假设检验中两种类型错误的关系

假设检验中两种类型错误之间的关系

(一) α与β是在两个前提下的概率。α是拒绝H0时犯错误的概率(这时前提是“H0为真”)；β是接受H0时犯错误的概率(这时“H0为假”是前提)，所以α+β不一定等于1。结合图7—2分析如下：

图7-2 α与β的关系示意图

如果H0：μ1＝μ0为真，关于与μ0的差异就要在图7—2中左边的正态分布中讨论。对于某一显著性水平α其临界点为。(将两端各α／2放在同一端)。右边表示H0的拒绝区，面积比率为α；左边表示H0的接受区，面积比率为1-α。在“H0为真”的前提下随机得到的落到拒绝区时我们拒绝H0是犯了错误的。由于落到拒绝区的概率为α，因此拒绝“H0为真”时所犯错误(I型)的概率等于α。而落到H0的接受区时，由于前提仍是“H0为真”，因此接受H0是正确决定，落在接受区的概率为1－α，那么正确接受H0的概率就等于1－α。如α＝0.05则1－α=0.95，这0.05和0.95均为“H0为真”这一前提下的两个概率，一个指犯错误的可能性，一个指正确决定的可能性，这二者之和当然为1。但讨论β错误时前提就改变了，要在“H0为假”这一前提下讨论。对于H0是真是假我们事先并不能确定，如果H0为假、等价于H l为真，这时需要在图7—2中右边的正态分布中讨论·(H1：μ1>μ0)，它与在“H0为真”的前提下所讨论的相似，落在临界点左边时要拒绝H l (即接受H0)，而前提H l为真，因而犯了错误，这就是II型错误，其概率为β。很显然，当α＝0.05时，β不一定等于0.95。

(二)在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大。这一点从图7—2也可以清楚看到。当临界点向右移时，α减小，但此时β一定增大；反之向左移则α增大β减小。一般在差异检验中主要关心的是能否有充分理由拒绝H0，从而证实H l，所以在统计中规定得较严。至于β往往就不予重视了，其实许多情况需要在规定的同时尽量减小β。这种场合最直接的方法是增大样本容量。因为样本平均数分布的标准差为，当n增大时样本平均数分布将变得陡峭，在α和其他条件不变时β会减小(见图7—3)。

(三)在图7—2中H l为真时的分布下讨论β错误已指出落到临界点左边时拒绝H l所犯错误的概率为β。那么落在临界点右边时接受H l则为正确决定，其概率等于1一β。换言之，当H l为真，即μ1与μ0确实有差异时(图7—2中，μ1与μ0的距离即表示μ1与μ0的真实差异)，能以(1—β)的概率接受之。

图7-3 不同标准差影响β大小示意图

如图7—2所示，当α以及其他条件不变时，减小μ1与μ0的距离势必引起β增大、(1一β)减小，也就是说，其他条件不变，μ1与μ0真实差异很小时，正确接受H l的概率变小了。或者说正确地检验出真实差异的把握度降低了。相反，若其他条件不变μ1与μ0的真实差异变大时，(1—β)增大即接受H l的把握度增大。所以说1—β反映着正确辨认真实差异的能力。统计学中称(1—β)为统计检验力。这是个比较重要的统计学概念。假如真实差异很小时，某个检验仍能以较大的把握接受它，就说这个检验的统计检验力比较大。