北师大版初三上数学相似三角形(一)
北师大版中学数学九年级上册 探索三角形相似的条件(第一课时 利用两角判定三角形相似) 课件PPT
知识讲解
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
∴△ADE∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ AD DE .
AB BC
∴BC=14.
E C
知识讲解
知识拓展
解：
AB
AO，DB
AB A B
ACO
BCD
ΔAOC
∽
ΔBDC
AO AC AO 120 AO 100m. BD BC 50 60
16
课堂小结
定义：三角分别相等、三边成比例的两 个三角形叫做相似三角形
三角形相似的条 件（1）
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用
14
随堂训练
3.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
证明： ∵ DE∥BC，EF∥AB.
A
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC.
D
E
∴ △ADE∽△EFC.
B
C F
（两角分别相等的两个三角形相似．）
15
随堂训练
4.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上 观察到一个明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使 得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C．测得AC=120m，CB=60m， BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
2.利用角的关系判定两个三角形相似
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
定义
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章第四节“相似三角形性质（课时1）”。这一节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义及判定方法的基础上展开的，是整个相似三角形章节的重要组成部分。相似三角形性质的学习，不仅有助于学生巩固已学知识，而且为后续学习其他几何图形的性质打下基础。
2.主要内容：相似三角形的性质、周长比与面积比的证明、实际应用案例。
3.风格：采用图文结合的方式，用不同颜色粉笔突出重点，使用箭头和框线连接相关知识点，使板书层次分明。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑清晰、重点突出。
2.对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。这一性质的理解和运用对学生来说有一定的难度，需要通过具体例题和练习进行巩固。
3.解决实际问题。将相似三角形的性质运用到实际问题中，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，具有一定的独立思考和探究能力。在认知水平上，他们已经具备了基本的几何知识和逻辑推理能力，能够理解并运用相似三角形的定义和判定方法。在学习兴趣方面，学生对新颖有趣、富有挑战性的问题更感兴趣。在学习习惯上，他们逐渐形成了自主学习、合作交流的习惯，但仍有部分学生依赖性强，需要教师引导和鼓励。
4.鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足，提高自我认知。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一些相似三角形性质的练习题，巩固课堂所学知识。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)教学设计
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质、全等三角形等知识有了较为深入的了解。在此基础上，学习相似三角形的性质，对学生来说是几何知识的拓展和深化。然而，学生在解决实际问题时，可能还未能熟练运用相似三角形的性质，需要教师在教学过程中给予引导和指导。
5.演示与操作，增强直观感受：运用几何画板等教学工具，动态演示相似三角形的性质，增强学生的直观感受，帮助学生理解并掌握性质。
6.精讲精练，提高解题能力：精选典型例题，详细讲解解题思路和方法，引导学生掌握几何证明的步骤和技巧。同时，布置适量练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
7.评价与反馈，促进教学相长：采用多元化评价方式，如口头提问、课堂练习、小组讨论等，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导。同时，鼓励学生积极反馈，促进教学相长。
（二）过程与方法
1.通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生自主探究相似三角形的性质。
2.通过动手操作、观察、猜想、验证等环节，培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
3.通过小组讨论、合作交流，提高学生的问题解决能力和团队协作能力。
4.引导学生运用几何画板等教学工具，直观演示相似三角形的性质，增强学生对知识点的理解。
2.自主探究，合作交流：在教学过程中，教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，自主探究相似三角形的性质。同时，组织学生进行小组讨论，合作交流，共同解决问题。
3.分层次教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题和思考题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》图形的相似(第1课时)
科 目：数学 适用版本：北师大版 适用范围：【教师教学】
第四章 图形的相似
探索三角形相似的条件
第1课时
第一页，共十三页。 相似三角形的判定定理1
逐点
导讲练
课堂小 结
作业提 升
第二页，共十三页。
AD
5
第十页，共十三页。
（来自教材）
知2－讲
知2－练
1 如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)
第十一页，共十三页。
（来自《典中点》）
2 (海南)如图，点P是 ABCD边AB上一点，射线
CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形
第四页，共十三页。
2.要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性，即若
△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则
△ABC∽△A″B″C″； (4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个
全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知1－讲
第五页，共十三页。
（来自《点拨》）
知1－讲
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注AB意顺序BC性．若AC k, AB BC AC 当△ABC∽△A′B′C′时，
复习提问：相似多边形的定义是什么？
第三页，共十三页。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
北师大版九年级数学上册.1相似三角形性质一课件
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形类似).
