山东省泰安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2021-2022学年山东省泰安市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省泰安市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1i 2i z -=，可得()()()i i i1i i i i 212111z +⨯==-+--+=， 可得复数z 在复平面内对应的点为(1,1)-位于第二象限. 故选：B.2．已知等腰梯形ABCD ，现绕着它的较长底CD 所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆柱、一个圆台【答案】B【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥； 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：B.3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶【答案】D【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶， “至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件； 对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件； 对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件； 对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件. 故选：D.4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，45A =︒，105C =︒，则b =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【答案】C【分析】先求出B ，再根据正弦定理即可解得. 【详解】因为45A =︒，105C =︒，所以30B =︒， 由sin sin a b A B =，即2sin 45sin 30b=︒︒， 解得1b =. 故选：C.5．如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，则（ ）A ．3AF AD BE =--B ．3AF AD BE =-+C ．3AF AD BE =- D ．3AF AD BE =+【答案】D【分析】利用中点的向量形式()12AF AB AC =+，将2,2,2AB AD AC AE AE AD BE ===+代入计算，即得结果.【详解】()()()11222322AF AB AC AD AE AD AE AD AD BE AD BE =+=+=+=++=+. 故选：D.6．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则（ ） A ．若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若//,//,l m m n l α⊥，则n α⊥C ．若//,,l m m n αα⊥⊥，则l n ⊥D ．若m α⊂，,l n n α⊥⊥，则//l m【答案】B【分析】对A ：l 与α相交、平行或l α⊂；对B ：由线面垂直的判定定理得n α⊥；对C ：//l n ；对D ：l 与m 相交、平行或异面．【详解】解：由α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，知： 对A ：若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥， 则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误； 对B ：若//l m ，//m n ，l α⊥，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故B 正确； 对C ：若//l m ，m α⊥，n α⊥，则//l n ，故C 错误；对D ：若m α⊂，n α⊥，l n ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：B ．7．某校组织歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分（评分为整数），则下列选项中，可以判断出评分中一定出现100分的是（ ） A ．平均数为97，中位数为95 B ．中位数为95，众数为98 C ．平均数为98，众数为98 D ．中位数为96，极差为8【答案】A【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的定义及计算公式，举出反例逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A ，设这5个数为,,95,,a b c d ，其中95100a b c d ≤≤≤≤≤， 则190a b +≤，95975a b c d++++=，所以390a b c d +++=，因为190a b +≤， 所以200c d +≥， 所以100c d ==，所以平均数为97，中位数为95时，评分中一定出现100分，故A 符合； 对于B ，当这5个数分别为93,94,95,98,98时，则中位数为95，众数为98，没有出现100分，故B 不一定； 对于C ，当这5个数分别为98,98,98,98,98时，则平均数为98，众数为98，没有出现100分，故C 不一定； 对于D ，当这5个数分别为90,92,96,98,98时，则中位数为96，极差为8，没有出现100分，故D 不一定.故选：A.8．在ABC 中，90C ∠=︒，3AB =， 2AC =，O 为ABC 所在平面内一点，并且满足230OA OB OC ++=，记 1I OA OB =⋅，2I OB OC =⋅， 3I OC OA =⋅，则（ ）A ．123I I I <<B ．213I I I <<C ．132I I I <<D ．312I I I <<【答案】A【分析】令,AC BC 的中点分别为,M N ，则将230OA OB OC ++=可化简为20OM ON +=，于是O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，然后建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式分别计算3个数量积即可得出结论． 【详解】9032C AB AC ∠=︒==,,，5BC ∴=， 又230OA OB OC ++= ，()20OA OC OB OC ∴+++=，设AC 的中点为M ，BC 的中点为N ，则 2OA OC OM +=， 2OB OC ON +=， 20OM ON ∴+=，O ∴为线段MN 的靠近N 的三等分点，以C 为原点，以CA CB ，分别为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()(()152005003A B C O ⎛ ⎝⎭,,,,,,, ，5512515 ,, ,, ,333OA OB OC ⎛⎫⎛⎫⎛∴=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123510511055109939999I I I ∴=--=-=-=-=-+=,, ．123I I I ∴<<.故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用以及数量积运算，解答本题确定O 点位置是解题关键，本题属于中档题．二、多选题9．旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ，下面叙述正确的是（ ）A ．各月的平均最低气温都在0C 以上B ．八月的平均温差比十一月的平均温差大C ．平均最高气温高于20℃的月份有4个D ．四月和十一月的平均最低气温基本相同 【答案】ABD【分析】利用雷达图中的数据信息以及变化趋势，对选项逐一分析即可判断. 【详解】对于A;由图可知各月的平均最低气温0C 以上，故A 正确，对于B,由图知：八月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离长度大于十一月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离，故B 正确，对于C;平均最高气温高于20℃的月份有八月和七月，只有两个月份，故C 错误， 对于D;四月和十一月的平均最低气温均为5C ，D 正确， 故选：ABD10．下列命题中，真命题有（ ）A ．若复数1z ，2z 满足12R z z +∈，则1R z ∈且2R z ∈B ．若复数12z z =，则12R z z ∈C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =或12z z =D ．若复数2z 为实数，则z 为实数或纯虚数 【答案】BD【分析】利用特殊值判断A 、C ，根据共轭复数与复数代数形式的乘法运算判断B 、D. 【详解】解：对于A ：令11i z =+，21i z =-，则12R 2z z +=∈，故A 错误； 对于B ：令1i z a b =+，,R a b ∈，则1i z a b =-，所以2i z a b =-，所以()()2212R i i z z a b a b a b =+=+∈-，故B 正确；对于C ：令143i z =+，234i z =+，则234i z =-，15z =，25z ==， 满足12z z =，故C 错误；对于D ：令i z a b =+，,R a b ∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+， 因为2z 为实数，所以20ab =，所以0a =或0b =，当00a b =⎧⎨≠⎩时i i z a b b =+=为纯虚数，当00b a =⎧⎨≠⎩时i z a b a =+=为实数，当00a b =⎧⎨=⎩时i 0z a b =+=为实数，故D 正确；故选：BD11．已知平面四边形ABCD ，O 是ABCD 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（ ）A ．若AB DC =，则ABCD 是平行四边形 B ．若AB AD AB AD +=-，则ABCD 是矩形C ．若2OA OB OA OB OC -=+-，则ABC 为直角三角形D ．若动点P 满足()0sin sin AB AC OP OA mm AB ABC AC ACB ∠∠⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的重心 【答案】ACD【分析】由向量相等可判断A ；由数量积的性质结合模的运算可判断B 和C ；由向量的线性运算结合向量共线可判断D.【详解】由AB DC =，可得//AB CD ，且AB CD =，故ABCD 是平行四边形，所以A 正确；由AB AD AB AD +=-，平方可得0AB AD ⋅=，即AB AD ⊥，但ABCD 不一定是矩形，所以B 错误；由2OA OB OA OB OC -=+-，可得BA OA OC OB OC =-+-，即CA CB CA CB =+-，因此CA CB ⊥，所以ABC 为直角三角形，所以C 正确；作AE BC ⊥于E ，由于sin sin AB B AC C AE ==，所以()sin sin AB AC m OP OA m OA AB AC AB ABC AC ACB AE ∠∠⎛⎫ ⎪=++=++ ⎪⎝⎭，即()m AP AB AC AE=+，故P 的轨迹一定通过ABC 的重心，所以D 正确.故选：ACD.12．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中，正确的是（ ）A ．平面AEF平面1DBCB ．存在点E （E 与1D 不重合），使得BE 与1AD 共面C ．当E 点运动时，总有1AC AE ⊥D ．三棱锥B AEF -的体积为定值 【答案】ACD【分析】对于A ，连接1111,,,,AD AB BD BC DC ，证明11AD BC ∥，则有1AD 平面1DBC ，同理可证1AB 平面1DBC ，从而可判断；对于B ，若BE 与1AD 共面，则平面11AB D 与平面11BDD B 重合，即可判断；对于C ，证明1A C ⊥平面11AB D ，即可判断；对于D ，根据B AEF A BEF V V --=即可判断.【详解】解：对于A ，连接1111,,,,AD AB BD BC DC ， 因为11AB D C ∥且11AB D C =， 所以四边形11ABC D 是平行四边形， 所以11AD BC ∥，又1AD ⊄平面1DBC ，1BC ⊂平面1DBC ， 所以1AD 平面1DBC ， 同理1AB 平面1DBC ，又1111,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面AEF ， 所以平面AEF ∥平面1DBC ，故A 正确； 对于B ，因为平面11AB D 平面1111BDD B B D =，1AD ⊂平面11AB D ，BE ⊂平面11BDD B ，111111,AD B D D BE B D E ⋂=⋂=，若BE 与1AD 共面，则平面11AB D 与平面11BDD B 重合， 与题意相矛盾，故不存在点E （E 与1D 不重合），使得BE 与1AD 共面，故B 错误； 对于C ，连接11,AC A C ，则1111AC B D ⊥， 因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111111,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11ACC A ， 所以11B D ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以111AC B D ⊥， 同理11AD AC ⊥，又1111111,,AD B D D AD B D ⋂=⊂平面11AB D ， 所以1A C ⊥平面11AB D ，又AE ⊂平面11AB D ， 所以1AC AE ⊥，即当E 点运动时，总有1AC AE ⊥，故C 正确；对于D ，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1BB AC ⊥，又11,,,AC BD BD BB B BD BB ⊥⋂=⊂平面11BDD B ， 所以AC ⊥平面11BDD B ，则三棱锥A BEF -的高为122AC =，12222BEFS=⨯⨯=， 则122233B AEF A BEF V V --==⨯⨯=为定值，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．