热统导论作业(司徒树平)

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热统作业

第一章习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。

解：由得：nRT PV = V n R TP P n R T V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=α T PV RnT P P V /1)(1==∂∂=β P Pn R T V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题 1.3在00C 和1n p 下，测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=⨯和717.810T n p κ--=⨯，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至010C 。

问（1）压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100n p ，铜块的体积改多少。

解：根据固体和液体的物态方程：000(,)(,0)[1()]T V T P V T T T k p α=+-- 两边微分：T dVdT k dp Vα=- 如果系统的体积不变，上式为 Td p d Tk α=因为T κα,可近似看作常量，上式积分可得2121()Tp p T T k α-=-代入数据：52174.8510106227.810n n p p p p --⨯-=⨯=⨯ （2）根据物态方程有：2121174()()107.810100 4.0710-5 =4.8510T VT T k p p V α--∆=---⨯⨯-⨯⨯=⨯因此，铜块的体积将增加原体积的44.0710-⨯倍。

习题1.8习题1.16解：理想气体的熵函数可以表示为0ln ln p S C T nR p S =-+ 在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为21lnp p T S C T ∆= 理想气体的熵函数也可表示为0ln ln V S C T nR p S =++ 在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为 21lnV V T S C T ∆= 因此p p VVS C S C γ∆==∆习题1.17解：（1）为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在00C 和0100C 。

热统精要及习题解

热力学系统理论——简要和习题解答吉林大学物理学院参加本书编写的教师和单位（按姓氏笔画排名）崔海宁吉林大学物理学院金康西北大学物理系林晓敏北华大学物理学院刘立华吉林师范大学物理学院李莉莎西北大学物理系裴松皓吉林大学物理学院索辉吉林大学电子学院王磊吉林大学物理学院王荣吉林大学物理学院姚合宝西北大学物理系张冰牡丹江师范学院物理系邹卫东集美大学理学院物理系内容提要及说明本册是作者在吉林大学物理学院教授“热力学与统计物理”课程讲义——“热力学系统理论”的配套书籍．全书内容包括热力学与统计物理第一部和第二部的内容精要以及相关章节的习题详解。

由于第三部和第四部的内容特点和写作方式已经是很简练的了，所以就没有再做一个精要出来；此外，因为第11章的习题和思考题读者完全可以从讲义中找到答案，故我们也没有在此书中给出．本册的最后定稿和修改是由崔海宁、李莉莎、刘立华共同完成的．目录第1章到第9章精要 (1)第1章热力学的基本函数习题解 (17)第2章热力学函数关系习题解 (29)第3章单元系的相变习题解 (40)第4章多元系的复相平衡和化学平衡习题解 (47)第5章系统微观状态的描述和分布习题解 (55)第6章玻耳兹曼统计习题解 (59)第7章玻色统计和费米统计习题解 (67)第8章系综理论习题解 (72)第9章涨落理论习题解 (77)第10 章近平衡不可逆过程热力学习题解 (86)第12章非平衡态统计理论习题解 (90)第13章到第16章磁介质热力学与低温方法习题解 (95)附录I 有势场的粒子数分布 (103)第一章热力学的基本函数本章是热力学与统计物理学的基础，利用在热学中接触过的内容——热力学第零定律、热力学第一定律和热力学第二定律导出热力学基本方程。

要求清楚热力学系统的平衡态及其描述、热、热量、辐射场模型、温度、状态函数特性、准静态功、物态方程、热容量和焓、理想气体的内能、绝热过程、卡诺循环、熵和熵增加原理等内容。

热统练习题

76. 证明 VV V p T C p U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂77. 证明p V T C V U pp p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 78. )1(αT V p H T-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 其中，α为定压膨胀系数。

79. 证明在以T 、V 为自变量时，内能的全微分表达式为dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80. VT V T p T V C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22 81. 理想气体在节流过程中有 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Hp T 82.][1p T p T C V T V V U-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 83． VV ST p C T -V T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂84. Tp p V p -T V T p U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T 85. 对于节流过程，证明][1V T V T C p T p pH -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 86. 证明 0>⎪⎭⎫⎝⎛∂∂UV S 87．证明 p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 88．证明 T VU p T pV T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 89．证明 22p p TC V T p T ∂⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭答案：（76－89）76．证 d U =T d S -p d VV V V V V VU S S T T T p p T p T C p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 77．证 d U =T d S -p d Vp p p p p pU S S T T p T p V V T V T C pV ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ 78．证：Vdp TdS dH +=V p S T p H TT +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂；利用麦氏关系，即可得证79．证 d U =T d S -p d V , 设S=S(T,V),d VTS S S dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80．证因为V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭所以，2V TC S TV T V ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭，又，由麦氏关系 T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，原题得证。

热统习题集

统计物理部分
第六章
1、分别在以下几种情况，证明在到 d 的能量范围内粒子的量子态数。 (1) 在体积 V 内的三维自由粒子
D d
(2) 在面积 S 内的二维自由粒子
2V 3/ 2 2m 1/ 2d 3 h 2 S md h2
1/ 2
D d
F YA T2 T1
6、实验发现，对一橡皮带有如下关系：
3 L0 F AT 1 2 L L T
L0 3 F T AL 1 L L
CO2 -C-O2 =0 1 CO2 -CO- O2 =0 2
H 3.9518 105 J H 2.8288 105 J
试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热。 5、绝热容器中有隔板隔开，一边装有 n1 mol 理想气体，温度为 T ，压强为 p1 ；另一边装有 n2 mol 的理想气体，温度亦为 T ，压强为 p2 。今将隔板抽去， (1) 试求气体混合后的压强； (2) 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变； (3) 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。 6、试根据第三定律证明，在 T 0K 时，表面张力系数与温度无关，即
(1) 若维持体积不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (2) 若维持压强不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (3) 若容器有裂缝，外界压强为 1 pn ，使空气由 0 C 缓慢地加热至 20 C 所需的热量。 8、满足 pV n C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量为
2、求证：
U n T T T ,V V ,n

热统习题解答（全）

热统习题解答（全）第⼀章热⼒学的基本规律1.1 试求理想⽓体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。

解：理想⽓体的物态⽅程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα1.2 证明任何⼀种具有两个独⽴参量T ，P 的物质，其物态⽅程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ，根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态⽅程。

证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(??+??= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代⼊上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=?所以物态⽅程为：CT PV =与1mol 理想⽓体得物态⽅程PV=RT 相⽐较，可知所要求的物态⽅程即为理想⽓体物态⽅程。

1.3在00C 和1atm 下，测得⼀块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。

a 和k 可以近似看作常数。

今使铜加热⾄100C ，问（1）压⼒要增加多少⼤⽓压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压⼒增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475==?=?-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。

热统7,10

3
根据广义力的统计表达式，求出理想气体的物态方程
N N 3 2m p ln Z1 [lnV ln( 2 )] V V 2 h
N ln V N V V
作业：7.1 7.2 自学附录C:统计物理常用积分；
2018/11/18 第七章玻耳兹曼分布 19
定域系统
Z1 l e l
满足经典极限条件的玻色(费米)系统
Z1 l e l
N e Z1
U N ln Z1

N e Z1
U N ln Z1
dpx )
3
由积分公式
I (0)
2018/11/18

0
e
x 2
1 x 2 1 dx e dx 2 2
第七章玻耳兹曼分布 24
V Z1 3 ( e h

2m
2 px
V 2m 3 2 2m 3 2 dpx ) 3 ( ) V( 2 ) h h
ln Z1 d ( N ln Z1 N )
即有热力学有
2018/11/18
ln Z1 dQ d ( N ln Z1 N )
dQ T dS
第七章玻耳兹曼分布 10
说明 β 与1/T属同一微分方程的积分因子，根据积分因子的理论，当微分方程有一个积分因子时，它就有无穷多个积分因子，两个积分因子之间相差一个常数k 该常数称为玻耳兹曼常数，即
1 kT
k 1.3811023 J K 1
两方程比较得
dS Nkd (ln Z1 ln Z1 )
ln Z1 ) 熵的统计表达式 S Nk (ln Z1

