图2.14 图2.13的等效变换电路
由图2.14可得
例2.10用电源等效变换法求图2.15所示电路中的电流 。
图2.
解题思路：将待求支路左边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：其电源等效变换电路如图2.15所示，由欧姆定律得
例2.11求图2.16（a）所示电路的输入电阻 。
图2.
解题思路：在 端外加一个电压源，用“ ”法求取。为方便计算，假设电压源的极性与 一致，如图2.16（b）所示。
由图2.11可得
各元件的功率为
电压源的功率为
电流源的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
因为
所以整个电路的功率是平衡的。
例2.9用电源等效变换法求图2.13所示电路中的电流 。
图2.13
解题思路：根据本题的电路结构，只需将待求支路两边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：将图2.13所示电路进行电源等效变换，如图2.14所示。
图1.9
解题思路：先用 求出 的电压 ，再用电阻功率公式求出 ，最后由欧姆定律和 求出 和 。
解： 、 和 标注如图1.9（b）所示，由题知
，
，
，
例1.10如图1.10（a）所示电路，求 、 和 的值。
（b）图中的 、 为关联参考方向，故其功率为
所以
（c）图中的 、 为非关联参考方向，故其功率为
所以
例1.3如图1.3所示电路，已知 ，求 和 。
图1.
解题思路：可由电容的 求出电容电流，由欧姆定律求出电阻电流，然后由后面将要介绍的基尔霍夫电流定律（ ）求出电感电流 ，再由电感的 求出电感电压，最后由基尔霍夫电压定律（ ）求出 。
图2.14 图2.13的等效变换电路
由图2.14可得
例2.10用电源等效变换法求图2.15所示电路中的电流 。
图2.
解题思路：将待求支路左边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：其电源等效变换电路如图2.15所示，由欧姆定律得
例2.11求图2.16（a）所示电路的输入电阻 。
图2.
解题思路：在 端外加一个电压源，用“ ”法求取。为方便计算，假设电压源的极性与 一致，如图2.16（b）所示。
由图2.11可得
各元件的功率为
电压源的功率为
电流源的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
因为
所以整个电路的功率是平衡的。
例2.9用电源等效变换法求图2.13所示电路中的电流 。
图2.13
解题思路：根据本题的电路结构，只需将待求支路两边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：将图2.13所示电路进行电源等效变换，如图2.14所示。
图1.9
解题思路：先用 求出 的电压 ，再用电阻功率公式求出 ，最后由欧姆定律和 求出 和 。
解： 、 和 标注如图1.9（b）所示，由题知
，
，
，
例1.10如图1.10（a）所示电路，求 、 和 的值。
网孔分析法和节点分析法
网孔方程是描述网孔的KVL方程，当两个网孔共有 一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
成一个网孔，即
3
超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+
超级网孔
6_V
KVL 方程
4i1 6i2 6i3 12 6 4
2i1 4i2 10i3 4
20V
_
i3
ia R3
ib
+ _10V
20 20
10 ia 25
30 8 1.143A 20 7
20 30
i1 = ia = 1.143A
25 20 ib 25 20
20 10 3 0.429A 20 7 30
i2 = ib =0.429A i3 = ia － ib
=0.714A
(G1＋G4)u1－G1u2－G4u3= iS1 －G1u1 +(G1+ G2＋G3) u2－G3u3= 0 网孔分－析法G和4节u点1－分析G法3u2+ (G3 +G4 ) u3 = iS2
i1 R1
R2 i2
+ u_s1
i5 ia R5
ib
R4
R6
+ _us2
i4
_ us4 + ic
i6
i3 R3
+ us3 _
网孔① －uS1＋i1R1＋i5R5＋uS4＋i4R4 = 0
网孔② 网孔③
i2R2＋ uS2－i6R6－i5R5 = 0 i6R6－uS3＋i3R3－i4R4－uS4 = 0
网孔分析法(重点)
G12 、G21、G23、G31、G32为两节点之间的公共电导， 称互电导，取负号。
IS11等为流入节点电流。
节点方程规律
自电导×本节点电压 － ∑（互电导×相邻 节点电压）=与该节点相联接的流入该节 点的电流源电流之和。
G11U1 G12U 2 G13U3 I S11
G21U1 G22U 2 G23U3 I S 22 G31U1 G32U 2 G33U3 I S 33
0.2Ω
例5 求 I 1 =?
