第四章 分离变量(傅立叶级数)法1
分离变量法
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
分离变量法
12.2.3直角坐标系分离变量例题分析
上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均
为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例
题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解 问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的 定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．
掌握将非齐次边界条件齐次化的方法
着重掌握在柱、球坐标系中对 u 0
和 u u 0 分离变量会得到哪些特
殊函数微分方程
12.1 分离变量理论 12.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
（12.1.1）
第十二章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
第十二章 分离变量法
问题的引入
uutt
x,
a 2u xx
0
x
ut x,0 x
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离
但对于变系数的二阶偏微分齐次方程
需要满足一定的条件，即必须找到讨论2
中适当的
函数才能实件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点
处），常见的
三类边界条件为
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
将
代入（12.2.24）解得
由 叠加得
系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
第四章之分离变量法
l 1 1 ln l ln C 2 2 2 2 2 2 d 2 d cos d 2 d cos
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
l 1 1 ln l ln C 0 2 2 2 2 2 a a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
确定待定系数
(0, y ) 0
C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0
n 1
B0 0, Bn 0
x, y A0 x C0 y D0 An sin kn x Cn sinh kn y Dn cosh kn y
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2 2 0 2 x y 将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
若取λ＝－k2 ，则有
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当k
0
X ( x) X 0 ( x) A0 x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
( x, y) 0 ( x, y) X 0 ( x)Y0 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
y
b
U0
o
a
x
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法1
X (x) 0
不具备固有函数特点
0
通解: X(x) = Ax + B X(0) = 0, X(L) = 0
不具备固有函数特点
7/16
边界条件:
X (x) 0
(3) 0
m1 i
m2 i
通解: X ( x ) A cos x B sin x 边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0 A= 0 sin L
q k u
dx x dx x
其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度.写 成分量形式
qx k u x
qy k u y
qz k
u z
单位时间内 x 方向净流入:
(q x
x dx
qx
x
) dydz
q x x
当 λ≤0时,只有零解。当 λ > 0时
通解:
X ( x ) A cos X ( x )
x B sin
x
A sin
x
B cos
x
边界条件
B=0
A sin L 0
X n ( x ) cos
L n
n (
n L
)
2
n L
x
13/16
dxdydz
x
(k
u x
) dxdydz
3/16
单位时间内 y 方向和 z 方向净流入:
y (k u y ) dxdydz
z (k u z ) dxdydz
根据热量守恒定律:
c u t dxdydz [ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )] dxdydz
第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)
第四章 分离变量法 §4.1 分离变法介绍1．“顾名思义，分离变量法只能求出分离变量形式的解，如果一个定解问题不是分离变量形的，用分离变量法不可能求得这个解。
”试对上述说法加以评论。
解：分离变量法解方程可得到本征解，本征值说是分离变量形式的，但定解问题的一般是本征解的某个叠加，即由本征解组成的级数，这种解已不是分离变量形式的了，事实上，一个解即使不是分离变量形式的也可展为级数，所以由分离变量法得到的解，一般并不一定是分离变量形式的。
2．演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手任其自由振动。
设弦长为l ，被拨开的点在弦长的00(1n n 为正整数）处，拨开距离为h ，试求解弦的振动。
[注意：在解答中，不存在0n 谐音以及0n 整倍数次谐音。
因此，在不同位置拨弦（0n 不同），发出的声音的音色也就不同。
]图4-1解：定解问题为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===<<=-====)4(),0(,0)3(,),(,0,|)2(,0)1( ),0(,000000002l x u l x n l x l n l l h n l x x l h n u u u l x u a u t t t l x z zx tt 第一步，分离变量：设)()(),(t T x X t x u =以此代入泛定方程和边界条件：0)()()()(2=''-''x X t T a t T x X ， （5）0)()()()0(==t T l X t T X ， （6）由（5）式得到)()()()(2x X x X t T a t T ''=''， （7）只有上式两端均等于同一常数时才有可能成立，把这个常数记为λ-，代入（7）式成为：λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T ， 即,0)()(2=+''t T a t T λ （8）,0)()(=+''x X x X λ （9）在（6）中，若取)(t T =0，得出0)()(==t T x X u ，显然无意义，只能取0)()0(==l X X第二步，求解本征值问题： 由方程（9）来求解)(x X ，这要分0,0=<λλ和0=λ三种情况。
齐次方程的分离变数法
令
u(x,t)=X(x)T(t)
X X 0 X (0) X (l ) 0
①
T a 2T 0
②
(1)λ ≤0，只能得X(x)≡0。 (2)λ >0，解得
X ( x) C1 cos x C2 sin x 由边界条件
C1 0 C2 cos l 0
(2k 1)a (2k 1)a (2k 1) uk ( x，t ) Ak cos t Bk sin t sin x 2l 2l 2l
单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音， 从而构成它特有的音色。 对本例的定解条件，由 ux 0 ，可将区间(0,l)延 x l 拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0，X (l ) 0
C1 0 C2 sin l 0
显然C2≠0，必须 sin l 0 ，则
本征值
l n n 2 2
l
2
(n为正整数) ⑤ ⑥
(n 1 ， 2， ...)
