北师大版八年级数学下册第四章因式分解课件
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北师大版数学八年级下册4.因式分解-提取公因式课件
②确定字母底数：各项都含有的相同字母
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
北师大版 八年级下册 《因式分解》 公开课课件
些是整式乘法.
x2-y2
(3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2
y(x-y)
9-25x2
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
随堂练习
拓展应用
20042+2004能被2005整除吗?
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式 把这个多项式分解因式;
的形式,这种变形叫做
2. 分解因式与整式乘法是
x(1
1 )
x
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表 示； （3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多 项式的次数； （4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
随堂练习
把左右两边对应的式子连起来， 并说明哪些变形是因式分解，哪
)
ma+mb+mc=( )(
)
m2-16 =(
)(
)
)( )( )
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
理解定义
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变 形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
北师大版八年级下册数学第四章
因式分解
学习目标
❖ 1、经历从分解因数到分解因式的类比过程． ❖ 2、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系． ❖ 3、感受因式分解在解决相关问题中的作用．
想一想
回顾 & 思考
1.整式乘法的几种形式 (1)单项式乘以单项式
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
北师大版八年级下册数学因式分解课件
议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
3x2 -3x
；
（2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ； （3）(m+4)(m-4)= m2-16 ；
（4）(y-3)2 = y 2-6y+9 ； （5）a(a+1)(a-1)= a3 -a ．
根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c)； （2）3x 2-3x= 3x(x-1) ； （3）m2-16= (m+4)(m-4)； （4）a3-a= a(a+1)(a-1) ； （5）y 2-6y+9= (y-3)2 ．
以下两种运算有什么联系与区分? （1）a(a+1)(a-1)= a 3-a （2）a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？ 联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算； 区分：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积情势。
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
复习：
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
北师大版八年级下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解 课件(共19张PPT)
整式的积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式。
生成新知 形成概念 一般地，把一个多项式转化成几个整式
的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 温馨提示：
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
当堂达标
一、基础练习 1.选择: (1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 A ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x 1 2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ m ) (2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的 结果 ( C ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2
知识拓展 达标检测: 提炼升华
1. 19993-1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
2.若x2+mx-n因式分解后是(x-2)(x-5)，求m、n的
值.
3.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5 解： IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.2+32.4+38.4) =2.5×90 =225
分解因式与整式乘法有什么关系?
恒等变形
和 差 化 积 是 分 解 积 化 和 差 是 乘 法
北师大版八年级下册数学--第四章 因式分解复习课件
注:1.定系数；2.定字母；3.定指数
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）
北师大版八年级数学下册第四章《4因式分解》优 课件(共19张PPT)
你能再举几个类似的例子吗？
归纳概念
把一个多项式化为 几个整式的积的形式,这 种变形叫做把这个多项式 分解因式.
做一做,计算下列各式
(1) 3x(x-1)=__3_x__2____3_x_
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6_____
（1）x2m xn能分解成 (x2)(x5 )
-7 -10 则 m = ______, n = ______.
（2）某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， 他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积
800 之和是_____
20.1
颗粒归仓
通过本节课的研究, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
作业 课后习题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
a2-b2
(a-b)(a+b)
整式乘法
二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)是
归纳概念
把一个多项式化为 几个整式的积的形式,这 种变形叫做把这个多项式 分解因式.
做一做,计算下列各式
(1) 3x(x-1)=__3_x__2____3_x_
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6_____
（1）x2m xn能分解成 (x2)(x5 )
-7 -10 则 m = ______, n = ______.
（2）某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， 他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积
800 之和是_____
20.1
颗粒归仓
通过本节课的研究, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
作业 课后习题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
a2-b2
(a-b)(a+b)
整式乘法
二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)是
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解 1》优课件
因式分解
想一想 ô 回顾 & 思考☞
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式
ô 回顾 & 思考☞
3.计算:
(1)3a(a-2b+c) (2)(a+3)(a-3) (3)(a+2b)2 (4)(a-3b)2
(2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___
ma+mb+mc
m(a+b+c)
(3) (m+4)(m-4)= m2_-_1,6
(4) (x-3)2= x2-6x+9 , (3) m2-16=_(_m__+_4_)(_m_-_4_) (5) a(a+1)(a-1)= a3-_a_, (4) x2-6x+9=_(_x_-3_)_2___
=2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
a2
1、若 x 2 —x—m=（x+2)(x-3) 则m=_______ 2、若x 2 —ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___
异想天开
假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来,那 么铁丝与赤道之间均匀的间隙 能有多大(赤道看成圆形)?