某种饮料每箱装6听，其中有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为______． 【答案】13【分析】先确定从6听饮料中随机抽取2听的基本事件总数为n ，再确定检测出不合格品的基本事件个数为m ，最后利用概率计算公式计算即可得解.【详解】从6听饮料中随机抽取2听的基本事件总数为2615n C ==，测出不合格品的基本事件个数为11515m C C =⋅=，所以检测出不合格品的概率为51153m P n ===. 故答案为：13.14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角45MAN ∠=︒，C 点的仰角30CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高60m BC =，则山高MN =______m ．【答案】603【分析】通过直角ABC 可先求出AC 的值，在AMC 由正弦定理可求AM 的值，在Rt MNA △中，由AM ，45MAN ∠=︒，从而可求得MN 的值．【详解】在Rt ABC △中，30CAB ∠=︒，60m BC =，所以120m AC =． 在AMC 中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒， 由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此606m AM =．在Rt MNA △中，606m AM =，45MAN ∠=︒，得603m MN =． 故答案为：315．甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76，方差为96；乙班的平均成绩为85，方差为60．那么甲，乙两班全部90名学生成绩的方差是______． 【答案】100【分析】首先计算得到全部90名学生的平均成绩，根据方差的计算公式可求得结果. 【详解】由题意知：全部90名学生的平均成绩为：50407685809090⨯+⨯=， ∴全部90名学生的方差为：()()2250409676806085801009090⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故答案为：100.16．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的体积为______．【答案】256π3【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论． 【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ， 依题意得，2π4πr =，2r ∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，∴123OO AB ==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ， ∴22111,4OO O A R OA OO r ⊥==+=， ∴球O 的体积34π256π33V R ==， 故答案为：256π3四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =． (1)若()()3a b a kb -+∥，求实数k 的值； (2)求3a b -与3a b +的夹角． 【答案】(1)13k =-(2)34π 【分析】（1）根据向量的坐标运算与平行的坐标运算求解即可； （2）根据向量的坐标运算与向量夹角的坐标运算求解即可.【详解】(1)∵()1,2a =-，()3,4b =，∴()()()331,23,40,10a b -=--=-()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-∵()()3a b a kb -+∥∴()10310k -+=，解得13k =-；(2)由（1）知()30,10a b -=-，()310,10a b += ∴()()()()330,1010,10100a b a b -⋅+=-⋅=- 又310a b -=，102a b +=∴cos 3,3a b a b -+== ∵[]3,30,a b a b π-+∈ ∴3a b -与3a b +的夹角为34π 18．某校为了对学生的数学运算素养进行监测，随机抽取了N 名学生进行数学运算素养评分．评分规则实行百分制计分，现将所得的成绩按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频率分布表和频率分布直方图．请对照图中所给信息解决下列问题．(1)求出表中N 及图中a ，b 的值；(2)估计该校学生数学运算素养成绩的中位数以及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；(3)若按照成绩分组对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩在[)70,90的学生中随机抽取6人查看学生的答题情况，再从6人中抽取2人进行调查分析，求这2人中至少1人成绩在[)80,90内的概率． 【答案】(1)200N =，0.025a =；0.02b = (2)中位数为2003；平均数为68.5 (3)35【分析】（1）根据频率分布直方图结合频数分布表中数据可求得N ，继而求得a,b ; （2）根据频率分布直方图中中位数和平均数的计算方法，可得答案；（3）根据分层抽样的比例确定各组中的人数，列出从6人中抽取2人的所有基本事件，再列出这2人中至少1人成绩在[)80,90内的基本事件，根据古典概型的概率公式可得答案.【详解】(1)由频率分布直方图得[)40,50的频率为：0.005100.05⨯=， 由频数分布表得[)40,50的频数为10，∴102000.05N ==，∴500.02520010a ==⨯; ∵()0.0050.0250.030.010.01101b +++++⨯=，∴0.02b =; (2)[)40,60的频率为：()0.0050.025100.3+⨯=，[)60,70的频率为：0.030100.3⨯=，∴估计该校学生运算素养成绩的中位数为0.50.320060100.33-+⨯=． 估计该校学生运算素养成绩的平均数为: 450.00510550.02510650.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.02010850.0110950.011068.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(3)样本在[)70,80，[)80,90的人数分别为40，20， 利用分层抽样从成绩[)70,90的学生中随机抽取6人， 则在[)70,80，[)80,90的人数分别为4，2,从[)70,80中抽取的4人记为a ，b ，c ，d ，从[)80,90中抽取的2人记为1，2， 则从6人中随机抽取2人的样本空间()()()()()()()()()()()(){Ω,,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c =()()()},1,,2,1,2d d ，记“2人中至少1人成绩在[)80,90内”为事件A ，则有()(),1,,2a a ,()(),1,,2b b ,()(),1,,2c c ，()(),1,,2,(1,2)d d 共9个基本事件，∴()93155P A ==. 19．如图，在四边形ABCD 中，63CD =，27BC =，7cos 14CBD ∠=-．(1)求BDC ∠；(2)若π3A ∠=，163ABD S =△ABD △的周长． 【答案】(1)π6BDC ∠= (2)24【分析】（1）在BCD △中，由同角三角函数关系和正弦定理即可求解，（2）在BCD △中根据余弦定理可求BD ,进而在ABD △中中，根据三角形面积公式以及余弦定理即可求解.【详解】(1)在BCD △中，7cos CBD ∠=，∴27321sin 114CBD ⎛⎫∠--= ⎪ ⎪⎝⎭∵sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴32127sin 114sin 263BC CBD BDC CD ⨯∠∠===又∵CBD ∠为钝角，∴BDC ∠为锐角，∴π6BDC ∠=(2)在BCD △中，2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠ ∴()()2227632722714BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴22800BD BD +-=解得8BD =(负根舍去) 在ABD △中，π3A ∠=，∴13sin 16324ABD S AB AD A AB AD =⋅=⋅=△ ∴64AB AD ⋅=又22222641cos 222AB AD BD AB AD A AB AD AB AD +-+-===⋅⋅，整理得，22128AB AD +=，∴()2256AB AD += ∴16AB AD +=∴81624AB AD BD ++=+=， ∴ABD △的周长为24.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，6AB =，32PA PD ==．(1)求四棱锥P ABCD -的表面积； (2)求三棱锥C BDE -的体积． 【答案】(1)4518295+(2)9【解析】（1）解：因为222PA PD AD +=，所以PAD △为等腰直角三角形，所以9PAD S =△， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，PAB △为直角三角形，同理可得，CD PD ⊥，PDC △为直角三角形且PDC PAB △△≌，所以92PDC PAB S S ==△△，因为PDC PAB △△≌，所以PB PC =，所以PBC 为等腰三角形，()2232636PB PC ==+=，底BC 上的高为35，所以95PBC S =△，所以四棱锥P ABCD -的表面积为4518295++； (2)解：取AD 中点F ，连接PF ， 因为PA PD =，所以PF AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ， 所以PF ⊥平面ABCD ，由（1）知PAD △为等腰直角三角形，所以132PF AD ==， 设点E 到平面BCD 的距离为h ， 因为E 为PC 的中点，所以1322h PF ==， 又1182BCD S BC CD =⨯⨯=△，所以113189332C BDE E BCD BCD V V S h --==⨯⨯=⨯⨯=△．21．某工厂有A ，B ，C 三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知A 生产线生产的汽车配件是合格品且B 生产线生产的汽车配件是合格品的概率为12，B 生产线生产的汽车配件是非合格品且C 生产线生产的汽车配件是合格品的概率为15，A 生产线生产的汽车配件是合格品且C 生产线生产的汽车配件是合格品的概率为815，记事件A ，B ，C 分别为A ，B ，C 三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．(1)求事件A ，B ，C 的概率；(2)随机从A ，B ，C 三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．【答案】(1)()23P A =，()34P B =，()45P C =(2)1330【分析】（1）借助对立事件的概率公式，把相互独立的事件同时发生的概率表示出来，然后联立方程组求解即可得到每个事件发生的概率；（2）随机从三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，恰有2个合格品的情况分为ABC 、ABC 、ABC 三种，根据相互独立事件的概率公式求解即可.【详解】(1)因为事件A ，B ，C 分别为A ，B ，C 三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件A ，B ，C 分别为A ，B ，C 三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 也相互独立．由1()21()58()15P AB P BC P AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩得1()()21(1())()58()()15P A P B P B P C P A P C ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得，()23P A =，()34P B =，()45P C = (2)由（1）知，()13P A =，()14P B =，()15P C =记事件E 为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则 ()()()()P E P ABC P ABC P ABC =++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++ 2312141341334534534530=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 22．如图,D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，且66PO DO =．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)判断直线DE 与平面PBC 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)DE 与平面PBC 相交；理由见解析【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理证明即可； （2）利用直线和平面平行的性质定理说明即可.【详解】(1)不妨设圆O 的半径为1，则1OA OB OC ===，2AE AD ==， 所以3AB BC AC ===，223DO DA OA =-=，6262PO DO ==所以2262PA PB PC PO AO ===+=在PAC △中，222PA PC AC +=，所以PA PC ⊥， 同理可得222PA PB AB +=,即PA PB ⊥，又PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC 又因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ； (2)DE 与平面PBC 相交 理由如下：∵D ∉平面PBC ，∴DE ⊄平面PBC ∴DE 与平面PBC 相交或平行 若DE ∥平面PBC ，设AEBC F =，连接PF∵平面DOE ⋂平面PBC PF =, ∴DE PF ∥, ∴PO OF OD OE=, ∵O 为正△ABC 的外接圆圆心，∴OF BC ⊥，且12OF =， ∴12PO OF OD OE ==，即12PO OD =，这与66PO DO =矛盾．∴DE 与平面PBC 不平行,∴DE 与平面PBC 相交.。
