非线性方程组的牛顿迭代法的应用
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
牛顿迭代法求解非线性方程组的解
10 简化牛顿法 简化牛顿法又称平行弦法，其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ),C 0, k 0,1,
(4-7)
从不动点迭代法的角度看，简化牛顿法的迭代函数(x) x Cf (x) ，下面讨论简
化牛顿法的收敛性。
若| '(x) ||1 Cf '(x) | 1 ,即取 0 Cf ' (x) 2 .在根 x* 附近成立，则迭代法
x k 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k1 作为 x* 的新的近似值。 注意到切线方程为
y f (xk ) f '(xk )(x xk )
(4-4)
这样求得的值 x k1 比满足 f (xk ) f '(xk )(x xk ) 0 ，从而就是牛顿公式
x
k 1
| f (xk1) || f (xk ) |
(4-8)
满足此要求的算法称为下山法。
将牛顿法和下山法一起使用时，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，
用牛顿法加快收敛速度。为此，为此将牛顿法的计算结果
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
(4-9)
与前一步的近似值 xk 的适当加权平均作为新的改进值
代法中所遇到的 jacobi 矩阵难求的问题。
关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、 jacobi 矩阵
一、前言 非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来
越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为 得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是 一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍 关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延 伸到方程组的解法。
非线性方程组的求解方法及其应用
非线性方程组的求解方法及其应用非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。
与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。
本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。
1. 牛顿法牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。
该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。
牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。
具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。
值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。
因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。
2. 信赖域方法相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。
信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。
具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Deltax+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。
在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。
显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。
因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。
牛顿迭代法的收敛性和稳定性
牛顿迭代法的收敛性和稳定性牛顿迭代法是一种高效的求解非线性方程组的方法。
它的基本思想是通过不断逼近目标函数的零点来求解方程，其中每次迭代通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值。
与其他求解非线性方程组的方法相比，牛顿迭代法具有更快的收敛速度和更高的精度。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛性和稳定性。
本文将就牛顿迭代法的收敛性和稳定性进行探讨。
一、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性与初始迭代值的选择有关。
如果选择的初始迭代值与目标函数的零点较接近，则牛顿迭代法的收敛速度越快，精度越高。
反之，如果初始迭代值与目标函数的零点较远，则可能会导致收敛速度缓慢甚至无法收敛。
