高考数学典型例题详解

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高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解

高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q在定直线上．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，又因为，所以，，所以椭圆C 的方程为．（2）解法一：设直线，，，，可得，所以．直线AM 的方程：① 直线BN 的方程：② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上，联立①②可得．因为， ()2222:10x y C a b a b+=>>12()4,0P 1212c a ∴=2a c ∴=2b =b ∴=222233b a c c =−==1c =2a =22143x y +=:4MN x ty =+()11,M x y ()22,N x y 224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360t y ty +++=12212224343634t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()1122y y x x =++()2222y y x x =−−1221212623ty y y y x y y ++=−121223y y t y y +=−所以所以点Q 在直线上．解法二：设，，，两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，所以，整理得：．又A ，M ，Q 三点共线，有：① 又B ，N ，Q 三点共线，有②将①与②两式相除得：即，将即代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）所以Q 在定直线上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例2、（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y −+++++===−−1x =()11,M x y ()22,N x y ()33,Q x y 123,,x x x ()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=−−−−−−()12122580x x x x −++=313122y y x x =++323222y y x x =−−()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪−−−−⎝⎭()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭==−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪−−−−++⎝⎭()12122580x x x x −++=()12125402x x x x =+−=233292x x ⎛⎫+= ⎪−⎝⎭34x =31x =BQ 34x ≠1x =A B 22:14y E x −=l（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.例3、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与轴的交点（点A 位于点的上方），为左焦点，原点到直线. ()2,0N E C D 3CN ND =l AC BD P P l 2x my =+()11,C x y ()22,D x y l E 22214x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩()224116120m y my −++=1212221612,4141m y y y y m m +=−=−−()112,CN x y =−−()222,ND x y =−3CN ND =123y y =−22841m y m =−22212341y m −=−22281234141m m m ⎛⎫−= ⎪−−⎝⎭2120m =m =l 0y −−=0y +−=AC ()1111y y x x =++BD ()2211yy x x =−−AC BD P ()1111y x x ++()2211yx x =−−()1113y x my ++()2211y x my =−+122121311my y y x x my y y ++=−+()121234m y y y y =−+()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y −++−++===−−−−++12x =P 12x =()2222:10,0x y C a b a b+=>>y ,A B B F O FA（1）求椭圆的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.【解析】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率. （2）若，由(1) 得椭圆方程为，联立方程组化简得：，由，解得：.由韦达定理得：,, 设，的方程是，的方程是，联立化简得，即，所以直线与直线的交点在定直线上.C 2b =4y kx =+C ,M N BM AN G F (),0c −bc =∴C c e a ==2b =a =∴22184x y +=22284x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()222116240k x kx +++=()232230k ∆=−>232k >M x +N x 21621k k −=+Mx N x 22421k =+()()44M M N N M x ,kx ,N x ,kx ++MB 62M M kx y x x +=−NA 22N Nkx y x x +=+()2282223211163421N M N M N N MN k x kx x x x k y k x x x k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===−++1Gy =BM AN G。

数学题高中题带答案解析

数学题高中题带答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。

若a>0，求b/a的取值范围。

答案解析：由题意知，f(x)在x=1处取得极小值，因此f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) = 2a + b = 0，从而得到b = -2a。

由于a>0，所以b<0。

因此，b/a = -2。

2. 一个等差数列的前三项分别是2x-3，4x-1和10-3x，求x的值。

答案解析：由等差数列的性质可知，第二项减去第一项等于第三项减去第二项，即(4x-1) - (2x-3) = (10-3x) - (4x-1)。

化简得2x + 2 = 7 - 7x，解得x = 1。

3. 已知一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，且d<r/2，求圆上到直线距离最大的点到直线的距离。

答案解析：圆心到直线的距离d是圆心到直线垂线段的长度。

由于d<r/2，根据勾股定理，圆上到直线距离最大的点实际上就是圆心投影点到直线的那一侧的圆上点。

因此，该点到直线的距离为半径r与圆心到直线垂线段d之和，即r + d。

二、填空题1. 若一个等比数列的前三项分别为a, b, c，公比为q，那么该数列的通项公式为______。

答案解析：等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)，其中an表示第n项，a为首项，q为公比。

2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标为______。

答案解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标可以通过交换A点的x和y坐标得到，即B(3,2)。