1Ω 0.5Ω
＋ I1 5V
6A
－ 1Ω
1 0.2Ω
解：设节点 1 如图。
(1 0.2
+ 01.5+1+1）U1-(１+ 01.5)×5=－6A
U1=1V ∴ I1 =1A
例6: 试用节点法求i1、i2、i3。
5Ω
10Ω
＋ i1
20V －
i3
i2
20Ω
＋
10V －
例6: 试用节点法求i1、i2、i3。
(1S)u1 5A - i (0.5S)u2 2A i
(1S)u1 i 5A (0.5S)u2 i 2A
补充方程
u1 u2 6V
解得
u1 4V, u2 2V, i 1A
这种增加电压源电流变量建立的一组电路方程，称为 改进的结点方程(modified node equation)，它扩大了结点 方程适用的范围。
a 的自电阻
a与b a与c 的互 的互
电阻 电阻
(R2+R6+R5)ib-R5ia-R6ic=-us2
(R2+R6+R4)ic-R4ia-R6ib=us3+us4
3.1支路电流法3.2网孔电流法3.3节点电压法
3
n2 n3
26
对上图列KCL独立方程
i1 i4 i5 is1 i2 i5 i6 0 i3 i4 i6 is2
2019/10/20
27
将支路电流用节点电压表示
i1 G1un1 i2 G2un2 i3 G3un3 i4 G4 (un1 un3 ) i5 G5 (un1 un2 ) i6 G6 (un2 un3 )
R2im2 uS2 R6 (im3 im2 ) R5 (im1 im2 ) 0
R4 (im3 im1 ) uS4 R6 (im3 im2 ) uS3 R3im3 0
(R1 R4 R5 )im1 R5im2 R4im3 uS1 uS4
2019/10/20
10
3.2.1 网孔电流
网孔电流实际上是不存 在的，电路中真正存在 的是支路电流。
i1 im1 i2 im2 i3 im3
i4 im3 im1 i5 im1 im2 i6 im3 im2
2019/10/20
11
以网孔电流为未知量，根据KVL列出网孔
解： 参考节点和节点电压如图所示。设节点电压分别为 un1和un2，用观察法列出节点方程
2019/10/20
33
运用节点电压法列出方程时需要注意：
（1）在列出节点电压方程时，把实际电压 源模型等效成实际电流源模型。（例3.9 , 3.10）并注意互电导的符号为负。
2019/10/20
34
例3.10：用节点电压法求节点电压u和支路电流i1和i2
2019/10/20
28
整理后：(G1 G4 G5 )un1 G5un2 G4un3 is1 G5un1 (G2 G5 G6 )un2 G6un3 0 G4un1 G6un2 (G3 G4 G6 )un3 is2
网孔分析法PPT课件
i2 R2
us1 us4
i5
R5 us2
R4 i4 R6 i6
i3
R3
us3
15
2
4
6
3
说明：1）网孔分析法是回路分析法的特例
2）一个图G可以有很多种树，因此回路法 在变 量的选择上较网孔法更灵活。
例2：用回路分析法求 i 。
6
4A 2
i
3 2A
3V
4
2
1
3 6 5
说明：用回路法时尽可把电流源支路选为连支， 使之未知独立变量数减少。
2）一个图G可以有很多种树，因此割集法在 独立变量的选择上比节点法更灵活。
例1：用割集法求 i1
① 6V
5i2
2A ② 12V ③
i2
i1 ①
20 8 C1
④
1
4② 6
2
④
C2
5③
3
C3
说明：用割集法时尽可把电压源支路选为树支， 使之未知的独立变量减少。
§3-7 回路分析法
以连支电流作为求解量,对每一基本回 路列写支路电压以连支电流和电阻表示的 KVL方程求解电路的方法。
§3-4 网孔分析法
以网孔电流作为求解量,将网孔的KVL方程与支路 VAR相结合列写方程求解电路的方法。
说明：网孔法只适用于平面网络
网孔电流是独立的完备的电路变量
非平面网络
一）网孔电流方程式的建立过程
第一步：设网孔电流及其参考方向
第二步：对每一网孔列写 KVL方程(A）
第三步：各支路电流用网孔
i2
a)含受控电流源时
①
例4：列出图示电路的
节点方程 。
2A
2S
【推荐】电路原理基础：节点分析法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL 方程：
n1 : ?i1 ? i2 ? iS1 n2 : ??? i2 ? i3 ? ?iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 + +
u S3
iS1
u1 G1 i1
它待求量。
四、节点法的特例情况
I1 ①
＋
＋
特例1: 节点数 n=2,支路可很多, 按节
US1
－
点法的基本步骤，有：
R1
US2
－
R3
R2
I S3
( ) 1 1 1 ?? R1 R2 R3
U n1
?