E
F
N1
结论：类似三角形对应中线的比等于类似比
类似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于类似比.
角 形
对应角平分线的比
定理 类似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于类似比.
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
6.【例4】如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝ 120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个 正方形零件的边长是多少？
解：设正方形的边长为 x mm， 则 AI＝AD－x＝(80－x)mm. ∵四边形 EFHG 是正方形，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC. ∴EBFC＝AADI ，即12x0＝808－0 x. 解得 x＝48. ∴这个正方形零件的边长是 48 mm.
★10.有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝ 80 mm.要把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置 的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又 分别为多少？
解：设矩形的边长 PN＝2y mm，则 PQ＝y mm，
由条件可得△APN∽△ABC，
∴PN＝AE，即 2y ＝80－y，解得 BC AD 120 80
为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对
应角平分线的比是多少？
A
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
数学北师大版九年级上册相似三角形性质(一)课时作业
《相似三角形的性质（1）》课时作业1．[2016·兰州] 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A .34B .43C .916D .1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A .32B .52C .72D .923．已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，已知AC A′C′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)图4－7－26．已知△ABC ∽△A′B′C′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A″B″C″的相似比为( )A .14B .94C .49D .94或497．[2016·安顺] 如图4－7－3，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．图4－7－38．如图4－7－4是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD.图4－7－49．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC； (2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的地方A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块直角三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法如图4－7－8(1)(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－8。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件(一)“A字形、8字形”相似三角形问题
（2） 请说明其中一对三角形相似的理由.
[答案] ①证明 ， ,即 .又 , .②证明 由①知 ， .又 ， .
模型二 “8字形”及其变形
【模型说明】两个三角形有一对对顶角和一对等角，则出现“8பைடு நூலகம்形”相似，基本图形有如下两种.
“8字形”（平行）
反“8字形”（不平行）
出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，运动的时间为 ．当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
解：由题意得 ， ， .若 ，则有 ，即 .解得 .
若 ，则有 ，即 .解得 . 当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似．
Ⅲ.“母子型”
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
模型三 作平行线构造“A字形或8字形”及其变形
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
“A字形”（平行）
斜“A字形”（不平行）
“母子型”（由斜“A字形”变形而得）
“旋转型”（由“A字形”变形而得）
Ⅰ.“A字形”（平行）
（第1题图）
1.如图，在 中， , , ，则 的长为( )
C
A. B.8 C.10 D.16
相似三角形的判定 数学北师大版九年级上册
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版 七年级 数学下册 教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相 似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF， 且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例 如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4
北师大版初三数学上册《相似三角形性质1》PPT共20页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
北师大版九年级数学上4.4.1探索相似三角形(第1课时)优秀教学案例
4.最后，通过典型例题，展示相似三角形在实际问题中的应用，让学生明白相似三角形的重要性。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出以下讨论主题：
1.请同学们结合教材，探讨相似三角形的性质和判定方法。
2.引导学生运用类比、归纳、猜想等思维方法，探索相似三角形的性质和判定方法，提高学生的数学思维品质。