1、连一连
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
P40 y（x-y）
（3-5x）·（3+5x）
（x-y）·（x+y）
（x+1）2
2、在课本上。
想一想 ô 回顾 & 思考☞
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式
ô 回顾 & 思考☞
3.计算:
(1)3a(a-2b+c) (2)(a+3)(a-3) (3)(a+2b)2 (4)(a-3b)2
(2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___
ma+mb+mc
m(a+b+c)
(3) (m+4)(m-4)= m2_-_1,6
(4) (x-3)2= x2-6x+9 , (3) m2-16=_(_m__+_4_)(_m_-_4_) (5) a(a+1)(a-1)= a3-_a_, (4) x2-6x+9=_(_x_-3_)_2___
=2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
a2
1、若 x 2 —x—m=（x+2)(x-3) 则m=_______ 2、若x 2 —ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___
异想天开
假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来,那 么铁丝与赤道之间均匀的间隙 能有多大(赤道看成圆形)?
1、连一连
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
P40 y（x-y）
（3-5x）·（3+5x）
（x-y）·（x+y）
（x+1）2
2、在课本上。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》ppt课件
分解因式
= 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
随堂演练
1、将下列代数式因式分解。
(1) ax ay a(x y) (2) x2 4x 4 (x-2)2 (3) a2 1 (a 1)(a 1)
2、993 99能被100整除吗？
3.自己设计一道整数乘法的计算，并算出一 个多项式。把你的所得的多项式给你的同桌 进行多项式的因式分解。
例如：(2a c)(a b) 2a2 2ab ac cb
把2a2 2ab ac cb给你的同桌因式分解
课堂小结
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什么样的方法来理解和掌 握今天的概念？ 3、谈谈你明天的打算？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
特征：积
和
和
积
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ 哪些不是因式分解？为什么？
（1） 18a3bc 3a2b 6ac
（ 不是 ）
（2） (3x 1)2 9x2 6x 1
（ 不是 ）
（3） 2x2 1 2x 12x 1 （ 不是 ）
第四章 因式分解
1 因式分解
北师大版 八年级下册
新课讲解
整式乘法
因式分解
① a(b c) ab ac
ab ac a(b c)
② (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 (a b)2
③ (a b)(a b) a2 b2 a2 b2 (a b)(a b)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1因式分解课件
第四章 因式分解
1.因式分解
1. 把一个多项式化成几个 整式的积 的形式，这种变形叫做因式分解.因 式分解也可称为分解因式.
2. 因式分解与 整式乘法 两者是互逆的过程. 3. 因式分解是 恒等 变形.
1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ Ｂ ）
A. a2+4a-21=a（a+4）-21
C. 4x+y
D. 4x-y
3. 若x2-4x+m=(x+3)(x-7)，则m的值为( Ｃ )
A. 3
B. -3
C. -21
D. 21
4. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，交换这
个两位数的十位上的数字和个位上的数字后，得到一个新的两位数，则这两个两
位数的和一定能( Ｃ )
【基础训练】
1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( A )
A. x2-x=x(x-1)
B. a(a-b)=a2-ab
C. (a+3)(a-3)=a2-9
D. x2-2x+1=x(x-2)+1
2. 将16x2-y2因式分解，其中一个因式是4x+y，则另一个因式是（ Ｄ ）
A. x+4y
B. x-4y
A. －3
B. 3
C. 9
D. -9
4. 如图，一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成
一个大长方形，则由整个图形的面积关系可以得到一个有关多项式因式分解的等 式，这个等式是 a2+2ab=a(a+2b) .
5. 2992－299能被298整除吗？能被299整除吗？
原式=299×(299-1)=299×298． 所以2992－299既能被298整除，又能被299整除．
1.因式分解
1. 把一个多项式化成几个 整式的积 的形式，这种变形叫做因式分解.因 式分解也可称为分解因式.
2. 因式分解与 整式乘法 两者是互逆的过程. 3. 因式分解是 恒等 变形.
1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ Ｂ ）
A. a2+4a-21=a（a+4）-21
C. 4x+y
D. 4x-y
3. 若x2-4x+m=(x+3)(x-7)，则m的值为( Ｃ )
A. 3
B. -3
C. -21
D. 21
4. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，交换这
个两位数的十位上的数字和个位上的数字后，得到一个新的两位数，则这两个两
位数的和一定能( Ｃ )
【基础训练】
1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( A )
A. x2-x=x(x-1)
B. a(a-b)=a2-ab
C. (a+3)(a-3)=a2-9
D. x2-2x+1=x(x-2)+1
2. 将16x2-y2因式分解，其中一个因式是4x+y，则另一个因式是（ Ｄ ）
A. x+4y
B. x-4y
A. －3
B. 3
C. 9
D. -9
4. 如图，一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成
一个大长方形，则由整个图形的面积关系可以得到一个有关多项式因式分解的等 式，这个等式是 a2+2ab=a(a+2b) .
