2015高考数学(文)一轮方法测评练：1-基础回扣练——集合与常用逻辑用语

基础回扣练——集合与常用逻辑用语
(建议用时：60分钟)
一、填空题
1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝________.
解析∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．
答案{1,4}
2．(2013·合肥一模)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，M∪P＝________.
解析∵x2＞1，∴x＞1或x＜－1.故M∪P＝{x|x＞1，或x＜－1}．
答案{x|x＞1，或x＜－1}
3．(2014·常州质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则x∈P是x ∈Q的________条件．
解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．
答案充分不必要
4．(2013·湖南卷改编)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的________条件．解析当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
答案充分不必要
5．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则命题綈p∧q为________，綈p∧綈q为________．(填“真”或“假”)
解析当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．
答案真假
6．(2013·深圳调研)下列命题为真命题的是________．
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的
充分不必要条件；③命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x ＜－1，则x2－2x－3≤0”；④已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则
綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0.
解析对于①，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故①错；对于③，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故③错；对于④，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以④错．
答案②
7．已知命题p：“∃x∈(0，＋∞)，x＞1
x”，命题p的否定为命题q，则q是
“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤1 x.
答案∀x∈(0，＋∞)，x≤1
x假
8．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析所给集合的子集个数为23＝8个．
答案8
9．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N ＝________.
解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N ＝(1，＋∞)．
答案(1，＋∞)
10．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
解析由题意知a2＝4，所以a＝±2.
答案±2
11．(2014·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是________．
解析∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
答案 6
12．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，
若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2.
答案[0,2)
13．(2013·太原五中检测)已知p：x－1
x≤0，q：4
x＋2x－m≤0，若p是q的充分
条件，则实数m的取值范围是________．
①(2＋2，＋∞)；②(－∞，2＋2]；③[2，＋∞)；
④[6，＋∞)
解析x－1
x≤0⇒0＜x≤1⇒1＜2
x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6.
答案④
14．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．解析若已知a1＜a2＜a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1＞0时，解得q＞1，此时数列{a n}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1＜a2＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p 是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题．
答案 4
15．(2013·盐城模拟)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析∵∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，
∴a＞3或a＜－1.
答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)
16．(2013·宿迁质检)下面有三个命题：
①关于x 的方程mx 2＋mx ＋1＝0(m ∈R )的解集恰有一个元素的充要条件是m ＝0或m ＝4；
②∃m 0∈R ，使函数f (x )＝m 0x 2＋x 是奇函数；
③命题“x ，y 是实数，若x ＋y ≠2，则x ≠1或y ≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
解析 ①中，当m ＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m ＝0时，f (x )＝x 显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x ，y 是实数，若x ＝1且y ＝1，则x ＋y ＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．
答案 ②③
二、解答题
17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，
B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，
得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.
∴m ＞5或m ＜－3.
故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
18．已知命题p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，命题q ：
函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
解 由关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a ＞0的解集为R ，则⎩
⎨⎧
a ＞0，1－4a 2＜0，解得a ＞12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q 真时，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞12，⇒a ＞1；
当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，a ≤12⇒0＜a ≤12.
综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪(1，＋∞).。