2009北航应用数理统计期末考试试题及参考解答

1 1 2 2 [( ) ] 1 2． 1 nI ( ) n n 2
2

另一方面
E( X ) 1 ，
3
V a rX ( )
1 ， n 2
即 X 得方差达到 C-R 下界，故 X 是
1 的 UMVUE．
七、 （本题 10 分）合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤．在一批苹果中随机取 9 个苹果称重, 得 其样本标准差为 S 0.007公斤, 试问： （1）在显著性水平 0.05 下, 可否认为该批苹果重量标准差达到 要求? （2）如果调整显著性水平 0.025 ，结果会怎样？
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设 ST 为总离差平方和， S e 为误差平方和， S A 为效应平方
1
和，则总有___A___ . （A） ST Se S A ； （C） （B）

SA
2
2 (r 1) ；
S A /(r 1) Se /(n r )
F (r 1, n r ) ；
5

2 2 P 2 0.05 (8) 15.507 ， 8 0.005, 0.05
具体计算得：
2
8 0.0072 15.68 15.507, 所以拒绝假设 H 0 ，即认为苹果重量标准差指标未达到要 0.0052
求． （2）新设 H 0 : 0.005, 由 0.025 17.535,
N (2 , 2 ) ，( X1 , X 2 ,
2 2
, X n1 ) 和 (Y1 , Y2 ,
, Yn2 ) 分别
是来自 X 和 Y 的样本，且两个样本相互独立， X 、Y 和 S X 、SY 分别是它们的样本均值和样本方差，证明
( X Y ) ( 1 2 ) 1 S n n12 1
2
2 (n2 1) SY

2 2
2 (n2 1) ，
由 F 分布的定义可得
2 (n1 1) S X
F
12
(n1 1) (n2 1)
2 (n2 1) SY 2 2
2 2 SX 2 2 SY 12
F (n1 1, n2 1) ．
对于置信度 1 ，查 F 分布表找 F / 2 (n1 1, n2 1) 和 F1 / 2 (n1 1, n2 1) 使得
为总体的一个样本，证明 X 是
Xn)
1 的一个 UMVUE．
证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
2 1 1 I ( ) E 2 ln f ( x; ) E 2 2 ，
1 的的无偏估计方差的 C-R 下界为
4
所求
2 2 SX / SY 12 , 的置信度为 的置信区间为 1 2 2 F1 / 2 (n1 1, n2 1)
2 2 SX / SY ． F / 2 (n1 1, n2 1)
九、(本题 10 分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤． 解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．
X
i 1
n
i
X．
ˆ) E ( X ) （2） E (
1 n E ( X i ) E( X ) ，所以该估计量是无偏估计． n i 1

五、 （本题 10 分）设总体 X 的概率密度函数为 f ( x; ) (1 ) x , 0 x 1 ，其中未知参数 1 ，
置信区间____B___ . （A）长度变大；
3，在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量 n 一定时， 下列说法中正确的是____C___ . （A） 减小时 也减小； （C） , 其中一个减小，另一个会增大； （B） 增大时 也增大； （D） （A）和（B）同时成立.
X9 Y92
服从的分布是_______ .
解： t (9) ．
ˆ 都是总体未知参数 的估计，且 ˆ 比 ˆ 有效，则 ˆ 与 ˆ 的期望与方差满足_______ . ˆ 与 2，设 2 2 2 1 1 1
ˆ ) E ( ˆ ), 解： E ( 1 2
ˆ ) D( ˆ )． D( 1 2
3， “两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．
ˆ _______ . 5，多元线性回归模型 Y Xβ 中，β 的最小二乘估计是β=
( X1 ,X 2 ,
解：
X n ) 是来自总体 X 的一个样本，试求参数 的极大似然估计．
n n ( 1) ( xi ) , i 1 L( ) 0 ,
n
0 xi 1 其它
当 0 xi 1 时， ln L( ) n ln( 1)
ˆ (X X ) X Y ． 解：பைடு நூலகம்=
1
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设 ( X1 , X 2 , ____D___ . （A） nX
, X n ) (n 2) 为来自总体 N (0, 1) 的一个样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差，则
N (0,1) ；
t ( n) ；
（B） nS
2
2 (n) ；
F (1, n 1) .
（C）
(n 1) X S
（D）
(n 1) X 12
X
i 2
n
2 i
2，若总体 X
N ( , 2 ) ，其中 2 已知，当置信度 1 保持不变时，如果样本容量 n 增大，则 的
（B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.
2
( X1 , X 2 ,
, X n ) 为取自总体的一个样本，求 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解： （1） v1 E X