三、解答题1. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求g(x)的单调区间。

答案解析：首先求函数g(x)的导数g'(x) = 3x^2 - 6x - 9。

高考数学的典型题目解析

高考数学的典型题目解析高考数学作为一门综合性的学科，占据了高考科目中的重要地位。

通过对典型题目的解析，我们可以更好地理解和掌握高考数学的考点和解题技巧。

本文将针对高考数学中的典型题目展开详细解析，帮助广大考生更好地备战高考。

一、函数与方程题目解析1. 解一元二次方程题目典型题目：已知二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c∈R)$ 的一个根是 $x_1$，则另一个根为解析：根据二次方程的性质，已知一个根 $x_1$，则另一个根可由韦达定理直接求得。

根据韦达定理，二次方程的两个根之和等于系数$b$ 的相反数，两个根的乘积等于系数 $c$。

因此，另一个根 $x_2$ 可由以下公式求得：$x_2 = -(x_1 + \frac{b}{a})$2. 求函数的极值问题典型题目：已知函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求该函数的极值点及取值范围。

解析：要求函数的极值点，可以先求导数，令导数为零，再根据二阶导数的正负性来判断极值点的类型。

首先，对函数 $y$ 求导数得到：$y' = 3x^2 - 6x + 2$令导数为零，解得 $x = 1$。

然后，对导数再求导数，得到二阶导数：$y'' = 6x - 6$当 $x = 1$ 时，$y'' = 0$。

由二阶导数的正负性判断，当 $x < 1$ 时，$y'' < 0$，函数 $y$ 单调递减；当 $x > 1$ 时，$y'' > 0$，函数 $y$ 单调递增。

因此，当 $x =1$ 时，函数 $y$ 达到极小值点。

代入 $x = 1$ 到原函数 $y$ 中，得到极小值为 $y = 2$。

综上，函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ 的极小值点为 $(1, 2)$，取值范围为 $(-∞, +∞)$。

二、概率与统计题目解析1. 随机事件的概率计算典型题目：一枚硬币抛掷三次，求正面向上的次数为偶数的概率。

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+，故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②，由①② 得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+，因为()()11f x f x −+=−+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x −+=−+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−，所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−，所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称，由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。

高三数学题及答案解析

高三数学题及答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a、b、c的值。

答案解析：由题意知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，因此x=1为抛物线的对称轴，即-b/2a = 1。

由此可得b = -2a。

又因为f(1) = 3，即a + b + c = 3。

将b的值代入，得到a - 2a + c = 3，即c = 3 + a。

由于a>0，我们可以取a=1，得到b=-2，c=1。

所以a=1，b=-2，c=1。

2. 已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n-1，求a10的值。

答案解析：根据数列的递推公式an=an-1+2n-1，我们可以逐步计算得到数列的前几项：a1 = 1a2 = a1 + 2*2 - 1 = 1 + 3 = 4a3 = a2 + 2*3 - 1 = 4 + 5 = 9...通过观察可以发现，数列的第n项实际上是前n项和的公式，即an =1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)。

这是一个等差数列的前n项和，根据等差数列求和公式，我们可以得到an = n^2。

所以a10 = 10^2 = 100。

二、填空题1. 若复数z满足|z-2-3i| = |z+1+i|，请计算z的实部和虚部。

答案解析：设z = x + yi，根据题意有|z-2-3i| = |z+1+i|，即|(x-2) + (y-3)i| = |(x+1) + (y+1)i|。

根据复数模的计算公式，我们可以得到两个方程：(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2解这个方程组，我们可以得到x和y的值：x = 1, y = 2所以z的实部为1，虚部为2，即z = 1 + 2i。

三、解答题1. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆上一点P(x, y)到圆心(3, -1)的距离。

高三数学习题解析与讲解

高三数学习题解析与讲解在高三数学学习中，学生面临着各种各样的数学题目，这些题目既有理论性的问题，也有实践性的问题。

为了帮助同学们更好地理解和解决这些数学习题，本文将针对几个典型的高三数学习题进行解析与讲解，希望能够给高三学生们提供一定的帮助。

题目一：已知函数 $f(x) = \frac{2-x}{1+x}$，求 $f(x)$ 的极值。

解析与讲解：首先我们需要求出函数$f(x)$ 的导数。

令$f'(x) = 0$，求解方程 $f'(x) = 0$，可以得到函数的极值点。

首先求导数：$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2-x}{1+x})$根据导数的定义，可以使用商规则进行求导。