5. 2992－299能被298整除吗？能被299整除吗？
原式=299×(299-1)=299×298． 所以2992－299既能被298整除，又能被299整除．
北师大版八年级数学下册课件——第四章-因式分解复习课件
(1)a2-4a+4;
(3) 4b2+4b-1 ;
(2)1+4a2;
(4)a2+ab+b2.
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
3 解：(1)-x3z+x4y=x x3(-z+xy).
(2)3x(a-b)+2y(b-a) + (b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) - (a-b) =(a-b)(3x-2y) (a-b)
做 (3)(a+ b+c)2-(a+b-c)2
(4)x² y² -4xy+4
因式分解常用方法
提公因式法
平方差公式
公式法
完全平方公式
因式分解的一般步骤： 一提二平三完全
口答：
1).计算： 20052-20042 = 2).若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2= 3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
例题讲解
例3. m（a-3)+2 （3-a) 解：原式=m（a-3)-2（a-3)
强化练习3
=（a-3) （ m- 2 )
2. a（x-y+z) –b （x-y+z) – c（y-x-z)
3.4p(1-q)3+2(q-1)2
提取公因式的常见思维误区：1、漏项；2、变 错符号；3、分解不彻底；4、混淆因式分解与 整式乘法的意义。
解：原式= (24x3 +12x2-28x) = 4 x (6x2+3x-7) 方法二
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章 因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－ 时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解教学课件新版北师大版
(2)a2 b2 1 (a b)(a b) 1
(3)x2 x x2 (1 1 ) x
(4)m2 2mn n2 (m n)2
左右两边的变形分别是什么运算？ 互逆过程
分解因式
（多项式）
整式乘法
（整式乘积）
学以致用 下列变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)a(x y) ax ay 整式乘法
你能把 a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3 a a a2 a a(a2 1) a(a 1)(a 1)
整式的乘积
合作探究 做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式
ma mb mc x2 2x 1
m(a b c)
(右两边各有什么特点？
（1）
C.4b2 a2
D.4b2 a2
分析（：2b a)(a 2b) =(a+2b)(a 2b) =a2 2b2
a2 4b2 .
感悟与收获
1.知识方面： ①因式分解的定义 ②因式分解与整式乘法的关系 2.方法方面： ①类比的方法，逆向思维的方法 ②利用因式分解可以简化运算.
a3- a = a(a+1)(a-1)
（ 2 ） ma +mb+mc = m(a+b+c)
（ 3 ） x²+2x+1 = (x+1)²
把一个 多项式 化成几个 整式的积 的形式，这种变
形叫做因式分解.
因式分解也可称为分解因式.
例题讲解 例 判断下列变形是因式分解吗？说说你的理由.
(1)(x 5)(x 5) x2 25
第四章 因式分解
4.1因式分解
复习回顾
用简便方法计算.
(1)736 95 736 5 =736 （95+5）
(3)x2 x x2 (1 1 ) x
(4)m2 2mn n2 (m n)2
左右两边的变形分别是什么运算？ 互逆过程
分解因式
（多项式）
整式乘法
（整式乘积）
学以致用 下列变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)a(x y) ax ay 整式乘法
你能把 a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3 a a a2 a a(a2 1) a(a 1)(a 1)
整式的乘积
合作探究 做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式
ma mb mc x2 2x 1
m(a b c)
(右两边各有什么特点？
（1）
C.4b2 a2
D.4b2 a2
分析（：2b a)(a 2b) =(a+2b)(a 2b) =a2 2b2
a2 4b2 .
感悟与收获
1.知识方面： ①因式分解的定义 ②因式分解与整式乘法的关系 2.方法方面： ①类比的方法，逆向思维的方法 ②利用因式分解可以简化运算.
a3- a = a(a+1)(a-1)
（ 2 ） ma +mb+mc = m(a+b+c)
（ 3 ） x²+2x+1 = (x+1)²
把一个 多项式 化成几个 整式的积 的形式，这种变
形叫做因式分解.
因式分解也可称为分解因式.
例题讲解 例 判断下列变形是因式分解吗？说说你的理由.
(1)(x 5)(x 5) x2 25
第四章 因式分解
4.1因式分解
复习回顾
用简便方法计算.
(1)736 95 736 5 =736 （95+5）
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3. 1993-199能被200整除吗?还 能被哪些整数整除?
