实验11回归分析
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析法概念及原理回归分析定义：利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程（函数表达式），并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法。
分类：1.根据因变量和自变量的个数来分类：一元回归分析；多元回归分析；2. 根据因变量和自变量的函数表达式来分类：线性回归分析；非线性回归分析；几点说明：1.通常情况下，线性回归分析是回归分析法中最基本的方法，当遇到非线性回归分析时，可以借助数学手段将其化为线性回归；因此，主要研究线性回归问题，一点线性回归问题得到解决，非线性回归也就迎刃而解了，例如，取对数使得乘法变成加法等；当然，有些非线性回归也可以直接进行，如多项式回归等；2.在社会经济现象中，很难确定因变量和自变量之间的关系，它们大多是随机性的，只有通过大量统计观察才能找出其中的规律。
随机分析是利用统计学原理来描述随机变量相关关系的一种方法；3.由回归分析法的定义知道，回归分析可以简单的理解为信息分析与预测。
信息即统计数据，分析即对信息进行数学处理，预测就是加以外推，也就是适当扩大已有自变量取值范围，并承认该回归方程在该扩大的定义域内成立，然后就可以在该定义域上取值进行“未来预测”。
当然，还可以对回归方程进行有效控制；4.相关关系可以分为确定关系和不确定关系。
但是不论是确定关系或者不确定关系，只要有相关关系，都可以选择一适当的数学关系式，用以说明一个或几个变量变动时，另一变量或几个变量平均变动的情况。
回归分析主要解决的问题：回归分析主要解决方面的问题；1.确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；2.根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个或几个变量的值，且要估计这种控制或预测可以达到何种精确度。
回归模型：回归分析步骤：1. 根据自变量与因变量的现有数据以及关系，初步设定回归方程；2. 求出合理的回归系数；3. 进行相关性检验，确定相关系数；4. 在符合相关性要求后，即可根据已得的回归方程与具体条件相结合，来确定事物的未来状况，并计算预测值的置信区间；回归分析的有效性和注意事项：有效性：用回归分析法进行预测首先要对各个自变量做出预测。
11-多重线性回归分析
1个
1个
统计方法
简单线性相关
simple linear correlation
简单线性回归
simple linear regression
多重相关
multiple correlation
多重回归
multiple regression
典则相关
cononical correlation
多元回归
multivariate regression
量x 取值均为0时，y的平均估计值。
➢bi：变量xi的偏回归系数(partial regression coefficient)，
是总体参数βi 的估计值；指在方程中其它自变量固定 不变的情况下， xi 每增加或减少一个计量单位，反应 变量Y 平均变化 bi个单位。
Yˆ b0 b1X1 b2 X 2 ... bp X p
问题：对NO浓度的贡献，哪个因素作用的大一点， 哪个小一些？
回归系数的标准化：
1.自变量数据的标准化： 2.求标准化偏回归系数：
X
' i
Xi Xi Si
用标准化的数据进行回归模型的拟合，算出它的方程，
此时所获得的偏回归系数b’，叫~。
b’无单位，可用来比较各个自变量对反应变量的贡献大小
比较：
未标准化的回归系数（偏回归系数）：用来构建回归 方程，即方程中各自变量的斜率。
计值 Yˆ 之间的残差（样
本点到直线的垂直距离) 平方和达到最小。 .
