分式方程及其增根问题
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
(完整版)分式方程无解增根专题
分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。
专题12 分式方程的无解与增根（含答案）
专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。
3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。
培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。
【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。
跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。
【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。
跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。
分式方程增根的例题
分式方程增根的例题
在解析分式方程增根的例题的过程中，我们可以清楚地看到分式方程增根的具体步骤和方法。
首先，假设我们有一个分式方程：x/2 + 1 = 0。
那么，我们可以首
先将方程重写为：x/2 = -1，然后乘以2得到：x = -2。
这就是增根后的结果。
再来看一个更复杂一些的例子，假设我们有一个分式方程：2/(x-3) + 1 = 0。
首先，我们可以将这个方程重写为：2/(x-3) = -1，然后两边同时乘以x-3，得到：2 = -(x-3)。
最后，解开括号，将方程重写为：2 = -x + 3。
解这个方程，我们可以得到：x = 1。
这就是增根后的结果。
以上只是两个简单的例子，分式方程的增根需要逐步推理和运算，并不是一蹴而就的。
在遇到复杂的分式方程时，可能需要更多的步骤进行处理。
但无论如何，分式方程增根的基本原理都是相同的，那就是通过一系列数学操作，将分母消除，从而使得x变量的次数降低，以便于求解。
分式方程中增根问题的探究(教案)
-难点3：针对实际问题，如速度、浓度等问题，学生需要根据实际情况构建分式方程，并注意避免增根。例如，在求解两个物体同时从不同地点出发，相向而行的问题时，学生需要建立正确的分式方程，并考虑到物体相遇时的时间不能为零。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了分式方程中的增根问题。这个概念对学生来说可能有些抽象，但我发现通过实际例子的引导，学生们能够逐渐理解增根的含义及其在方程求解过程中的影响。我尝试了不同的教学方法，有一些收获和反思。
首先，我发现当学生们面对具体的分式方程时，他们能够更好地理解增根的概念。通过将抽象的理论与具体的案例结合起来，学生们能够看到增根是如何产生的，以及我们如何避免它们。这种方法有助于学生将理论知识与实际应用联系起来，增强了他们对知识点的记忆和理解。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在面对含增根的分式方程时。
2.教学难点
（1）识别增根产生的具体原因，如分母为零的情况，以及如何通过变换避免；
（2）对于含增根的分式方程，如何进行有效求解，特别是在涉及到多个增根的情况下；
（3）在实际问题中，如何构建分式方程并避免增根问题。
举例：
-难点1：分析产生增根的原因，如对于方程$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x+1}$，学生需要理解当$x=2$或$x=-1$时，分母为零，从而导致增根。难点在于引导学生发现并排除这些值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调增根的定义和避免增根的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解黄石市白马山学校 胡优武知识重点：同学们在平时解答分式方程时，经常对分式方程的增根和无解混淆不清，容易错解、漏解。
为了学生好区分这两个概念，特制定以下例子加以说明。
（一）所求出的根使分式方程分母为零，这个根叫增根。
假定分母为零的值不一定是分式方程的增根。
例1：若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 解：方程两边都乘最简公分母（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=3（x-2）∵最简公分母为（x+2）（x-2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=-4．把x=-2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=-4或6．本例具有常规性，一般学生都可以看出增根是x=±2，从而求出两个m 的值。
例2：关于分式方程xx x x x +=-+-2227163增根的情况，说法正确的是（ ） A ．有增根是0和-1 B ．有增根是0和1、-1C ．有增根是-1D ．有增根是1一般的学生会假定最简公分母x(x+1)(x-1)=0，得出B 选项，那么就错了。
大家先看看解答过程。
解：方程两边乘以最简公分母为x （x+1）（x-1），得3（x+1）-6x=7（x-1），x=1；当x=1时，x （x+1）（x-1）=0，x=1是增根．原方程无解故选D ．以上说明面对分式方程增根时，不能通过假定分母为零的所有x 的值是方程增根，必须动手计算。
（二）分式方程得的无解，要从两个角度分析，①无解：使分式方程分母为零的根叫增根，此时分式方程无解。
②无解：分式方程化成整式方程ax=b ， 当 a=0 ,b ≠0时，方程无解。
例3：若关于x 的分式方程131=---xx m x 无解，求m 的值． 解：方程两边同时乘以x （x-1）得，x （x-m ）-3（x-1）=x （x-1），整理得 (m+2）x=3①当x=0时原分式方程无解，此时0=3，无意义；②当x=1时原分式方程无解，此时解得m=1．③当m+2=0时，即m=-2时，整式方程(m+2）x=3无解，即原分式方程无解．故m=1或-2．上面的第③步，是学生最容易遗漏的。
分式方程的增根
分式方程的增根
分式方程在数学中具有非常重要的意义，它是用来解决特定问题的有
效工具。
本文将阐述分式方程的定义以及存在增根的情况，以及如何求解
分式方程增根的过程。
分式方程是一种用于解决特定问题的数学方式。
分式方程可以用参数
组合而成，它以未知数x和各种参数组合而成，其形式如下：f(x)=0 。
可以通过求导来求解分式方程。
如果该方程的导数小于0，意味着该方程有增根。
增根的定义为求解分式方程时，当x的取值产生一定的变化时，该方程的未知数x也会有所变化。
如果该方程的导数大于0，意味着该函数有负根，即x的变化会导致f(x)的变化减少。
因此，如何确定分式方程的增根是一个相当重要的步骤。
首先，通过
解导数确定是否存在增根，如果存在，则需要将分式方程变为一元一次方程，然后再解求根公式求解未知数x，从而得出其增根。
同时，要在获得分式方程的增根的同时，考虑到其他的变量，这样才
能得出最终的结果。
如果该分式方程中有其他变量，可以先将其带入到分
式方程中，然后解决该方程，最后确定出分式方程的增根。
总结起来，求解分式方程的增根，需要满足以下几个步骤：首先，通过解导数确定是否存在增根，其次，将分式方程转换为一元一次不等式，然后解求其增根，最后考虑其他变量，从而最终确定出分式方程的增根。
总的来说，分式方程是一种常见的数学问题，它的作用可以用于解决复杂的特定问题，它还具有增根的特性，所以一旦发现一个分式方程有增根，要仔细考虑如何求解该方程的增根，从而最终得出有效的结果。
分式方程及其增根问题
分式方程及其增根问题文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.【例1】解方程 .解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0. 解得x=4.检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，∴x=4是原方程的解.【例2】解方程解：原方程可化为，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】解方程 .解：原方程可变形为 .解得x=.检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=是原方程的解.【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.解：原方程可化为 .方程两边同乘x（x+1）（x-1）得x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.。