补充练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的 倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、 丙三位工人共同完成，已知甲工人每 天加工23个零件，乙工人每天加工 19个零件，丙工人每天加工18个零 件，三人需共同做12天才能做完，要 加工的零件共有多少？
真相大白
R –r
阅读 体验 ☞
规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
作业
补充练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值.
2. 若x=-3,求20x2-60x的值.
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
1、连一连
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2 y（x-y）
P40
（3-5x）· （3+5x）
（x-y）· （x+y）
（x+1）2
2、在课本上。
练习二
试一试
把下列各式写成乘积的形式: (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 (3). 4x2-8x =4x(x-2) (4). 2x2y-6xy2 =2xy(x-3y) (5). 1-4x2 =(1-2x)(1+2x) (6). x2-14x+49 =(x-7)2
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000 2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
理解 · 定义
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整 式积的形式,这种变形叫做把这 个多项式分解因式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
善于辨析：分解因式与整式乘法
有什么关系?
分解因式
二者是互逆的恒等变形
练习一
理解概念
因式分解
想一想
☞ ô 回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式
ô 回顾 & 思考
☞
做一做
数学中的游戏 游戏规则： 1、大家说出一个大于1的正整数。 2、写出它的立方减它的式子。 如：5 3
5
3、不通过计算，说出这个 式子能被那些正整数整除。
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
小明是这样想的:
993 99 99 992 99 1 99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
做一做
你知道每一 步的根据吗? 想一想: 99399还能被哪 些整数整除?
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
a2
1、若
x
2
—x—m=（x+2)(x-3) 则m=_______ —ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
2、若 x
2
则a=___,b=___
异想天开
假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来,那 么铁丝与赤道之间均匀的间隙 能有多大(赤道看成圆形)?
所以, 993 99能被100整除 .Fra bibliotek做一做
计算下列各式:
根据左面算式填空:
3x(x-1) (1) 3x(x-1)= 3x2 - 3x __, (1) 3x2-3x=_________ (2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___ ma+mb+mc
2 -16 m (3) (m+4)(m-4)= __,
m(a+b+c)
(4)
(x-3)2=
x2-6x+9 ,
(m+4)(m-4) (3) m2-16=__________ (x-3)2 (4) x2-6x+9=________
a(a+1)(a-1) (5) a3-a=___________
3-a a (5) a(a+1)(a-1)= __,
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形 与它有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
补充练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的 倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、 丙三位工人共同完成，已知甲工人每 天加工23个零件，乙工人每天加工 19个零件，丙工人每天加工18个零 件，三人需共同做12天才能做完，要 加工的零件共有多少？
真相大白
R –r
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规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
作业
补充练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值.
2. 若x=-3,求20x2-60x的值.
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
1、连一连
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2 y（x-y）
P40
（3-5x）· （3+5x）
（x-y）· （x+y）
（x+1）2
2、在课本上。
练习二
试一试
把下列各式写成乘积的形式: (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 (3). 4x2-8x =4x(x-2) (4). 2x2y-6xy2 =2xy(x-3y) (5). 1-4x2 =(1-2x)(1+2x) (6). x2-14x+49 =(x-7)2
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000 2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
理解 · 定义
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整 式积的形式,这种变形叫做把这 个多项式分解因式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
善于辨析：分解因式与整式乘法
有什么关系?
分解因式
二者是互逆的恒等变形
练习一
理解概念
因式分解
想一想
☞ ô 回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式
ô 回顾 & 思考
☞
做一做
数学中的游戏 游戏规则： 1、大家说出一个大于1的正整数。 2、写出它的立方减它的式子。 如：5 3
5
3、不通过计算，说出这个 式子能被那些正整数整除。
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
小明是这样想的:
993 99 99 992 99 1 99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
做一做
你知道每一 步的根据吗? 想一想: 99399还能被哪 些整数整除?
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
a2
1、若
x
2
—x—m=（x+2)(x-3) 则m=_______ —ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
2、若 x
2
则a=___,b=___
异想天开
假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来,那 么铁丝与赤道之间均匀的间隙 能有多大(赤道看成圆形)?
所以, 993 99能被100整除 .Fra bibliotek做一做
计算下列各式:
根据左面算式填空:
3x(x-1) (1) 3x(x-1)= 3x2 - 3x __, (1) 3x2-3x=_________ (2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___ ma+mb+mc
2 -16 m (3) (m+4)(m-4)= __,
m(a+b+c)
(4)
(x-3)2=
x2-6x+9 ,
(m+4)(m-4) (3) m2-16=__________ (x-3)2 (4) x2-6x+9=________
a(a+1)(a-1) (5) a3-a=___________
3-a a (5) a(a+1)(a-1)= __,
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形 与它有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是