10-11热统试卷B卷答案

气体的内能和热容量分别为：
U = −N
∂ Inz 5 Nmgh = NkT − mgh / kT ∂β 2 − 1) (e
2
5 emgh / kT ⎛ mgh ⎞ CV = Nk − Nk ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ kT ⎠ ( emgh / kT − 1)
六、（15 分）解：粒子的能量动量关系为 ε = aP ，
3
+∞ ⎤ 1 ⎡ ⎛ β 2⎞ Px ⎟ dPx ⎥ = 3 ⎢ ∫ exp ⎜ − h ⎣ −∞ ⎝ 2m ⎠ ⎦
∫∫ dxdy ∫
A
h ∞ 0
exp ( − β mgz ) dz
=
1 kT ⎡ 3/2 ⎛ mgh ⎞ ⎤ 2 mkT A 1 exp π − ( ) ⎜− ⎟⎥ h3 mg ⎢ ⎝ kT ⎠ ⎦ ⎣
第 1 页（共Biblioteka 5 页）山巨正则分布，所以从这个意义上说微正则系综应“包含”正则系综或巨正则系综。可见，三个系综之间的关系可谓“你中有我，我中有你，景中有景” 。它们各自选取不同的自变量，等效地处理宏观系统的热力学问题。二、证明题（每题 10 分，共 20 分）
⎛ ∂H 1 ⎜ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂H ⎞ ⎝ ∂S ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =− 1、证明： ⎜ CP ⎛ ∂H ⎝ ∂P ⎠ H ⎝ ∂H ⎠ P ⎝ ∂P ⎠T ⎜ ⎝ ∂T
α V 2 (V − b)2 = βP R T V 3 − 2a (V − b)2
或由 α = κβ P 得 κ =
四、（10 分）解：对于自由电子气有两种不同的自旋态，温度为 T、能量为 ε 的一个量子态上的平均电子数为：
f (ε ) =
1 e
(ε − μ )

热统打印

热统1. 热运动是指构成物质的大量分子的无规则运动,它包括分子的无规则平动、无规则的（转动）和无规则的（振动）。

2.我们把系统与系统之间的热相互作用叫做热接触。

3.热现象的本质是热运动，它是指构成物质的大量分子的（无规则）运动。

4．晶体中离子是有序排列的，晶体中粒子的热运动主要表现为粒子的（无规则热振动）。

5．研究热现象规律的理论有两种，它们分别是（热力学）和（统计物理学）。

6．研究热现象的方法有两种，它们分别称为（热力学）方法和（统计物理）方法。

7、若某一热力学系统既处于力学平衡状态、化学平衡状态和热平衡则称该系统处于热力学平衡态。

8、如果某一热力学系统与外界有物质和能量的交换，则该系统称为（）。

9、设气体的物态方程为PV=RT，则它的体胀系数＝（）。

10、如果某一热力学系统与外界有物质和能量的交换，则该系统称为（）。

11定压膨胀系数的意义是在压强不变的条件下系统体积随温度的相对变化。

12．定容压力系数的意义是在体积不变条件下系统的压强随温度的相对变化。

13．等温压缩系数的意义是在温度不变条件下系统的体积随压强的相对变化。

14．写出德布罗意关系。

15．根据系统与外界的相互作用的不同，可将系统分为孤立系、（封闭系）和___开放______系。

16．孤立系统的__宏观性质___性质不随_时间___变化的状态称为热力学平衡态。

17．描述平衡态的状态参量有四类，它们是力学参量、几何参量、__化学参量_和__电磁参量__。

18．热力学中将四类参量和__温度_______的关系称为物态方程。

19．描述平衡态性质的四类参量和温度的函数关系被称为___状态方程_________________。

20．根据可逆过程的定义，无摩擦的准静态过程是___可逆__过程。

21．自然界中一切与热现象有关的实际宏观过程都是_不可逆__过程；无摩擦的准静态过程是___可逆____过程。

22．循环过程分为正循环和逆循环，前者对应于__热机_____机，后者对应于__致冷机______机。

热统第一章作业答案

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。

解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。

解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量），或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。

确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。

试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2）将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。

2012年新入职大学生热力系统理论培训试卷与答案2

新入职大学生热力系统理论培训试卷2注意事项1、考试时间：45分钟。

2、请首先按要求在试卷的标封处填写您的姓名。

3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写您的答案。

4、不要在试卷上乱写乱画，不要在标封区填写无关的内容。

一、填空题（每题2分,共36分）1、锅炉与汽轮机之间的蒸汽管道与通往各用汽点的支管及其附件称为（发电厂主蒸汽系统），主蒸汽管道输送的工质（流量大，参数高），所以对金属材料要求也高，它对发电厂运行的安全性、可靠性和经济性的影响大、因此主蒸汽系统应力求简单、安全、可靠，要便于安装、扩建，并且使投资及运行费用较小。

主蒸汽管道是指（锅炉过热器）出口输送新蒸汽到（汽轮机高压主汽门）的管道，同时还包括管道上的（疏水）管道以及锅炉过热器出口的（安全阀）及（排汽）管道。

2、我公司主蒸汽系统采用（单管—双管）布置。

主蒸汽由（锅炉过热器出口集箱）接出一根单管通往（汽轮机房），在进汽轮机前用一个（45 斜三通）分为两根管道，分别接至汽轮机（高压缸的左右侧主汽门）。

主蒸汽管道上不安装流量测量装置，主蒸汽流量根据（主蒸汽压力）与（汽轮机调节级后的蒸汽压力）之差确定。

这样做可减小压力损失，提高热经济性。

3、主蒸汽管道上设有畅通的疏水系统。

它有两个作用。

其一（是在停机后一段时间内，及时排出管道内的凝结水）。

另一个更重要的作用是（在机组启动期间使蒸汽迅速流经主蒸汽管道，加快暖管升温，提高启动速度）。

4、主蒸汽管道上设有三个疏水点，一处位于（斜三通前的主管上），另外两处分别位于（两个高压主汽门前）。

每根疏水管上设置一个（隔离）阀和一个（气动薄膜隔离）阀。

疏水最终都排至（汽轮机本体疏水扩容器）。

为了增加疏水阀的可靠性，此阀门设计为失气则（开）。

5、冷再热蒸汽主管上装有气动薄膜逆止阀。

其主要作用是（防止高压旁路运行期间排汽倒入汽轮机高压缸）。

气动控制能够保证该阀门（动作可靠迅速）。

气动薄膜逆止阀的出口管道引出一路支管，将冷再热蒸汽送回（逆止阀进口的冷再热蒸汽管道），管道上安装两只电动隔离阀，称为（倒暖阀）。

热统习题答案精简版

1.3 解：（a ）根据1.2题式（2），有.T dVdT dp Vακ=- .T dp dT ακ= ()2121.T p p T T ακ-=- 52174.851010622.7.810n p p p --⨯-=⨯=⨯（b ）()()21211.T VT T p p V ακ∆=--- （4） 57144.8510107.8101004.0710.VV ---∆=⨯⨯-⨯⨯=⨯1.16 解： 0ln ln .p S C T nR p S =-+ （1）在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为21ln.p p T S C T ∆= 0ln ln .V S C T nR V S =++ （2）在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为21ln .V V T S C T ∆=.p p V V S C S C γ∆==∆ （4） 1.19解： 122.T TT T l L -=+ （1）这小段由初温T 变到终温()1212T T +后的熵增加值为121221222ln ,T T l p p TT T dT dS c dl c dl T T T T l L++==-+⎰（2）根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为()12122012121212222120121122121212112212ln ln 2ln ln 2ln ln ln 2ln ln ln 12lL p Lp p p p p S dS T T T T c T l dlL c T T T T T T T T c L T l T l T l T T L L L L c L T T c L T T T T T T T T T T T T T T C T T ∆=⎡+-⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+⎡---⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=---+-+-=-+-⎰⎰.⎛⎫⎪⎝⎭式中p p C c L =是杆的定压热容量。