山东省泰安市博文中学2022年高一数学理期末试题含解析
山东省泰安市博文中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象（）A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位B、向左平移1个单位，再向上平移1个单位C、向右平移1个单位，再向上平移1个单位D、向右平移1个单位，再向下平移1个单位参考答案：C2. 如图，函数的图像是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题3. （5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1）C．f（﹣2）＞f（2）D．f（|x|）＜f（x）参考答案：A考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）是偶函数，可得f（﹣2）=f（2），函数在[0，+∞）上单调递增，可得f （2）＞f（1），即可得出结论．解答：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（1），∴f（﹣2）＞f（1），故选：A．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，比较基础．4. 若θ是第二象限角，则 ( )A．sin＞0 B．cos＜0 C．tan＞0 D．以上都不对参考答案：C5. 两条相交直线的平行投影是（）A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线参考答案：D【考点】NE：平行投影．【分析】利用平行投影知识，判断选项即可．【解答】解：当两条直线所在平面与投影面垂直时，投影是一条直线，所在平面与投影面不垂直时，是两条相交直线．故选：D．【点评】本题考查空间平面与平面的位置关系，直线的投影，是基础题．6. 若，则等于A．B．C．D．参考答案：A略7. 已知，且．下列不等式中成立的是………………………（▲）A．B．C．D．参考答案：B略8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱，正视图为其底面，高为2．利用柱体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱，正视图为其底面，高为2V=Sh==2．故选D．9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状一定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形或直角三角形参考答案：D【分析】由已知等式结合正弦定理，可得，再结合三角形中角的范围分析角的关系，进而判断三角形的形状.【详解】由结合正弦定理，可得，则.所以或.所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.故选D.【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.10. 若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ( )A． B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 求下列各式的值：（1） （2） 参考答案：（1）；（2）912.．参考答案：13. （5分）已知点在幂函数y=f （x ）的图象上，点在幂函数y=g （x ）的图象上，若f （x ）=g （x ），则x= ．参考答案：±1考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 计算题；待定系数法．分析： 由题意，可设f （x ）=x α，g （x ）=x β，再由题设条件点在幂函数y=f （x ）的图象上，点在幂函数y=g （x ）的图象上，得到方程解出α，β的值，即可得到两个函数的解析式，再由f （x ）=g （x ），解方程求了x 的值 解答： 由题意，可设f （x ）=x α，g （x ）=x β∵点在幂函数y=f （x ）的图象上，点在幂函数y=g （x ）的图象上∴=2，=解得β=﹣2，α=2∴f（x ）=x 2，g （x ）=x ﹣2，又f （x ）=g （x ），∴x 2=x ﹣2，解得x=±1 故答案为±1点评： 本题考点是幂函数的应用，考查了幂函数的定义，求幂函数解析式的方法，求两个函数交点坐标的方法，解题的关键是理解幂函数的定义，用待定系数法求出幂函数的解析式，待定系数法是知道函数性质求函数解析式的常用方法，其特点是设出函数解析式，建立方程求出待定的系数得到函数的解析式，本题考查了待定系数法，方程的思想，属于基础概念考查题14. sin11°cos19°+cos11°sin 19°的值是_____▲_____．参考答案：由．故答案为．15. 下列命题中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，，，则．参考答案：③ 对于①，若，，则m 与n 可能异面、平行，故①错误；对于②，若，，则与可能平行、相交，故②错误；对于③，若，，则根据线面垂直的性质，可知，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加m,n 相交，故④错误，故答案为③.16. 函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值和最小值的和为3，则a ＝参考答案：217. 关于的方程，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
山东省泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题及答案
泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数2i (1i)+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量(1,0)a =，(2,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π3．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件A =“所取的3个球中至少有1个红球”，则事件A 的对立事件是（ ）A ．1个白球2个红球B ．3个都是白球C ．2个白球1个红球D ．至少有一个红球4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin a B =，则A =（ ） A ．6π B ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π5．一个侧棱长为的菱形O A B C ''''，其中2O A ''=，则该直棱柱的体积为（ ）A ．43B ．83C ．163D ．323 6．某地区居民血型的分布为O 型49%，A 型19%，B 型25%，AB 型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ）A ．19%B ．26%C ．68%D ．75% 7．泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60︒，在塔底C 处测得A 处的俯角为45︒．已知山岭高CD 为256米，则塔高BC 为（ ）A ．256(21)-米B ．256(31)-米C ．256(61)-米D ．256(231)-米8．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）AB ，AC ，AD ，且AB ，AC ，AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ） A ．32π B ．332π C ．233π D ．334π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数()21(3)(1)i()z m m m m =-+++∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则z 的共轭复数13i z =-B ．若复数2z =，则3m =-C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=10．2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为n 的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论一定成立的是（ ） A ．样本容量100n =B ．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的C ．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人D ．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分 11．如图，已知l αβ=，,A C α∈，,B D β∈，且,,,A B C D l ∉，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点，则下列结论一定成立的是（ ）A ．当直线AC 与BD 相交时，交点一定在直线l 上B ．当直线AB 与CD 异面时，MN 可能与l 平行C ．当A ，B ，C ，D 四点共面且AC //l 时，BD//l D ．当M ，N 两点重合时，直线AC 与l 不可能相交12．平面内任意给定一点O 和两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量m 都可以唯一表示成1e ，2e 的线性组合：12(,)m xe ye x y =+∈R ，则把有序数组(,)x y 称为m 在仿射坐标系{}12;,O e e 下的坐标，记为(,)m x y =．在仿射坐标系{}12;,O e e 下，()11,a x y =，()22,b x y =为非零向量，且a ，b 的夹角为θ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()1212,a b x x y y +=++B ．若a b ⊥，则12120x x y y +=C ．若a//b ，则12210x y x y -=D ．121222221122cos x yx yθ=++三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为________． 14．写出一个虚数z ，使2z 的实部为0，则z =________．15．已知点(2,1)A --，(3,4)B ，(1,1)C -，(3,3)D ，与AB 同向的单位向量为e ，则向量CD 在向量AB 方向上的投影向量为________．16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理数2，3，5，…的平面图形．根据图中数据解决下列问题．（1）计算图中线段BD 的长度； （2）求DAB ∠的余弦值．18．（12分）已知复数2(03)z ai a =+<<，且z 是关于x 的方程2450x x -+=的一个根．（1）求z 及zz； （2）若复数0z 满足01||z z ≤≤，则在复平面内0z 对应的点0Z 的集合是什么图形？并求出该图形的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：EF //平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，求证：平面PEF ⊥平面PBC ．20．（12分）已知向量(3,1)a =-，(1,)()b λλ=∈R ． （1）若a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；（2）已知AB ma b =+，AC a mb =+，其中A ，B ，C 是坐标平面内不同的三点，且A ，B ，C 三点共线，当m λ=时，求m 的值．21．（12分）某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取了n 名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)[90,100]满意度等级不满意 一般良好满意并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)的顾客为40人．