$f'(x) = \frac{(1+x)(-1)-(2-x)(1)}{(1+x)^2}$化简后得到：$f'(x) = \frac{-3}{(1+x)^2}$要使得 $f'(x) = 0$，则分母 $(1+x)^2$ 必须为正数，所以方程没有实数解，即函数 $f(x)$ 没有极值点。

因此，根据函数的特性，函数 $f(x)$ 在整个定义域上没有极值点。

题目二：已知三角形 ABC 中，$AB=AC$，角 BAC 的度数为 40°，BC 的长度为 10cm，求三角形 ABC 的面积。

解析与讲解：我们可以利用正弦定理和面积公式来求解这个问题。

根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{AB}{\sin \angle BAC} = \frac{BC}{\sin \angle ABC}$由于 $AB=AC$，即 $\angle ABC = \angle ACB$，代入已知数据可得：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{\sin 2\angle ABC}$进一步化简得到：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{2\cdot\sin \angle ABC \cdot \cos\angle ABC}$由于 $\angle ABC = \angle ACB$，所以可以将 $\sin \angle ABC \cdot \cos \angle ABC$ 表示为 $\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC$，代入得到：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC}$进一步化简可得：$AB = \frac{10 \cdot \sin 40°}{\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC}$由于 $\angle BAC = 40°$，所以 $\angle ABC = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。

数学高考真题答案及解析版

数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。

设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。

因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。

因此，选项A正确。

2. 根据题目，我们需要求解不等式。

首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。

解得x > 3，所以选项C是正确答案。

3. 题目涉及三角函数的图像和性质。

正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。

因此，选项B描述正确。

4. 这是一个关于复数的问题。

设复数z = a + bi，其中a和b是实数。

根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。

又因为z的实部为3，即a = 3。

代入模长公式，解得b = 4。

所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。

5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。

根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。

这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。

所以，P(A) = 3/8。

选项B是正确答案。

二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。

根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。

将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。

2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。

设圆心为O(0,0)，半径r = 3。

直线方程为y = x + 1。

圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。

因为 d < r，所以直线与圆相交。

根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。

三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。

高考数学试卷每题的详解

一、选择题1. 题目：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,-2)$，则$a$的取值范围是（）A. $a>0$B. $a\leq 0$C. $a>1$D. $a\leq 1$详解：因为函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，所以$a>0$。

又因为顶点坐标为$(1,-2)$，代入得$f(1)=a+b+c=-2$。

因为顶点坐标在图像上，所以$a+b+c=-2$，即$a=-2-b-c$。

将$a=-2-b-c$代入$a>0$得$-2-b-c>0$，即$b+c<-2$。

因为$b$和$c$的取值范围是全体实数，所以$b+c$的取值范围是全体实数，所以$b+c<-2$的解集是空集，即$b+c$不能小于$-2$。

所以$a$的取值范围是$a>0$，答案为A。

2. 题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(2,3)$，点B的坐标为$(4,5)$，点C在直线$y=2x+1$上，且$\triangle ABC$为等腰三角形，求点C的坐标。

详解：设点C的坐标为$(x,2x+1)$。

因为$\triangle ABC$为等腰三角形，所以$AC=BC$。

根据两点间的距离公式，有：$AC=\sqrt{(x-2)^2+(2x+1-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(2x-2)^2}=\sqrt{5x^2-20x+20}$$BC=\sqrt{(x-4)^2+(2x+1-5)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(2x-4)^2}=\sqrt{5x^2-40x+41}$令$AC=BC$，得到$5x^2-20x+20=5x^2-40x+41$，化简得$20x-20=41$，解得$x=\frac{41}{20}$。

将$x=\frac{41}{20}$代入$y=2x+1$得到$y=\frac{83}{20}$。

所以点C的坐标为$\left(\frac{41}{20},\frac{83}{20}\right)$。

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<，则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−，所以22ln(1)2x a x ≥−++，令2()2ln(1)2x g x x =−++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−，即12ln 22a ≥−，故选：A ．本课结束。