因此，通常使用牛顿迭代法进行求解时，需要通过试探法或其他方法寻找较接近目标函数零点的初始迭代值。
另外，牛顿迭代法的收敛性还与目标函数的性质有关。
具体来说，如果目标函数在初始迭代值处的二阶导数为正且在目标函数的零点处存在且连续，则牛顿迭代法一般会收敛到目标函数的零点。
而如果目标函数在某些点处的二阶导数为零或不存在，则可能会出现收敛速度缓慢或收敛不足的情况。
二、牛顿迭代法的稳定性牛顿迭代法的稳定性是指对于具有微小扰动的初始迭代值，迭代结果能否保持不变或只有微小的差异。
在实际应用中，由于存在数值误差或输入数据的不确定性，牛顿迭代法可能会受到微小扰动的影响而产生不稳定的结果。
因此，需要采取措施来提高牛顿迭代法的稳定性。
一种提高牛顿迭代法稳定性的方法是采用牛顿-拉夫逊迭代法。
牛顿-拉夫逊迭代法是在牛顿迭代法的基础上加入阻尼因子来实现的。
具体来说，牛顿-拉夫逊迭代法使用目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值，并在迭代过程中加入一个阻尼因子，使迭代结果在微小扰动下不会产生过大的变化。
此外，还可以采用增量式牛顿迭代法来提高牛顿迭代法的稳定性。
增量式牛顿迭代法是一种递推算法，它的基本思想是将目标函数的二阶导数逐步逼近到实际的值，并在每次迭代中只更新部分二阶导数，以减小更新过程中的数值误差。
牛顿法解非线性方程组
一、求根方法原理把非线性函数f(x)=0在x0处展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有 , 设，则其解为,再把f(x)在x1处展开为泰勒级数，取其线性部分为的近似方程，若，则得，如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：，通过迭代，这个式子必然在的时候收敛。
整个过程如下图：牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。
二、求解步骤1. 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点。
2. 使用如下的迭代公式更新近似解。
3. 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解。
三、自定的非线性方程使用牛顿迭代法近似求解如下方程在[-1, 1]之间的根：四、源程序代码clear, close allclcf = @(x) cos(x) -x.^3;f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;error = 1; %初始化误差变量iter = 0; %初始化迭代次数变量max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数tol = 1e-8; %定义循环终止误差x0 = 0.5; %初始值while error > tol && iter <= max_iterx = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差iter = iter +1; %更新迭代次数x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。
end五、上机运行结果截图六、结论1.迭代法是求解非线性方程组的一种很好的方法，它可以反复校验根的近似值，直到得出符合精度的解。
从几何角度上来解释可以解释为两个函数的无限逼近2.我们为了加快迭代的速度，引入了牛顿法，牛顿法的收敛速度很快，但是其收敛性取决于牛顿法的取值。
3.。
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是求解非线性方程的一种常用方法，其基本思想是利用泰勒公式，将原方程式化为近似的一次方程，不断迭代，直到获得满足要求的精度值为止。
在数学、物理、化学等领域，牛顿迭代法被广泛应用。
1. 原理与步骤给定一个函数 f(x)，我们希望求出它的一个根，即使得 f(x) = 0 的 x 的值。
考虑到非线性函数的复杂性，我们采用牛顿迭代法来解决。
假设已经猜测出一个近似值 x0，通过泰勒公式将 f(x) 在 x0 处展开：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)为了简化计算，我们令上式等于0，即：f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0将 x 化简可得：x = x0 - f(x0) / f'(x0)将上式作为下一次迭代的初始值，即可不断迭代求解，直到满足要求的精度值。
2. 牛顿迭代法的应用2.1 偏微分方程偏微分方程是现代科学和工程所涉及的许多领域的基础，而牛顿迭代法可用于求解非线性偏微分方程。
由于牛顿迭代法依赖于初始值的选择，因此需要根据实际问题来选择初始值，从而得到精确的解。
2.2 统计学在统计学中，牛顿迭代法被广泛应用于最大似然估计。
最大似然估计是在给定数据集的前提下，寻找一种参数估计方法，使得似然函数（即给定数据集下模型参数的条件下，该数据集出现的概率）最大。
通过牛顿迭代法，可以快速求解似然函数的最大值，从而获得最优的参数估计结果。
2.3 非线性优化在优化问题中，如果目标函数为非线性函数，则无法通过简单的线性规划来解决，需要借助于牛顿迭代法。
通过迭代求解逼近目标函数的零点，可以实现非线性规划问题的求解。
3. 注意事项在使用牛顿迭代法时，需要注意以下几点：3.1 初始值的选择初始值的选择会直接影响到迭代的次数和迭代结果的精度。