U S1 R1
?
US2 R2
?
IS3
即对n=2的电路有
?
U n1
?
U S1 R1 1
?
US2 R2 1
? IS3 1
巧选回路法： iS放连支上 增设变量法
2、含受控源的处理方法
1
图示电路 ,求电压源和电流源各自的功率。
解: 回路法
I1
I2
2A
1Ω
- 1V +
I1
+
1Ω
U -
I2
1Ω
2A 1Ω
1Ω
2I1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? ? 1 1I1 ? 3I 2 ? 1? 2 ? 0
I1 ? 1A, I 2 ? ? 1A U ? 1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? 4V
u2 = un1 - un2 u 3 = un2
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL 方程：
n1 : ?i1 ? i2 ? iS1 n2 : ??? i2 ? i3 ? ?iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 + +
u S3
iS1
u1 G1 i1
它待求量。
四、节点法的特例情况
I1 ①
＋
＋
特例1: 节点数 n=2,支路可很多, 按节
US1
－
点法的基本步骤，有：
R1
US2
－
R3
R2
I S3
( ) 1 1 1 ?? R1 R2 R3
U n1
?
U S1 R1
?
US2 R2
?
IS3
即对n=2的电路有
?
U n1
?
U S1 R1 1
?
US2 R2 1
? IS3 1
巧选回路法： iS放连支上 增设变量法
2、含受控源的处理方法
1
图示电路 ,求电压源和电流源各自的功率。
解: 回路法
I1
I2
2A
1Ω
- 1V +
I1
+
1Ω
U -
I2
1Ω
2A 1Ω
1Ω
2I1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? ? 1 1I1 ? 3I 2 ? 1? 2 ? 0
I1 ? 1A, I 2 ? ? 1A U ? 1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? 4V
u2 = un1 - un2 u 3 = un2
网孔分析法 电子电工 ppt课件
教
2i1 11i2 6i3 6A
程 》
i1 6i2 10i3 19A
解得
i1 1 Ai2 2 Ai3 3 A i4 i3 i1 4 Ai5 i1 i2 3 A i6 i3 i21 5 1 A
四、含独立电流源电路的网孔方程
《 电
当电路中含有独立电流源时，不能用式(3－5)来建立
路 含电流源网孔的网孔方程。若有电阻与电流源并联单口，
14综上所述对于由独立电压源独立电流源和电阻构成的电路来说其网孔方程的一般形式应改为以下形式mmmm2111其中uiskk表示第k个网孔的全部电流源电压的代数和其电压的参考方向与该网孔电流参考方向相同的取正号相反则取负号
《 电 路 基 础 电 子 教 程 》
1
§3－2 网孔分析法
在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电
子
教
程 》
其中，R11, R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内
全部电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6,
R33= R3+ R4+ R6。
8
R11i1 R12i2 R13i3 uS11 R21i1 R22i2 R23i3 uS22
《 电
《
电
路
基
础
电
子 教
解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。
程
用观察法列出网孔方程
》
(212 )i1(2 )i2(1 )i36V1V 8
(2 )i1(263 )i2(6 )i31V 81V 2