例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端 开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始 条件)。 解： utt a 2u xx 0 令 u(x,t)=X(x)T(t)
u x 0 0 u x x l 0
得 T a 2T 0
X X 0 X (0) X (l ) 0
(0 x l )
(第二类齐次边界条件) 解：根据边界条件的特点，尝试解
n u( x，t ) Tn (t ) cos x l n 0 2 2 n 2 T a T 0 2 l
第四章-分离变量法1上课讲义
第四章 分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领1．分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令)()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u =从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2．分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。
（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。
（4）叠加（如∑=nuu ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。
3．特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。
这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。
常涉及到的几种特征值问题：（1）⎩⎨⎧===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x ln C x X n n π（2）⎩⎨⎧='='=-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 2)(l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x ln C x X n n π（3）⎩⎨⎧='==-''0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 2)21(πμl n +-=，特征值函数Λ,2,1,0 21sin )(=+=n x ln C x X n n π （4）⎩⎨⎧=='=-''0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值为2)21(πμl n +-=，特征值函数Λ,2,1,0 21cos )(=+=n x ln C x X n n π （5）⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ-Φ'')()2(0)()(ϕπϕϕμϕ特征值2m -=μ，特征函数Λ,2,1,0 sin cos )(=+=Φm m B m A m m m ϕϕϕ 4．有界弦的自由振动解考虑长为l 两端固定弦的自由振动⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≥==><<===0 )( )(u0)(t 0),(),0( )0,0( 002l x x u x t l u t u t l x u a u t t t xx tt ψϕ 1°．分离变量： 令 )()(),(t T x x t x u = 则原偏微分方程化为：)()()(2t T x X a t T X ''=''即X X Ta T ''=''2 上面等式左端是t 的函数，而右端是x 的函数，而t 和x 是相互独立的，因此要上式成立，故只有两边都是常数，此等式才成立。
分离变量法(非齐次方程的求解问题)
二阶非齐次常系数微分方程：
y + py + qy = f ( t )
'' '
齐次通解：
y = C 1 y1 ( t ) + C 2 y 2 ( t )
非齐次特解： y * = C 1 ( t ) y1 ( t ) + C 2 ( t ) y 2 ( t ) 非齐次特解：
y = ( C 1 + C 1 ( t )) y1 ( t ) + ( C 2 + C 2 ( t )) y 2 ( t )
此时弦的振动是由两部分干扰引起的,其一是外界的 强迫力,其二是弦所处的初始状态.由物理意义知,这 种振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初 始状态引起的振动之合成.于是我们可以设问题(**) 的解为:
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x, t )
其中
v ( x, t )
( n = 1, 2 )
将此式代入(1.1)式即得定解问题(*)的解
nπ a nπ a y1 (t ) = cos t , y2 (t ) = sin t l l l nπ a C1′(t ) = − f n (t )sin t, nπ a l l nπ a ′ C2 ( t ) = f n (t ) cos t nπ a l nπ a nπ a un (t ) = c1 cos t + c2 sin t+ l l nπ a nπ a ∫ C1′(t )dt cos l t + ∫ C2′ (t )dt sin l t
(t > 0)
1
v ( x , 0 ) = ϕ 1 ( x ) , vt ( x , 0 ) = ψ
分离变量法
Courseware template
例１．齐次热传导方程的定解问题
uut
a2uxx 0
x0
0 u
xl
0
0
x
l，t
0
u t0 f (x)
0 xl
其中 f x 为给定的函数.