（1）求n 的值及频率分布直方图中t 的频率值；（2）据以往数据统计，调查评分在[60,70)的顾客购买该公司新品的概率为14，调查评分在[70,80)的顾客购买该公司新品的概率为13，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人．试问在已抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整．根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（注：每组数据以区间的中点值代替） 22．（12分）如图，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，2AB BF DE ==，M 是线段EF 上一点，且2MF ME =．（1）证明：三棱锥M ACF -是正三棱锥；（2）试问在线段DF （不含端点）上是否存在一点N ，使得CN //平面ABF ．若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．答案一、选择题：二、选择题：三、填空题：13．94 14．1i -或1i +（答案不唯一，凡符合i a a +或i a a -（a ∈R 且0a ≠）形式的均正确）15．2e 16．14+（3分）；12-（2分） 四、解答题：17．（10分）解：（1）在BCD ，1BC CD ==，3244BCD πππ∠=+=2分 由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠22112112⎛=+-⨯⨯⨯=+ ⎝⎭4分∴BD =5分（2）在ABD 中，1AB =，AD =，BD =由余弦定理得222cos 2AB AD BD DAB AB AD +-∠=⋅ 7分==∴cos 6DAB ∠=10分 18．（12分）解：（1）∵z 是关于x 的方程2450x x -+=的一个根， ∴2(2i)4(2i)50a a +-++=，即210a -=． 2分解得1a =．∴2i z =+． 4分∴22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z z --===-++-． 6分（2）复数0z 满足01||z z ≤≤，即01z ≤≤ 7分∴点0Z 的集合是以原点为圆心，1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界． 10分该图形的面积2214S ππ⎡⎤=-=⎣⎦． 12分19．（12分）证明：（1）∵在ABC 中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴EF //AB ． 2分又EF ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF //平面PAB ． 4分（2）在PAC 中，PA PC =，E 为AC 的中点， ∴PE AC ⊥． 6分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，∴PE ⊥平面ABC ， 8分 又BC ⊂平面ABC ． ∴PE BC ⊥．又EF //AB ，90ABC ∠=︒， ∴EF BC ⊥． 10分 又EFPE E =，,EF PE ⊂平面PEF ．∴BC ⊥平面PEF ． 又BC ⊂平面PBC∴平面PEF ⊥平面PBC ． 12分20．（12分）解：（1）3a b λ⋅=-，a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>，0λ>，解得λ< 2分当a//b 1=-，即λ= 3分此时，31,1)3b ⎛=-=-=⎝⎭，a 与b 的夹角为0，也满足0a b ⋅>，但不满足题意．所以λ≠． 4分综上，λ<3λ≠． 5分（2）由题知，(3,)(1,)1,)AB ma b m m m λλ=+=-+=+-，(3,1)(,),1)AC a mb m m m m λλ=+=-+=- 7分∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB//AC ，∴1)(1))()m m m λλ+-=-．当m λ=10+=或210m -=． 9分10+=时，0AB =，点A 与点B 重合，与题意矛盾；当210m -=时，1m =或1m =-．若1m =，AB AC =，点B 与点C 重合，与题意矛盾； 11分 若1m =-，AB AC =-，满足题意． 综上，1m =-． 12分21．（12分）解：（1）由频率分布直方图得，评分在[70,80)的频率为0.020100.2⨯=， ∴402000.2n ==． 又(0.0060.0100.0200.0249)101t t +++++⨯=，解得0.004t =． 2分 （2）由频率分布直方图可知，评分在[60,70)的频率为0.010100.1⨯=，评分在[70,80)的频率为0.020100.2⨯=，则评分在[60,70)的人数与评分在[70,80)的人数之比为1:2． 4分所以按照调查评分分层抽取3人中，评分在[60,70)有1人，评分在[70,80)有2人，所以这3人中，没有一人购买该公司新品的概率为11111114333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 6分所以至少有一人购买该公司新品的概率为12133-=． 8分 （3）由频率分布直方图可知，所选样本满意度评分的均值为450.04550.06650.10750.20850.36950.2480⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 10分因为顾客满意度评分的均值不低于80分，以该公司不需要对旗下产品进行调整． 12分22．（12分）解：（1）证明：设22AB BF DE a ===， 则22AF FC AC a === ∴AFC 是正三角形．连接FO ，EO ，因为2OD OB a ==， ∴3OE a =，6OF a =，3EF a =．在OEF 中，由222OE OF EF +=知，OE OF ⊥． 2分又DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥． ∵AC BD ⊥，BD DE D =，∴AC ⊥平面DOE ，∴AC OE ⊥．又,AC OF ⊂平面ACF ，ACOF O =，∴OE ⊥平面ACF ． 4分在线段OF 上取点G ，使得:1:2OG GF =，则点G 是AFC 的重心，也就是AFC 的中心．连接MG ，则MG//OE ， ∴MG ⊥平面ACF ，∴三棱锥M ACF -是正三棱锥． 6分（2）∵平面CDF 与平面ABF 有公共点F ，由基本事实3可知：平面CDF 与平面ABF 是相交平面． 8分 ∵CD//AB ，CD ⊂/平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴CD//平面ABF ．假设存在这样的点N ，使得CN //平面ABF ． ∵点N 与点D 不重合，gm∴CD与CN是相交直线．10分又CD//平面ABF，CN//平面ABF，且CD⊂平面CDF，CN⊂平面CDF，∴平面CDF//平面ABF．这与平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾．∴不存在一点N，使得CN//平面ABF．12分试题11。
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山东省泰安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数21i -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．在一个随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ， C ，D 发生的概率分别为0．1，0．1，0．4，0．4，则下列说法正确的是A ． A 与B ＋C 是互斥事件，也是对立事件B ． B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ． A ＋B 与C ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ． A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，也是对立事件3．在△ABC 中，AB ＝2， BC ＝3，AC ＝10，则cos B ＝101101. B. C. D. 42A 4．如图，非零向量,OA OB ==a b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，设向量OC λ=a ，则λ的值为22. B.||||||||||. D. ||A C ⋅⋅⋅⋅a ba b a a b a b a b b a b 5．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录人，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为2,x s ，新平均分和新方差分别为211,x s ，若此同学的得分恰好为x ，则 2222222211111111 A. , B. , C. , D. ,x x s s x x s s x x s s x x s s ===<=><=6．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C '''，且直观图OA B C '''的面积为2，则该平面图形的面积为A ． 2B ． 4 2С． 4D ． 2 27．某实验单次成功的概率为0．8，设事件A ＝“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，3次实验中至少成功2次”．现采用随机模拟的方法估计事件A 的概率：先由计算机产生0~9之间的整数值随机数，指定0．1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为一组，代表3次实验的结果．经随机模拟产生了20组随机数，如下：752 029 714 985 034 437 863 694 141 469037 623 804 601 366 959 742 761 428 261根据以上方法及数据，估计事件A 的概率为A ． 0．384B ． 0．65C ． 0．9D ． 0．9048．如图，在四棱锥S —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形AB ＝22，BC ＝SC ＝SD ＝2，BC ⊥SD ，则四棱锥S —ABCD的外接球的体积为482.B. 33162. D. 433A C ππππ二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列各式中，结果为零向量的是. B. . D. A AB MB BO OMAB BC CA C OA OC BO CO AB AC BD CD ++++++++-+-10．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法，为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5， 则下面叙述正确的是A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观直观想象想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值11．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 500辆，6 000辆和2 000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的12．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面ADD 1A 1上的一个动点，则下列结论正确的是A ．点M 存在无数个位置满足CM ⊥AD 1B ．若正方体的棱长为1，则三棱锥1BC MD -体积的最大 值为13 C ．在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30°D ．点M 存在无数个位置满足BM ∥平面B 1D 1C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152， 155， 158， 164， 164， 165， 165， 165， 16， 167， 168， 168， 169， 170， 170，170， 171， x ，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则x 的值为________14．已知复数z ＝3－4i ，i 为虚数单位，则||z z =________ 15．已知等边△ABC ，D 为BC 中点，若点M 是△ABC 所在平面上一点，且满足1132AM AD AC =+，则AB CM ⋅=＝ 16．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是50cm ，则石凳的表面积为________cm 2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． （10分）设(2,0),(1,3)==a b(1)若()λ-⊥a b b ，求实数λ的值；(2)若x y +m =a b (,)x y R ∈，且||23,=与m m b 的夹角为π6，求x ，y 的值．18． (12分)甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0．90，乙射中的概率为0．95，丙射中的概率为0．95．求：（1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0．