北师大版初三上数学相似三角形(一)

相似三角形

【知识要点】

1

．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

3．相似三角形具有下述性质：

①相似三角形对应角相等、对应边成比例；

②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

③相似三角形周长的比等于相似比；

④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。

【典型例题】

例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM

B

G

D

例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。

例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，

AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2

A

B

C

D

E G H

例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。 （1）求证：△ADE ∽△EFC 。

（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。

例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。

（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小

例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F

求证：△AEF ∽△ACB

A

D

B

C

E

例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EF

BC AD 2

11=+。

课堂练习

1.已知：如图5—32，正方形DE －FG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=1

2.求正方形边长.

A D E F

B

O

2．如图所示，ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC=2，点D 在BC 上，︒=∠45ADE ，DE 交AC 于E ，求证：ABD ∆∽DCE ∆。

3.已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于

E

4．如图13，设P 是等边△ABC 的BC 边上任一点，连结AP ，作AP 的中垂线交AB 、AC 于M 、N 。 求

证：BP ·PC=BM ·CN 。

C

图

13

5．如图，已知△ABC∽△ADE。求证：△ABD∽△ACE。

A

E

D

B

6．已知：如图5－22，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC

课后作业1．如图，已知AB=AD，AC=AE，FG∥DE，求证：△ABC∽△AFG。

2．如图，∠1=∠2，BC与DE交于点O，求证：△ABC∽△ADE。

C

B

A

E

D

F

G

A B

O

D

C

1

2

3．如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。

5．如图所示，D 、E 是等边△ABC 的边BC ，AC 上的点，BD=CE ，AD 与BE 相交于G ，AF ⊥BE 于F ，求证：（1）BD 2=DG ·AD ；（2）AG=2GF 。

A

O B D

A

B

C

D

E

F

G