热力学统计物理课后答案2

第六章近独立粒子的最概然分布6.1中试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d .VD m hπεεεε=解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h （1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h （2）上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为.cp ε=试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p h π （1）将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=（2）6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为ll l a e αβεω--=和,l l l a e αβεω''--''=其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,ll l l l lllllaN a N a a Eεε''==''+=∑∑∑∑ （1）才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}l a '时各自的微观状态数为!,!!.!l l a l ll la l ll lN Ωa N Ωa ωω'='''='∏∏∏∏ （2）系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得()()In ln ln ln ln ln ln ln ,l l l l l l l l llllΩΩΩN N a a a N N a a a ωω'=⋅''''''=-++-+∑∑∑∑为求使()0ln Ω为极大的分布，令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使()0δln 0,Ω=即()0δln ln δln δ0.lll l l l ll a a Ωa a ωω⎛⎫'⎛⎫'=-- ⎪=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭∑∑ 但这些δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件δδ0,δδ0,δδδ0.l ll ll l l l llN a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得()0δln δδδln δln δ0.l ll l l l l l l l ΩN N Ea a a a ααβαβεαβεωω''---⎛⎫'⎛⎫'''=-++- ++⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭=∑∑根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得ln 0,ln 0,ll ll l l a a αβεωαβεω++='''++='即.ll l l l l a e a e αβεαβεωω--''--=''= （4）拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同，但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解: 当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,ll llaN a N =''=∑∑l llllla a E εε''+=∑∑ （1）才有可能实现.玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}l a '时，其微观状态数分别为()()()1!,!1!.!!l l ll l l ll l l a Ωa Ωa a ωωωω+-=-''='''-∏∏系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得()()()()()0ln ln ln ln ln ln ln .l l l l l l l l llllllllllΩa a a a a a a a ωωωωωωωω=++--+⎡⎤⎣⎦''''''''----⎡⎤⎣⎦∑∑令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使()0δln 0,Ω=即()()()0ln δln δln δ0.l l l l l l l l l l a a Ωa a a a ωω''-+'=+'=∑∑ 但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件δδ0,δδ0,δδδ0.l ll ll l l l llN a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得()()()δln δδδln δln δ0.l l l l l l l l l l l l ΩN N Ea a a a a a ααβωωαβεαβε''---⎛⎫''-+⎛⎫ ⎪'''=---+-- ⎪ ⎪'⎝⎭ ⎪⎝⎭=∑∑根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得ln 0,ln0,l ll ll l l l a a a ωαβεωαβεω+--=''-''--='即,1.1ll ll ll a ea e αβεαβεωω--''--=-''=+ （4）拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α和α'不同，但β相等.第七章玻耳兹曼统计7 7.2 试根据公式lllp a Vε∂=-∂∑证明，对于相对论粒子()122222xyzcp cnn nLπε==++, (),,0,1,2,,x y z n n n =±±有1.3Up V=上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()122222x y zn n nxyzcnn nLπε=++ (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为13,l aV ε-= （2）其中()122222.xyza c n n nπ=++由此可得4311.33l l aV V Vεε-∂=-=-∂ （3）代入压强公式，得1.33l ll l llUp a a V V V εε∂=-==∂∑∑ （4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为ln ,s s sS Nk P P =-∑式中s P 是粒子处在量子态s 的概率，1,s ss e e P N Z αβεβε---==s∑是对粒子的所有量子态求和.对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？解: 根据式（6.6.9），处在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为.s s f e αβε--= （1）以N 表示系统的粒子数，粒子处在量子态s 上的概率为1.s ss e e P N Z αβεβε---== （2）显然，s P 满足归一化条件1,s sP =∑ （3）式中s∑是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为.s s sE P ε=∑ （4）根据式（7.1.13），定域系统的熵为()()1111ln ln ln ln s s sS Nk Z Z Nk Z Nk P Z βββεβε⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭=+=+∑ln .s s sNk P P =-∑ （5）最后一步用了式（2），即1ln ln .s s P Z βε=-- （6）式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的熵等于ln .s s sk P P -∑ 它取决于粒子处在各个可能状态的概率s P . 如果粒子肯定处在某个状态r ，即s sr P δ=，粒子的熵等于零. 反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（Shannon ）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点. 甄尼斯（Jaynes ）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出11ln ln ln !,S Nk Z Z k N ββ⎛⎫∂=-- ⎪∂⎝⎭上式可表为0ln ,s s sS Nk P P S =-+∑ （7）其中()0ln !ln 1.S k N Nk N =-=--因为,s s f NP =将式（7）用s f 表出，并注意,ssfN =∑可得ln .s s sS k f f Nk =-+∑ （8）这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较.7.6 晶体含有N 个原子. 原子在晶体中的正常位置如图中的“O ”所示. 当原子离开正常位置而占据图中的“⨯”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔（Frenkel ）缺陷.（a ）假设正常位置和填隙位置都是N ，试证明，由于在晶体中形成n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于()!2In.!!N S k n N n =-（b ）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u . 试由自由能F nu TS =-为极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为2u kTn Ne-≈ （设n N <<）.解: 固体中原子的相互作用使固体形成规则的晶格结构. 晶格的格点是原子的平衡位置. 当所有原子都处在其平衡位置时，固体的能量最低. 绝对零度下物质将尽可能处在其能量最低的状态. 由于量子效应，绝对零度下原子并非静止在格点上而是围绕格点作零点振动. 温度升高时，一方面晶格振动会随温度升高而变得剧烈；另一方面有的原子会离开其正常的格点位置占据填隙位置，有的原子离开正常的格点位置占据晶体表面的格点位置而形成新的一层，使固体出现缺陷，前者称为弗伦克尔缺陷，后者称为肖脱基（Shottky ）缺陷. 本题讨论弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷将在7.7题讨论.（a ）设晶体含有N 个原子，晶格中正常的格点位置亦为N . 当1N >>时可以认为填隙位置与正常位置数目相同. 当固体的N 个正常位置出现n 个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有()!!!N n N n -个微观状态. 同样，由于填隙位置的不同，也可以有()!!!N n N n -个微观状态. 因此当固体中出现n 个缺位和n 个填隙原子时，可能的微观状态数为()()!!,!!!!N N Ωn N n n N n =⋅-- （1）形成弗伦克尔缺陷导致的熵为()ln !2ln.!!S k ΩN k n N n ==- （2）（b ）以u 表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差. 形成n 个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为.U nu = （3）自由能的改变为()()()!2ln!!2ln ln ln .F nu TSN nu kT n N n nu kT N N n n N n N n =-=--=-----⎡⎤⎣⎦ （4）假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求0.Fn∂=∂ 由式（4）得2ln 0,F N nu kT n n∂-=-=∂ 即ln,2N n un kT-= 由于n N <<，上式可以近似为2e.u kTn N -≈ （5）实际固体中u 的典型值约为1eV ，在300K 时，有208.7e 10.nN--≈= 高温下比值会增大.上述讨论中假设形成缺隐时固体的体积不变. 在这假设下应用了自由能判据，u 也成为与温度无关的常量.讨论中也忽略了形成缺陷与晶格振动的相互影响. 这些假设都是近似成立的.7.10 气体以恒定速度0υ沿z 方向作整体运动，求分子的平均平动能量.