两个自变量时回归平面示意图
通过SPSS等统计软件，拟合X1、X2 、X3 、X4关于空 气中NO浓度的多重线性回归方程，得：
Y 0.142 0.116X1 0.004X 2 6.55106 X3 0.035X 4
定量分析方法(11-1)
第十一章 回 归 分 析本章以一元线性回归模型为重点介绍回归分析方法，对于一元线性回归模型所建立的理论与方法作适当的修改便可推广到多元线性回归模型。
§1 回归的概念一、变量之间的关系现实中，各种变量相互依赖、相互影响，存在着某种关系。
如：价格与需求量、利率与投资、收入与消费，等等。
大致可以归纳为两类关系：确定性关系（函数关系），非确定性关系（统计关系）。
1. 确定性关系：变量之间存在着某种完全确定的关系。
如：总收益Y 与产量X 之间的关系：X P Y ⋅=当价格一定时，Y 由X 完全确定。
表现在图形上，()Y X ,的所有点位于一条直线上。
一般地：()n X X X f Y ,,21= （多元函数）2. 非确定性关系：变量之间由于受到某些随机因素的影响而呈现出一种不确定的关系。
如：农业产量主要受到降雨量、施肥量、温度等的影响，但决定产量的并非完全是这些因素，还要受到许多其它因素的影响，如冰雹、蝗灾等自然灾害。
非确定性关系可以分为两大类：1) 相关关系：两个变量处于完全对等的位置，且两个变量皆为随机变量，常用相关系数来度量。
如：计量经济学成绩与统计学成绩，物价水平和股票价格，等等。
2) 回归关系：一个变量的变化是另一个变量变化的原因，而不是相反。
如：消费量Y 与可支配收入X 之间便是一种回归关系。
一般来讲，随着可支配收入的增加，消费增加，可支配收入是影响消费的主要因素，但并非唯一的因XYPX Y =素，影响消费的因素还有消费习惯、地区差异、年龄构成、宗教信仰等等。
同样收入的家庭，有的支出多，有的支出少，即使是同一家庭，其每个月的收入相同的话，各个月的支出也不会完全一样。
这样，对应于一个X 的值，Y 有多个不同的值相对应，X 与Y 呈现出不确定性的关系。
此时：()u X f Y += （u 为随机影响）表现在图形上，()Y X ,的点不是完全处于一条直线（或曲线）上，而是围绕在一条理论线的两旁变化。
回归分析课程设计
回归分析课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握回归分析的基本概念、原理和方法，能够运用回归分析解决实际问题。
具体来说，知识目标包括：了解回归分析的定义、原理和应用；掌握一元线性回归和多元线性回归的分析方法；理解回归模型的评估和优化。
技能目标包括：能够使用统计软件进行回归分析；能够解释和分析回归结果；能够根据实际问题选择合适的回归模型。
情感态度价值观目标包括：培养学生的数据分析能力和科学思维；激发学生对回归分析的兴趣和好奇心；培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括回归分析的基本概念、原理和方法。
具体来说，教学大纲如下：1.回归分析的定义和原理–介绍回归分析的定义和基本原理–解释一元线性回归和多元线性回归的概念2.回归模型的建立和评估–介绍回归模型的建立方法和步骤–讲解如何评估和优化回归模型3.回归分析的应用–介绍回归分析在实际问题中的应用案例–引导学生运用回归分析解决实际问题三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法进行教学。
具体包括：1.讲授法：通过讲解回归分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析实际案例，让学生了解回归分析在实际问题中的应用。
3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
4.实验法：引导学生使用统计软件进行回归分析，提高学生的实践操作能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的统计学教材，作为学生学习的基础资料。
2.参考书：推荐学生阅读相关领域的参考书籍，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的PPT，展示回归分析的原理、方法和应用案例。
4.实验设备：准备计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行实际操作。
五、教学评估本节课的评估方式将采用多元化、全过程的评价体系，以全面、客观、公正地评估学生的学习成果。
第11章回归分析习题解答
B． 是随机变量，且有 y0 N (β0 + β1x0 ,σ 2 ) ．
C． 当 β0 ， β1 确知时等于 β0 + β1x0 ．
D． 等于 βˆ0 + βˆ1x0 ．
6． 在回归分析中，检验线性相关显著性常用的三种检验方法，不包含(
A． 相关系数显著性检验法．
B． t 检验法．
； 若 新 保 单 数 x0 = 1000 ， 给 出 Y 的 估 计 值 为
yˆ0 = 0.118129 + 0.003585×1000 = 3.703129 .
16． 下表是 16 只公益股票某年的每股帐面价值 x 和当年红利 y ，利用 Excel 的数据分
析功能得到的统计分析结果如下：
方差分析
过 10 周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目， x 为每周签发的新保
单数目，Y 为每周加班工作时间（小时）.利用 Excel 的数据分析功能得到统计分析如下表.