一般来说，我们选择敏感度较高的点作为初始值，例如驻点或函数导数为零的点。
3.2 解存在性和唯一性使用牛顿迭代法求解方程时，需要保证解的存在性和唯一性。
计算方法---牛顿迭代法的应用
牛顿迭代法的应用一、牛顿法简介牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
该方法广泛用于计算机编程中。
简单迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出x ，从而确定出)(x ϕ。
而牛顿迭代法是用一种间接而特殊的方法来确定)(x ϕ的。
下面具体推到牛顿迭代公式。
假设k x 是非线性方程为0)(=x f 的一个近似根，把)(x f 在k x 处作泰勒展开：+-+-+=2''')(!2)())(()()(k k k k k x x x f x x x f x f x f若取前两项来近似代替)(x f （称为)(x f 的线性化），则得近似的线性方程0))(()()('=-+≈k k k x x x f x f x f设0)('≠k x f ，令其解为1+k x ，则得)()('1k k k k x f x f x x -=+ （1）这称为0)(=x f 的牛顿迭代公式。
它对应的迭代方程为)()('x f x f x x -=显然是0)(=x f 的同解方程，故其迭代函数为)()()('k k k x f x f x x -=ϕ （0)('≠x f ） 在0)(=x f 的根α的某个邻域)|(|δα≤-x R 内，0)(≈x f1|)('||)(||)(||)(|2'''<≤•=L x f x f x f x ϕ 在α的邻域R 内，对任意初值x 0，应用由公式(1)来解方程的方法称为牛顿迭代法，它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
牛顿迭代法的优化理论和方法
牛顿迭代法的优化理论和方法一、引言优化问题是现代科学和工程中一个重要的问题。
牛顿迭代法是一种常用的优化算法，用于解决非线性优化问题。
本文将介绍牛顿迭代法的原理、算法以及应用。
二、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的原理是利用二阶导数信息来构造一个二次近似函数，通过求解这个近似函数的零点来逼近原函数的零点。
具体来说，假设我们要求解方程 $f(x) = 0$，考虑在 $x_0$ 处对$f(x)$ 进行泰勒展开：$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2 $$ 其中 $\xi$ 位于 $x$ 和 $x_0$ 之间。
假设 $x_0$ 是方程的一个近似解，那么我们可以忽略高阶项，得到一个二次近似函数：$$ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 $$ 令上式等于 0，解得：$$ x_1 = x_0 -\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} $$ 这个解 $x_1$ 更接近方程的根，我们可以利用它来作为 $x_0$ 重复上述过程，得到一个更优的解。
三、牛顿迭代法的算法根据上面的原理，可以得到牛顿迭代法的算法：1. 选取初值 $x_0$。
2. 计算 $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$。
3. 如果收敛，停止迭代；否则返回第二步。
这里的 $f'(x_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x_k$ 处的导数。
四、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法的应用非常广泛，下面列举几个常见的例子。
1. 求解方程。
对于非线性方程 $f(x) = 0$，可以使用牛顿迭代法求解。
需要注意的是，如果初值选取不恰当，可能会出现迭代不收敛、收敛速度慢等情况。
二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用
求解方程的近似根 ， 一般需要解决两个问题 ： １ ． 根 的隔离 。即找 出有根 区域 ， 使得在一些小 区间中 方程只有一根（ 或一对共轭复根 ） 以便获取各根的较粗糙 的近似值 。
区间值 ：ｘ ０
０ ． ０ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ ． ０ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０
【 专题研讨 】
二分法和牛顿迭代法 求解非线性 方程 的比较及应用
张 晓勇 ， 王 仲君
（ 武汉 理工 大学 ， 湖北 武汉 ４ 文基于计算机ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 和ｃ 语 言编程去分析 两者的计算复杂性 ， 并深入探讨 了两种方法的优缺点。 最后 ， 通 过将 两种方法结合起来解决非线性方程 的求解问题 ， 取得 了显著地效果 。同时， 这也再 次证明 了方法组合解决问题 的高
一
、
２ ０
２ １
５ ２ ． ４ ０ ６ ３ １ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
５ ２ ． ４ ０ ６ ７ ８ ８ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０