解: 根据7.8题式（9），以恒定速度0υ沿z 方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为()2220322e d d d .2x y z m υυυυkT x y z m N υυυkT π⎡⎤-++-⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分子平动量的平均值为()()()22202220322222122222221e d d d 22111e d e d e d .2222x y z x y z m υυυυkT x y z x y z m m mυυυυkT kT kTx x y y z z m m υυυυυυkT m m υυm υυm υυkT εππ⎡⎤-++-+∞⎢⎥⎣⎦-∞----+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰上式头两项积分后分别等于12kT ，第三项的积分等于()()()()222z 000122222200z 022001e d 2e d e d 2211.22z z m m m υυυυυυkT kT kTz z z z m m υυυυυυυυkT kT m υm υπ------+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎰⎰⎰因此，2031.22kT m υε=+ （2）式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量32kT 及整体运动能量2012m υ之和.重 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率m υ和方均根速率s .υ解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为()222e d d .2x y m υυkT x y m υυkTπ-+ （1）速率分布为222e d .2mυkT m υυkTππ- （2）平均速率为2220ed m υkTm υυυkT-+∞=⎰=（3）速率平方的平均值为22320e d 2.m υkTm υυυkT kT m -+∞==⎰因此方均根速率为s υ==（4）最概然速率m υ条件22d e 0d m υkTυυ-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭确定. 由此可得m υ=（5）值得注意，上述,,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和24d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.12 根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度21r =-υυυ和相对速率r r υ=υ的概率分布，并求相对速率的平均值.r υ解: 根据麦克斯韦速度分布，分子1和分子2各自处在速度间隔1d υ和2d υ的概率为12d d d W W W =⋅221213222212e d e d .22m υm υkTkT m m kT kT ππ--⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭υυ （1）上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以c υ表示质心速度、r υ表示相对速度，则112212,c m m m m +=+υυυ21.r =-υυυ （2）在12m m m ==的情形下，上式简化为()12211,2.c r =+=-υυυυυυ 容易验明，两种描述给出的动能K 相同，即222211221111.2222c r K m υm υM υυμ=+=+ （3）式中121212,,M m m m m m m μ=+=+分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在12m m m ==的情形下，有2,.2M m m μ==根据积分变换公式12d d d d ,c r J =υυυυ （4）可以证明1J =，所以式（1）也可表达为223322v22d ed ed 22c rrm υυd kTkT c r M W kT kT μμππ--⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭υυd d ,c r W W = （5）其中相对速度r υ的概率分布为2322d e d .2rυkTr r W kT μμπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭υ （6）相对速率的分布为23222r 4e d .2rυkT r υυkT μμππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭（7）相对速率r υ的平均值为2323204ed 2rυkTr r rυυυkT μμππ-+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰= （8）式中υ=.7.13 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与d υυ+之间的分子数为()23232d ed .2mυkT m Γυn υυkT π-⎛⎫=π ⎪⎝⎭解: 参照式（7.3.16），单位时间内碰到法线方向沿z 轴的单位面积器壁上，速度在d d d x y z υυυ范围内的子数为d d d d .z x y z Γf υυυυ= （1）用速度空间的球坐标，可以将式（1）表为2d cos sin d d d .Γf υυυθθθϕ= （2）对d θ和d ϕ积分，θ从0到π,2ϕ从0到2π,有π2π20sin cos d d π.θθθϕ=⎰⎰因此得单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与d υυ+之间的分子数为()23232d πed .2mυkT m Γυn υυkT π-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）7.14 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量.解: 7.13题式（3）已求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在υ至υd υ+范围的分子数为()23232d πe d .2πm υkT m Γυn υυkT -⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出. 当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数. 因此在射出的分子束中，分子的平均速率为()()224200320d e d d ed m υkTm υkTυΓυυυυΓυυυ-+∞+∞+∞-+∞==⎰⎰⎰⎰=（2）速率平方的平均值为225220320e d ed m υkTm υkTυυυυυ-+∞-+∞=⎰⎰4kTm=（3）即速率的方均根值为s υ==（4）平均动能为212.2m υkT = （5）上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值. 原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使式（1）含有因子3υ，而平衡态分子速率分布（7.3.9）含因子2υ的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()22221,2x y z p p p ax bx mε=++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得出212ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为()222221.224x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ （1）在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知()22222124x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭22.4b kT a=- （2）7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵.解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以ω表示振动的圆频率，振动能级为1,0,1,2,2n n n εω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）振动配分函数为()1v 21012v1e,1e 1ln Z ln 1.2n n Z ee βωβωβωβωβω⎛⎫∞-+ ⎪⎝⎭=---==-=---∑ （2）双原子理想气体的熵为()v v v 11ln ln Z ln 1e e 1S Nk Z Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦v v vln 1e ,e 1TT T Nk θθθ-⎡⎤⎢⎛⎫⎥=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦（3）其中v kωθ=是振动的特征温度.7.19 对于双原子分子，常温下kT 远大于转动的能级间距. 试求双原子分子理想气体的转动熵.解: 在kT 远大于转动能级间距的情形下，可以用经典近似求转动配分函数1.r Z 根据式（7.5.23）（令其中的0h h =），有222112sin 121e d d d d p p rI Z p p h θϕβθθϕθϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎰22.I β= （1）双原子分子理想气体的转动熵为112lnZ lnZ 2ln 1r r S Nk I Nk βββ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ln 1.r T Nk θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）式中22r Ikθ=是转动特征温度，2I r μ=是分子绕质心的转动惯量，1212m m m m μ=+是约化质量.补充题 1 试根据麦克斯韦速度分布律证明，速率和平均能量的涨落为()()()22283,π3.2kT υυm kT εε⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=解：速率υ的涨落为()()222.υυυυ-=- （1）式（7.3.14）和（7.3.13）已给出()223,8,πkTυmkT υm== 所以()283.kT υυmπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2）平动能量ε的涨落为()()222.εεεε-=- （3）将麦克斯韦速率分布（7.3.9）用平动能量212m υε=表出，可得气体分子的平动能量在ε到d εε+的概率为12d .kTεεε-（4）由此可得325223ed ,215ed ,4kTkTkT kT εεεεεεεε-+∞-+∞====⎰所以()()223.2kT εε-=（5）补充题2 体积为V 的容器保持恒定的温度T ，容器内的气体通过面积为A 的小孔缓慢地漏入周围的真空中，求容器中气体压强降到初始压强的1e所需的时间.解: 假设小孔很小，分子从小孔逸出不影响容器内气体分子的平衡分布，即分子从小孔逸出的过程形成泻流过程.以()N t 表示在时刻t 容器内的分子数. 根据式（7.3.18），在t 到t dt +时间内通过面积为A 的小孔逸出的分子数为()1d ,4N t υA t V其中υ=是容器内气体分子的平均速率. 容器温度保持不变，υ也就保持不变. 因此，在dt 时间内容器中分子数的增量为()1d d .4N t N υA t V=- （1）将上式改写为d 1d ,4N υAt N V=- 积分，得()40e,υA t VN t N -= （2）式中0N 是初始时刻容器内的分子数. 根据物态方程,pV nkT =在,V T 保持不变的情形下，气体的压强与分子数成正比. 所以在时刻t 气体的压强()p t 为()40e,υA t Vp t p -= （3）0p 是初始时刻的压强. 当14υAt V=时，容器内的压强将降到初始时刻的1e，所需时间为4.Vt υA=（4）补充题 3 以()11,,;,r r q q p p ε表示玻耳兹曼系统中粒子的能量，试证明,iij jx kT x εδ∂=∂ 其中,i j x x 分别是2r 个广议坐标和动量中的任意一个，上式称为广义能量均分定理.解: 根据玻耳兹曼分布，有()(),,e d .ed q p ijiq p jx x x x βεβεεωεω--∂∂∂=∂⎰⎰ （1）式中11d d d d d r r q q p p ω=是μ空间的体积元. 令()()d d d ,d j j j x ωωω=是除d j x 外其余21r -个广义坐标和动量的微分. 将式（1）改写为()()(),,e d d ,ed q p ij j jiq p jx x x x x βεβεεωεω--∂∂∂=∂⎰⎰ （2）并对其中的j dx 进行分部积分，得11e d e e d ,ji ij i j j j x x x x x x x x βεβεβεεββ---∂∂=-+∂∂⎰⎰ 其中第一项要将j x 的上下限代入. 如果j x 是粒子的动量，将上下限±∞代入后ε趋于无穷，使第一项为零；如果j x 是粒子的坐标，其上下限是±∞或器壁坐标，代入后ε也趋于无穷，亦使第一项为零. 