On the evening of July 24, 2021
nx
l
On the evening of July 24, 2021
本征值
n2
l2
2
n 0,1,2,
Courseware template
本征函数
X
(
x
)
C1
cos
nx
l
n 0,1,
T 的方程
其解为
T0'' 0
Tn''
n2 2a2
l2
Tn
0
n0
T0(t ) A0 B0t
Tn (t )
An
由u( x, t)不恒为零，有：
X ''( x) T ''(t )
X ( x) a2T (t )
取参数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T '' a2T
X '' X
On the evening of July 24, 2021
Courseware template
X ('' x) X ( x) 0 ②
T '' a2T 0 …..…….. ③
2、当x是间断点时，级数收敛于该点左右极 限的平均值。
数学物理方程中的分离变量法
数学物理方程中的分离变量法作者：王晶来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。
本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。
通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。
分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。
客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。
如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。
分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。
该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。
先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题\[1-2\]。
文中所用记号和术语均来自\[3\].二、分离变量法求解数学物理方程的思想分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。
描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。
虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。
简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。
三、分离变量法求解数学物理方程的应用（一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明)研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：（二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。
数学物理方法分离变量法
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
常微分方程分离变量法
常微分方程分离变量法
常微分方程是指只包含一个未知函数及其导数的方程。
分离变量法是求解常微分方程的一种常用方法。
下面介绍具体步骤：
1. 将方程移项，将未知函数和导数分别归到等式的两边。
2. 将方程两边除以包含未知函数的项，将未知函数和导数分开。
3. 将未知函数的导数乘以一个系数（可以是任意实数），将等式两边分别积分。
4. 对于积分后的表达式，解释其含义得到未知函数的解。
5. 若原方程中包含初值条件，则通过代入初值条件求解得到特定的解。
需要注意的是，在进行分离变量的时候，应该考虑到未知函数的定义域以及可能的不可导点。
这只是一种常用的求解常微分方程的方法，对于特定的方程可能还存在其他更适用的方法。
此外，对于某些特殊的微分方程，分离变量法可能无法解决，需要采用其他的方法，如变量代换法、常系数线性齐次方程等。
分离变量法在求解波动方程中的应用
分离变量法在求解波动方程中的应用作者：王平心来源：《科技视界》 2014年第34期王平心（江苏科技大学数理学院，江苏镇江 212003）【摘要】分离变量法又称傅里叶级数法，它是求解数学物理方程定解问题的最常用和最基本的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题。
将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。
它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题，都可以用分离变量法试着求解。
本文将讨论分离变量法在求解波动方程中的应用。
【关键词】分离变量法；波动方程；求解0 引言自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波；在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题；在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。
他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：我们称它为波动方程，因为它描述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。
△中，变量的个数表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，一般都是三维的。
但是为了研究方便，我们先讨论一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。
它通常用来求解有限区域(区间)上的边值问题或初边值问题。
利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
1 变量分离法的基本步骤第一步：边界条件齐次化。
如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。
helmholtz方程_分离变量_概述及解释说明
helmholtz方程分离变量概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍并解释Helmholtz方程的分离变量方法。
Helmholtz方程是物理学中广泛应用的一种偏微分方程，涉及声波传播、电磁场分析以及结构振动等众多领域。
通过使用分离变量方法，我们可以将复杂的Helmholtz方程转化为一系列简单的代数方程或常微分方程，从而更容易求解和分析。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：首先，在引言部分我们将给出对Helmholtz方程和分离变量方法的定义和背景介绍；接着，我们将详细讨论应用领域，并探讨为何分离变量方法在这些领域中非常有效；然后，我们将系统地概述分离变量方法的基本思想、原理和求解步骤，并通过一些具体示例进行说明；最后，我们将就散焦问题讨论并比较分离变量方法的优势与不足点，并提供实际应用中需要注意的事项。