５ ２ ． ４ ０ ７ ２ ６ ５ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０
效性 。
关键词 ： 二分法； 牛顿迭代法 ； 非线性 方程 中图 分 类 号 ： ０２ ４ ２ 文 献 标 志码 ： Ｂ
文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ２ ５ — ０ １ ３ ９ 一 Ｏ １
表１ 二 分法 程序 结 果
迭 代 数
区 间值 ：ｘ １
５ ０ ０ ． Ｏ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ２ ５ ０． ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０
２ ． 近似根 的精确化 。即用求根的数值方法 ， 使求得 的 近似根逐步精确化 ， 直到获得一定精度的近似根。 二分法和牛顿迭代法的基本思想 １ ． 二分法 。一般地 ， 对于 函数ｆ （ ｘ ） ， 如果存在实数Ｃ ， 当 Ｘ ＝ Ｃ 时， 若ｆ （ ｃ ） ＝ ０ ， 那么把ｘ ＝ ｃ Ｈ ｑ 做函数ｆ （ ｘ ） 的零点。解方程 即要求 ｘ ） 的所有零点。假定ｆ （ ｘ ） 在 区间（ ｘ ， ｙ ） 上 连续 ， 先 找到ａ 、 ｂ 属于区间（ ｘ ， Ｙ ） ， 使ｆ （ ａ ） ， ｆ （ ｂ ） 异号 ， 说 明在 区间（ ａ ， ｂ ） 内一定有零点 ， 然后求［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ １ ， 现在假设ｆ （ ａ ） ＜ ０ ， ｆ （ ｂ ） ＞ ０ ， ａ ＜ ｂ ， ①如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＝ Ｏ ， 该点就是零点。 如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＜ Ｏ ， 则在 区间（ （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ， ｂ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＞ ＝ ａ ， 从① 开始继续使用 中点函数值判断。如果 ［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ 】 ＞ ０ ， 则在区 间（ ａ ， （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＜ ＝ ｂ ， 从①开始继续使 用 中点 函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次 把ｆ （ ｘ ） 的零点所在小区间收缩一半 的方法 ， 使 区间的两个 端点逐步迫近 函数的零点 ， 以求得零点 的近似值 ， 这种方 法叫做二分法 。 从以上可以看出 ， 每次运算后 ， 区间长度减 少一半 ， 是线形收敛 。另外 ， 二分法不能计算复根和重根 。 ２ ． 牛顿迭代法。设ｒ 是 ｘ ） ＝ ０ 的根 ， 选取ｘ ０ 作为ｒ 初始近 似值 ， 过点 （ ｘ Ｏ ， ｆ （ ｘ Ｏ ） ） 做 曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的切线 Ｌ ， Ｌ 的方程 为 ｙ ＝ ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ ０ ） ， 求 出Ｌ 与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） ／ ｆ （ ｘ Ｏ ） ， 称ｘ １ 为ｒ 的一次近似值。 过点（ ｘ ｌ ， ｆ （ ｘ １ ） ） 作 曲线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）的切线 ，并求该切线与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ２ ＝ ｘ ｌ — ｆ （ ｘ １ ） ／ ｒ （ ｘ １ ） ， 称ｘ ２ 为ｒ 的二次近似值。重复 以上过程 ， 得ｒ 的 近似值序列 ， 其 中ｘ （ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ （ ｎ ） 一 ｆ （ ｘ （ ｎ ） ） （ ｘ （ ｎ ） ） ， 称为ｒ 的 ｎ ＋ １ 次近似值 ， 上式称为牛顿迭代公式 。 解非线性方程ｆ （ ｘ ） ０ 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法 。把ｆ （ ｘ ） 在ｘ ０ 点附近展开成泰勒级数ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ０ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ｒ （ ｘ Ｏ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＇ ２ ＊ ｆ ’ （ ｘ Ｏ ） ／ ２ １＋ …取其线性部分 ， 作为非线性方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 的近似方程 ， 即泰勒展开的前两项 ， 则有ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＝ ０ 设ｆ ＇ （ ｘ Ｏ ） ≠０ 则其解为ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） Ｘ（ ｘ Ｏ ） 这样 ， 得 到牛顿法 的一个迭代序列 ： Ｘ（ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ（ ｎ ） 一 ｆ（ Ｘ（ ｎ ） ） ／ ｒ （ ｘ （ ｎ ） ） ， 记为： ｛ ｘ （ ｎ ） ｌ 。 此时 ， 当ｎ 趋于无穷大时 ， ｘ （ ｎ ） 就会逐渐 逼近 ｘ ） ＝ ０ 的根。 二、 例证分析 １ ． 对此非线性方程ｘ Ｓ － ５ ０ ｘ Ｚ － ６ ６ １ ０ ＝ Ｏ 在单 独用二分法 和 牛顿迭代法时的效果都不显著。 实验 的结果分析： 由此可见 ， 牛顿迭代法是一种特殊 的迭代法 ， 用于求
