平行六面体与长方体

E 、F 分别为BB1、CD 的中点. (1)求证：AD? D1F；
D1 A1
C1 B1
(2)求AE与D1F所成的角；
E
(3)证明：平面AED? 平面A1FD1.
DF
C
A
B
例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E 、F 分别为BB1、CD 的中点. (1)求证：AD? D1F；
D1 A1
C1 B1
(2)求AE与D1F所成的角；
E
(3)证明：平面AED? 平面A1FD1.
DF
C
解：
(1)∵AC
是正方体
1
∴AD? 平面DC1
∵D1F? 平面DC1
∴AD? D1F.
A
B
例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E
、F
分别为BB1、CD
的中点.(1)求证：AD?
D1
D1F
(2)求AE与D1F所成的角；
问题2：在立体几何中平行六面体、长方体 是否也有类似的性质呢?
求证：平行六面体的对角线相交于 一 点，并且在交点处互相平分。
已知：平行六面体 ABCD —A`B`C`D` 求证：对角线 AC` 、BD`、CA` 、DB`相交于 一点O ，且在点O 处互相平分。
D' C'
A'
B'
O
D
C
A
B
D'
C'
A1
B1
C1
(3)证明：平面AED? 平面A1FD1.
E
解： (2)取AB中点G，连结A1G、GE 、FG
HD F
C
∵F是CD中点，
A GB
∴GF//AD,GF=AD ，
又A1D1//AD,A1D1=AD， ∴GF//A 1D1且GF=A 1D1， ∴GFD 1A1是平行四边形， ∴A1G//D 1F 且A1G=D 1F. 设AE、A1G交于H，则? AHA1是AE与D1F所成的角.
复习提问:
1．棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点， 它们分别指什么？
2．棱柱分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱的依据 是什么？
3．棱柱的三条性质？
D1
C1
A1
B1 A
1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
一、平行六面体与长方体：
平行六面体：底面是平行四边形 的四棱柱
直平行六面体：侧棱与底面垂直 的平行六面体
例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E 、F 分别为BB1、CD 的中点. (1)求证：AD? D1F； (2)求AE与D1F所成的角；
D1 A1
C1 B1 E
(3)证明：平面AED? 平面A1FD1.
DF
C
解： (3)AD? D1F，
A
B
AE? D1F，又AD? AE=A，
∴D1F? 平面AED.
（2）若 AC ?与面 AC 、面 AD?、面 AB ?所成的角
分别为 ? ?、? ?、? ?,则
sin 2 ? ?? sin 2 ? ?? sin 2 ? ?? 2
例1：若长方体的三个面的面积分别为 2 、 3 和 6 ， 则长方体的对角线长为 _____________
解：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c， 对角线长为 l，则
又D1F? 平面A1FD1
∴平面AED ? 平面A1FD1.
例3：平行六面体ABCD? A1B1C1D1的棱长都相 等，且? B1C1D1=? CC 1B1=? CC 1D1=60?. (1)求证：平面ACC 1A1? 平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.
D
A
D1
?ab ? 2 ?a ? 1
?? ?
ac
?
? 3 ? ?b ?
2
??bc ? 6 ??c ? 3
? l ? a2 ? b2 ? c2 ? 6
棱柱的侧面积和体积:
把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在 一个平面上，展开后的图形称为棱柱的侧面 展开图；展开图的面积称为棱柱的侧面积。
棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积之和。
结论:
B' A'
1.平行六面体的对棱平行且相等。
O
D
C
2.平行六面体的对角线交于一点，
并且在交点处互相平分。
A
B
3.平行六面体的四条对角线的平方和等于它 12条 棱的平方和。
AC?2 ? BD?2 ? CA?2 ? DB?2
? AB2 ? BC 2 ? CD2 ? DA2 ? A?B?2 ? B?C?2
求证 : AC '2 ? AB2 ? AD2 ? AA'2.
A'
D'
B' C'
A B
D C
A'
结论:长方体AC / 中, AC / 是 它 B'
的一条对角线，则
A
D' C'
D
B
C
（1）若 A C ?与 AB 、 AD 、 A A ?所成的角分别为
? 、? 、? ,则
cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
? C?D?2 ? D?A?2 ? AA?2 ? BB?2 ? CC ?2 ? DD?2
AC?2 ? BD?2 ? CA?2 ? DB?2 ? 4( AB 2 ? AD 2 ? AA?2 )
定理：长方体的一条对角线长的平方 等于一个顶点上三条棱长的平方和。
已知 : 长方体AC '中, AC'是一条对角线.
A' B'
D'
C'
D'
C'
B'
A'
D'
A
B
D
C
D
C
B
A
D
棱柱的侧面积和体积:
直棱柱:
S侧＝S1+S2+… ? C底 ? h V直棱柱＝S底×h高＝ S底×l侧棱
斜棱柱:
S侧＝S1+S2+… V斜棱柱＝S底×h高 S侧＝直截面周长×侧棱长 V斜棱柱＝直截面面积×侧棱长
例2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A.底面是矩形的平行六面体是长方体 B.棱长都相等的直四棱柱是正方体 C.有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面
体是直平行六面体 D.对角线相等的平行六面体是直平行六面体
二、特殊的四棱柱性质：
问题1：在平面几何中平行四边形、长方形 各有什么性质?
平行四边形对角线互相平分；长方形的长为 a， 宽为b ，则对角线长为 L 2=a 2+b 2
长方体：底面是矩形的直平行 六面体
正方体：棱长都相等的长方体
柱棱四的殊特
几种六面体的关系：
底面变为 平行四边形
侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
长方体
Baidu Nhomakorabea
正四棱柱
正方体
其关系为 ：
?正方体?? ?长方体?? ?直平行六面体 ?? ?平行六面体?
练习:下列四个命题，正确的是（ D ）
A1
C
B
C1
B1
例3：平行六面体ABCD? A1B1C1D1的棱长都相等
，且? B1C1D1=? CC 1B1=? CC 1D1=60?.
(1)求证：平面ACC 1A1? 平面BB1D1D；