波动学基础-2

u
弹性势能
体积元左端的位移为y，右端的位移 为（y+y）。因此体积元的长度变 化为y，体积元的原长为x，所以 应变为: y
即
x y A x sin (t ) x u u
根据杨氏弹性模量的定义和胡克定律，这体积元所受的弹性 力为：
f /S y E f ES ky y / x x
2
I max 4I1 （干涉相长）
I min 0
（干涉相消）
干涉现象的强度分布
例 设S1、S2为两个相干波源，两者相距四分之一波长，如图 所示。S1比S2的相位超前/2。若两列波在S1、S2连线方向 上的强度相同，且不随距离变化，求在S1、S2连线上 (1) S2右侧各点的合成波的强度如何？ (2) S1左侧各点的合成波的强度如何？
x y 6 10 cos 800 t / 2 200
2
x ②.波长、频率 y A cos t u x 2 y 6 10 cos 800 t / 2 200
P
r1 S1 S2
r2
r1 y1 A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y 2 A2 cos[ (t ) 2 ] u
为同方向同频率振动合成。
y y1 y 2 A cos( t )
r2 r1 ) 合振幅为 A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 u 2 cos r2 r1 2 1 1 1)加强条件
1.相干波条件
1)两列波振动方向相同； 2)两列波频率相同； 3)两列波有稳定的相位差。
满足这三个条件的两列波称为相干波
2.干涉规律:
设有两个相干波源S1及S2，其振动方程为
y10 A1 cos(t 1 ) y 20 A2 cos( t 2 )
当此两列波发出的波在空间P点相遇时， 两列波在P点引起的振动表达式分别为：
2 1 2 2
2 1
当
2
1 2

r2 r1 2k
( k 0,1,2)
时，波程差为
r r2 r1 k
A A1 A2
( k 0,1,2)
当波程差为波长的整数倍时加强。
2 2)减弱条件 cos r2 r1 2 1 1 2 2 1 r2 r1 (2k 1) , ( k 0,1,2)
dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
平均能量密度
能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 2 2 2 w wdt A 2 A T 0 2
普适结论
wA
2
w
2
3. 波的强度 I（能流密度）
在单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能 量. 取垂直于波的传播方向的一 个小面积ds，平均在dt时间内通 过此面积后方体积为udtds的立方 体的平均总能量为：
把上式应用于介质的一个小质元，则p就表示声压，常以p 表示。K为介质的体变弹性模量。 y y V 对平面简谐声波来讲，体积应变 = x x V 则声压为: p K y K A sin (t x )
x u u
V V
由于纵波波速即声速为 u
K

所以上式又可改写为: x x p uA sin (t ) p m sin (t ) u u x p m cos [(t ) ] u 2 式中 p m uA 称为声压振幅。
当
2 A A A 2 A1 A2 cos r2 r1 2 1
2 1 2 2
1 2 时，波程差为
r r2 r1 (2k 1) ,
2

( k 0,1,2)
A A1 A2 | 当波程差为半波长的奇数倍时减弱。 |
1.声压
介质中有声波传播时的压强和无声波时的静压强之间有一 差额，这一 差额称为声压。
x y A cos (t ) 设在密度为的流体中，有一平面余弦声波 u
沿x方向传播。当声波传播时，这段流体柱两端的位移分别 为y和y+y。体积增量为V=Sy。
根据流体的体变弹性模量的定义，可得 p K
（2） 设S1左侧任一点Q与S1的距离为x，同样的方法可 求得这两列波在P点引起的振动的相位差为
2 1 2
r2 r1

2 2 4


2


2

所以S1左侧各点的干涉相消，其合振幅恒为0,所以合成波的 强度也为0。
作业：P226~231页 5 , 6,7,8 计算20，22
体积元的总机械能
x W Wk Wp VA sin (t ) u
2 2 2
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能均随时间作 周期性变化，且变化是同相位的，量值时刻相等。
y
A
u
v最小,
y 也最小 x
B
O
x
v最大,
y 也最大 x
2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能
动能
弹性介质中取一体积元 ΔV，波的传
ΔV
播速度为u，质量 m V 波函数
y 质元振动速度 v A sin (t x / u) t 1 1 2 动能 Wk m v ( V ) A2 2 sin 2 (t x / u ) 2 2
y A cos (t x / u )
复习
y 6 102 sin 800t 例：振源振动方程为 波速 u 200m/s 沿着x轴正向传播。
求：①波函数； ②波长、频率； ③x 解：
5m处质点振动与波源的相位差。
2பைடு நூலகம்
①波源 y 6 10 cos(800t / 2)
x 波函数 y A cos t u
一. 波的叠加原理
1)几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、
传播方向）不变，互不干扰。--波传播的独立性
2)在相遇区域内任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引
起的振动位移的矢量和。--叠加原理
一般而言，波的叠加较复杂
二. 波的干涉
频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇 时，使某些地方振动始终加强，或始终减弱的现象。
几种声音的声强、声强级和响度：
炮声 痛觉阈 铆钉机 闹市车声 通常谈话 收音机（轻） 耳语 树叶沙沙声 听觉阈 1 1 10 -5 10 -6 10 -8 10 10 -11 10 -12 10
-10 -2
120 120 100 震耳 70 响 60 正常 40 轻 20 较轻 10 极轻 0
7.4 波的叠加与干涉
2 2 1 s T 800 400
1 / T 400Hz uT 200 / 400 0.5m
③.
x 5m
5 20 2 1 800 200
质点振动与波源的相位差。
7.3 波的能量 声波
一. 波的能量
波动的过程实际是能量传递的过程。这是波动过程的一个 重要特征。 每个质元振动所具有的动能 之和 1. 机械波的能量 每个质元形变所具有的势能 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
u
dW w udtdS udt dW I w u w 1 2 A2 dtdS 2
1 2 2 I A u 2
单位：J•s-1•m-2 任意谐波
dS
IA
2
二. 声波
声波是在弹性介质中传播的机械纵波. 声波频率 20 ~ 20000Hz 超声波频率 次声波频率 > 20000Hz < 20Hz
量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
3）波动的能量与振动能量的区别 振动能量中Ek、EP 相互交换，系统总机械能守恒。 波动能量中ΔWk、ΔWP同时达到最大，同时为零，总能量 随时间周期变化。
2. 波的能量密度 能量密度：介质单位体积中的波动能量.
介质中x处在时刻t的能量密度为：
其中S表示棒的横截面积，在外力不太大时，k =ES/x 为常数，称为劲度系数。所以体积元的弹性势能为：
体积元的弹性势能为：
1 1 ES 1 y 2 2 2 Wp k (y) (y) ESx( ) 2 2 x 2 x
因为
V Sx
u
E

1 x 2 2 2 W p V A sin (t ) 2 u 1 x 2 2 2 Wk Wp VA sin (t ) 2 u
2. 声强、声强级 1）声强：声波的平均能流密度叫声强。 2 1 1 pm I uA2 2 2 2 u 单位：W/m2
能够引起人们听觉的声强范围： 一般正常人听觉的最高声强为1W/m2，最低声强为 10-12 W/m2
。
2）声强级：由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强 I 0 1012 W m 2 （即相当于 级来描述声波的强弱，规定声强
r1=x+/4;而两波源的相位差为 2-1=-/2，所以这两列波 在P点引起的振动的相位差为
解：（1） 设S2右侧任一点P与S2的距离为x，则r2=x,
2 1 2
r2 r1



2

2
( ) 4


2


2
0
所以S2右侧各点的干涉加强，其合振幅恒为A=2A0。因为波 的强度IA2,所以合成波的强度I=4I1。