1.3 目的通过对Helmholtz方程的分离变量方法进行详细概述和解释说明，本文旨在帮助读者深入理解分离变量方法的原理和应用，以及它在实际问题中的优势和限制条件。
读者可以通过本文了解如何利用分离变量方法有效地解决Helmholtz方程相关的问题，并为使用该方法时需要留意的注意事项提供指导。
2. Helmholtz方程2.1 定义和背景Helmholtz方程是一个偏微分方程，描述了在空间中传播的波动现象。
它由德国物理学家和生理学家赫尔姆霍兹于19世纪中叶提出，被广泛应用于各个科学领域和工程问题的研究中。
Helmholtz方程可以写为：∇^2ψ+ k^2ψ= 0其中∇^2表示拉普拉斯算子，k是波数，ψ是待求函数。
这个方程描述了波动现象的传播特性，并且可以通过适当的边界条件来表示不同类型的边界情况。
它在声学、电磁学、量子力学等领域中都有着重要的应用。
2.2 分离变量方法简介分离变量方法是解决偏微分方程的常用方法之一。
对于Helmholtz方程而言，我们可以利用该方法将多元函数分解为一维函数的乘积形式，然后针对每一个一维函数进行求解。
微积分-分离变量法 (1)
dxdy dx x 5=y dy dxy 5=x dy dx5=y x y 分离变量法分离变量法是是一个特别的解微分方程方法微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dy dx5=微分方程（导数）yx 例子：有函数 y 和其导数的方程 dy dx什么时候可以用？在以下的情形可以应用分离变量法：所有 y 项（包括 dy）可以被移到方程的一边，所有 x 项（包括 dx）可以被移到另一边。
方法方法有三步：一、把所有 y 项（包括 dy）移到方程的一边，把所有 x 项（包括 dx）移到另一边。
二、把一边对 y 积分，另一边对 x 积分。
不要忘了 "+ C" （积分常数）。
三、简化例子：解（k 是常数）dydx= ky 一、分离变量：把所有 y 项移到方程的一边，把所有 x 项移到方程的另一边。
每边乘以 dx： dy = ky dx每边除以 y：dyy= k dx 二、每边分开来求积分：积分符号放在前面：∫ dy y= ∫k dx求左边的积分： ln(y) + C = ∫k dx 求右边的积分：ln(y) + C = kx + DC 是积分常数。
用D 来代表另一个（不同的）积分常数。
三、简化合并两个常数为一个(a=D−C):ln(y) = kx + ae(ln(y)) = y，所以我们取每边的幂：y = e kx + ae kx + a = e kx e a，所以这是：y = e kx e ae a 是个常数，我们用 c 来代替它y = ce kx解了：y = ce kx这是个一般的一阶微分方程，在很多不同的实际情况下都会出现。
在上面我们用了 y 和 x，用其他的名字来代表变量也是可以的：例子：兔子！有越多兔子就会越多小兔子，小兔子长大后又会生小兔子。
这样，兔子的数量会增长得越来越快！重要的信息是：在任何时间 t 时兔子的数量 N增长率 r数量变化率 dN dt在任何时间的变化率是增长率乘以在那一刻的数量：dN= rNdt慢着！这和上面 例子是同一个方程，只不过字母不同：是 N， 不是 y是 t， 不是 x是 r， 不是 k所以解是（同上）：N = ce rt举个例子，这是 N = 0.3e2t 的图：指数式增长还有其他类似的方程，例如 连续复利。
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式(3a) 两边同除a2XT，得
T '' X '' l . 2 aT X
(4)
第一个等号左边是时间t的函数，右边只与坐标x有关，左右相 等的条件是二者相等且等于一个常数，记为-l. 由式(4) 得到两个独立的二阶常微分方程：
X '' l X 0, 2 T '' l a T 0.
u x, t X x T t .
(2) (3a) (3b)
3
将Eq.(2)代入Eq.(1)的泛定方程和边界条件，分别得到
XT '' a2 X ''T ,
X 0 T t 0, X l T t 0.
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2 n l ln , l (17) (n 0,1, 2 ). X ( x) C cos n x . n 1 l 将本征值ln代入式(16b) ，得T满足的方程. 当l=0 (即n=0)时， 方程Tn’’=0的通解为： A B0t (18a) T0 0 . 2
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第四章 分离变量法1
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3、一端固定、另一端自由
单簧管的定解问题为
utt a 2u xx 0, u x 0 u x x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(21)
解：利用分离变数法，令u=T(t)X(x)，代入泛定方程得
第四章 分离变量(傅立叶级数)法
§4.1 齐次方程的分离变量法 §4.2 非齐次方程和输运方程
§4.3 非齐次边界条件的处理
§4.4 泊松方程
（计划授课6学时）
2016/5/18 第四章 分离变量法1 1
§4.1 齐次方程的分离变量法
无限长(或半无限长)弦的解叫做行波解，由达朗贝尔公式给 出。本章研究有限长弦的振动问题，用分离变量法(工具)， 得到驻波解，它的叠加构成无穷级数形式的一般解。
n a 其中 N n = An Bn ，本征振动模式n的圆频率n = ，频率 l n na 为 f n = ，初始位相为 n =arctg( Bn An )，波数kn=n/l. 2 2l
2 2
由频率得周期T(n)=1/fn=2/n，于是波长为T(n)a=2l/n.
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波腹 波节
波节
基波
波腹 波节 波腹
波节
波节
1次谐波
波腹
波节 波节
波腹
波腹
波节 波节
2次谐波
驻波n（第n个本征振动模式）有n个波腹，n+1个波节.
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所有本征函数的线性叠加也是满足泛定方程和边界条件的解
n at n at n x u x, t un An cos Bn sin , sin l l l n 1 n 1
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下面由Eq.(5c)求解T(t). 对于每一个ln(或n)，齐次方程 T’’+lna2T=0的通解T=ert, 其中待定系数r2=lna2>0, 因此得到
T t A cos
ln a 2 t B sin
ln a 2 t
n a n a A cos t B sin t, l l
ll
0.
c1 c2 0.