xf ( x)dx

1
0

xe dx ，用 v1
1 n

x
1 n X i X 代替，所以 n i 1
ˆ
( X Y ) ( 1 2 ) U 1 1 V /(n1 n2 2) S n1 n2
t (n1 n2 2) ．
x 1 e , x0 四、 （本题 10 分）已知总体 X 的概率密度函数为 f ( x) , 其中未知参数 0 , 0, 其它
其中 S
2 2 2 (n1 1) S X (n2 1) SY . n1 n2 2
t (n1 n2 2) ，
证明：易知
X Y
N ( 1 2 ,
2
n1

2
n2
)，
U
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 n1 n2
N (0, 1) ．
2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设总体 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N (0, 3 ) ，而 ( X1 , X 2 别来自 X 和 Y 的样本，则 U
2
, X 9 ) 和 (Y1 , Y2
, Y9 ) 是分
X1 Y12
由定理可知
2 (n1 1) S X

2
(n1 1) ，
2
2 (n2 1) SY

2
2 (n2 1) ．
由独立性和 分布的可加性可得
2
V
2 (n1 1) S X

2

2 (n2 1) SY

2
2 (n1 n2 2) ．
由 U 与 V 得独立性和 t 分布的定义可得
P F / 2 (n1 1, n2 1) F F1 / 2 (n1 1, n2 1) 1 ，
即
2 2 2 2 SX / SY 2 SX / SY P 12 1 ， F1 / 2 (n1 1, n2 1) 2 F / 2 (n1 1, n2 1)
（D） S A 与 S e 相互独立.
5，在一元回归分析中，判定系数定义为 R
2
S回 ，则___B____ . ST
（B） R 接近 1 时回归效果显著； （D）前述都不对.
2
（A） R 接近 0 时回归效果显著； （C） R 接近 时回归效果显著；
2
2
三、 （本题 10 分）设总体 X
N ( 1 , 2 ) 、Y
2 参考数据: 0 .025 (9) 19.023, 2 0 .05 (9) 16.919 ,
2 0 .025 (8) 17.535,
2 0 .05 (8) 15.507 ．
解： （1） H 0 : 0.005,
2
2
n 1 S 2 ~ 2 8 ，则应有： 2
2
( X1 , X 2 ,
, X n1 ) 和 (Y1 , Y2 ,
2 2
, Yn2 ) 分别是来自 X 和 Y 的样本，求
12 的置信度为 1 的置信区间. 22
解：设 S X , SY 分别表示总体 X，Y 的样本方差，由抽样分布定理可知
2 (n1 1) S X

2 1
(n1 1) ，
2
2 2
8 0.0072 15.68 17.535, 则接受假设， 0.0052
2 2 , 12 , 2 未知，
即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
2 八、 （本题 10 分）已知两个总体 X 与 Y 独立， X ~ ( 1 , 1 ) ，Y ~ ( 2 , 2 ) ，1 ,
ln xi ，令
i 1
n d ln L( ) n ln xi 0 ，得 d 1 i 1
ˆ 1
n
ln x
i 1
n
．
i
e x , x > 0; ( X1 ,X 2 , 六、 （本题 10 分） 设总体 X 的密度函数为 f ( x; ) 未知参数 0 ， x 0, 0,