2023年高考数学复习----排列组合多面手问题典型例题讲解

2023年高考数学复习----排列组合多面手问题典型例题讲解【典型例题】例1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545【答案】A【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理．第一类2个只会左边的都不选，有3355100C C ⋅=种；第二类2个只会左边的有1人入选，有123256400C C C ⋅=种；第三类2个只会左边的全入选，有213257175C C C ⋅=种，所以共有675种不同的选法，故选A ．例2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C 种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有134413254524C C C C C C +种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有22442213132545242514C C C C C C C C C C ++种．综上分析，共可开出441344132244221313542545242545242514185C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=种．故选：B ．例3．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A ．26种B ．30种C ．37种D ．42种【答案】C【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，据此分3种情况讨论：①从A 中选3人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中剩下的人中选取，有35C 10=种选法， ②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中选取，有213324C C C 24=种选法，③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有13C 3=种选法，则有1024337++=种不同的选法．故选：C ．。

高考数学真题及答案解析版

高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。

答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。

又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。

将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。

由于a>0，所以c>5。

综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。

所以a+b+c=1+(-2)+4=3。

2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。

答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。

集合B表示的是所有小于0的x值的集合。

求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。

由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。

3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。

答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。

首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。

所以a5的值为161。

二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。

答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。

已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。

由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。

数学高考解析题

数学高考解析题一、选择题解析1. 选择题1解析本题考查了函数的性质和图像。

首先，我们需要分析给定的函数f(x) = 2^x的单调性。

由于指数函数的底数大于1，该函数在实数域上是单调递增的。

接下来，我们考虑函数g(x) = f(x) + 1 = 2^x + 1，显然，g(x)在f(x)的基础上向上平移了1个单位，因此g(x)也是单调递增的。

根据题目中的条件，我们知道g(x)在区间[0,1]上的值域为[2,3]，这意味着g(x)在该区间内是连续的。

由于g(x)是单调递增函数，我们可以得出在x=0时，g(x)取最小值2；在x=1时，g(x)取最大值3。

因此，选项A是正确的。

2. 选择题2解析此题涉及三角函数的图像和性质。

我们需要根据三角函数的基本性质来判断选项的正确性。

首先，我们知道sin(x)的周期为2π，且在[0, π]区间内，sin(x)的值从0增加到1，然后再减少到0。

选项B给出的函数h(x) = sin(x) + 1在y轴上向上平移了1个单位，因此其值域在[1, 2]。

选项C给出的函数k(x) = cos(x)在[0, π]区间内的值域为[-1, 1]。

由于sin(x)的值域不包含负数，而cos(x)的值域包含负数，所以选项B是正确的。

二、填空题解析1. 填空题1解析本题要求求解二次函数在特定区间的最大值。

我们设二次函数为p(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，这意味着函数开口向上，且对称轴为x = -b/(2a)。

根据题目给出的信息，我们知道函数在x=1处取得最大值。

因此，我们可以得出对称轴x = -b/(2a) = 1。

接下来，我们需要利用题目给出的其他条件来求解a、b和c的值。

通过解方程组，我们可以得到a = 1，b = -2，c = 3。

所以，二次函数为p(x) = x^2 -2x + 3，其在x=1处的最大值为2。

2. 填空题2解析此题考查了数列的通项公式和求和公式。

高考数学直线方程典型例题解析

高考数学直线方程典型例题解析一. 教学内容：直线方程［知识点］1. 直线方程两点式：()()()方程推导：已知直线经过两点，，，求直线的l P x y P x y x x l 11122212≠方程？解：k y y x x =--2121代入点斜式()y y k x x -=-121()∴-=---y y y y x x x x 121211·∴--=--y y y y x x x x 121121注意：（1）特殊情况：x ＝x 1或y ＝y 1不能用两点式表示，即与x 轴平行或与x 轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。

（2）两点式变形形式：（y －y 1）（x 2－x 1）＝（y 2－y 1）（x －x 1）此方程与平面上的直线一一对应。

2. 直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x 轴交于A （0，a ）与y 轴交于B （b ，0），其中（a ≠0，b ≠0）求直线l 的方程。

解用两点式：y b x aa --=--000∴=-y b a x a∴+=x a yb1（截距式）注意：（1）特殊情况：当a ＝0或b ＝0时不能用上式，即过原点或与x 轴平行或与y 轴平行的直线不能用截距式。

（2）截距式是两点式的特殊情况。

3. 直线方程的一般式：方程形式：，、不同时为零。

Ax By C A B ++=0适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。

4. 关于直线方程形式间的互化方法。

【典型例题】例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。

解：设直线的截距式方程为：x a yb +=1则有-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪541125a bab⇒==-a b 52，或，a b =-=524∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y例2. 如图，已知直线l 经过点P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B 。