Coefficients
标准误差
Intercept X Variable 1
0.118129 0.003585
0.355148 0.000421
15.1
15.1
228.01
228.01
18
15.1
14.5
228.01
210.25
列和
270.1
265
计算可得：
4149.39
3996.14
∑ Syy =
y2 i
−
ny 2
=94.75
∑ Sxx =
x2 i
−
nx 2
=96.39
∑ Sxy = xi yi − nxy = 95.24
回归分析数据
回归分析数据回归分析是一种经济学和统计学中常用的方法，用于研究两个或更多变量之间的关系。
这种分析方法广泛应用于各个领域，包括市场研究、金融分析、经济预测等。
在此文档中，我们将介绍回归分析数据以及如何使用它们进行分析和解释。
回归分析的基本概念是研究一个或多个自变量对某个因变量的影响。
自变量是独立变量，而因变量则是依赖于自变量的变量。
通过分析自变量与因变量之间的关系，我们可以得出它们之间的数学模型，用于预测或解释因变量。
在进行回归分析之前，我们首先需要收集回归分析数据。
这些数据包括自变量和因变量的观测值。
通常，我们会收集一组样本数据，其中包含自变量和对应的因变量的数值。
这些数据可以是经过实验或观测得到的，也可以是从其他来源获取的。
一旦我们收集到回归分析数据，接下来就可以使用统计软件或编程语言进行数据分析。
常见的回归分析方法包括简单线性回归、多元线性回归和非线性回归。
在简单线性回归中，我们将自变量和因变量之间的关系建模为一条直线。
在多元线性回归中，我们可以考虑多个自变量对因变量的影响。
非线性回归则允许我们考虑更复杂的关系模型。
回归分析的结果通常包括回归方程、参数估计和统计显著性检验。
回归方程描述了自变量和因变量之间的数学关系。
参数估计给出了回归方程中的系数估计值，用于解释自变量与因变量之间的关系。
统计显著性检验则用于判断回归方程的有效性和模型的拟合度。
当我们得到回归分析的结果后，我们可以进行解释和预测。
通过解释回归方程中的系数估计值，我们可以了解自变量与因变量之间的关系强度和方向。
通过预测模型，我们可以根据自变量的数值预测因变量的数值。
回归分析数据在许多实际应用中具有重要的价值。
在市场研究中，回归分析数据可以帮助我们理解产品价格与销售量之间的关系。
在金融分析中，回归分析数据可以用于预测股票价格或汇率变动。
在经济预测中，回归分析数据可以用于预测GDP增长率或失业率。
总而言之，回归分析数据是一种强大的工具，用于研究自变量与因变量之间的关系。
《SPSS统计分析》第11章 回归分析
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多元逻辑斯谛回归
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多元逻辑斯谛回归的概念
回归模型
log( P(event) ) 1 P(event)
b0
b1 x1
b2 x2
bp xp
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多元逻辑斯谛回归过程
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多元逻辑斯谛回归过程
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多元逻辑斯谛回归过程
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曲线估计
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曲线回归概述
1. 一般概念 线性回归不能解决所有的问题。尽管有可能通过一些函数
的转换，在一定范围内将因、自变量之间的关系转换为线性关 系，但这种转换有可能导致更为复杂的计算或失真。 SPSS提供了11种不同的曲线回归模型中。如果线性模型不能确 定哪一种为最佳模型，可以试试选择曲线拟合的方法建立一个 简单而又比较合适的模型。 2. 数据要求
线性回归分析实例1输出结果2
方差分析
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线性回归分析实例1输出结果3
逐步回归过程中不在方程中的变量
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线性回归分析实例1输出结果4
各步回归过程中的统计量
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线性回归分析实例1输出结果5
当前工资变量的异常值表
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线性回归分析实例1输出结果6
残差统计量
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线性回归分析实例1输出结果7
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习题2答案
使用线性回归中的逐步法，可得下面的预测商品流通费用率的回归系数表：
将1999年该商场商品零售额为36.33亿元代入回归方程可得1999年该商场 商品流通费用为：1574.117-7.89*1999+0.2*36.33=4.17亿元。
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
考点11 回归分析与独立性检验(学生版)
考点11 回归分析与独立性检验概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。
例如：2021年全国高考乙卷（文）、（理）[17]，2022年全国新高考卷Ⅱ[19]，2022年全国乙卷（文）、（理）[19]，2022年全国甲卷（文）[17]，2022年北京高考[18]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。
〔1〕回归分析的实际应用1.求回归直线方程(线性回归方程)的一般步骤 (1)画散点图； (2)求回归直线方程； (3)用回归直线方程进行预报。
2.利用回归方程进行预测，把回归直线方程看作一次函数，求函数值。
3.利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数bˆ。
4.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当||r 越趋近于1时，两变量的线性相关性越强。
〔2〕独立性检验的实际应用 1.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值0k ；(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()02k K P ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y有关系”。
2.独立性检验的应用可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
具体做法是： (1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值0k ； (2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ；(3)如果0k k ≥，就说有()()%100102⨯≥-k K P 的把握认为“X 与Y 有关系”(或说在犯错误的概率不超过()2k K P ≥的前提下认为“X 与Y 有关系”)，否则就说样本观测数据没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据(或说在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能认为“X 与Y 有关系”)。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
11线性回归方程的求法
根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数a和b的最好估计，
i xi 1 2 y i x i2
2 ， x i i=1 n
x
， y
， xi yi
i=1
n
.
