2013年北约数学试题

2013年北约自主招生数学试题解析
1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
2、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）
A ．720
B ．20
C ．518400
D ．14400
3、已知522
+=y x ，522
+=x y ，求3
2
2
3
2y y x x +-的值．
4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较
CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．
5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．
6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求z
y x zx
yz xy ++++．
Ａ
Ｃ
Ｎ
2
7、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．
8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且
212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．
9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．
10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有2
1ij ij a a <；现将{}n
m ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺
序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}
n
m ij
a ⨯'
，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有
j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．
【参考答案】
1、解析：显然)2)1)((2(3
2+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．
若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(3
2
+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．
2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有203
6=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．
3、解析：∵3
2
2
3
2y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x
50)(154-+--=y x xy ，
又由522
+=y x ，522
+=x y ，有)(22
2
y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．
当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，
50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；
当2-=+y x 时，5)2(22
++-=x x ，1)2(=+x x
50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．
4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，
MN ME =，
由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．
5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；
由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，
特征方程442
-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，
将11=a ，52=a 代入上式，得4
11-=c ，432=c ，
于是22)13(2)4
1
43(
-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到
z
y x zx
yz xy ++++＝1．
Ａ
Ｃ
Ｎ
4
下面给出证明，1===z z y y x x ，
于是2
z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy z
y x zx
yz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=
x
y x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴
z y x zx
yz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．
则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．
当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．
8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，
若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是022
22120111
21112013321=+++++
=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．
若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)2
2cos 1(
32cos 32233
6+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，
各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．
10、解析：数阵{}
n
m ij
a ⨯'
中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．
若在第p 行存在)1(''
+>q p pq
a a
，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，
{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i q
i t t
a a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '
即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '
，也就是
pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这
与pq a
'
排在第
p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。