考虑到iij jx x δ∂=∂，即有1d e d .j ij ij j jx x x x βεεδβ-∂=∂⎰⎰ （3）代回式（2），得.iij jx kT x εδ∂=∂ （4）式（4）称为广义能量均分定理. 假如ε中含有i x 的项可以表为平方项，即()()21112,,,,,,.i i i r q p ax x x x x εε-+'=+ （5）由式（4）得21.2i ax kT =（6）这正是能量均分定理的结果. 应用广义能量均分定理不要求能量为平方项. 下题是一个例子.补充题4 已知极端相对论粒子的能量-动量关系为()12222.xyzc p p pε=++假设由近独立、极端相对论粒子组成的气体满足经典极限条件，试由广义能量均分定理求粒子的平均能量. 解: 由极端相对论粒子的能量-动量关系()12222xyzc p p pε=++ （1）可得()12222,,,.iix y zcp i x y z p pp pε∂==∂++ （2）显然()12222.εεεε∂∂∂++=++∂∂∂=x y z x y z x y zp p p c p p p p p p 而根据补充题3的广义能量均分定理，有,xy z x y zp p p kT p p p εεε∂∂∂===∂∂∂ （3）所以3.kT ε= （4）补充题5 如果原子基态的自旋角动量S 和轨道角动量L 不等于零，自旋-轨道耦合作用将导致原子能级的精细结构. 考虑能级的精细结构后，电子运动的配分函数为()121e,J e kTJZ J ε-=+∑其中J ε表示精细结构能级，J 是原子的总角动量量子数，21J +是能级J ε的简并度. 试讨论电子运动对单原子理想气体热力学函数的影响.解：自旋轨道耦合来自电子自旋磁矩与电子轨道运动所产生磁场的作用，这是一个相对论效应. 在中心力场中运动的电子，其自旋-轨道耦合能量的表达式为(),r ξ⋅l S （1）式中l 和S 分别是电子轨道角动量和自旋角动量，r 是电子的径向坐标，()2211,2dVr m c r drξ=（2）其中()V r 是电子所处的中心势场. 自旋-轨道耦合能量的大小可以估计如下：令 ()2,e V r r≈-则()2222322223~~1~27137~1.410,e r m c ae e a c eV eV ξ-⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⨯l S其中22a me =是玻尔半径，2e c是精细结构常数，l 和S 的大小均佑计为. 由此可知，自旋-轨道耦合能量远小于电子在中心势场中运动的能量，它使中心势场中的能级产生分裂，形成能级的精细结构.一般来说原子中含有若干个电子. 处在内部满壳层的电子的轨道角动量和自旋角动量之和均等于零，因此原子的电子状态主要取决于不满壳层的电子在原子实产生的势场中运动. 此外还存在电子之间的库仑相互作用和前述的自旋-轨道耦合作用. 所以不满壳层电子的能量（哈密顿量）可以表示为()()220,24i i i i i i i j i ijp e H V r r m r ξπε<⎡⎤=+++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑l S （3）其中i 是不满壳层电子的指标. 第一项()22i i p V r m+是i 电子的动能及其在原子实势场中的势能，i∑表示对各电子求和. 由于()i V r 是球对称的中心势场，所以它只与i r 的大小有关，与方向无关，具有旋转不变性. 第二项204ije r πε是,i j 两个电子的库仑相互作用能量，与两电子的距离ij r 有关，i j<∑表示对各电子对求和. 第三项()i i i r ξ⋅l S 是i 电子的自旋-轨道耦合能量，i∑表示对各电子求和.作为零级近似，暂不考虑式（3）中的后两项，称为单电子近似. 在单电子近似下，每一电子在原子实产生的中心势场中独立地运动，其轨道角动量量子数i l 是好量子数. 轨道角动量的平方等于()21i i l l +. 对于给定的i l ，轨道角动量在z 方向的投影为,iil l m h m 的取值为,1,,,i i i l l l --共21i l +个可能值. 由于哈密顿量的第一项不含自旋变量，自旋角动量是守恒量. 电子自旋角动量的平方为()211,;2i i i s s s +=自旋角动量在z 方向的投影为1,.2s s m m =±如果电子之间的库仑相互作用能量大于自旋-轨道耦合能量，进一步的近似要计入电子之间的库仑相互作用. 计及电子间的库仑作用后，对单个电子来说已不存在旋转不变性，i l 已不是好量子数. 但当所有电子共同旋转一个角度θ时，各电子对的距离ij r 是保持不变的，因此哈密顿量（3）的头两项具有整体的旋转不变性. 以i i=∑L l （4）表示总的轨道角动量，总轨道角动量量子数L 是好量子数. 总角动量的平方等于()21L L +，总角动量在z 方向投影的可能值为,L L M M 的可能值为,1,,.L L L -- 计及库仑作用后，哈密顿量仍不含自旋变量，所以总自旋角动量是守恒量，其平方等于()21S S +，总自旋在z 方向的投影为,s s M M 的取值为,1,,.S S S -- 通常用量子数L ，S 来表征原子的电子状态，在给定L ，S 下，由于M L 和M S 的不同，简并度为()()2121.L S ++原子的电子状态也可以用轨道量子数L ，自旋量子数S ，总角动量量子数J 及其在z 方向的投影M J 表征. J 的可能值为,1,,,L S L S L S J ++--给定后M J 的可能值为,1,,J J J --，共有21J +个可能值. 上述两种描述给出的量子态数应该相同. 可以证明，()()()212121.L SJ L SJ L S +=-+=++∑因为()22222,=+=++⋅J L S L S L S即()2221,2⋅=--L S J L S （5）所以自旋-轨道耦合能量可以表为()()()21111,2J A J J L L S S ε=+-+-+⎡⎤⎣⎦ （6）A 是一个常量，视不同原子而异.由式（6）可知，自旋-轨道耦合能量取决于总角动量量子数J ，轨道角动量量子数L 和自旋量子数S ，但与M J 无关，因此当L ，S ，J 给定后，能级J ε的简并度为2 1.J + 根据式（7.1.2），电子运动的配分函数1e Z 为()121J e kTJZ J eε-=+∑ （7）如果kT 远大于所有的J ε，即J kT ε>>，使式（7）约化为()121e JZ J =+∑()()2121.L S =++ （8）1e Z 既然是常量，电子运动对气体内能和热容量自然没有贡献. 可以这样理解，在J kT ε>>的情形下，这些能级能量的差异不影响电子在其中的分布概率，电子处在这些能级的概率是相同的，且不随温度升高而改变. 气体温度升高时，也不吸收能量，但由式（7.1.13）知，电子运动对气体的熵贡献一个因子()()ln 2121,Nk L S ++⎡⎤⎣⎦ （9）这是由于气体可能的微观状态数增加为()()2121L S +⋅+倍的缘故. 如果kT 远小于精细结构的能级间距J ε∆，式（7）的求和可以只保留0J ε=的最低能级项，这时，有()121.e Z J =+ （10）在这情形下，电子将被冻结在最低能级，对气体的内能和热容量也滑贡献，但对熵贡献一个因子()ln 21.Nk J + （11）前面只讨论了两个极限情形. 如果kT 与J ε∆可以比拟，电子运动对气体内能、热容量和熵的贡献将与温度有关. J ε∆的大小取决于原子的结构. 例如，O 原子的基态1,1,L S J ==的可能值为2，1，0，相邻两精细结构能级差的特征温度为230K 和320K ；Cl 原子的基态11,,2,2L S S J ===的可能值为31,22，能级差的特征温度为1300K ；Fe 原子2,2,L S J ==的可能值为4，3，2，1，0，相邻能级差的特征温度在600K 至1400K 之间.最后说明一点. 上述电子角动量之间的耦合方式称为L S -耦合. 它适用于电子间的库仑作用能量大于自旋-轨道耦合能量的情形. 在相反的情形下，各电子的轨道与自旋角动量先耦合成单电子的总角动量i j ，然后各电子再耦合为原子的总角动量J ，称为J J -耦合. 不太重的元素，均属于L S -耦合.补充题 6 在温度足够高时，需要计及双原子分子振动的非简谐修正，振动能量的经典形式为()v 22341,,22K p q bq cq b c εμ=+-+为正式中最后两项是非简谐修正项，其大小远小于前面两项. 试证明，双原子分子气体的振动内能和热容量可表示为v 22v2,2,VU NkT Nk T C Nk Nk T δδ=+=+其中232153,2b c K K δ=-并证明两核的平均距离r 与温度有关，023,br r kT K=+0r 是两核的平衡间距.解：双原子分子中两原子的相互作用势V 是两核距离的函数. 势能曲线()V r 的典型状如上图的实线所示. 可以将()V r 在其极小点0r 附近作泰勒展开，有()()()()234000012V r V K r r b r r c r r =+---+-+（1）注意0r dV dr=，因而展开式不含一级项，其中0r 是两核的平衡间距.如果忽略展开式的第三、四项，势能曲线将如上图中的虚线所示，相当于两原子相对作简谐振动. 令0q r r =-表示两核距离与平衡间距的偏离，则势能可表示为()234.2K V q q bq cq =-+ （2）计及非简谐项后，振动配分函数为223422v 11e d d .p K q bq cq Z p q hβμ⎛⎫-+-+ ⎪+∞+∞⎪⎝⎭-∞-∞=⎰⎰ （3）由于非简谐修正的能量远小于简谐振动的能量，在时dq 的积分中可以对被积函数作近似：23422342262e 1e1.2K q bq cq K q bq cq b q βββββ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭-⎛⎫≈+-+⎪⎝⎭于是振动配分函数近似为212v 342262121122222321e1d 222311511,2K q Z bq cq b q q c b K K K βπμββββπμπββββ+∞--∞⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰则122v 1321223221531ln ln ln ln 1221531ln ln .2b c Z h K K K b c h K K K πμββπμββ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≈-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦振动内能为v v 12ln U NZ N N βδββ∂=-∂=+22.NkT Nk T δ=+ （4）振动热容量为v 22,V VU C Nk Nk T T δ∂⎛⎫==+ ⎪∂⎝⎭ （5）其中232153.2b c K K δ=-两核的平均距离为()()002e d 3.e d V q V q q q br r r kT Kqββ+∞--∞+∞-∞=+=+⎰⎰（6）在计算式（6）的积分时作了与前面相同量级的近似. 式（6）表明，双原子分子的长度随温度而增加. 值得注意，在简谐近似()0b c ==下，0,r r =即分子不会发生热伸长. 这一结论也适用于晶体. 晶体中原子在其平衡位置附近作微振动，简谐近似下晶体也不会发生热膨胀. 晶体的热膨胀是原子振动的非简谐性引起的.前述是经典理论，相应的量子理论可参阅久保亮五. 统计力学. 徐振环译，徐锡申校. 北京：高等教育出版社，1985. 第三章习题[B]15.补充题7 顺磁固体()()4223Gd SO 8H O ⋅的顺磁性来自3+Gd 离子.3+Gd 离子基态的谱项为87270,.2S L J S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 试求在高温和低温极限下()()4223Gd SO 8H O ⋅的磁化率.解：电子自旋磁矩s μ与自旋角动量S 之比为,seSmμ=-（1）而电子轨道磁矩L μ与轨道角动量L 之比为.2LeL mμ=-（2）如果原子的自旋角动量和轨道角动量都不为零，原子磁矩是自旋磁矩与轨道磁矩之和. 以J 表示原子的总角动量，.J L S =+原子的磁矩可以表示为,2e g J m μ⎛⎫=-⎪⎝⎭（3）式中()()()()1111,21J J S S L L g J J +++-+=++ （4）称为朗德g 因子. ,J L 和S 分别是总角动量、轨道角动量和自旋角动量的量子数.原子磁矩在z 方向的投影为,2z J e g m m μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（5）J m 的可能值为,1,,1,.J J J J --+-处在z 方向外磁场B 中，原子（离子）的势能为,Jm B J B g Bm εμμ=-⋅= （6）其中2B emμ=是玻尔磁子. 因此在外磁场中顺磁性固体的配分函数为 1emJJ Jm JZ βε-=-=∑()1e ee ,J J J ηηη---=+++ （7）式中.B g B ηβμ= 式（7）是等比级数，其和为()11122122ee ee1e ee J J J JZ ηηηηηηη⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭---==--1sinh 2,1sinh 2J ηη⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫ ⎪⎝⎭（8）则有111ln lnsinh ln sinh .22Z J ηη⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦根据式（7.8.2），顺磁性固体的磁化强度M 为。