解分式方程及增根问题专练
解分式方程及增根问题专练单项选择：1-8题1.要把分式方程xx 23422=-化为整式方程，则方程两边同乘（ ） A.42-x B.)42(2-x x C.)2(2-x x D.x 22.解分式方程xx x -=+--21221，可知方程（ ） A.解为2=x B.解为4=x C.解为3=x D.无解3.如果关于x 的方程0221=----x k x x 有增根，则k 的值等于（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 74.分式方程xx 235=+的解是（ ） A.2=x B.1=x C.21=x D.2-=x 5.解分式方程4223=-+-xx x 时，去分母后得（ ） A.)2(43-=-x x B.)2(43-=+x x C.4)2()2(3=-+-x x x D.43=-x6.若分式方程424-+=-x a x x 无解，则a 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 07.（2012·浙江丽水）把分式方程xx 142=+转化为整式方程时，方程两边同乘（ ） A.x B.x 2 C.4+x D.)4(+x x 8.（2012·湖南永州）下面是四位同学解分式方程1112=-+-xx x 过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）A.12-=+x xB.12=-xC.x x -=+12D.12-=-x x 填空题：9-16题9.当x = 时，式子1)4)(24(---x x 与1)4)(5(---x x 的值相等.10.分式方程132+=x x 的解为x = . 11.在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2、15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 .12.若方程211=-+-+xx x k x 有增根，则增根为 ，k = . 13.分式方程121+=x x 的解是 . 14.已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是负数，则a 的取值范围是 .15.（2012·江苏无锡）方程0234=--x x 的解为 . 16.（2012·四川攀枝花）若分式方程x x kx -=--+21212有增根，则k = . 解分式方程：17-22题 17.1133-=-x x 18.53231=-+--x x x19.01122=--+x x x 20.1416222=--+-x x x21.33211+=-+x x x x 22.（2012·山西）2631132-=--x x23.拓展题：在正数范围内定义新的一种运算符号“*”其规则就是b a b a 11*+=，根据这个规律解方程1)1(*3=-x .。
分式方程解法及增根问题例题
分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。
在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。
本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。
一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。
2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。
3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。
对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。
然后进行计算和求解，得出 x 的值。
二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。
增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。
解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。
2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。
3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。
对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。
然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。
三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。
例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。
5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。
例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。
分式方程及其增根
分式方程及其增根【考点1 解分式方程】【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 【例1】（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程1−x 2−x−1=2x−5x−2，过程如下：第一步：方程整理x−1x−2−1=2x−5x−2第二步：去分母…（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ； （2）请把以上解分式方程过程补充完整．【变式1-1】（2020春•梁平区期末）解下列分式方程： （1）1a+1+32−a=0； （2）xx+1=2x 3x+3+1．【变式1-2】（2020春•织金县期末）解方程 （1）x−2x+2+84−x 2=1； （2）1x−1−1=32x−2．【变式1-3】（2019秋•崇川区校级期末）解下列方程： （1）1x−2=1−x 2−x−3 （2）5x 2+x−1x 2−x=0【考点2 换元法解分式方程】【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．【例2】（2019秋•台州期中）在解方程（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3＝0时，设x 2﹣2x ＝y ，则原方程可转化为y 2﹣2y ﹣3＝0，解得y 1＝﹣1，y 2＝3，所以x 2﹣2x ＝﹣1或x 2﹣2x ＝3，可得x 1＝x 2＝1，x 3＝3，x 4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x 2+1x2−3x −3x =12，我们也可以类似用换元法设x +1x=y ，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ） A ．y 2﹣3y ﹣12＝0B ．y 2+y ﹣8＝0C ．y 2﹣3y ﹣14＝0D ．y 2﹣3y ﹣10＝【变式2-1】（2020春•遂宁期末）已知方程3x−1x 2+1−3x 2+33x−1=2，如果设3x−1x 2+1=y ，那么原方程可以变形成关于y 的方程为 ．【变式2-2】（2020•安徽模拟）已知方程x 2+x −3x 2+x=2，则2x 2+2x ＝ ． 【变式2-3】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘y 得：y 2﹣4＝0， 解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1，当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程x−14x −xx−1=0中，设y =x−1x ，则原方程可化为： ； （2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ；（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．【考点3 分式方程的解】【方法点拨】求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【例3】（2020春•北碚区校级期末）若整数a 使得关于x 的方程2−3x−2=a2−x 的解为非负整数，且关于y的不等式组{3y−22+1＞y−22y−a 3≤0至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．6 B ．9 C ．13 D ．