001）19． （12 分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ＝ 2， BC ＝23，AC ⊥BC ，D 是线段AB 上的动点．（1）当D 是AB 的中点时，证明：AC 1//平面B 1CD ；（2）若CD ⊥AB ，证明：平面ABB 1A 1⊥平面B 1C D ．20． （12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．① sin sin sin sin A C A Bb ac --=+② 2c cos C ＝ a cos B ＋ b cos A ；③ △ABC 的面积为1(sin sin csin )2c a A b B C +-已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求C ；(2)若D 为AB 中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21． （12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史．明代万历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名"． 202X 年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护，某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元，销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理．根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（x∈N，≤≤），销售利润为y元．x0240（i）求y关于x的函数关系式；（ii）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率．22．（12分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑"，已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面AB C．（1）从三棱锥P—ABC中选择合适的两条棱填空：________⊥________，则三棱锥P－ABC为“鳖臑"；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°．（i）证明：平面ADE⊥平面PAC；（ii）设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA＝23，AC＝2，求二面角E—l—C的大小．。
2022-2023学年山东省泰安市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足z（1+i）＝1﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，P（AB）＝0.2，则P（A∪B）＝（）A．0.5B．0.6C．0.8D．13．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，已知A′O′＝B′O′＝O′E′＝C′E′＝D′E′＝π，则该圆柱的体积为（）A．2π4B．π2C．π4D．2π24．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥n，m∥α，则n∥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β5．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（）A．18∼29周岁人群参保总费用最少B．30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%C．54周岁以上的参保人数最少D．丁险种更受参保人青睐6．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（ ） A ．甲乙互斥 B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙相互独立7．已知|a →|=1，b →=(1，√3)，a →⊥(a →+b →)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(−1，−√3)B ．(−√3，−1)C ．(−12，−√32) D ．(−14，−√34)8．已知正四面体ABCD 的体积为2√6，E 为棱AB 的中点，球O 为该正四面体的外接球，则过点E 的平面被球O 所截得的截面面积的最小值为（ ） A ．94πB ．3πC ．4πD ．92π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年山东省泰安市第十四中学高一数学理下学期期末试卷含解析
2021-2022学年山东省泰安市第十四中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．参考答案：D2. 要得到函数y=3cosx的图象，只需将函数y=3sin（2x﹣）的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式将y=3cosx转化为：y=3sin（+x），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象的伸缩变换与平移变换即可得到答案．【解答】解：∵y=3cosx=3sin（+x），令y=f（x）=3sin（+x），要得到y=f（x）=3sin（+x）的图象，需将函数y=3sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）=3sin（x﹣）；∵g（x+）=3sin[（x+）﹣]=3sin（+x）=f（x），即：将g（x）=3sin（x﹣）的图象再向左平移个单位长度，可得到y=f（x）=3sin（+x）的图象．故选C．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的伸缩变换与平移变换，考查诱导公式的应用，属于中档题．3. 函数的定义域是（）．A．B．C．D．参考答案：D要使函数有意义，则需，解得：，所以函数的定义域是：，故选．4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则A的值是A．B．C．D．参考答案：C5. 函数满足，那么函数的图象大致为（）参考答案：C6. 若函数是幂函数，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A7. 已知函数f（x）=a（x+a）（x﹣a+3），g（x）=2x+2﹣1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D．（0，2）参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；全称命题．【分析】当x≤﹣2时，g（x）＞0不成立，f（x）＞0恒成立，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x+2﹣1≤0，得x≤﹣2，故x≤﹣2时，g（x）＞0不成立，从而对任意x≤﹣2，f（x）＞0恒成立，由于a（x+a）（x﹣a+3）＞0对任意x≤﹣2恒成立，则，解得1＜a＜2．则实数a的取值范围是（1，2）．故选：A【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．8. 过点作圆的两条切线为切点，则（）A．6 B．-6 C.10 D．参考答案：A9. 为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin3x的图象（）A. 向左平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向右平移参考答案：B【分析】由题意，函数图象上所有的点向左平移个单位，可得，即可得到答案. 【详解】由题意，函数图象上所有的点向左平移个单位，可得，所以要得到的图象，只需把函数的图象向左平移个单位．故选：B．10. 已知集合，，则A∩B=（）A. {－2,1}B. {－1,2}C. {－2,－1}D. {1,2}参考答案：B【分析】解方程得出集合A，利用交集的性质即可求出.【详解】解方程可得.故选B.【点睛】本题考查解一元二次方程和交集的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD 的体积为．参考答案：8考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解答：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O ﹣ABCD 的体积为：=8．故答案为：8点评：本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．12. 等差数列中，，则的值为 .参考答案：15略13. 已知函数，若，则实数a+2b的取值范围为__________.参考答案：14. 点在直线上，则最小值为 .参考答案：915. 函数f（x）=+的定义域为．参考答案：（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=+有意义，只需2﹣2x≥0，lnx≠0，x＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=+有意义，只需2﹣2x≥0，lnx≠0，x＞0，解得x≤1，且x≠1，x＞0，则函数的定义域为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，对数真数大于0，考查运算能力，属于基础题．16. 已知函数在(1,3)上单调递减，则a的取值范围是__________．参考答案：【分析】令，则，根据复合函数的单调性可知为减函数，同时注意真数，即可求出的取值范围.【详解】令，则，因为为增函数，所以为减函数,且当时，故解得，故答案为【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数的性质，属于中档题.17. 已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B?A，则a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，1]【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】对a分类讨论，利用不等式的解法、集合之间的基本关系即可得出．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B?A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B?A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省泰安市肥城实验中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析
山东省泰安市肥城实验中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（）A．38辆B．28辆C．10辆D．5辆参考答案：A【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．【解答】解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，∵共有100辆车，∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）故选A．【点评】本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．2. 已知直线不经过第一象限，则k的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围．【详解】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解得k，则k的取值范围是[，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．3. 直线被圆截得的弦长为（）A. 4B.C.D.参考答案：B【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m的距离d，则弦长等于.【详解】∵，∴，∴圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长等于.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.4. 全集U＝｛0,1,3,5,6,8 ｝,集合A＝{ 1，5, 8 }, B ={ 2 },则集合为A．{ 0,2,3,6 } B．{ 0,3,6 } C． { 1,2, 5,8 } D．参考答案：A5. 集合的子集个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D略6. （5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2参考答案：B考点：球内接多面体；球的体积和表面积．分析：先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，表面积为4π2=12π．故选B．点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的体积和表面积公式的考查，是基础题．7. 已知数列的通项公式是, ()A． B．C． D．参考答案：D8. 