解线性方程组与非线性方程组求解方法与实际应用
解线性方程组与非线性方程组求解方法与实际应用线性方程组与非线性方程组是数学中常见的问题，它们在各个领域的实际应用中都起着重要的作用。
本文将从解线性方程组的方法、解非线性方程组的方法以及它们在实际应用中的具体案例进行探讨。
一、解线性方程组的方法解线性方程组是基础的数学问题，它可以用于描述一系列线性关系。
我们先来了解一下解线性方程组的最基本方法——高斯消元法。
高斯消元法是一种通过矩阵变换来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 利用行变换将增广矩阵转化为上三角矩阵。
3. 通过回代法求解得到方程组的解。
除了高斯消元法外，还可以使用矩阵求逆法、克拉默法则等方法求解线性方程组。
这些方法在不同情况下有着各自的优势和适用性。
二、解非线性方程组的方法与线性方程组不同，非线性方程组的求解更加复杂。
非线性方程组包含非线性函数，其解不再是直线或平面，而可能是曲线或曲面。
常见的解非线性方程组的方法有牛顿法、割线法、迭代法等。
这些方法通过迭代逼近的方式来求解非线性方程组的解。
比如牛顿法通过利用导数的信息来快速逼近解，割线法则是通过两点连线逼近解。
非线性方程组的求解方法多种多样，选择适合问题特点和求解效果的方法非常重要。
在实际应用中，根据需求和约束条件灵活选择合适的方法，有助于提高求解效率和准确性。
三、实际应用案例接下来，我们将探讨线性方程组和非线性方程组在实际应用中的具体案例。
1. 工程中的应用线性方程组可以用于描述力学、电路等工程问题。
比如在建筑设计中，可以使用线性方程组求解平衡力学问题，进而评估结构的稳定性。
在电路分析中，线性方程组可以用于求解电流、电压等相关问题。
非线性方程组在工程中也有广泛的应用。
比如在机械振动分析中，可以利用非线性方程组求解物体的运动方程，进而评估结构的稳定性。
在电力系统中，非线性方程组可以用于求解负荷流问题，进而实现电力系统的优化。
2. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有重要的应用。
牛顿迭代法的科学计算和工程应用
牛顿迭代法的科学计算和工程应用牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的数值计算方法，该方法以牛顿插值公式为基础，利用导数的概念，通过不断迭代来逼近函数的根。
牛顿迭代法在科学计算和工程应用中具有广泛的应用，例如在求解实际问题中的最优化问题、求解微分方程、图像处理等方面，牛顿迭代法都有着重要的地位。
牛顿迭代法的原理牛顿迭代法通过牛顿插值公式来逼近函数的根。
对于一个函数f(x)，在x=a处的一次近似为：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)其中f'(a)为函数f(x)在x=a处的导数。
若f(x)=0，则有：x=a-(f(a)/f'(a))这便是牛顿迭代法的基本公式。
通过不断迭代即可逼近函数的根。
牛顿迭代法的优缺点牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，通常情况下可以迅速地逼近函数的根。
但是在某些情况下，牛顿迭代法的收敛会比较慢，甚至会出现发散的情况。
此外，牛顿迭代法要求函数在根的附近具有一阶导数连续，否则无法适用。
牛顿迭代法的工程应用举例牛顿迭代法可以应用于求解实际问题中的最优化问题、求解微分方程、图像处理等领域。
下面简单介绍几个工程应用举例。
1. 最优化问题最优化问题在工程和科学领域中都有着很广泛的应用。
在求解最优化问题时，需要找到函数的极值点。
利用牛顿迭代法可以快速、准确地找到函数的极值点。
例如，利用牛顿迭代法可以求解f(x)=(1/2)x^2-2x+3的极值点。
首先求取函数的一阶和二阶导数：f'(x)=x-2f''(x)=1然后利用牛顿法进行迭代：x₁=x₀-(f'(x₀))/f''(x₀)=2x₂=2-(f'(2))/(f''(2))=1.5x₃=1.5-(f'(1.5))/(f''(1.5))=1.414可以看出，只需要进行三次迭代就可以求得函数的极值点。
这说明，牛顿迭代法对于求解最优化问题具有很大的优势。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
２ 牛顿迭代法的实 际应用举例 ： 徒手开方
人们对于加 、 、 、 减 乘 除四则运算很熟悉 ， 并且
运用 自如 ， 而对 于徒 手开 方 就 比较 陌 生 ， 文 中 以 本
［ ，］ ｏ ｂ 上有 连续 的二阶导函数 ， 其中 ｏ ｂ为区间 ，
的 ２ 端点 ， 个 并且满 足 ：
．
厂ｏ ・（ ） ０ 表示在区间［ ， ］ （ ）ｆ ｂ ＜ ， ｏ ｂ 上一定有