热统第七八章作业

7.1 试根据公式lllp a Vε∂=-∂∑证明，对于非相对论粒子 ()222221222x y z p n n n m m L πε⎛⎫==++ ⎪⎝⎭h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L 有2.3Up V=上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()2222122x y zn n n x y z n n n m L πε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L （1）为书写简便起见，我们将上式简记为23,l aV ε-= （2）其中3V L =是系统的体积，常量()()222222xy z a nn n mπ=++h ，并以单一指标l代表,,x y z n n n 三个量子数. 由式（2）可得511322.33aV V Vεε-∂=-=-∂ （3）代入压强公式，有22,33l ll l llUp a a V VVεε∂=-==∂∑∑ （4）式中l l lU a ε=∑是系统的内能.上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能.7.2 试根据公式lllp a Vε∂=-∂∑证明，对于相对论粒子 ()122222x y z cp c n n n Lπε==++h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L有1.3Up V=上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()122222x y zn n nx y z c n n n Lπε=++h (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L （1）用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为13,l aV ε-= （2）其中()122222.xyza c n n nπ=++h由此可得4311.33l l aV V Vεε-∂=-=-∂ （3）代入压强公式，得1.33l ll l llUp a a V V V εε∂=-==∂∑∑ （4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率m υ和方均根速率s .υ解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为()222e d d .2x y m υυkT x y m υυkTπ-+ （1）速率分布为222e d .2m υkTm υυkTππ- （2）平均速率为2220ed m υkTmυυυkT-+∞=⎰=（3）速率平方的平均值为22320e d 2.m υkTm υυυkT kT m -+∞==⎰因此方均根速率为s υ==（4）最概然速率m υ条件22d e 0d m υkT υυ-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭确定. 由此可得m υ=（5）值得注意，上述,,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和24d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()22221,2x y z p p p ax bx mε=++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得出212ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为()222221.224x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ （1）在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知()22222124x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭22.4b kT a=- （2）7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵.解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以ω表示振动的圆频率，振动能级为1,0,1,2,2n n n εω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭h L （1）振动配分函数为()1v 21012v1e,1e 1ln Z ln 1.2n n Z ee βωβωβωβωβω⎛⎫∞-+ ⎪⎝⎭=---==-=---∑h h h h h （2）双原子理想气体的熵为()v v v 11ln ln Z ln 1e e 1S Nk Z Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦h h hv v vln 1e ,e 1TT T Nk θθθ-⎡⎤⎢⎛⎫⎥=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦（3）其中v kωθ=h 是振动的特征温度. 7.20 试求爱因斯坦固体的熵.解: 根据式（7.7.2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为()113lnZ lnZ 3ln 1e .e 1S Nk Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦h h h8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e 1c kT L m n hεε+∞=-⎰ （2）二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x----==+++--L 则d 111e 123xx +∞=+++-⎰L 11.n n∞==∑ （4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.7 计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a ）温度为1000K 的平衡辐射.（b ）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为()223d d .πV D c ωωωω=（1）温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=-h （2）因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=-⎰h （3）引入变量x kTω=h ，上式可表示为()3223033233d πe 12.404.πx V kT x xN T c kVT c +∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭=⎰h h或()332332.404.πk n T T c =h（3）在1000K 下，有163210.n m -≈⨯在3K 下，有835.510.n m -≈⨯8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值.解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cpp p h βθθϕ- （1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元. 以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数. 它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数. 因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cp p p c cp h βθθϕθ⋅⋅- （2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p p J h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅-=-⎰⎰⎰⎰ 令x cp β=，上式可表示为4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x x J h c c kT h c β+∞⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰或24423π.60u k J T c =h （3）在6000K ，有727.1410J m ;u J -=⨯⋅在1000K ，有520.5510J m .u J -=⨯⋅8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p => （1）其中F p 是费米动量，即0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为FF34F30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp hp p V p p p h ===⎰⎰（2）因此电子的平均速率为F F 33.44p p υυm m === （3） 8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6.4式（2）的结果乘以因子2. 0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch μεεμ==⋅⎰ 故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34U p n V μ== （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m h πεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()02204π4πd 0,A A N m m h h μεμ==⎰ 即()220.4π4πh N h m A mμ== （3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m N U m h h μεεμμ===⎰ （4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5）因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ=（6）。