如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，则的值 ( ).A. 4B. 5C. 7D. 6参考答案：A9. 已知的图象过点，则函数的反函数的图象必经过点（）A、（2，1）B、（0，1）C、D、（2，3）参考答案：C10. 函数f（x）=+lg（x﹣3）的定义域为（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，4] C．（3，4] D．（3，4）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：3＜x≤4，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ﹣3+log1= ．参考答案：a 2﹣【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数幂的运算性质的法则计算即可．【解答】解：﹣3+log 1=﹣+0=a2﹣，故答案为：a 2﹣．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．12. 圆x 2+y 2+x ﹣2y﹣20=0与圆x2+y2=25相交所得的公共弦长为．参考答案：4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先求出圆x2+y2+x﹣2y﹣20=0与圆x2+y2=25的公共弦所在的直线方程为x﹣2y+5=0，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．【解答】解：由圆x2+y2+x﹣2y﹣20=0与圆x2+y2=25相减（x2+y2+x﹣2y﹣20）﹣（x2+y2﹣25）=x﹣2y+5=0，得公共弦所在的直线方程x﹣2y+5=0，∵x2+y2=25的圆心C1（0，0）到公共弦x﹣2y+5=0的距离：d==，圆C1的半径r=5，∴公共弦长|AB|=2=4．故答案为：4．13. 已知，，则 .参考答案：略14. 是定义在上的偶函数，当时，，且关于的方程在上有三个不同的实数根，则，．参考答案：2，315. 函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是．参考答案：（﹣∞，0）【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域设u（x）=x2﹣2x则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数3＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，令u（x）=x2﹣2x的增区间为（﹣∞，0）∵3＞1，∴函数f（x）的单调减区间为（﹣2，1]故答案：（﹣∞，0）【点评】此题考查学生求对数函数及二次函数增减性的能力，以及会求复合函数的增减性的能力．16. 已知函数，若，则实数的值等于_______．参考答案：-2略17. 已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是________. 参考答案：[16,20)【分析】由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可【详解】在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点,设的周期为T,则,即,所以,则,故的取值范围为,故答案为：【点睛】本题考查三角函数周期性的应用,考查求的范围三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省泰安市外国语学校2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析
山东省泰安市外国语学校2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，，，则（）A．B．C．D ．参考答案：B2. 已知函数f（x）=2x，若从区间[﹣2，2]上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．【解答】解：已知区间[﹣2，2]长度为4，满足f（x）＞2，f（x）=2x＞2，解得1＜x≤2，对应区间长度为1，由几何概型公式可得，使不等式f（x）＞2成立的概率P=．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答3. 在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）参考答案：A 【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）?f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A4. 若直线与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程为（）A .B .C . D.参考答案：A5. 设，若，则的值是（）A. B． C. D．参考答案：D略6. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－D．f(x)＝－|x|参考答案：C7. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A. kmB. kmC. 5 kmD. 10 km参考答案：B【分析】根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算。
2022年山东省泰安市博文中学高一数学理期末试卷含解析
2022年山东省泰安市博文中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．2. 如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角参考答案：C【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．3. 在等比数列中，，则（）A．； B．； C．； D．。
参考答案：B略4. （5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形参考答案：D考点：集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．解答：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．点评：本题较简单，注意到集合的元素特征即可．5. 在下列各对应关系中，是从A到B的映射的有（）A．⑴⑶⑷ B．⑵⑶⑸C．⑴⑵⑷⑸D．⑵⑷⑸参考答案：D略6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则( )A. B.C. D .参考答案：B略7. 如图所示，在正方体中,,,分别是棱,,上的点，若则的大小是 ( )A.等于B.小于C.大于D.不确定参考答案：A试题分析：根据两向量垂直等价于两向量的数量积为0，所以,所以两向量垂直，即,故选A.考点：空间向量8. 函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．参考答案：C9. 已知，则( )A． B． C． D．参考答案：C10. 设全集，集合，，则是（）A． B． C． D．参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则的值是 ▲ .参考答案：略12. 两平行直线，间的距离为 ▲参考答案： 113. 已知函数f （x ）=，则f （f （））= ；当f （f （x 0））≥时x 0的取值范围是 ．参考答案：,[，1]∪[729，+∞）. 【考点】分段函数的应用．【分析】f （）==﹣，即可求出f （f （））==；利用f （f （x 0））≥，结合分段函数，即可求出当f （f （x 0））≥时x 0的取值范围．【解答】解：f （）==﹣，∴f（f （））==，，0≥x≥﹣，∴0≥，∴；x ＞0时，，∴x≥3，log 9x 0≥3，∴x 0≥729，综上所述，f （f （x 0））≥时x 0的取值范围是[，1]∪[729，+∞）．故答案为，[，1]∪[729，+∞）．14. 设实数x ，y 满足，则x ﹣2y 的最大值等于 _________ ．参考答案：215. 已知函数f (x )＝若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________. 参考答案：216. 函数f （x ）=ax ﹣1+2（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点__________．参考答案：（1，3）考点：指数函数的图像与性质． 专题：计算题．分析：根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f （x ）=a x ﹣1+2当指数x ﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3）解答：解：根据指数函数过（0，1）点，∴函数f （x ）=a x ﹣1+2当指数x ﹣1=0即x=1时，y=3 ∴函数的图象过（1，3）故答案为：（1，3）．点评：本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么没有关系 17. 已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为 ．参考答案：2 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省泰安市普通高中2021-2022学年高一年级上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前山东省泰安市普通高中2021-2022学年高一年级上学期期末教学质量监测数学试题2022年1月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{－1，0，1，2，3}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，则(∁U A)∩B ＝A.{－1}B.{0，1}C.{－1，2，3}D.{－1，0，1，3}2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为A.对任意x ∈R ，都有x 2<0B.不存在x ∈R ，都有x 2<0C.存在x 0∈R ，使得x 02≥0D.存在x 0∈R ，使得x 02<03.已知a ，b ∈R ，则“3a <3b ”是“1133log a log b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞)5.将函数y ＝cos2x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数y ＝f(x)sinx 的图象，则f(x)的表达式可以是A.f(x)＝22sin2xB.f(x)＝22(sin2x ＋cos2x) C.f(x)＝－2cosx D.f(x)＝2cosx6.若函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是7.已知某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A.p q 2+B.()()p 1q 112++- pq ()()p 1q 11++8.已知函数f(x)＝msinωx ＋2cosωx(m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π，且f(0)＋f(9π)＝6，则函数f(x)在下列区间上单调递减的是 A.(0，4π) B.(－2π，－4π) C.(3π，2π) D.(－56π，－23π) 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山东省泰安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数21i-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，对应的点为（1,1）在第一象限. 考点：复数的运算、复数和点的对应关系.2. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（ ） A. A 与B C +是互斥事件，也是对立事件 B. B C +与D 是互斥事件，也是对立事件 C. A B +与C D +是互斥事件，但不是对立事件 D. A C +与B D +是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4， 所以A 与B C +是互斥事件，但()()()()()0.61P A P B C P A P B P C ++=++=≠，所以A 与B C +不是对立事件，故A 错；B C +与D 是互斥事件，但()()()()()0.91P D P B C P D P B P C ++=++=≠，所以B C +与D 不是对立事件，故B 错；A B +与C D +是互斥事件，且()()()()()()1P A B P C D P A P B P C P D +++=+++=，所以也是对立事件，故C 错；A C +与B D +是互斥事件，且()()()()()()1P AC P BD P A P B P C P D +++=+++=， 所以也是对立事件，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型. 3. 在ABC 中，2AB =，3BC =，AC =cos B =（ ）B.14D.12【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得推论可得cos B 的值.【详解】在ABC中，由题意知：3,2a b c ===22294101cos 22324a cb B ac +-+-===⨯⨯，故选：B【点睛】本题考查了余弦定理得推理，属于基础题.4. 