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 ( x, y)称为 172cm的女大学生的体重。
n
样本点的中心 根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数 a和b的最好估计，
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
回归分析
科海拾贝—回归分析在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。
变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。
确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达的。
另一种非确定性的关系即所谓相关关系。
例如，人的身高与体重之间存在着关系，一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样高度的人的体重往往不相同。
人的血压与年龄之间也存在着关系，但同年龄的人的血压往往不相同。
气象中温度与湿度之间的关系也是这样。
这是因为涉及的变量（如体重、血压、湿度）是随机变量。
上面说的变量关系是非确定性的。
回归分析是研究相关关系的一种数学方法。
使用这种方法可以用一个变量取得的值去估计另一个变量所取的值，或者使用一个变量去解释另外一个变量变化的原因。
这两个量，我们分别称为自变量和因变量。
回归分析是数学建模的有力工具，那么我们要建立回归分析的数学模型，需要以下几个步骤：1、收集一组包含因变量和自变量的数据；2、选定因变量与自变量之间的模型，利用数据，按照最小二乘准则计算模型中的系数；3、利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合地最好的模型；4、判断得到的模型是否适合于这组数据，诊断有无不适合回归模型的异常数据；5、利用模型对因变量做出预测或解释。
注：在第二步中，选定因变量与自变量的模型时，一般是凭经验选取模型，所以此模型又称为经验公式。
回归分析主要包括一元线性回归，多元线性回归以及非线性回归，这里主要是介绍一元线性回归的MA TLAB实现。
实验目的：1、了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB的实现方法；2、联系实际用回归分析方法解决实际问题。
一、一元线性回归模型例：用切削机床加工时，为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度，先每隔一小时测量刀具的厚度得到以下的数据:试建立刀具厚度关于切削时间的回归模型，对模型和回归系数进行检验，预测15小时后刀具的厚度。
分析：首先对原始数据进行观察，确定回归模型，然后通过计算最终确定模型和模型参数，并对模型和回归系数进行检验。
第11讲回归分析
三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
进一步分析：
一、“回归”起源
Galton通过上述研究发现儿子的平均身高一般总是介于其父亲与其种族的 平均高度之间，即儿子的身高在总体上有一种“回归”到其所属种族高度的趋 势，这种现象称为回归现象，贯穿数据的直线称为回归线。
回归概念产生以后，被广泛应用于各个领域之中，并成为研究随机变量与一个或多 个自变量之间变动关系的一种统计分析技术。
相关系数R=0.916、判定系数R2=0.839、调整判定系数R2=0.830，说明自变量可 以解释因变量83.9%的变异，回归方程的拟合优度高。D-W值=2.06，表明残差具有
独立性。
表1 Variables Entered/Removebd
Model 1
Variables Entered 房 产a评 估 价值
线性回归分析 曲线估计分析 二维逻辑分析 多维逻辑分析 顺序分析 概率分析 非线性回归分析 加权估计分析 两阶最小二乘分析
第十一页，共59页。
线性回归
第十二页，共59页。
三、线性回归
1. 线性回归的概念
线性函数是变量之间存在的各种关系中最简单的形式，具有这种关系的回归叫做线 性回归。
拟合优度检验采用判定(决定)系数 （一元）和调整判定(决定)系数
（多元），来检验。其中R是自变量x和因R变2 量y之间的相关系数。
R2
和
R2 R 2
取值范围是0~1，越接近1表示拟合优度越高，反之就越低。
第十五页，共59页。
三、线性回归
3. 线性回归方程的统计检验 回归方程的显著性检验
y01x
y 0 1 x 1 2 x 2 . ..n x n
第十一讲 回归分析和卡方检验
二、多样本的2检验
适用于检验不同样本的分配比率之间的差异。
小练习
• 1、练习数据1，以前测成绩为自变量，后测 成绩为因变量，进行一元回归分析，并列出 回归方程。 • 2、练习数据1，以前测成绩、动机总分和策 略总分为自变量，后测成绩为因变量进行逐 步回归，报告每个自变量的标准化回归系数。 • 3、练习数据2：某高校希望教师当中教授为 20%，副教授为50%，讲师为20%，助教为 10%。抽查了一部分教师的职称情况，请检 验其与校方的期望是否一致。
一、单样本的2检验
适用于检验单样本数据与期望分布之间 是否存在差异。