《热统》计算题汇总

三、证明、推算题：(9分)1、满足C PV n =的过程为多方过程，其中常熟n 称为多方指数。

试证明：理想气体在多方过程中的热容n C 为V n C n n C 1--=γ2、(8分)设有1 mol 的理想气体，其状态参量由P 1、V 1、T 1变化到P 2、V 2、T 2，假设：（1）此过程为一等温膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS ；（2）此过程为一绝热膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS 。

解：（1）等温膨胀过程：由于温度T1=T2=T 不变，理想气体内能仅是温度的函数，所以0=∆U ，12ln 21V V RT V dVRT pdV W V VBA -=-=-=⎰⎰ 根据热力学第一定律，12ln V V RT W Q =-=等温膨胀过程引起的系统的熵变：12ln V V R T QS ==∆（2）绝热膨胀过程：210,()v Q W U C T T ==∆=-2211lnln V T VS C R T V ∆=+3、(9分)试根据热动平衡的熵判据，通过简单推导给出由一个单元两相系（α，β）构成的孤立系统，当系统达到平衡时所要满足的平衡条件。

解：由一个单元两相系构成的孤立系统，其总内能、总体积和总物质的量恒定，即U U U =+βα；VV V =+βα；n n n=+βα；设想系统发生一个虚变动，在变动中α相和β相的内能、总体积和总物质的量分别发生虚变动，由于整个系统是孤立的，所以有0=+βαδδU U ；0=+βαδδV V ；0=+βαδδn n ；在稳定的平衡条件下，整个孤立系统的熵应取极大值，即0=+=βαδδδS S S根据热力学基本方程，ααααααδμδδδT n dV P U S -+=，ββββββδμδδT n pdV U S -+=代入整个孤立系统的熵变，得)()()11(=---+-=+=ββαααββαααβααβαμμδδδδδδTT n T P T P V T T U S S S在虚变动中，U δ、V δ、n δ可以独立地改变，0=S δ则要求βαT T =（热平衡条件）， βαP P =（力学平衡条件），βαμμ=（相变平衡条件）4. (7分)用热力学理论证明气体节流的焦耳——汤姆逊系数μ=HP T)(∂∂=P C V (T α-1)证明：根据焦汤系数定义H P T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ(1分)又1-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂PT H T H H P P T (2分)则()PP P PT HC T V C V T V T T H P H P T 1--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂α(4分) 5、(8分)实验发现，一气体的压强P 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即()()T U U T f PV ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式6、(7分)根据热力学理论证明：理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关。

热统每章知识点总结

热统（thermodynamics）是研究热现象和能量转换的一门物理学科，关注物质与能量之间的相互作用和转换规律。

热统的研究对象包括热力学系统、热力学过程、热力平衡等概念，以及通过热力学定律和方程式来描述和解释这些现象。

热统是现代物理学的重要组成部分，应用广泛，涉及到能源利用、工程设计、环境保护等领域。

第二章：热力学系统热力学系统是指被研究的物体或物质，它可以是一个孤立系统（与外界无能量和物质交换）、封闭系统（与外界只有能量交换）或开放系统（与外界有能量和物质交换）。

热力学系统的研究包括系统的状态和性质、系统的宏观描述、系统的微观结构等内容。

第三章：热平衡和热力学过程热平衡是指一个系统内各部分之间没有温度梯度和热能的交换，系统内各部分达到了热力学平衡。

热力学过程是指系统从一个状态转变到另一个状态的过程，包括等温过程、绝热过程、等容过程和等压过程等。

热力学过程的研究可以通过热力学定律和方程式来描述和计算。

第四章：热力学定律热力学定律是热统的基本原则，包括热力学第一定律（能量守恒定律）、热力学第二定律（热力学不可逆定律）和热力学第三定律（绝对零度不可实现定律）。

这些定律是热力学研究的基础，对于解释和预测热力学现象有着重要的意义。

第五章：热力学方程式热力学方程式是研究热力学系统和过程的数学工具，包括理想气体状态方程、克拉珀龙方程和范德瓦尔斯方程等。

这些方程式可以用来描述系统的状态、性质和变化规律，对于工程设计和能源利用有着重要的应用价值。

第六章：热力学循环热力学循环是指一系列热力学过程组成的闭合系统，它可以是热机循环、冷冻循环和吸热循环等。

热力学循环的研究可以用来改善能源利用效率、优化工程设计和提高能源设备的性能。

第七章：热力学平衡和热力学势热力学平衡是指在均匀系统中，各部分的宏观性质保持恒定的状态，它可以用来描述系统的稳定性和性质。

热力学势是用来描述系统平衡状态和稳定性的参量，包括熵、焓、自由能和吉布斯函数等。

热力学与统计物理——第09章系综理论习题解ok1

第九章系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为ln s s sS k ρρ=-∑其中1sE s eZβρ-=是系统处在s 态的概率。