高考真题数学答案及解析

高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。

解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=2代入得到4a + b = 0。

又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。

联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。

所以a的值为1。

2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。

解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。

由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。

因此，A∪B的元素个数为无穷多个。

3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。

解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。

由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。

又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。

因此，∠BAC的度数为30°。

二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。

解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。

高考数学复习---《定值问题》典型例题讲解

高考数学复习---《定值问题》典型例题讲解【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【典型例题】例1、（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点.当直线l 垂直于x 轴时，6AB =. (1)求双曲线C 的标准方程.(2)记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为过点F 的垂直与x 的直线方程为x c =，代入双曲线方程22221x y a b−=可得2b y a =±，所以此时22b AB a =，又直线l 垂直于x 轴时，6AB =，所以226ba=①，因为双曲线C 的离心率为2，所以2ca=②，又222c a b =+③，由①②③解方程可得1,2a b c ===，故双曲线C 的标准方程为2213y x −=；（2）由（1）可知()()()()()11222,0,1,0,1,0,,,,F D E A x y B x y −，若直线l 的斜率为0，则直线l 与双曲线C 的右支只有一个交点，不满足要求，所以直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+，联立222,1,3x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩整理得()22311290m y my −++=，()()222Δ14436313610m m m =−−=+>，且29031m <−，则121222129,3131m y y y y m m +=−=−−，故()121243my y y y −=+. 由题意可得直线AD 的方程为()1111y y x x =++，直线BE 的方程为()2211y y x x =−−，则()()()()21121111x y x x y x −+=+−，即()()121212121213234262y y x my y y y my y y y −=−−−=−−−，把()121243my y y y −=+代入上式，得()()()12121212113326322y y x y y y y y y ⎡⎤−=+−−=−⎣⎦，解得12x =. 故点P 在定直线12x =上. 例2、（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B )，直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．【解析】（1）由题可知，(),0F c ，()10,B b ，()20,B b −，12B FB 为等腰直角三角形，b c ∴=，又直线1FB 与圆221x y +=相切，所以原点O 到直线1FB 的距离为1，直线1FB 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +−=，所以21d ===，解得b c ==又2224a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）由过()0,2P 的直线l不过(10B，(20,B ，可设其直线方程为()20y kx k =+≠，把2y kx =+代入22142x y +=，得()2221840k x kx +++=，0∆>，即212k >，设()11,E x y ，()22,D x y ，则122821k x x k −+=+，122421x x k =+，直线1B E的方程为1y x =直线2B D的方程为2y x =设直线1B E 和2B D 的交点为(),Q x y121212x y kx x x +== 把122821kx x k −=−+及122421x x k =+代入上式，得(22432213k k x −+−+==−+，整理得1y =，故点Q 在一条平行于x 轴的直线1y =上，得证．例3、（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −. (1)求椭圆E 的方程及其焦距；(2)过点()2,1P −的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值.【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −，所以有222222224014101411a x a b y b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩；（2）依题意过点()2,1P −的直线为()12y k x −=+，设()11,C x y 、()22,D x y ，不妨令1222x x −<<≤，由()221214y k x x y ⎧−=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+−++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k+⋅=+，直线BC 的方程为1111y y x x −−=，令0y =，解得11111(2)M x x x y k x ==−−+，直线BD 的方程为2211y y x x −−=，令0y =，解得22221(2)N x x x y k x ==−−+， 121221121212121212(2)(2)22()(2)(2)(2)(2)[2()4]M N x x x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x x x +++++=+==−+−+−++−++++，因为212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k +⋅=+，所以22222222161616822141416441616168241414M Nk k k k k k k x x k k k k k k k k ⎛⎫++⋅+− ⎪++⎝⎭+===−−⎡⎤⎛⎫++−+−+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，因为1222x x −<<≤，所以12122112121212(2)(2)2()0(2)(2)(2)(2)(2)(2)M N x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x +−+−=−==<−+−+−++−++−，即M N x x <，于是有()2)(2M N x x =−−−−，即1AM AM AN AN=⇒=.。