(1 )i1(6 )i2(361 )i32V 56V
14
《
【推荐】电路原理基础：第三章 网络的线图和独立变量
定的树 每增加一个连支，就和树支构成一个回路。 连支数，独立
回路数： l=b–n+1 . 割集Q ：是连通图G的某个支路集合，它满足：i)若将这些支路全
部移去，G就分离为两个连通子图（其中一个子图可以为孤立节
点）；ii)若少移去一条这样的支路，G就仍然连通。即某一闭合面
切割到的支路的集合(注意每条支路只能切割一次)
（1）R11 ─网孔l1的所有电阻之和，称为该网孔的自电阻
(恒正)(R22 、Rmm 同理)；
（2）R12 、R21 ─网孔1、2的公有电阻之“代数和”，称
为互电阻；当Il1 、Il2在公有电阻上同方向时取正号；反
之取负号。无受控源时有R12 =R21 ，R13 =R31 ，……；
（3）US11 ─网孔l1沿Il1方向上的电压源电位升的代数和
9
二、回路法
网孔电流是平面电路的一组完备的独立变量—— 网孔分析法
连支电流（基本回路电流）也是电路中的一组完 备的独立变量——回路分析法
网孔分析法是回路分析法的一种特例。回路分析法还
适用于非平面电路。
1、基本回路电流
对于一个基本的网络，回路可以有很多；对于确定树
的网络，基本回路随之而定。
连支电流→基本回路电流
12153i150i11 002i310i53 0
由于有受控源，100=R12 ≠R21 = –1350 ！所以有受控源
的电路不可以用互电阻概念直接写回路方程
15
例2．求uA 、iB 。
6A
a
iB 4Ω
3Ω
2uA
o
b
6Ω iC c
+ + u A-
20V
-
d － 2Ω
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3.3-12
电路 分析
第一式和第三式相加消去u，再和余下的两式联立，即
求解这一联立方程组，得网孔电流 i1=9A, i2=2.5A, i3=2A。
3.3-13
电路
分析
例 本例是含有受控源的情况。如图3-19所示电路，利 用网孔分析法求电压u。
图3-19
解 本例中含有受控源(VCCS)，处理方法是:先将受控
3.3-3
电路 分析
可得到以各网孔非公共支路电流为未知量的三个独立的 KVL方程为：
(R4 + R5) i1 – R4 i2 + R5 i3 = uS1 (R2 + R4)i2 – R4i1 = uS2 (R3 + R5) i3 + R5！设想电路中每个网孔
有网孔电流（即非公共支路电流）环流，由此可列写独立 的电压方程。联立这些网孔电压方程，则电路可解。
3.3-4
电路 分析
结论：
设平面电路有b条支路n个节点，则网孔数l = b – n +
1。利用网孔电流的概念，可以列出l个以网孔电流为变量 的网孔方程。根据式（1）的规律，以三个网孔为例，设 网孔电流为il1、il2、il3，则可以写出各网孔KVL方程的一 般形式为
电路 分析
3.3 网孔分析法
概念：
以电路中假设的网孔电流为求解变量，列独立的 KVL方程分析电路的方法。
引例：
图3-15
3.3-1
电路 分析
在图3-15(b)中，除节点d外，可列出三个互相独立的 KCL方程为：
节点a： 节点b：
– i1 + i2 + i4 = 0 i2 – i3 – i6 = 0
源看成独立电源。如图中所标网孔方向，可知i1=0.1u, i3 =4A，对网孔2列方程为 26i2-2i1-20i3=12
其中
可以解得i2=3.6A, u=8V。
3.3-14
图3-16
3.3-8
例 现在研究在非公共支路中含有电流源的情况。 如图3-17所示，试用网孔分析法求各支路电流。
i2 10
3
iS
10
i3 +
2A
iS
ia
1+0Vi2 -
ib
6
i3
12V -
图3-17
电路 分析
3.3-9
电路 分析
解 本电路有3个网孔，理应列写3个网孔方程，但由 于电流源iS处于非公共支路，故该网孔电流变为已知 量iS，可以少列一个网孔方程。假设网孔电流i2和 i3的方向 后，可得
3.3-6
电路 分析
网孔分析法的步骤：