证：熵的统计表达式是ln (ln )Z S k Z ββ∂=-∂(1)多粒子配分函数111,sssE E E s sseZ eZ eZβββρρ---==⇒==∑∑∑(2)()ln kkkE E k kkkE kE e EeZ Zeββββ-----∂==∂∑∑∑ (3)由(2)知sE s eZ βρ-=(4)1ln ln ln ln s s s s E Z E Z βρρβ⇒-=+⇒-=+⎡⎤⎣⎦(5)(4)X(5)代至(3)得ln 111ln ln ln ln s s ssssZ Z Z ρρρρββββ∂=+=+⎡⎤⎣⎦∂∑∑;于是ln ln ln s ss Z S k Z k βρρβ⎛⎫∂=-=- ⎪∂⎝⎭∑证明2：准备工作11ln ln1(ln )11ln ln ()ln ln ln ln ln (ln )sssssssssE E s s ssE s sE E s ssE E ssE E ssS k k eeZZk eE Z Z k eE k eZZZ Z kekeZZ Zk ekeZ ZZ kk Z Z Zk k Z Z k Z βββββββββρρββββββββββββ---------=-=-=---=+∂=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-∂∑∑∑∑∑∑∑∑∑习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证： ()222112sNE i xi yi zsi Z eE p p p mβ-===++∑∑符号 ixiy iz idp dpdp dp =∏ i i iid q d x d y d z =∏()()2222222112222333/2()2331!!2!!NNixiyizix iy iz mi i xyzN p p p p p p mNNNN N N p p p mx y z NNVZ edpdq edpN h N hVVm e dp dp dp Z N hN hβββπβ==+∞-++-++-∞+∞-++-∞∑∑==⎡⎤⎛⎫=⇒=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰3/23/23ln 23ln ln !2N N N N Z V m U NkT N h πβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂∂=-=-==⎢⎥⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦3/23ln 1211ln ln !N N NN ZV m p V NkT V V N h Vπβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂∂====⎢⎥⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦3/233/233/233/22ln 23(ln )(ln )ln !223ln ln !223ln ln 225ln 2N N N N N N Z V m S k Z k Z U k N k N h V m k k N N k h V m N k kN N kN N k h V m kT N k N k N h πββββπβπβπ⎡⎤⎛⎫∂=-=+=+⎢⎥⎪∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦习题9.5 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。

东北师范热力学与统计物理16秋在线作业2

东北师范热力学与统计物理16秋在线作业2热力学与统计物理16秋在线作业2一、单选题（共 20 道试题，共 60 分。

）1. 关于热和功, 下面的说法中, 不正确的是. 功和热只出现于系统状态变化的过程中, 只存在于系统和环境间的界面上. 只有在封闭系统发生的过程中, 功和热才有明确的意义. 功和热不是能量, 而是能量传递的两种形式, 可称之为被交换的能量. 在封闭系统中发生的过程中, 如果内能不变, 则功和热对系统的影响必互相抵消正确答案：2. 相图与相律之间关系是：. 相图由实验结果绘制得出，相图不能违背相律；. 相图由相律推导得出；. 相图由实验结果绘制得出，与相律无关. 相图决定相律正确答案：3. 容器内储有氮气，温度为摄氏27度，则氮气分子的均方根速率为；（）. 4.9m/s. 16.3m/s. 155m/s. 516m/s正确答案：4.. -. -. -. -正确答案：5. 如果研究的是一个孤立系统，给定的宏观条件就是具有确定的粒子数N、体积V和能量。

这样的系统构成的系综叫:. 微正则系综. 正则系综. 巨正则系综. 非正则系综正确答案：6. 玻尔兹曼统计认为： ( ). 玻尔兹曼分布不是最可几分布但却代表平衡分布；. 玻尔兹曼分布只是最可几分布但不代表平衡分布；. 玻尔兹曼分布不是最可几分布也不代表平衡分布；. 玻尔兹曼分布就是最可几分布也代表平衡分布。

正确答案：7. 关于焓的性质, 下列说法中正确的是. 焓是系统内含的热能, 所以常称它为热焓. 焓是能量, 它遵守热力学第一定律. 系统的焓值等于内能加体积功. 焓的增量只与系统的始末态有关正确答案：8. 由气体的分布函数可知( ). 玻尔兹曼气体，费米气体和玻色气体都是简并气体. 玻尔兹曼气体为非简并气体，费米气体和玻色气体为简并气体. 玻尔兹曼气体为简并气体，费米气体和玻色气体为非简并气体. 玻尔兹曼气体，费米气体和玻色气体都是非简并气体正确答案：9. 相图与相律之间关系是：. 相图由实验结果绘制得出，相图不能违背相律；. 相图由相律推导得出；. 相图由实验结果绘制得出，与相律无关. 相图决定相律正确答案：10. 朗之万方程是( ). 随机过程概率分布的时间演化方程. 布朗粒子的动力学方程. 布朗粒子数密度时间演化方程. 系统中粒子的运动方程正确答案：11. 两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：. 两种气体分子的平均平动动能相等．. 两种气体分子的平均动能相等．. 两种气体分子的平均速率相等．. 两种气体的内能相等．正确答案：12. 朗之万方程是( ). 随机过程概率分布的时间演化方程. 布朗粒子的动力学方程. 布朗粒子数密度时间演化方程. 系统中粒子的运动方程正确答案：13. 对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作的功三者均为负值？. 等体降压过程．. 等温膨胀过程．. 绝热膨胀过程．. 等压压缩过程．正确答案：14. 一级相变和二级相变的特点( ). 所有物理性质都发生突变. 化学势一阶偏导数发生突变为一级相变，二阶偏导数发生突变为二级相变. 只有比容发生突变的为一级相变，比热发生突变为二级相变. 只有比热发生突变的为一级相变，比容发生突变为二级相变正确答案：15. 微正则系综是( ). 一种假设. 正则运动方程的解. 经典力学描述的系统. 量子力学描述的系统正确答案：16. 某理想气体,初态温度为T,体积为V,先绝热变化使体积变为2V,再等容变化使温度恢复到T,最后等温变化使气体回到初态,则整个循环过程中,气体. 向外界放热.. 从外界吸热.. 对外界做正功.. 内能减少.正确答案：17. 对于用做功的方式改变物体的内能的过程,下列说法中正确的是. 一定是其他形式的能转化为内能的过程. 一定是内能转化为其他形式的能的过程. 可能是两物体间内能转移的过程. 一定是其他形式的能与内能转化的过程正确答案：18.. -. -. -. -正确答案：19.. -. -. -. -正确答案：20. 对于气态方程pV/T = 恒量, 下列说法中正确的是 ( ).. 质量相等的同种气体有相等的恒量. 摩尔数相等的不同种气体有相等的恒量. 同种气体有相等的恒量. 质量相等的气体有相等的恒量正确答案：热力学与统计物理16秋在线作业2二、多选题（共 5 道试题，共 20 分。

理论物理导论热统答案

第七篇第一章统计理论基础1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温紧缩系数。

1．解：假设咱们考察的系统是n mol的理想气体，由于理想气体状态方程为：(1)(2)故定压膨胀系数：而等压紧缩系数:综上有理想气体（n mol）：2.某气体的定压膨胀系数和等温紧缩系数，，其中都是常数，试求此气体的状态方程。

2．解：依照题意：把体积看成是数并微分有：两边同时积分有：由极限情形下：,故：取得：3．一弹性棒的热力学状态可用它的长度L，应力描述f和温度T关系,即为其状态方程，今设此弹性棒发生一微小转变，从一平稳态变到另一平稳态，试证明：其中为棒横截面积，为线膨胀系数，为杨氏模量。

3．证明：杨氏模量的概念：与类比线胀系数：对长度积分有：证毕4．对气体的膨胀系数和紧缩系数进行测量的结果取得一下方程：，其中是常数，只是的函数.证明：（a）(b) 状态方程：4．证明：(a)由：（1）又由：（2）（2）式两边对求导（T一按时）：此式与比较可知：f（P）=（因与T无关也与P无关）(b) 将带入(1)式有：当时，,故5．试给出半径为的维球体积：5．证明：在半径为1的维球区域内积分为：以另一种方式求上述积分有：由两式可知：证毕6．利用附录给出的斯特林公式：证明上题中的系数知足下式：6．证明：第一部份：只要将上题中解答进程的(3)式中的换成即得。

故关键是证明第二部份由于(1)由于：即有（1）式成立，故待证命题成立。

证毕第二章统计热力学基础1．单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。

原子占据格点时的能量比占据间隙点时高。

设格点数和间隙点数相等。

且等于晶体中的原子数。

（a）考虑有个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵（b）设系统达到平稳，问晶体在此态的温度是多少？（c）若，晶体的温度时300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？解：（a）依照题意假设一个原子占据间隙点时能量，那么占据格点时能量。

现有个原子占据间隙点故有个占据格点。