热统导论作业(司徒树平)

（一） 已知范氏气体的物态方程为：2

()()a P V b RT V +

-=， （a ）计算范氏气体的内能和熵； （b ）并且求在准静态过程中体积从1V 等温膨胀到2V 时气体所做的功；

（c ）证明可逆绝热方程为：()/V R C T V b C -=

（d ）证明可逆绝热自由膨胀温度变化为：212112V V V V C a T T V -=

-

（二） 证明下列关系：

（a ）V S

U V T P T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （b ）U S P V T ∂⎛⎫=

⎪∂⎝⎭ （c ）U V V

T T P P T V U U ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （d ）1U V V T P P T V C T ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=-

⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （e ）H P P

T V T T V P H H ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （f ）2H P

P T T T V S C V H ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （三）声音在空气中的传播可看成是绝热过程，声速由公式S

P v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ρ决定，其中ρ为空气密度，若空气被看成是理想气体系统，证明声速与温度的关系为m RT

v γ=，其中

V

P C C =

γ，m 是空气的摩尔质量。 （四）系统的Gibbs 函数为(1ln )ln G aT T RT P TS =-+-，其中a 和R 是常数。求系统的物态方程；

（五）系统的Gibbs 函数为5/2(,)ln ()aP G T P RT RT ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦，其中a 和R 是常数。求系统定压比热P C

（六）已知顺磁系统的磁化强度为T

C M H =，H 为磁场，内能密度为4aT U =，（a 为常数）。若维持系统的温度不变，使磁场从零增大到H ，求磁化热。

（七）一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长量x 成正比，即 Ax X -=， 其中比例)(T A 是温度的函数。忽略弹簧的热膨胀，证明弹簧的自由能、熵和内能的表示式为： 22

1)0,(),(Ax T F x T F += dT

dA x T S x T S 2)0,(),(2-= 2)(21)0,(),(x dT dA T A T U x T U -+

=