1．选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。 2．以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写各网孔的 KVL方程。 3．由网孔方程解出网孔电流。原电路非公共支路的电流 就等于网孔电流，公共支路的电流等于网孔电流的代数和。
3.3-7
例如对图3-16所示电路，
电路 分析
R11 il1 + R12 il2 + R13 il3 = ( uS )l1 R21 il1 + R22 il2 + R23 il3 = ( uS )l2
（2）
R31 il1 + R32 il2 + R33 il3 = ( uS )l3
3.3-5
电路 分析
式中，R11、R22和R33分别称为网孔l1、l2和l3的自电阻， 恒取正，它们分别为各网孔所有电阻之和；其余系数R12、
网孔法只适于平面电路。
一般地，对电路选定一棵树，对所有单连支回路 列电压方程，可得回路电流。
3.3-11
电路 分析
例 这里研究在公共支路含有电流源的情况。如图3-18 所示，试求网孔电流 i1、i2和i3。
图3-18 解 本例中公共支路含有1个7A电流源，处理这类问题的方 法之一就是先假设该电流源两端的电压u，然后用前述网孔分 析法列方程即可。由图得网孔方程：
节点c：
– i4 + i5 + i6 = 0
对图示的三个网孔，结合欧姆定律可列出三个独立的
KVL方程为：
网孔l1： 网孔l2： 网孔l3：
R4 i4 + R5 i5 – uS1 = 0 R2 i2 – uS2 – R4i4 = 0 R3 i3 – uS2 + R5i5 + uS3 = 0
3.3-2
电路 分析
(10 + 10 + 6)i2 10iS + 6i3 = 10 (6 + 3) i3 + 6i2 = 12 即 26i2 + 6i3 = 30 6i2 + 9i3 = 12
3.3-10
解得网孔电流（即非公共支路电流） i2 = 1A
进而可得公共支路电流 ia = iS i2 = 1A
电路 分析
R21、R31等为各网孔公共支路的电阻，称互电阻。
因为互电阻上的电压有正、负之分，而式（2）中 均写为正值，故可把负号引入到互电阻中。当互电阻上 两网孔电流方向相反时，互电阻取负；方向相同时，互 电阻取正。方程右边( uS)l1、( uS)l2和( uS)l3分别为网 孔l1、l2和l3中所有电压源电压升的代数和，即电源电压 升高的方向与网孔方向一致时取正，反之取负。
由图3-15(b)，各公共支路的电流可以分别用非公共支 路的电流表示为
i4 = i1– i2 i5 = i1 + i3 i6 = – i2 – i3 代入网孔方程，得 R4( i1 – i2 ) + R5( i1 + i3 ) – uS1 = 0 R2 i2 – uS2 – R4( i1 – i2) = 0 R3 i3 – uS2 + R5( i1 + i3 ) + uS3 = 0
电路 分析
第一式和第三式相加消去u，再和余下的两式联立，即
求解这一联立方程组，得网孔电流 i1=9A, i2=2.5A, i3=2A。
3.3-13
电路
分析
例 本例是含有受控源的情况。如图3-19所示电路，利 用网孔分析法求电压u。
图3-19
解 本例中含有受控源(VCCS)，处理方法是:先将受控
3.3-3
电路 分析
可得到以各网孔非公共支路电流为未知量的三个独立的 KVL方程为：
(R4 + R5) i1 – R4 i2 + R5 i3 = uS1 (R2 + R4)i2 – R4i1 = uS2 (R3 + R5) i3 + R5！设想电路中每个网孔
有网孔电流（即非公共支路电流）环流，由此可列写独立 的电压方程。联立这些网孔电压方程，则电路可解。
3.3-4
电路 分析
结论：
设平面电路有b条支路n个节点，则网孔数l = b – n +
1。利用网孔电流的概念，可以列出l个以网孔电流为变量 的网孔方程。根据式（1）的规律，以三个网孔为例，设 网孔电流为il1、il2、il3，则可以写出各网孔KVL方程的一 般形式为
电路 分析
3.3 网孔分析法