注意：Expected Values
• All categories equal：每个观测值 的比率相等，如1：1或者1：1：1等。 • Values：自己定义比率，但需要注 意的是，数值的排列次序和数据文 件中各类别的取值排列次序应相 同，二者一一对应。
a. Pre dictors : (Const ant), 初 始工 资 b. Dependent Variable: 当 前工 资
七、几个参数的解释
• R：相关系数 • R square（R2）：决定系数（解释量） • Adjust R square（R2）：校正后的决 定系数 • R square change（ ∆ R2）：每个自变 量的决定系数 • B：回归系数 • Constant：常数项 • Beta：标准化的回归系数
• 缺点：检验效能低
卡方（2）检验
以2分布为基础的一种常用的 假设检验方法，主要用于分类变量， 根据样本数据推断总体的分布与期 望分布是否有显著差异，或推断两 个分类变量是否相互关联或相互独 立。
正常情况下，地球 上的男性和女性之间的 比例（性别比）应该为1： 1。2009年在某市的几个 医院分时段随机抽取了 529名新生儿，发现其中 男孩288人，女孩241人。 请问，这个地区的性别 新生儿性别比是否失调？ 据说现在的性别比是 1.2:1，那么该地区的性 别比是否符合这个比例？
(整理)实验11-多元及岭回归分析
/start=c初始值，默认为0
/stop=c终止值，默认为1
/inc=渐进步长，默认0.05)
/k=c 指定偏倚系数，输出详细回归结果.
最后一定要有一个点.
输入ridgereg enter=x1 x2 x3 x4 x6 x7 x8/dep =y /inc=0.01.
点运行按钮 run 。得到结果为：
系数a
模型
非标准化系数
标准系数
t
Sig.
共线性统计量
B
标准误差
试用版
容差
VIF
1
(常量)
3.964
.241
16.477
.000
x1
.000
.001
-.956
-.817
.430
.001
1361.278
x2
-.001
.001
-2.180
-2.195
.049
.001
980.463
x3
.001
.002
.749
Anovab
模型
平方和
df
均方
F
Sig.
1
回归
59.608
7
8.515
140.325
.000a
残差
.728
12
.061
总计
60.336
19
a.预测变量: (常量), x8, x7, x3, x6, x1, x2, x4。
b.因变量: y
分析：这是对于模型的整体显著性检验(F检验)，根据结果可以看出F检验统计量为140.325，概率P值为0.000<0.05，说明模型通过了显著性检验，模型的拟合是有效的。
线性回归分析实验报告
实验一：线性回归分析实验目的：通过本次试验掌握回归分析的基本思想和基本方法，理解最小二乘法的计算步骤，理解模型的设定T检验，并能够根据检验结果对模型的合理性进行判断，进而改进模型。
理解残差分析的意义和重要性，会对模型的回归残差进行正态型和独立性检验，从而能够判断模型是否符合回归分析的基本假设。
实验内容：用线性回归分析建立以高血压作为被解释变量，其他变量作为解释变量的线性回归模型。
分析高血压与其他变量之间的关系。
实验步骤：1、选择File | Open | Data 命令，打开gaoxueya.sav图1-1 数据集gaoxueya 的部分数据2、选择Analyze | Regression | Linear…命令，弹出Linear Regression (线性回归) 对话框，如图1-2所示。
将左侧的血压（y）选入右侧上方的Dependent(因变量) 框中，作为被解释变量。
再分别把年龄（x1）、体重（x2）、吸烟指数（x3）选入Independent （自变量）框中，作为解释变量。
在Method（方法）下拉菜单中，指定自变量进入分析的方法。
图1-2 线性回归分析对话框3、单击Statistics按钮，弹出Linear Regression : Statistics（线性回归分析：统计量）对话框，如图1-3所示。
1-3线性回归分析统计量对话框4、单击 Continue 回到线性回归分析对话框。
单击Plots ，打开Linear Regression:Plots （线性回归分析：图形）对话框，如图1-4所示。
完成如下操作。
图1-4 线性回归分析：图形对话框5、单击Continue ，回到线性回归分析对话框，单击Save按钮，打开Linear Regression；Save 对话框，如图1-5所示。
完成如图操作。
图1-5 线性回归分析：保存对话框6、单击Continue ，回到线性回归分析对话框，单击Options 按钮，打开Linear Regression ；Options 对话框，如图1-6所示。
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实验11：回归分析实验目的：1） 1） 了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB 的实现方法；2） 2） 练习用回归分析方法解决实际问题。
