椭圆型方程的差分方法

先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为
h，Mh=1,于是必须确定解的结点为（M 个1)2，结点上
的差分方程的解为
U l,m 0 l, m M
（3.12）
在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：
1
h2
2 x
2 y
Ul,m
0
l, m＝1， 2， , M 1
在x=0上的导数边值条件的差分模拟为
第三章 椭圆型方程的差分方法
• 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟
• 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 • 3.3 混合边值条件 • 3.4 非矩形区域 • 3.5 极坐标形式的差分格式 • 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的
敛速分析 • 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质
由此，正方形 0 x区, y域1的 方程解Ulm满足线性方程组
AU=2hg
个(M结点1)2上差分 (3.18)
这里A是(M 阶1)2方阵
B 2I
I B I
A
I
B
I
2I B
I是(M+1)阶单位方阵； 是B 如下(M+1)的阶方阵：
4 2
1 4 1
B
1 4 1
2 4
义。
Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当
g(x, y)dl＝0
且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如 果u(x,y)是式(3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任 意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域 中某一点上的值。
Neumann边值问题的差分模拟
研究
设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法：
ax,
y 2u
x 2
2bx,
y 2u
xy
cx,
wk.baidu.com
y 2u
y 2
d x,
y,
u,
u x
,
u y
(3.1)
其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足
(3.2)
b2 ac 0 x, y
对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：
方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：
U U0,0,U1,0,,UM,0;U0,1,,UM,1;;U0,M ,,UM,M T
g 2g0,0 , g1,0 ,, gM 1,0 ,2gM ,0 ; g0,1,0,,0, gM ,1;
; g0,M 1,0,,0, gM ,M 1;2g0,M , g1,M ,, gM 1,M ,2gM ,M T
第一边值问题，或称Drichlet问题
方程3.1 x, y u f x, y x, y
第二边值问题，或称Neumann问题
方程3.1 u gx, y
n
x, y x, y
第三边值问题，或称Robin问题
其中
方程3.1 x, yu
x,
y u
n
x,
y
x, y x, y
x, y, x, y 0
3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边 值问题的差分模拟
考虑Laplace方程
2u x 2
2u y 2
0
x, y
(3.3)
设Ω为正方形区域，0<x<1，0<y<1，求方程(3.3)
满足边值条件
的解。
ux, y f x, y x, y
(3.4)
因此Laplace方程的五点差分格式为
gl,m glh, mh
现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即
2u x 2 u n |
2u y 2
gx,
0
y
x, y ; x, y| 0 x 1,0 y 1
(3.10)
表u 示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方
形的n 四 个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里
将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定
在四个顶点上，有
4U0,0 2U1,0 2U0,1 4hg0,0
4U0,M 2U1,M 2U0,M 1 4hg0,M 4U M ,0 2U M ,1 2U M 1,0 4hgM ,0 4U M ,M 2U M 1,M 2U M ,M 1 4hgM ,M
（3.15） （3.16） （3.17）
1
h2
U l1,m U l1,m U l,m1 U l,m1 4U l,m
0
它具有截断误差:
1 12
h2
4u x 4
4u y 4
l ,m
我们引进记号◇，有
◇ Ul,m
1 h2
(U l 1,m
Ul1,m
Ul,m1
U l,m1
4U l,m
)
因此差分方程(3.6)即 ◇ 。 Ul,m 0
（3.6） (3.7)
如图3.1所示
在区域Ω的每一内部结点(l,m)上
l 1,, M 1; m 1,, M 1。
建立差分方程，由此在区域Ω内部 (M 个1)2 点上建立 (个M 方1)2 程。
◇ Ul,m 0 l, m 1,, M 1 定义向量
（3.8）
U U1,1,U2,1,,UM1,1;U1,2 ,U2,2 ,,UM1,2;U1,M1,U2,M1,,UM1,M1 T
（3.14）
同理，在x=1,y=0,y=1时分别有
4U M ,m 2U M 1,m U M ,m1 U M ,m1 2hgM ,m m 1,, M 1 4Ul,0 2Ul,1 Ul1,0 Ul1,0 2hgl,0 l 1,, M 1 4Ul,M 2Ul,M 1 Ul1,M Ul1,M 2hgl,M l 1,, M 1
1
2h U1,m U1,m g0,m
这里 g0,m g0, mh 。
m 1,2,M 1
（3.13）
在五点差分格式(3.12)中令l=0，于是有
2 x
2 y
U0,m
0
即
U1,m 2U0,m U1,m U0,m1 2U0,m U0,m1
代入式(3.13)，则
4U 0,m 2U1,m U 0,m1 U 0,m1 2hg0,m m 1,, M 1
单位正方形中的内部结点上的 (M个1线)2 性方程(3.8)写
成矩阵形式为
AU=K
（3.9）
其中，A是 (M 1阶)2 方阵
B I
I B I
A
I
B
I
I B
I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。
4 1
1 4 1
B
1 4 1
1 4
3.2 Neumann边值问题的差分模拟