已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( ) A.a b a b⋅ B.2a b a⋅C.2a bb⋅ D.a b a b⋅【答案】 B 【解析】试题分析：BC OA ⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a b λλ-⋅=，20,a b aλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.5. 某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，若此同学的得分恰好为x ，则（ ）A. 1x x =，221s s = B. 1x x =，221s s < C. 1x x =，221s s >D. 1x x <，221s s =【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式计算比较即可.【详解】设这个班有n 个同学，分数分别是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()1n x -，方差为()()()()()222222121111i i n s a x a x a x a x a x n -+⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦-； 第二次计算时，()11n nxx x -+=x =，方差为()()()()()()222222221121111++i i i n n s a x a x a x a x a x a x s n n-+-⎡⎤=-+-⋅⋅⋅-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦故有1x x =，221s s >.故选:C【点睛】本题主要考查样本的平均数和方差公式;属于中档题.6. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形'''OA B C ，且直观图'''OA B C 的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）A. 2B. 42C 4D. 22【答案】B【解析】【分析】根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为.【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是直角梯形，因为原图面积是直观图面积的所以平面图形的面积是2=故选：B.【点睛】本题考查平面图形的斜二测画法，斜二测画法中，x轴上的线段及与x轴平行的线段长度不变，仍与x轴平行；y轴上的线段及与y轴平行的线段长度减半，仍与y轴平行，考查逻辑思维能力，属于常考题.7. 某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表:根据以上方法及数据，估计事件A的概率为( )A. 0.384B. 0.65C. 0.9D. 0.904 【答案】C【解析】【分析】由随机模拟实验结合图表计算即可得解．【详解】由随机模拟实验可得：“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，601两组随机数，则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共20218-=组随机数， 即事件A 的概率为180.920=， 故选C ．【点睛】本题考查了随机模拟实验及识图能力，属于中档题．8. 如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，22AB =，2BC SC SD ===，BC SD ⊥，则四棱锥S ABCD -的外接球的体积为（ ）A.43π B.823πC.23πD. 43π【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD 为矩形和BC SD ⊥，利用线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面SCD ，再利用面面垂直的判定定理得到平面ABCD ⊥平面SCD ，然后由222SC SD CD +=，得到SCD 是等腰直角三角形，进而得到四棱锥S ABCD -的外接球的球心为AC ，BD 的交点，然后求得半径即可.【详解】因为四边形ABCD 为矩形， 所以BC CD ⊥ 又BC SD ⊥，且SD CD D =，所以 BC ⊥平面SCD所以 平面ABCD ⊥平面SCD 又222SC SD CD +=， 所以SCD 是等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心是CD 的中点，又四边形ABCD 为矩形的外接圆的圆心为AC ，BD 的交点， 所以四棱锥S ABCD -的外接球的球心为AC ，BD 的交点，所以外接球的半径为R ==所以四棱锥S ABCD -的外接球的体积为343V R π==. 故选：D【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，结果为零向量的是（ ） A. AB MB BO OM +++ B. AB BC CA ++ C. OA OC BO CO +++ D. AB AC BD CD -+-【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.10. 雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法，为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A. 甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观直观想象想象能力指标值C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【解析】【分析】根据雷达图，比较各项指标，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由雷达图可知，甲的逻辑推理能力指标值4优于乙的逻辑推理能力指标值3，即A正确；B选项，由雷达图可知，甲的数学建模能力指标值3低于乙的直观直观想象想象能力指标值4，故B错；C选项，由雷达图可知，乙的数据分析、数学抽象、数学建模指标都优于甲；甲乙的直观想象指标相同；甲的逻辑推理、数学运算指标优于乙；因此乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，即C正确；D选项，由雷达图可知，甲的数学运算能力指标值4低于甲的直观想象能力指标值5，即D错；故选：AC.【点睛】本题主要考查统计图的应用，属于基础题型.11. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）A. 应采用分层随机抽样抽取B. 应采用抽签法抽取C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的特点知应选分层抽样，按照抽样比即可得三种型号的轿车分别应抽取的数量.【详解】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，选项A 正确. 因为个体数目多，用抽取法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有好的代表性，故选项B 正确. 抽样比为573150060002000500=++ ，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C 正确.分层抽样种，每一个个体被抽到的可能性相同. 故选项D 正确. 故答案为：ACD【点睛】本题主要考查了简单随机抽样与系统抽样的特点，属于基础题.12. 如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A. 点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B. 若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13C. 在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30°D. 点M 存在无数个位置满足//BM 平面11B D C 【答案】ABD【解析】 【分析】通过证明1AD ⊥面1A DC ，可得当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥，可判断A ； 由已知11B C MD C D B M V V --=，当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的距离最大，计算11B A C D V -可判断B ；连接1A M ，因为11//CD A B ，则11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角，利用余弦定理算出1A M 的距离，可判断C ；证明平面11//B CD 平面1A BD ，即可判断D. 【详解】解：对于A ，连接111,,,AD A D DC AC 由正方体的性质可得1111,,AD A D AD DC A D DC D ⊥⊥=，1,A D DC ⊂平面1A DC则1AD ⊥平面1A DC当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥故点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥，故A 正确；对于B ，由已知11B C MD C D B M V V --=当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的距离最大则三棱锥1B C MD -的体积最大值为11311114111323A C BD V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ， 连接1A M因为11//CD A B ，所以11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角设正方体棱长为1，1A M x =，则2211B M x =+点1A 到线1AD 的距离为22112+=，212x ∴≤≤ 221123cos cos 0213A B M x ︒∠===+ 解得32,1x ⎡⎤=∉⎢⎥⎣⎦所以在线段1AD 上不存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒，故C 错误；对于D ，连接111111,,,,,A B BD A D D C D B B C11//A D BC ，11A D BC =∴四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B D C1A B ⊄平面11B CD ，1D C ⊂平面11B CD1//A B ∴平面11B CD ，同理可证//DB 平面11B CD1A B DB B ⋂=，1,A B DB ⊂平面1A BD∴平面11//B CD 平面1A BD若1M A D ∈，MB ⊂平面1A BD ，则//BM 平面11B D C ，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行的判断，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则x 的值为________.【答案】172【解析】【分析】根据百分位数的意义求解.【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置， 本题第90百分位数是173，所以1741732x +=，172x = 故答案为:172【点睛】本题考查样本数据的第多少百分位数的概念.14. 若34z i =-（i 为虚数单位），则||z z =____________. 【答案】3455i + 【解析】【分析】由复数z 求出共轭复数34z i =+，求得复数的模||5z ==，即可求出||z z . 【详解】解：由34z i =-，得：34z i =+，||5z ==， 3434||555z i i z +==+∴. 故答案为：3455i +. 【点睛】本题考查共轭复数的概念以及复数的模的运算.15. 已知等边ABC ∆，D 为BC 中点，若点M 是ABC ∆所在平面上一点，且满足1132AM AD AC =+，则AB CM ⋅=__________. 【答案】0 【解析】【分析】利用向量加、减法的几何意义可得1163CM AB AC =-，再利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】根据向量减法的几何意义可得：CM AM AC =-, 即()11111323211326AD AC AB CM AC AB AC AC AC =-=-+⨯+-=, 所以211116363AB CM A AB AC AC B AB AB ⎛⎫⋅=⋅=--⋅ ⎪⎝⎭ 211cos 063AB A A A B C -⋅==.故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.16. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是50cm ，则石凳的表面积为________2cm .【答案】2(750025003)cm +【解析】【分析】由题意，该几何体是由棱长为50cm 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，该几何体是由棱长为50cm 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为252cm 的等边三角形和边长为252cm 的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：218252252606252252(750025003)2S cm =⨯⨯+⨯=+. 