高考数学复习----《不定方程》典型例题讲解

高考数学复习----《不定方程》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】C【解析】解：设e ()x x f x =−，则()e 1x f x '=−，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>.故选：C ．例2、（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c −+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b<c<a 【答案】A【解析】22a a −+=，即220a a −+−=，即22a a −=−，2x y −=与2y x =−的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x −+−=在()0,∞+只有一个根a ，令()22x f x x −=+−，()21222204f −=+−=>，()11112202f −=+−=−<，()()120f f <，则12a <<； 33b b +=，即330b b +−=，即33b b =−，由3x y =与3y x =−的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +−=在()0,∞+只有一个根b ，令()33x g x x =+−，()113310g =+−=>，12115330222g ⎛⎫=+−=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<； 4log 4c c +=，即4log 4c c =−，即4log 40c c +−=，由4log y x =与4y x =−的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +−=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+−，()444log 4410h =+−=>， ()4433log 34log 310h =+−=−<，()()340h h <，则34c <<； b a c ∴<<故选：A.。

高考数学复习----《齐次化》典型例题讲解

高考数学复习----《齐次化》典型例题讲解【典型例题】例1、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P ，Q 两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：．所以，则，即：．例2、如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q （均异于点，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线则．由，得：．则，故． 2:4C y x =(4,0)C O 90POQ ︒∠=()()1122:4,,,,PQ x my P x y Q x y =+4x my =+14x my −=244x my y x =+⎧⎨=⎩244x my y x −=⋅210y y m x x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭12121y y x x ⋅=−12121OP OQ y y k k x x ⋅==−OP OQ ⊥90POQ ︒∠=22:12x E y +=(1,1)M k E (0,1)A −()()1122:(1)1,,,,PQ mx n y P x y Q x y ++=21m n +=22(1)112mx n y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩22[(1)1]12x y ++−=22(1)2(1)[(1)]02x y y mx n y ++−+++=2111(12)202y y n m x x ++⎛⎫⎛⎫−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以．即．例2、已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A ，B 两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．【解析】设直线．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：则，则，代入直线，得：显然，直线过定点．1212112221y y m x x n +++==−1212112AP AQ y y k k x x +++=+=22:14x C y +=l 2(0,1)P C 2P A 2P B 1−l :(1)1l mx n y +−=22:14x C y +=22[(1)1]14x y +−+=22(1)2(1)04x y y +−+−=22(1)2(1)[(1)]04x y y mx n y +−+−+−=2111(12)204y y n m x x −−⎛⎫++⋅+= ⎪⎝⎭221212112112P A P B y y m k k x x n −−+=+=−=−+221m n =+:(1)1l mx n y +−=:(21)2(1)2l n x n y ++−=(2,1)−。

2023年高考数学----两角相等(构造全等)的立体几何问题典型例题讲解

2023年高考数学----两角相等（构造全等）的立体几何问题典型例题讲解【规律方法】构造垂直的全等关系【典型例题】例1．如图，已知三棱柱−111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交A B 于E ，交A C 于F ．（1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：M Q ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形， ∴=1B N BM ，四边形1BB NM 为矩形，⊥111A N B C ，∴1//BB MN ，11//AA BB Q ，∴1//AA MN ， ⊥11MN B C Q ，⊥111A N B C ，⋂=1MN A N N ， ∴⊥11B C 平面1A AMN ，⊂11B C Q 平面11EB C F ， ∴平面⊥1A AMN 平面11EB C F ，综上，1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ．（2）解：Q 三棱柱上下底面平行，平面11EB C F 与上下底面分别交于11B C ，EF ，∴11////EF B C BC ，//AO Q 面11EB C F ，⊂AO 面1A MNA ，面⋂1AMNA 面=11EB C F PN ，∴//AO PN ，四边形APNO 为平行四边形， O Q 是正三角形的中心，=AO AB ，∴=13A N ON ，=3AM AP ，===113PN BC B C EF ，由（1）知直线1B E 在平面1A AMN 内的投影为PN ，直线1B E 与平面1A AMN 所成角即为等腰梯形11EFC B 中1B E 与PN 所成角，在等腰梯形11EFC B 中，令=1EF ，过E 作⊥11EH B C 于H ，则===113PN B C EH ，=11B H，=1B E∠==111sin B H B EH B E， ∴直线1B E 与平面1A AMN．例2．如图，在锥体−P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB，==PA PD =2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角−−P AD B 的余弦值．【解析】（1）取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，在∆ABG 中，根据余弦定理可以算出==BG ，发现+=222AG BG AB ，可以得出⊥AD BG ，又//DE BG ∴⊥DE AD ，又=PA PD ，可以得出⊥AD PG ，而⋂=PG BG G ， ∴⊥AD 平面PBG ，而⊂PB 平面PBG ， ∴⊥AD PB ，又//PB EF ， ∴⊥AD EF ．又⋂=EF DE E ， ∴⊥AD 平面DEF ．（2）由（1）知，⊥AD 平面PBG ，所以∠PGB 为二面角−−P AD B 的平面角，在∆PBG 中，==PG ，=BG ，=2PB ，由余弦定理得+−∠==⋅222cos 2PG BG PB PGB PG BG ，因此二面角−−P AD B 的余弦值为．本课结束。