实验内容：4） 4） 电影剧院调电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响，得到下面的数据，建解：设每日收入为y ，电视广告费用为1，报纸广告费用为2建立二元线性回归模型：22110xx y βββ++= 程序如下：%二元线性回归y=[96 90 95 92 95 95 94 94]';x1=[1.5 2 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5]';x2=[5 2 4 2.5 3 3.5 2.5 3]';x=[ones(8,1) x1 x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)rcoplot(r,rint)%剩余标准差s=(r'*r/5)^0.5b = 83.21161.29852.3372bint =78.8058 87.61740.4007 2.19621.4860 3.1883r =-0.8451-0.48290.4921-0.30070.49200.6219-0.50800.5308rint =-1.3972 -0.2930-1.5076 0.5419-1.0654 2.0495-2.0268 1.4254-1.1162 2.1002-1.0631 2.3068-1.4814 0.4653-1.2146 2.2761stats =0.9089 24.9408 0.0025s =0.6998残差图如下：%去掉第一个异常驻点后的二元线性回归yy=[90 95 92 95 95 94 94]';xx1=[2 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5]';xx2=[2 4 2.5 3 3.5 2.5 3]';xx=[ones(7,1) xx1 xx2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(yy,xx)rcoplot(r,rint)%剩余标准差s=(r'*r/4)^0.5b =81.48811.28772.9766bint =78.7878 84.18830.7964 1.77902.32813.6250r =-0.0165-0.3258-0.14860.33300.1324-0.33760.3631rint =-0.5762 0.5432-0.7567 0.1051-1.1115 0.8143-0.4745 1.1404-0.8198 1.0846-0.6934 0.0182-0.5110 1.2372stats =0.9768 84.3842 0.0005s =0.3545残差图如下：5） 5） 某人记录了21天中每天使用空调器的时间和使用烘干器的次数，并监测电表以计算出每天的耗电量，数据见下表，试研究耗电量（KWH ）与空调器使用小时数（AC ）和序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 KWH 35 63 66 17 94 79 93 66 94 82 78 AC 1.5 4.5 5.0 2.0 8.5 6.0 13.5 8.0 12.5 7 .5 6.5 DRYER 1 2 2 0 3 3 1 1 1 2 3 序号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21KWH 65 77 75 62 85 43 57 33 65 33 AC 8.0 7.5 8.0 7.5 12.0 6.0 2.5 5.0 7.5 6.0 DRYER 1 2 2 1 1 0 3 0 1 0（DRYER ）之间的关系应符合线性关系，则做如下假设：设每日耗电量为y ，空调器使用小时数（AC ）为1x ，烘干器使用次数（DRYER ）为2x则：22110xx y βββ++= 程序如下：%二元线性回归y=[35 63 66 17 94 79 93 66 94 82 78 65 77 75 62 85 43 57 33 65 33]';x1=[1.5 4.5 5 2 8.5 6 13.5 8 12.5 7.5 6.5 8 7.5 8 7.5 12 6 2.5 5 7.5 6]';x2=[1 2 2 0 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 1 1 0 3 0 1 0]';x=[ones(21,1) x1 x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)rcoplot(r,rint)%剩余标准差s=(r'*r)^0.5结果：>>b =8.10545.465913.2166bint =2.8933 13.31754.8761 6.055711.4177 15.0154r =5.47923.86494.1319-2.0372-0.2154-1.5506-2.11170.95084.35426.4671-5.2836-0.04921.4671-3.2658-0.3163-1.91282.0992-4.4199-2.43492.6837-7.9008rint =-1.5566 12.5150-3.9998 11.7295-3.7474 12.0112-9.2107 5.1363-7.9219 7.4912-9.2723 6.1711-9.2825 5.0591-7.2757 