故答案为：2(75003)cm +.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值； （2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 【答案】（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解； （2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 6m b m b π→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩， ∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.18. 甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95.求：（1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率.（精确到0.001）【答案】（1）0.176；（2）0.012.【解析】【分析】（1）设甲，乙，丙三人射击1次射中目标的事件为A ，B ，C .根据事件A ，B ，C 相互独立，则三人中恰有一人没有射中的概率()()()P ABC P ABC P ABC ++，()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++求解.（2）根据事件A ，B ，C 相互独立，三人中至少有两人没有射中的概率由()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC +++求解.【详解】设甲，乙，丙三人射击1次射中目标的事件为A ，B ，C .（1）()0.90P A =，()()0.95P B P C ==，()0.10P A =，()()0.05P B P C ==， ∵事件A ，B ，C 相互独立，∴三人中恰有一人没有射中的概率为： ()()()P ABC P ABC P ABC ++，()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++， 20.900.950.050.100.950.950.176=⨯⨯⨯+⨯⨯≈.∴三人中恰有一人没有射中的概率为0.176.（2）解法一：三人中至少有两人没有射中的概率为()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC +++220.900.0520.100.050.950.100.05=⨯+⨯⨯⨯+⨯0.012=，∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012.解法二：三人都射中的概率为()()()()P ABC P A P B P C =20.900.95=⨯0.812≈.由（1）知，三人中恰有一人没有射中的概率为0.176，∴三人中至少有两人没有射中的概率为()()10.17610.8120.176P ABC --=-+0.012=.∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012.【点睛】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率的求法，属于基础题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，23BC =，AC BC ⊥，D 是线段AB 上的动点.（1）当D 是AB 的中点时，证明：1//AC 平面1B CD ；（2）若CD AB ⊥，证明：平面11ABB A ⊥平面1B CD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面11ABB A ，进而可得面面垂直.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，则E 是1BC 的中点， ∵D 是AB 的中点，∴1//DE AC ，又DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥，又CD AB ⊥，1AA AB A =，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A ，又CD ⊂平面1B CD ，∴平面11ABB A ⊥平面1B CD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于常考题型.20. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①sin sin sin sin A C A B b a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+；③ABC 的面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________.（1）求C ；（2）若D 为AB 中点，且2c =，3CD =a ，b .【答案】（1）3C π=；（2）2a b ==.【解析】【分析】 （1）根据所选条件，由正弦定理和余弦定理，逐步计算，即可得出结果；（2）先根据题意，由余弦定理，得出24b ADC =-∠，24a BDC =-∠，求出228a b +=，再由（1）的结果，根据余弦定理，得到4ab =，进而可求出结果.【详解】（1）方案一：选条件① ∵sin sin sin sin A C A B b a c --=+，由正弦定理可得，a c a b b a c--=+， 即222a c ab b -=-，∴222a b c ab +-=， ∴由余弦定理可得：222cos 122a b c C ab +-==. ∴3C π=.方案二：选条件②（1）∵2cos cos cos c C a B b A =+，∴根据正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，∴2sin cos sin()C C A B =+，∴2sin cos sin C C C =. ∴1cos 2C =， ∴3C π=.方案三：选条件③（1）由题意知，sin si 11()2si si 2n n n C A ab c a b c B C =+-， ∴由正弦定理可得，()222abc c a b c=+-，∴222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，222cos 122a b c C ab +-==， ∴3C π=.（2）由题意知，1AD BD ==，CD =在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即24b ADC =-∠.在BCD 中，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即24a BDC =-∠，∵ADC BDC π∠+∠=，∴cos cos ADC BDC ∠=-∠，∴228a b +=.由（1）知，222cos 122a b c C ab +-==， ∴2224a b c ab ab +=+=+，∴4ab =，由2284a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得2a b ==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.21. “肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护，某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元，销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x 个()N,0240x x ∈≤≤，销售利润为y 元.（i ）求y 关于x 的函数关系式；（ii ）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率.【答案】（1）124；（2）（i ）()750,150240N 10750,0150x y x x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩；（ii ）0.375. 【解析】【分析】（1）先设日需求量为t ，根据频率分布直方图，以及频率之和为1求出各组的频率，再由每组的中点值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；（2）（i ）根据题意，分布得出[]150,240x ∈，[)0,150x ∈时，对应的函数解析式，即可得出结果；（ii ）由（i ）的结果，令650y ≥求出140240x ≤≤，再由频率分布直方图求出对应频率，即可得出结果.【详解】（1）设日需求量为t ，则[)0,40t ∈的频率为0.00125400.05⨯=；[)80,120t ∈的频率为0.0075400.3⨯=；[)120,160t ∈的频率为0.00625400.25⨯=；[]200,240y ∈的频率为0.0025400.1⨯=.∴[)40,80t ∈与[)160,200t ∈的频率为1(0.050.30.250.1)0.152-+++=. ∴该超市肥城桃日需求量的平均数为 0.05200.15600.31000.251400.151800.1220t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯124=.（2）（i ）当[]150,240x ∈时，()1501510750y =⨯-=；当[)0,150x ∈时，(1510)(150)(105)10750y x x x =----=-，∴()750,150240N 10750,0150x y x x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩. （ii ）由（i ）可知，()750,150********,0150x y x N x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩， 令650y ≥，解得140240x ≤≤，由频率分布直方图可知，日需求量[]140,240x ∈的频率约为0.250.150.10.3752++=， 以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率约为0.375. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查分段函数模型的应用，考查由频率分布直方图求概率，属于常考题型.22. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC .（1）从三棱锥P ABC -中选择合适的两条棱填空：________⊥________，则三棱锥P ABC-为“鳖臑”；（2）如图，已知AD PB ⊥，垂足为D ，AE PC ⊥，垂足为E ，90ABC ∠=︒. （i ）证明：平面ADE ⊥平面PAC ；（ii ）设平面ADE 与平面ABC 交线为l ，若PA =2AC =，求二面角E l C --的大小.【答案】（1）BC AB ⊥或BC AC ⊥或BC PB ⊥或BC PC ⊥；（2）证明见解析；（3）30.【解析】【分析】（1）根据“鳖臑”的概念，由题意，由线面垂直的判定定理和性质，直接补充条件即可；（2）（i ）根据线面垂直的判定定理，先证明BC ⊥平面PAB ，AD ⊥平面PBC ，推出BC AD ⊥，PC AD ⊥；再得到PC ⊥平面ADE ，根据面面垂直的判定定理，即可证明面面垂直；（ii ）先由题意，设DE BC F ⋂=，连结AF ，则AF 即为l ，根据线面垂直的判定定理和性质，证明EAC ∠即为二面角E l C --的一个平面角，再由题中数据，直接计算，即可得出结果.【详解】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥；即PAB △，PAC 为直角三角形；若BC AB ⊥，由AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，可得：BC ⊥平面PAB ； 所以BC PB ⊥，即ABC ，PBC 为直角三角形；满足四个面都是直角三角形； 同理，可得BC AC ⊥或BC PB ⊥或BC PC ⊥，都能满足四个面都是直角三角形； 故可填：BC AB ⊥或BC AC ⊥或BC PB ⊥或BC PC ⊥；（2）（i ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又AD ⊂平面PAB ，∴BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ，又PC ⊂平面PBC ，∴PC AD ⊥，又AE PC ⊥，AE AD A =，,AD AE ⊂平面ADE ， ∴PC ⊥平面ADE ，又PC ⊂平面PAC ，∴平面ADE ⊥平面PAC .（ii ）由题意知，在平面PBC 中，直线DE 与直线BC 相交. 如图所示，设DE BC F ⋂=，连结AF ，则AF 即为l . ∵PC ⊥平面AED ，l ⊂平面AED ，∴PC l ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，l ⊂平面ABC ，∴PA l ⊥，又PA PC P =，,PA PC ⊂平面PAC ，∴l ⊥平面PAC ，又,AE AC ⊂平面PAC ，∴AE l ⊥，AC l ⊥.∴EAC ∠即为二面角E l C --的一个平面角.PAC 中，PA AC ⊥，PA =2AC =，∴4PC =，又AE PC ⊥，∴24AP AC AE PC ⨯===∴cos 2AE EAC AC ∠==， ∴30EAC ∠=︒，∴二面角E l C --的大小为30.【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求二面角定定理，以及二面角的求法即可，属于常考题型. 的大小，熟记线面垂直与面面垂直的判。