3.倡导问题驱动的教学方法，让学生在解决问题的过程中，掌握相似三角形的相关知识，培养学生解决问题的能力。
4.整合现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
（三）情感态度与价值观
2.掌握相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，并能运用这些性质解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质和判定方法，解决平面几何中的相关问题，如求线段长度、证明线段平行等。
4.能够运用数形结合、逻辑推理等数学思想，分析解决相似三角形相关问题，提高学生的数学思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、实践等教学活动，培养学生自主探究、合作交流的能力，激发学生的学习兴趣。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握相似三角形的知识，我将采用生活化的情景创设策略。在课堂上，我会利用多媒体展示一些实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的构图等，让学生从熟悉的日常生活中感受到相似三角形的广泛应用。通过这种直观的呈现方式，激发学生的好奇心和探究欲，引导学生主动参与到相似三角形的探索中来。
1.激发学生对数学学科的兴趣和热情，培养学生积极的学习态度，增强学生的学习自信心。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好习惯，形成严谨、踏实的科学态度题中的价值和作用，增强学生的应用意识。
北师大版九年级数学上册_三角形相似判定方法的汇总及选用
三角形相似判定方法的汇总及选用一.相似三角形的判定方法:(1)定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.(4)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.注意:①在两个三角形中，只要满足两个角对应相等,那么这两个三角形相似,证明时,关键是寻找对应角;②一般地,公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意，这一判定方法是三角形相似的最常用的方法.二.合理选择判定方法在运用相似三角形的判定定理解几何问题时，要注意定理的选择，即①已知有一角相等时，可选择判定定理2 或判定定理3；②已知有两边的比相等时，可选择判定定理1或判定定理2.还应注意形似三角形判定定理的作用，即①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等，线段成比例：间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.例1：如图1，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD ∽△ABC ？试分别加以举例.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判定方法可知：△ACD 与△ABC 已有公共角∠A,要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，△ACD ∽△ABC.条件一：∠ACD=∠B;条件二：∠ADC=∠ACB; 条件三：,ABAC AC AD =.2AB AD AC ⋅= 反思：本题探索的问题是相似三角形的判别方法，在探索两个三角形形似时，用分析法，可先证明△ACD ∽△ABC 然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.例2:如图2,已知△ABC 中,,900=∠C D 、E 在BC 上，且BD=DE=EC=AC ，指出图中相似三角形,并证明你的结论.分析:先利用排除法找到不可能形似的,再证明相似的,△ACE 是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又△ACD 是直角三角形,所以不可能和非直角三角形△ADE 、△ABD 、△ABE 相似；又△ACD 和△ACB 对应边的比不相等,所以一也不可能相似;因为∠AED=∠BEA ，所以△AED 和△BEA 可能相似.证明:设AC=CE=ED=DB=a.,2,22a EB ED a AE =⋅=.2EB ED AE ⋅= 即AEEB ED AE =.∠AED=∠BEA ， △AED ∽△BEA.反思:对于具体问题，一定要灵活处理.因为此题出现三角形较多,首先要“快刀斩乱麻”去掉那些不可能相似的三角形，再来检验那些可能相似的三角形. 例3:(苏州)如图3，梯形ABCD 中．AB ∥CD ．AB=2CD ，E,F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M ．(1)求证：△EDM ∽△FBM ；(2)若DB=9，求BM ．分析：(1)从已知条件中易推出BE=CD,BE ∥CD,于是根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得四边形DCBE 是平行四边形.因此CB ∥DE,故可推出△EDM ∽△FBM. (2)利用(1)中的△EDM ∽△FBM ，可得,BFDE BM DM =而F 为BC 的中点，得DE=2BF,DM=2EB.故BM 为所求. 解：(1)∵E 是AB 的中点,∴AB=2EB.∵AB ∥CD,∴四边形CBED 为平行四边形,∴ CB ∥DE.∴∠DEM=∠BFM, ∠EDM=∠FBM. ∴△EDM ∽△FBM.(2) ∵△EDM ∽△FBM, ∴BFDE BM DM =.∵F 是BC 的中点,∴ DE=2BF. ∴DM=2BM,∴BM=.331=DB图2BA 图3反思:遇到有平行条件时,通常利用平行线的性质;借助平行线的性质,找相等的角来证明三角形相似.例4:如图4,已知在△ABC 中, ∠C=,900D 、E 分别为AB 、BC 上的点,且.BC BE AB BD ⋅=⋅求证:DE ⊥AB.分析:证垂直的方法很多,我们已知当一个三角形与已知直角三角形全等,那么这个三角形也是直角三角形,类似地,我们也可以通过证一个三角形与已知三角形相似来证明垂直问题，而由∠B 为公共角, .BC BE AB BD ⋅=⋅可得△ABC ∽△EBD,故问题得证.证明: ∵.BC BE AB BD ⋅=⋅∠B=∠B, ∴△ABC ∽△EBD.∴∠EDB=∠C.又∵∠C=,900∴∠EDB=.900 ∴DE ⊥AB.反思:若将题设里的BC BE AB BD ⋅=⋅与结论DE ⊥AB 交换后,该如何证明?请与同伴交流你的证明思路.图4。
北师大版九年级上册数学第四章《相似三角形的性质(1)》课件
2x＝1
200 7
(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为6070 mm 和
1 200 7 mm.