文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １ ９４ ２０ ）８ ０ ５ ４ １７ 一ｏ ２ （ｏ ７０ —０ ９ —０ 中图分类号 ： ２ １７ Ｏ ４ ．
Ｎｅ ｏ ｔｒ ｔ ｎ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ Ｎｏ ｌ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉｎ Ｓ ｌ ｔ ｎ ｗｔ ｎ Ｉｅ ａ ｉ ｔ ｏ ｏ ｎｉ ａ ｕ ｔ ｏ ｕ ｉ ｓ ｏ ｎ ｏ ｏ
根 ， （ ・ （ 厂 ） 厂” ）≠０ 等 价 于 厂 （ ） ０且 ， ≠ ｆ” ） ． （ ≠０
２０ ０ ７年 ８月
Ａｕ ｇ．２ ０ ０７
【 数理化科学】
解 非 线 性 方 程 的 牛 顿迭 代 法及 其应 用
柳 辉
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学 院 ， 兰州 ７０ ７ ） ３００
摘要 ： 牛顿迭代法也称 为牛顿切线法 ， 是解 非线性方 程 的一种方 法 ， 过实例 对该方 法进行 了介 通 绍， 包括其理论依据 、 误差估计 、 收敛 阶数 、 迭代法初始值 的选取规则等 ． 关 键 词： 牛顿 迭代 法 ； 牛顿切线法 ； 差估 计 ； 误 收敛 阶数 ； 徒手开方
ａ ｔ ｐｉａ ｉｎ ｎｄ ＩｓＡｐ ｌ ｔｏ ｃ
Ｕ Ｕ ｉ Ｈｕ
（ｃｏｌ ｆ ｔ ｍ ｔｓ Ｐ ｙｃ ｎ ｏｗ ｒ Ｅ ｇｎｅ ｎ ， ａｇｏ ｉ ｔ ｇＵ ｉｅ ｉ ， ａｇｏ ３０ ０ ｈ ａ Ｓｈｏ ｏ ｈ ａｃ ， ｈｓ ｓａｄＳｆ ａ ｎｉ ｒ ｇ ＬｎｈｕＪ ｏ ｎ ｎｖｒｔ Ｌｎｈｕ７０ ７ ，Ｃ ｉ ） Ｍａ ｅ ｉ ｉ ｔ ｅ ｅｉ ａｏ ｓｙ ｎ
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、 问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。
由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。
牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。
下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、 算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。
下面我们具体讨论线性化过程：令：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1） 则非线性方程组（3-2）()()()0,,,0,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f（3-2） 可写为向量形式()0=x F （3-3）？()0=x F 成为向量函数。
设()()()()k n k k x x x ,,,21是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()()()k n k k x x x ,,,21处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,1212112122121211211=∆∂∂+=∆∂∂+=∆∂∂+∑∑∑===k j nj k nk k n k nk k n k j nj k nk k k nk k k j nj k nk k k nk k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f（3-4）这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=∆的线性方程组，如果它的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x f x f x f x f x f xf x f x f x f212221212111（3-5） 非奇异，则可解得()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆-n n n n n n n k n k k f f f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x x x21121222121211121 （3-6） 矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F '。
牛顿迭代法在求解方程中的应用
牛顿迭代法在求解方程中的应用牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程的方法。
它是通过线性逼近来不断迭代，逐渐趋近于方程的根。
在实际生活中，很多问题都可以转化为方程求解问题。
因此，牛顿迭代法在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理及其在求解方程中的应用，并通过实际案例的方式来说明该方法的实用性。
一、基本原理牛顿迭代法的基本原理是通过求导数，利用导数的局部线性逼近来逼近非线性函数的根。
以一元函数f(x)为例，设x0为f(x)=0的一个近似解，那么可以用切线来逼近f(x)。
根据切线公式，可以得到：f(x) = f(x0) + f'(x0) (x - x0)将f(x)置为0，得到牛顿迭代法的迭代公式：x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))其中f'(x)代表函数f(x)在点x处的导数。