16【变式3-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）若实数a 使关于x 的不等式组{16a −x ＜72x +1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x 的分式方程33−x−ax x−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣1D ．1【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期末）如果关于x 的不等式组{x−m 3＜0x ＞3x −2的解集是x ＜1，且关于x 的分式方程x+4x−1+m 1−x=3有正整数解，则所有符合条件的m 的值之和为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．3【变式3-3】（2019秋•九龙坡区校级期末）若关于x 的一元一次不等式组{x −13(3a −5)≤234x+33＞x +3无解，且关于y 的分式方程2y−a y−1−2y−31−y=2有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．8C ．14D ．15【考点4 分式方程的增根】【方法点拨】增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 【例4】（2020春•定远县期末）若关于x 的分式方程2m−1x−1−7x x−1=5有增根，则m 的值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【变式4-1】（2019秋•梁子湖区期末）若关于x 的方程3x +ax x+1=2−3x+1有增根x ＝﹣1，则2a ﹣3的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【变式4-2】（2020秋•江华县期末）关于x的方程5x−5+axx2−25=3x+5有增根，则a＝（）A．﹣10或6B．﹣2或﹣10C．﹣2或6D．﹣2或﹣10或6【变式4-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，。
知识点143 分式方程的增根(解答)
知识点143 分式方程的增根(解答)1、m2、m3的关系是m3=m1+m2﹣15 ．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c 且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．解答：解：探究1：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3，当x=3时，m=﹣9，故m的值是﹣9．探究2：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程的根为x=﹣1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=，方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，即可得出对应的m，m1=15﹣8a，m2=15﹣8b，m3=15﹣8c，探究4：∵a+b=c，∴+=，整理得m3=m1+m2﹣15，故答案为m3=m1+m2﹣15．点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．17．解方程：=1+．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：找到最简公分母（y+2）（y﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．解答：解：去分母得：y+2=y2﹣4+4，…（2分）∴y2﹣y﹣2=0，…（1分）∴y1=2，y2=﹣1，…（2分）经检验知：y1=2是增根，舍去，y2=﹣1是原方程的根，…（1分）∴原方程的根是y=﹣1．点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．18．已知方程有增根x=1，求k的值．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+k（x+1）=6∵原方程有增根x=1，∴当x=1时，k=3，故k的值是3．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．使分式方程产生增根，则k的值为﹣8或8 ，增根为x=﹣4或4 ．考点：分式方程的增根。
解分式方程及增根,无解的典型问题含答案
分式方程1. 解分式方程思路是：（1） 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2） 解这个整式方程。
（3） 把整式方程根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零根是原方程增根，必须舍去。
（4） 写出原方程根。
“一化二解三检验四总结”例1：解方程（1） 增根是使最简公分母值为零未知数值。
（2） 增根是整式方程根但不是原分式方程，所以解分式方程一定要验根。
例2：解关于x 方程有增根，则常数a 值。
解：化整式方程(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母值。
例3：解关于x 方程无解，则常数a 值。
解：化整式方程(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。
解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时，整式方程有解。
当它解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程解为增根。
例4：若分式方程解是正数，求a 取值范围。
解：解方程且2x ≠，由题意得不等式组：解得2a <且4a ≠-思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。
2.根据题意列不等式组。
当堂检测1. 解方程答案：2x =是增根原方程无解。
2. 关于x 方程有增根，则a =-------答案：73. 解关于x 方程下列说法正确是（C ）A.方程解为5x m =+B.当5m >-时，方程解为正数C.当5m <-时，方程解为负数D.无法确定4.若分式方程无解，则a 值为-----------答案：1或-15. 若分式方程有增根，则m 值为-------------答案：-16.分式方程有增根，则增根为------------答案：2或-17. 关于x方程有增根，则k值为-----------答案：18. 若分式方程无解，则a值是----------答案：09.若分式方程无解,则m取值是------答案：-1或1 -210. 若关于x方程无解，则m值为-------答案：6，1011. 若关于x方程无解，求m值为-------答案：12.解方程答案13．解方程14. 解方程15. 解方程16. 关于x方程有增根，则m值-----答案：m=2或-217.当a为何值时，关于x分式方程无解。
分式专项训练之07-分式方程的解与增根(含答案)
分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．4．若关于x的方程无解，求m的值．5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=_________．8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是_________．13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是_________；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是_________；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是_________；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=_________（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=_________．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．18．解方程：①=﹣1的解x=_________；②=﹣1的解x=_________；③=﹣1的解x=_________；④=﹣1的解x=_________；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．