概念：
以电路中假设的网孔电流为求解变量，列独立的 KVL方程分析电路的方法。
引例：
图3-15
3.3-1
电路 分析
在图3-15(b)中，除节点d外，可列出三个互相独立的 KCL方程为：
节点a： 节点b：
– i1 + i2 + i4 = 0 i2 – i3 – i6 = 0
源看成独立电源。如图中所标网孔方向，可知i1=0.1u, i3 =4A，对网孔2列方程为 26i2-2i1-20i3=12
其中
可以解得i2=3.6A, u=8V。
3.3-14
图3-16
3.3-8
例 现在研究在非公共支路中含有电流源的情况。 如图3-17所示，试用网孔分析法求各支路电流。
i2 10
3
iS
10
i3 +
2A
iS
ia
1+0Vi2 -
ib
6
i3
12V -
图3-17
电路 分析
3.3-9
电路 分析
解 本电路有3个网孔，理应列写3个网孔方程，但由 于电流源iS处于非公共支路，故该网孔电流变为已知 量iS，可以少列一个网孔方程。假设网孔电流i2和 i3的方向 后，可得
3.3-6
电路 分析
网孔分析法的步骤：
1．选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。 2．以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写各网孔的 KVL方程。 3．由网孔方程解出网孔电流。原电路非公共支路的电流 就等于网孔电流，公共支路的电流等于网孔电流的代数和。
3.3-7
例如对图3-16所示电路，
电路 分析
R11 il1 + R12 il2 + R13 il3 = ( uS )l1 R21 il1 + R22 il2 + R23 il3 = ( uS )l2
（2）
R31 il1 + R32 il2 + R33 il3 = ( uS )l3
3.3-5
电路 分析
式中，R11、R22和R33分别称为网孔l1、l2和l3的自电阻， 恒取正，它们分别为各网孔所有电阻之和；其余系数R12、
网孔法只适于平面电路。
一般地，对电路选定一棵树，对所有单连支回路 列电压方程，可得回路电流。
3.3-11
电路 分析
例 这里研究在公共支路含有电流源的情况。如图3-18 所示，试求网孔电流 i1、i2和i3。
图3-18 解 本例中公共支路含有1个7A电流源，处理这类问题的方 法之一就是先假设该电流源两端的电压u，然后用前述网孔分 析法列方程即可。由图得网孔方程：
节点c：
– i4 + i5 + i6 = 0
对图示的三个网孔，结合欧姆定律可列出三个独立的
KVL方程为：
网孔l1： 网孔l2： 网孔l3：
R4 i4 + R5 i5 – uS1 = 0 R2 i2 – uS2 – R4i4 = 0 R3 i3 – uS2 + R5i5 + uS3 = 0
3.3-2
电路 分析
(10 + 10 + 6)i2 10iS + 6i3 = 10 (6 + 3) i3 + 6i2 = 12 即 26i2 + 6i3 = 30 6i2 + 9i3 = 12
3.3-10
解得网孔电流（即非公共支路电流） i2 = 1A
进而可得公共支路电流 ia = iS i2 = 1A
电路 分析
R21、R31等为各网孔公共支路的电阻，称互电阻。
因为互电阻上的电压有正、负之分，而式（2）中 均写为正值，故可把负号引入到互电阻中。当互电阻上 两网孔电流方向相反时，互电阻取负；方向相同时，互 电阻取正。方程右边( uS)l1、( uS)l2和( uS)l3分别为网 孔l1、l2和l3中所有电压源电压升的代数和，即电源电压 升高的方向与网孔方向一致时取正，反之取负。
由图3-15(b)，各公共支路的电流可以分别用非公共支 路的电流表示为
i4 = i1– i2 i5 = i1 + i3 i6 = – i2 – i3 代入网孔方程，得 R4( i1 – i2 ) + R5( i1 + i3 ) – uS1 = 0 R2 i2 – uS2 – R4( i1 – i2) = 0 R3 i3 – uS2 + R5( i1 + i3 ) + uS3 = 0