该公式即为牛顿迭代法的核心公式。
迭代开始时，选择任意一个近似解x0，根据该公式进行逐步迭代，直到形成收敛的数列x(1),x(2)...x(n)，其中xn作为方程的近似解。
牛顿迭代法收敛速度较快，一般只需要很少的迭代次数就可以得到较为精确的解。
二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中非常广泛。
下面将详细介绍该方法在求解方程中的应用。
1、求解一元方程对于一元方程f(x)=0，可以利用牛顿迭代法求解。
例如，给定方程x^3-4x^2+x+6=0，要求解该方程。
首先，需要选择一个初始值x0，比如x0=2。
然后，根据牛顿迭代法的公式进行逐步迭代，可以得到如下数列：x(0) = 2，f'(x0) = 13x(1) = x(0) - f(x(0))/f'(x(0)) = 2-(-6)/(13) = 2.4615x(2) = x(1) - f(x(1))/f'(x(1)) = 2.4615 - (0.2639)/(18.568) = 2.3668 x(3) = x(2) - f(x(2))/f'(x(2)) = 2.3668 - (0.0167)/(21.707) = 2.3459 x(4) = x(3) - f(x(3))/f'(x(3)) = 2.3459 - (0.0005)/(22.239) = 2.3448经过4次迭代，在x=2.3448处精确到小数点后4位得到方程的解。
牛顿迭代法的原理与应用
牛顿迭代法的原理与应用牛顿迭代法（Newton's method）是一种数值计算方法，主要用于求解非线性方程和优化问题，其基本思想是通过线性逼近来不断逼近函数的零点。
牛顿迭代法是数学上的一个重要概念，应用广泛，并且在实际问题中也有很多应用。
本文旨在介绍牛顿迭代法的原理和应用。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法主要用于求解非线性方程的根，其基本思想是通过对函数进行逐次线性逼近来逼近函数的零点。
设 f(x) 在 x_0 处可导，那么函数在 x_0 处的一次泰勒展开式为：f(x)=f(x_0 )+f'(x_0 )(x-x_0 )将 f(x) 置于零，解出 x 的值，则可得到下一个逼近点：x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}依照上述的迭代方式不断进行逼近，直到最终的误差小于某个可接受的范围为止。
例如，在求解方程 x^2-2=0 的根时，选择初始值 x_0=1。
然后根据上述迭代方式不断逼近，可以得到以下的结果：x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{1}{2}=0.5x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0.5-\frac{-0.5}{1}=1.0x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=1.0-\frac{0}{2}=1.0可以看到，通过牛顿迭代法可以在三次迭代内得到非常精确的解。
同时，牛顿迭代法还可以求解多元函数的根和优化问题，但是在这里不进行详细介绍。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有许多应用，下面介绍几个例子。
1. 数值解微分方程微分方程在物理、工程、生物学等领域中占有重要地位，但是大部分微分方程并不能求解得到。
通过数值方法来求解微分方程是一种很有效的方法，其中牛顿迭代法就是一个常用的工具。
将微分方程通过拉格朗日插值法或泰勒级数进行近似，再使用牛顿迭代法求解即可。
f(x)=0的牛顿迭代公式
f(x)=0的牛顿迭代公式
牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，它是由英国数学家牛顿提出的。
牛顿迭代法的基本思想是：令f(x)=0，则f(x)的零点x0可以由x1推算出来，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)，其中f'(x0)是f(x)在x0处的导数。
这样，我们可以用x1来替代x0，从而求出x2，以此类推，直到满足某种精度要求为止。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，它可以在较短的时间内求出解。
另外，它可以用于求解多元非线性方程组，而不仅仅是求解单个非线性方程。
牛顿迭代法的缺点是它需要计算函数的导数，而计算导数可能会比较复杂，特别是当函数的形式比较复杂时。
另外，牛顿迭代法的收敛性取决于初始点的选择，如果初始点选择不当，则可能会导致迭代不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法，它具有收敛速度快的优点，但也存在一些缺点，因此在使用时要格外注意。
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CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告
非线性方程组的牛顿迭代法的应用
一、问题背景
非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。
道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。
