高中数学必修四教案-三角函数的诱导公式

1.3 三角函数的诱导公式

整体设计

教学分析

本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.

在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用.

公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.

课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习.

三维目标

1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.

2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.

3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.

重点难点

教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.

教学难点:六组诱导公式的灵活运用.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.

②复习诱导公式一及其用途.

思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(2

π到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.

推进新课

新知探究

提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.

图1

讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1. β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],

180,90[,180

βββa a a 提出问题

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?

②它们与单位圆的交点的位置关系如何?

③任意角α与180°+α呢?

活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.

图2

引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.

无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.

利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).

指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:

sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.

并指导学生写出角为弧度时的关系式:

sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.

引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.

讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.

②它们与单位圆的交点关于原点对称.

③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.

提出问题

①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?

②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:

任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:

sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.

讨论结果:

①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.

②-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.

提出问题

①下一步的研究对象是什么?

②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:

sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.

强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.

引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.

让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.

我们可以用下面一段话来概括公式一—四:

α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;

②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.

示例应用

思路1

例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin 311π;(3)sin(3

16π-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=2

2-

; (2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π)