平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

【重点难点解析】 重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难

点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .

【命题趋势分析】 利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作 图题出现，解题时要结合比例性质 .

核心知识 【基础知识精讲】 本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平

行线的性质和判定 .

1. 平行线分线段成比例定理

(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本

图形

若 l 1∥l 2 ∥l 3，则

3. 三角形一边平行线的判定

定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

4. 相似三角形性质定理的预备定理 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )

) ，所得的对应线段成比例

2. 平行线分线段成比例推论

(1) 推论：平行于三角形一边的直线截

( 或两边的延长线

△ABC中，若DE∥BC，则＝＝

上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项

典型例题

例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求

AF∶FC.

例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.

例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？

例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，

求证：

【课本难题解答】

例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）

例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝

2AF∶FB

例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）

补充一些小问题

1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？

2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？

3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作

DE∥BC，DF∥AC，

4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝

5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝

CF∶FA＝2∶3

连DF 交BC的延长

线于

E. 求

EF∶FD.

AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥

AB.

6.

已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝

FD ，EF 交 AC 于 G.求证： ＝

7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE

8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.

【典型例题】

例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.

（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC

∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB

（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.

A

例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .

A M

AD 2

例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .

AC 3

例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。求证：

AD DC AB

BC

平行线分线段成比例定理练习

1 ．在△ ABC DE∥ BC 交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，DE ：BC=2：3，则 AD ： BD= _ 。

2 ．在△ ABC 中， DE∥

B C 交 AB 于 D ， 交 AC 于 E ， 下列各式正确的是( )

A ． AD DE

B AD DE

BC BC

．

BD BC DE

C AE DB

D ． A

E BC

EC AD

．

EC BC DE

3 ．在△ ABC 中， DE∥ BC 交 AB 于 D ， 交 AC 于 E ， 1 若 AB=2， BC=4，AD= ，则线段 DE=( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ． 2． 5

4 ．如图，已知线段 a 、b 、 c ，求作线段 x

列作法中，正确的是(

)

bc

a