从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。
本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。
二、数学模型
对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。
牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。
设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有
()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'，
于是方程()0=x f 可近似地表示为
()()()0'=-+k k k x x x f x f
这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式
()
()
k k k k x f x f x x '
1-
=+， ,1,0=k 这就是牛顿法。
三、算法及流程
对于非线性方程
()()()⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2
12
12211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到
()()()()()()()(
)()()()
()
()()()()
()()()()0,,,,,,,,,1212
1
11
'21
212211=⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎢⎢⎣⎡+++k n k n k k k k k
k n k k n k n k k k n k k x x M x x
x x x f x L x x f M x L x x f x L x x f 其中
()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=n n n
n n x f L x f M M x f K x f x f 0
11
1
' 这样便得到迭代公式：
()()()()()()()
()[]
()()()()
()()()()()(
)()()()()
(
)
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+++k n k k k n
k n k k k k n k k k k k n k k k n k k x L x x f M x L x x f x L x x f x f x M x x x M x x ,,,,,,,,,212122111'2111211 这边是牛顿迭代法的算法过程，牛顿迭代法是工程上应用最多的一种非线性方程组的计算方程法。
MATLAB 编写的牛顿迭代法的基本程序如下： % 牛顿迭代法计算非线性方程 % 输入x0为迭代初值
% tol 为误差容限，如果缺省，则默认为10的-10次方 % data 用来存放计算的中间数据便于计算收敛情况分析 function [x,n,data]=new_ton(x0,tol) if nargin==1 tol=1e-10; end
x1=x0-f1(x0)/df1(x0); n=1; %迭代过程
while (norm(x1-x0)>tol) x0=x1;
x1=x0-f1(x0)/df1(x0); n=n+1;
% data 用来存放中间数据 data(:,n)=x1; end
x=x1;
以文件名new_ton.m 保存文件。
四、计算结果与分析
计算非线性方程组
4405.022
2
2=-+=+--y x y x x
取初值为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11y x 。
（1） 先编写方程函数与方程的Jacobi 矩阵函数。
% 牛顿迭代法的方程函数 function f=f1(x0) x=x0(1); y=x0(2);
f1=x^2-2*x-y+0.5; f2=x^2+4*y^2-4;
% 最后方程函数以行向量输出 f=[f1 f2];
以文件名f1.m 保存。
（2） 打开editor 编辑器输入以下语句并以文件名df1.m 保存。
function f=df1(x0) x=x0(1); y=x0(2); f=[2*x-2 -1 2*x 8*y];
（3） 编写主函数，并以文件名new_main.m 保存文件。
%牛顿迭代法的主函数 x0=[1 1];
[x,n,data]=new_ton(x0); disp('计算结果为') x
disp('迭代次数为') n
% 抽取data 中的第一个变量数据画出曲线 subplot(2,1,1)
plot(data(1,:)),title('x 在迭代中的变化')
% 抽取data 中的第二个变量数据画出其变化曲线 subplot(2,1,2)
plot(data(2,:)),title('y 在迭代中的变化')
（4） 运行程序，在MATLAB 命令窗口输入new_main ，以enter 键结束，输出
为： 计算结果为 x =
-0.222214555069498
0.993808418603981
迭代次数为
n =
16
为了获得更为直观的迭代收敛信息，MATLAB方便的画出了函数图形，如下所示，其中第一幅图形为x的迭代情况，第二幅为y的迭代情况。
从图中可以看出，迭代的前几次有一些震荡情况，但是随着迭代次数的增加，收敛效果还是很明显的。