高考数学复习----《斜率之和差商积问题》典型例题讲解

高考数学复习----《斜率之和差商积问题》典型例题讲解【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例1、（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到点)F和直线x =． (1)求曲线C 的方程；(2)记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设曲线C 上一点的坐标为(),x y=，化简得：2214x y −= ；（2）依题意作上图，设PQ 方程为4x my =+ ，()()1122,,,P x y Q x y ，则m 必定是存在的，联立方程22144x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩得2212304m y my ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭ ，12122223,1144m y y y y m m +=−=−− ， ()()221212121212228168,4161144m x x m y y x x m y y m y y m m++=++=−=+++=−−− AP 的方程为()110022y y x x −−=++ ，令x =0，则M 点的坐标为1120,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，N 点的坐标为2220,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，()()()12111212121212121222002211,,0404422424y y x x y y y y k k k k x x x x x x −−++∴===⨯=⨯−−+++++ 2222311341684144241144m m m m −=⨯=−+−−⨯+−− ，是定值；综上，曲线C 的方程为2214x y −=，123144k k =− 是定值.例2、（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．(1)若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；(2)在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为1,0F （），因为直线l 的斜率不为0，所以可设l 的方程为1x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消x ，得2440y my −−=，方程2440y my −−=的判别式216160m ∆=+>，12124,4y y m y y +==−，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x −=⋅==，∴212||2445AB x x m =++=+=，∴214m =，设直线l 的斜率为k ，则10k m =>，所以12m =，所以直线l 的方程为220x y −−=；（2）设()2,2M a a ，1122121122424MA y a y a k x a y a y a −−===−+−，，同理， 242MBk y a =+，又联立11x my x =+⎧⎨=−⎩可得12x y m =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，即点D 的坐标为21,m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以2221MDa m ka +=+， ∵直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，所以21222442122a m a y a y a +⨯=++++恒成立； ∴122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++=++++，又∵12124,4y y m y y +==−，所以221121a a m m a a am ++=++−，()()()221121am m a a a am m +++=+−，()2110a m m ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，因为10m m+≠，所以1a =±，所以存在点1,2M （）或1,2M −（），使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列．例3、（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值.【解析】（1）依题可得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++−=，所以()222121222844,,Δ164101414mk m x x x x k m k k−−+===+−>++，即2241k m +>，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=−−，化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=−−，()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=−++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k −−−−⋅+⋅+=−⨯+++++化简得2260k mk m +−=，所以2m k =−或3m k =，所以直线():2PQ y k x =−或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0−.所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()1212153,0,22APQABPABQB S SSAB y y k x x −=−=−=−52=52==因为Δ0>，且3m k =，所以2150k −>，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以53APQS==，当且仅当97t =，即2114k =时取等号，即APQ △面积的最大值为53.例4、（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点. (1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.【解析】（1，H ⎛ ⎝⎭是椭圆C 上一点，所以22222222123121c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2224,2,2a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=；（2）①因为过点()1,0D 且斜率不为0，所以可设l 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程22142x y +=得()222230t y ty ++−=，方程()222230t y ty ++−=的判别式()2241220t t ∆=++>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12222t y y t +=−+，12232y y t =−+. 两式相除得121223y y t y y +=，()121232ty y y y =+．因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点A 的坐标为()2,0−，点B 的坐标为()2,0，所以1111123y y k x ty ==++，2222221y y k x ty ==−−．从而()()()()1211211212221122313123393323y y y y ty k y y y y k y ty y y y +−−+====++++； ②由①知1231k k =，设1k m =，则23k m =，所以直线AP 的方程为：2y mx m =+，直线BQ 的方程为36y mx m =−，联立236y mx m y mx m =+⎧⎨=−⎩可得46x y m =⎧⎨=⎩，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的坐标为()4,6m ，所以点M 在定直线4x =上.。