课 堂 练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
2
的比为_________, 则对应中线的比为_________.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的 角平分线的比为______.
它们相似吗？如何证明？
新知探索
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
对应高的比等于相似比k
它们的对应中线
是否也等于相似比k？
新知探索
问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作 △ABC和△A′B′C′对应中线AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所
求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC
上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边
EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.
因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以AADP＝EBHC. 所以3030－ 002x＝20x0，解得 x＝6700(mm)，
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′,
AB BC AB BC
BD1BC,BD1BC,
2
2
BD
1 BC 2
BC
AB
BD 1BC BC AB
2
∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB k AD AB
分析：对应中线在哪两个三角形中，
数学北师大版九年级上册相似三角形性质
7相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质(一)1.[2015·浦东新区月考]如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4,那么它们的对应高之比是()A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶162.如图4-7-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AD:BD=9:4,则AC:BC 的值为()图4-7-4A.9:4B.9:2C.3:4D.3:23.如图4-7-5,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为m.(不计宣传栏的厚度)图4-7-54.如图4-7-6是一个照相机成像的示意图.图4-7-6(1)如果像高MN是35 mm,像距LC是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点离景物有多远?(2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的像距应调整为多少?5.如图4-7-7,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE是∠CAB的平分线,且交CD于点E,交CB于点F.求证:AF:AE= CB:C D.图4-7-7答案解析1.B2.D【解析】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∠A为公共角,∴△ACB∽△ADC,同理由∠B为公共角可得△ACB∽△CDB,∴△ACB∽△ADC∽△CDB,即==,∵AD:BD=9:4,可令AD=9x,BD=4x,则=,即CD=6x,∴AC:BC=AD∶CD=9x:6x=3:2.故选D.3.【解析】根据题意,小树每隔2 m一棵,共种了6棵.∴BC=2×5=10(m),CG===5(m).由图形可知△AEF∽ACG,∴=,即=,解得EF=3 m.∴DE=2EF=2×3=6(m).4.【解析】利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解.弄清题中小孔成像原理的图形信息是解决本题的前提条件.灵活运用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解是解决此类题的常用方法.解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA,∴=,即=.(1)∵像高MN=35 mm,像距LC=50 mm,拍摄的景物高度AB=4.9 m,∴=,解得LD=7,∴拍摄点距离景物7 m;(2)拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,∴=,解得LC=70,∴相机的像距应调整为70 mm.5.证明:∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,又∵∠ACB=90°,∠CAB =∠CAD,∴△ABC∽△ACD,又∵AF,AE分别是△ABC和△ACD的内角平分线,∴AF:AE= CB:C D.。
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相似三角形
【知识要点】
1
．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
3．相似三角形具有下述性质：
①相似三角形对应角相等、对应边成比例；
②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。
【典型例题】
例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM
B
G
D
例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。
例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，
AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2
A
B
C
D
E G H
例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。
（1）求证：△ADE ∽△EFC 。
（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。
例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。
（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小
例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F
求证：△AEF ∽△ACB
A
D
B
C
E
例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EF
BC AD 2
11=+。
课堂练习
1.已知：如图5—32，正方形DE －FG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=1
2.求正方形边长.
A D E F
B
O
2．如图所示，ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC=2，点D 在BC 上，︒=∠45ADE ，DE 交AC 于E ，求证：ABD ∆∽DCE ∆。
3.已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于
E
4．如图13，设P 是等边△ABC 的BC 边上任一点，连结AP ，作AP 的中垂线交AB 、AC 于M 、N 。
求
证：BP ·PC=BM ·CN 。
C
图
13
5．如图，已知△ABC∽△ADE。
求证：△ABD∽△ACE。
A
E
D
B
6．已知：如图5－22，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC
课后作业1．如图，已知AB=AD，AC=AE，FG∥DE，求证：△ABC∽△AFG。
2．如图，∠1=∠2，BC与DE交于点O，求证：△ABC∽△ADE。
C
B
A
E
D
F
G
A B
O
D
C
1
2
3．如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
5．如图所示，D 、E 是等边△ABC 的边BC ，AC 上的点，BD=CE ，AD 与BE 相交于G ，AF ⊥BE 于F ，求证：（1）BD 2=DG ·AD ；（2）AG=2GF 。
A
O B D
A
B
C
D
E
F
G。