此时X=0，即u=XT=0，这是一个平凡解，因此舍弃! (3) l>0的情况 因为r＝(-l)1/2= il1/2，由(6)式得通解为
X x C1 cos
l x C2 sin
lx ,
(7)
代入X(0)=X(l)=0中，得 C1 C2 0 0, C cos l l C2 sin 1
(5a) (5b) (5c)
另一方面，由式(3b) 得X(x)的边界条件
X 0 0, X l 0.
式(5a)和(5b)又称为二阶常系数微分方程，下面根据常数l的 符号，求出相应通解.
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(1) l=0的情况
方程(5a)为X’’=0，其通解为X(x)=c1x+c2，代入X(0)=X(l)=0中得
1、端点固定情况
考虑有限长两端固定均匀弦的自由振动，则定解问题为
utt a 2u xx , 0 x l , t 0 , u x 0 u x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(1)
应用分离变量法，令试探解为
(12)
其中An和Bn由初始条件(1b)确定，得
n x A sin x, n l n 1 0 x l B n a sin n x x . n l l n 1
(13)
上式刚好是傅里叶正弦级数，系数为(P90)
ll 0.
第四章 分离变量法1
C1 C2 sin
ll 0.
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为了得到非平凡解，要求C20，因此必有 sin ll 0，则
l l n , n 1, 2,3, ,
即
n2 2 l ln 2 , n 1, 2,3, . l
X '(0) C2 l 0, 即 C2 0,
n l , (n 1, 2, ). l 将本征值ln代入式(16a) ，得相应的本征函数 (C0，D=0)，
n x X ( x) C1 cos . l 将l=0与l>0的情况合在一起，得本征值ln和本征函数
(10)
其中A, B是积分常数，由定解问题的初始条件确定. 将Eqs. (9)和(10)代入Eq.(2)，得两端固定有限长弦上的驻波 解 (又称傅里叶级数解)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin , n 1, 2, , (11) l l l
X x c1e
l x
其中系数c1和c2由边界条件X(0)=X(l)=0确定。
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(2) l<0的情况
通解(6)式代入X(0)=X(l)=0中，得
c1 c2 0, ll c e c e 1 2
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当l>0 (即n>0)时，二阶常微分方程Tn’’+la2T=0的通解为ert (r 待定)，代回方程中得到r2=-(na/l)2，或r=±i(na/l)。于是Tn 的通解为 n a n a Tn (t ) A cos t B sin t . (18b) l l 由(17), (18a)和(18b) 得傅氏解
每一个正整数n对应一种驻波。不同的n给出两端固定弦的不 同的本征振动模式：n=1称为基波，n>1称为n次谐波.
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驻波解(11)式又可写为(参看P95)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin l l l An n at Bn n at n x Nn cos sin sin l Nn l l Nn n at n at N n cos n cos sin n sin sin kn x l l (11’) Nn cos(nt n )sin kn x,
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(19)
15
上式就是傅里叶余弦级数，系数为
2 l A0 d , l 0 B 2 l d . 0 l 0 2 l n A cos d , n l 0 l (20) B 2 l l cos n d . n l 0 n a l
相应地
n X x C2 sin l x,
(8)
(9)
其中C2为积分常数。注意n0，否则X(x)=0为平凡解。 常微分方程X’’+lX=0及边界条件X(0)=X(l)=0构成本征值问题， (8)式给出的特定的l值称为本征值，与之对应的非平凡解(9)式 称为本征函数。
0、分离变量法介绍
分离变量法的实质就是将物理量u(x,y,z,t)按自变量写成若干个 单自变量函数相乘的形式，
u x, y, z, t X x Y ( y)Z ( z)T t ,
从而将偏微分方程(PDEs)的求解归结为若干个常微分方程 (ODEs)的定解问题.
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(iii) 当l>0时，方程(16a)式的通解为
X C1 cos
l x C2 sin
lx ,
代入到边界条件中，得
ll 0. 非零解要求C 0，l 0，则有 sin l l 0，即本征值为
X '(l ) C1 l sin
1
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c1 0 c2 0, c1l c2 0.
c1 c2 0.
即X=0，u=XT=0为平凡解(trivial [’triviәl]平庸的)，因此舍弃! 当l0(即l>0或l<0)时，齐次ODE方程X’’+lX=0有e指数形式的通 解X=erx，代回原方程中，得 r 2 l 0. 上式有两个根r＝(-l)1/2，因此方程(5a)的通解为