9.1773-2.8639 11.5723-1.0703 14.0046-12.5774 2.0103-8.2900 8.1915-6.7252 9.6595-11.3021 4.7705-8.5730 7.9405-9.5299 5.7043-5.6721 9.8705-11.3932 2.5533-10.1065 5.2367-5.4605 10.8280-14.6336 -1.1681stats =0.9709 300.2412 0.0000s =16.6964残差图如下：由此图可看出异常点为最后一点，则删除最后一点重新做线性回归：%去掉异常驻点后的二元线性回归y=[35 63 66 17 94 79 93 66 94 82 78 65 77 75 62 85 43 57 33 65]';x1=[1.5 4.5 5 2 8.5 6 13.5 8 12.5 7.5 6.5 8 7.5 8 7.5 12 6 2.5 5 7.5]'; x2=[1 2 2 0 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 1 1 0 3 0 1]';x=[ones(20,1) x1 x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)rcoplot(r,rint)%剩余标准差s=(r'*r)^0.5结果如下：>> b =9.79665.416012.5843bint =4.9528 14.64044.89125.940910.8997 14.2690r =4.49503.66263.9545-3.62870.4140-1.0458-2.49760.29073.91856.4144-4.7539-0.70931.4144-3.2936-1.0013-2.37350.7071-4.0897-3.87681.9987rint =-1.7379 10.7280-3.2742 10.5993-2.9827 10.8918-9.6148 2.3574-6.4073 7.2354-7.9053 5.8136-8.7943 3.7992-7.0058 7.5873-2.4525 10.2895-0.0637 12.8925-11.1731 1.6654-7.9978 6.5793-5.8558 8.6846-10.3747 3.7875-8.2941 6.2916-9.0677 4.3207-6.1430 7.5573-10.2253 2.0460-10.3474 2.5938-5.2368 9.2343stats =0.9759 343.8765 0.0000s =14.3300残差图如下：去除异样点之前，线性模型为212166.134659.51054.8x x y ++=；剩余标准差为：s =16.6964；去除异样点之后，线性模型为215843.124160.57966.9x x y ++=；剩余标准差为：s =14.3300；由此可明显看出去除异常点后的回归模型更为准确。
8）在一丘陵地带测量高程，x 和y 方向每隔100米测一个点，得高程如下表，试拟合一曲面，确定合适的模型，并曲此找出最高点和该点的高程。
()2222112211210y xy x y x h βββββββ++++++= x1=[100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400];x2=[100 200 300 400 100 200 300 400 100 200 300 400 100 200 300 400];y=[636 698 680 662 697 712 674 626 624 630 598 552 478 478 412 334]';x=[x1' x2'];rstool(x,y,'quadratic')pause%绘图：a1=100:5:400;a2=a1;[xx1 xx2]=meshgrid(a1,a2);Z=beta(1)+beta(2)*xx1+beta(3)*xx2+beta(4)*xx1.^2+beta(5)*xx2.*xx1+beta(6)*xx2.^2;mesh(xx1,xx2,Z)pausecontour(xx1,xx2,Z,30),colorbar%计算最高点及高程x0=[100,100];options=optimset('largescale','off');%设置下界lb=[0,0];%无上界ub=[];[x,fval]=fmincon('height',x0,[],[],[],[],lb,ub,[],options);函数height:function y=height(x)y=-(434.0000+1.9079*x(1)+1.0366*x(2)-0.0017*x(1).^2-0.0046*x(2).*x(1)-0.0017*x(2).^2)结果如下：beta =434.00001.90791.0366-0.0017-0.0046-0.0017rmse =12.6964x =561.1467 0fval =-969.3062所得图形如下：拟合曲线为：220017xh-xxyy=434y ++--.10017.00046.0 ..000000366.19079作图可得等高线图为：最高点在（561.1467 ，0）高程差为：969.3062。