21．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．x=2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．解：方程x=4．若关于x的方程无解，求m的值．方程方程±5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．x=7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=﹣4．解：∵+1=，8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．x=，∴9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．x=分式方程∴10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．＞．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．﹣=1，∴12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是m＜8且m≠4．分式方程13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是x1=a，x2=；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．）根据给的具体方程的解得特点易得到方程；分别代入方程左边，易得到左右两边相等，根据分式方程的解即可得到都是方程的解；）把方程变形得到=a+，=a+，得到具有（=a，于是有，分别解即可得到原方程的解．；1+1+代入方程，左边=，左边是方程）方程变形得，=a+，=a+=a，1=．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是x1=a，x2=；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．=3+，由材料得出y+1=x+=5+，=x+的解是：==y+===3+，+=3+，．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．x+=5+的解是；=a+的解是=﹣的解为=﹣﹣（﹣（﹣；y+1+=3+，可得y+1=，解得：﹣17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=22014﹣1．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．=3+3+，．18．解方程：①=﹣1的解x=0；②=﹣1的解x=1；③=﹣1的解x=2；④=﹣1的解x=3；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．方程为=的式子表示为=19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．代入方程=，发现它是（），代入方程=所得方程为=个方程为====是方程=20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：化简可得：x=﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：化简可得：x=）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣x==421．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．±．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？+会+=+=27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．。
(完整版)分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例1、解方程：。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲：原方程的解是.乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。
甲:那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙:很简单,两个字：检验。
可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解.甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看：例2、解方程,去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值.首先把原方程去分母，化为。
分式方程的根与增根
2014年10月·下EDUCATION EDUCATION实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x 的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。
即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。
例题2：使关于x 的方程xa x x a −=−+−2224222产生增根的a 的值是多少呢？要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。
解：去分母并整理，得：（a 2-2）x-4=0因为原方程的增根为x=2，把x=2代入（a 2-2）x-4=0，得a 2=4所以a=±2说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。
其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。
由此可知，增根并不是分式方程特有的。
解分式方程如何避免增根以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：2183193x x −=−+(3)(3)183(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x +−−−=+−+−+−(3)(3)183(3)0(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x +−−−−=+−+−+−2318(3)(3)x x x x −−=+−()()()()36033x x x x +−=+−对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为()()36=−−x x ，即（x-6）=0，得x=6。
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分式方程及其增根问题
解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.
【例1】解方程 .
解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.
化简，得x-4=0. 解得x=4.
检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，
∴x=4是原方程的解.
【例2】解方程
解：原方程可化为，
方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.
化简，得2x-3=-1.解得x=1.
检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.
【例3】解方程 .
解：原方程可变形为 .
解得x=.
检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，
所以x=是原方程的解.
【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.
【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.
解：原方程可化为 .
方程两边同乘x（x+1）（x-1）得
x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.
化简，得3x=6-k.
当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.
【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.。