用用放缩法证明与数列和有关的不等式

用放缩法证明与数列和有关的不等
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：
12
12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正
数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得
11=a ，所以12-=n a n
（2）)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ，所以 2
1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=
n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件
()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n
n n a a S +=. (1) 求证：22
14
n n n a a S ++<；
(2)
<⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条
件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得
0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=
所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)
2
n n n S +=
所以4
2)1(212)1(2
1
2
22++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以
2
1
2)1(2
+<
+<
n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2
1
2322++++<n 2
12
2312-=
+=+n S n n ；2
2
2)1(2
2
22
121n n S n n n S S S =
+=
+
++
>
++
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；
（2）等比数列{a n }中，11
2
a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设
n
n n a a b -=12
，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．
解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ⋅+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是
n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．
（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981
2
a q a =
=-． ∴n n a )2
1
(-=． n
n n n
n n b 231
)2(41)2
1(141⋅≤
--=
--=
． ∴n n b b b B ++=2131)211(312
11)
211(213123123123122<-=--⋅
=⋅++⋅+⋅≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2
1(1 =+=+n a n
a n n n ．求证：
1
121
3-++-
≥>n n n n a a 证明：因为n n
n a n
a )2
1(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=
-+n n
n n a n
a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1212
1
2221--+++≥-n n n a a ．
令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2
1
22212132-+++= ，两式相减得：
n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以12
13-+-≥n n n a ， 故得112
1
3-++-≥>n n n n a a ．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=
，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,…. 解（1）由已知得15,1054==a a ，2
)
1(12)1(+=
+++-+=n n n n a n . （2）因为 ,2,1,22
222211==+⋅+>+++=+=
++n n
n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ .
又因为 ,2,1,2
22222=+-+=+++=
n n n n n n n b n ， 所以)]2
1
1()4121()3111[(2221+-
++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-
+n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n . 注：常用放缩的结论：（1）
)2(1
11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k
k k k k k k k k
（2）．)2)(11
1(
21
211
2)1
11(
2≥-
-=-+<
<
++=
+-
k k
k k k k
k k k k
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论
2
232n n +、
2
2)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则
把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论31
)2
11(31<-n 为等比
数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的
结论12
1
3-+-n n 为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即
可；如例5要证明的结论2
2
1232+-
+-+n n n 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．
虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。