8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版
函数的图象与性质.板块二.函数的奇偶性与对称性.学生版
题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．【例1】 判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．【例2】 判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵()f x =； ⑶ 2()5||f x x x =+．典例分析板块二.函数的奇偶性与对称性【例4】 判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例5】 判断函数的奇偶性．2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．【例6】 判断下列函数的奇偶性：⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12xf x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数．【例7】 若函数f(x)= 3(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f xg x =+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例9】 已知()f x =，)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为（ ）．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【例10】 已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式．【例11】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例12】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．【例13】 已知偶函数f (x)的定义域为R ，当x ≥0时，f (x)=2x 3x-1+，求f (x)的解析式．设x ＜0，则－x ＞0【例14】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例15】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 是奇函数？【例16】 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例17】 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式.【例18】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．【例19】 已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数,且(1)2,(2)3f f =<,求,,a b c 的值.2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x)=12[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．【例20】 定义在R 上的函数f (x)=22x xx 1++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．【例21】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．【例22】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x ．3.利用函数奇偶性求函数值【例23】 已知f （x ）,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且求f (2).【例24】 已知()l n 1)4f x a x x =++++（a 、b 、c 为实数），且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是（ ）． A ．5-B ．-3C ．3D ．随a 、b 、c 而变【例25】 ⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）【例26】 已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++（ ）．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例27】 设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）． A ．2M m += B ．4M m += C ．2M m -=D ．4M m -=【例28】 函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例29】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例30】 已设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.【例31】 已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤，【例32】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【例33】 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．【例34】 知(),()f x g x 都是奇函数，()0f x >的解集是2(,)a b ，()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ba >，那么求()()0f x g x >的解集．2.函数对称性【例35】 设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．【例36】 当实数k 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-++1,1||)1(224y x y x x k 有惟一实数解.【例37】 设a 是正数，而}||2|||)},{(},1|),{(22a y x y x B y x y x A ≤+=≤+=是XOY平面内的点集，则B A ⊆的一个充分必要条件是5≥a （1986年上海中学生竞赛题）.【例38】 试证1991)19911()19911(19901990--+是整数.上例可推广为：设m 、n 为自然数，证明mm m nn )1()1(--+是整数.。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，在各个领域都有广泛应用。
理解和应用函数对称性有助于我们更好地理解和解决数学问题。
本文将对函数对称性的概念、性质和应用进行总结。
函数对称性的概念：在数学中，函数对称性是指函数具有某种变换性质，使得在一定的条件下，函数在变换前后保持不变。
具体来说，如果对于定义域上的任意一个元素x，都存在一个元素y，使得对称变换后的x，会得到y，在函数对称变换之后，函数的图像也会发生相应的变化。
函数对称性可以分为轴对称、中心对称和周期对称等。
1.轴对称：一个函数在平面上如果具有轴对称性，比如存在一个轴使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是轴对称函数。
轴对称函数的图像具有左右对称的特点。
比如，y = x^2 就是一个轴对称函数，其图像关于y轴对称。
2.中心对称：一个函数在平面上如果具有中心对称性，比如存在一个点使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是中心对称函数。
中心对称函数的图像具有上下左右对称的特点。
比如，y = sin(x) 就是一个中心对称函数，其图像关于原点对称。
3.周期对称：一个函数如果具有周期对称性，那么在一定的周期内，函数的变换可以形成循环。
即，在给定的周期内，函数的某个值与另一个值相等。
周期对称函数的图像在周期内具有相似的形状和变化趋势。
比如，y = sin(x) 就是一个周期对称函数，其周期为2π。
函数对称性的性质：1.对称轴或对称中心是函数对称性的重要特征。
通过找到函数的对称轴或对称中心，可以更好地理解函数的变化规律和性质。
2.函数对称性能够简化函数的分析和计算过程。
根据函数对称性的特点，我们可以通过分析对称图形的一部分，推断出对称图形的其他部分；通过对称性可以简化函数的复杂性，并提供更方便的计算方法。
3.函数对称性能够提供问题求解的启示。
函数对称性在实际问题中具有重要的应用价值，比如建筑设计中的对称线、电路中的交流信号分析等。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结在高三数学中，函数是一个重要的概念和知识点。
在函数的学习中，函数的对称性是一个关键的概念。
了解和掌握函数的对称性是解题的基础，本文将对高三函数的对称性知识点进行总结。
函数的对称性可以分为平面对称和轴对称两种情况。
平面对称是指函数图像关于某个平面对称，而轴对称则是指函数图像关于某个轴对称。
接下来将分别从平面对称和轴对称两个方面来介绍高三函数的对称性知识点。
平面对称性是函数图像相对于某个平面的对称性。
当函数的图像关于$x$轴或$y$轴对称时，即可说函数具有平面对称性。
平面对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$x$轴对称的点也在函数图像上。
2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$y$轴对称的点也在函数图像上。
轴对称性是函数图像相对于某个轴的对称性。
当函数的图像关于$x$轴、$y$轴或者直线$x=a$对称时，即可说函数具有轴对称性。
轴对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(x,-y)$也在函数图像上。
2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(-x,y)$也在函数图像上。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数的常用性质总结汇总
函数的常用性质总结汇总函数的对称性、奇偶性与周期性常用性质总结函数的奇偶性：1.奇函数：对于定义域任意，都满足，则函数是奇函数图像关于原点对称2.偶函数：对于定义域任意，都满足，则函数是偶函数图像关于轴对称函数的对称性：（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若函数满足条件：,则函数的图象关于直线对称。
推论：的图象关于直线对称2.若函数满足条件：，则的图象关于点对称。
推论：的图象关于点对称3.若函数满足条件：，则函数的图象关于点对称。
推论：的图象关于点对称注：1.函数是偶函数，即满足图像关于直线对对称（也即轴）2.函数是奇函数，即满足图像关于点对称（也即原点）3.对于任意函数的图像不可能关于直线对称（二）两个函数的图象对称性1函数与图象关于轴对称2.函数与图象关于轴对称3.函数与图象关于原点对称4.若函数定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。
推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称5.若函数定义域为，则函数与的图象关于点对称推论：函数与函数图象关于点对称。
互为反函数：函数与函数图像关于直线对称。
函数的周期性：周期定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
常见周期类型：若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的函数推论1.若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论2：若函数满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论3：若函数满足条件，则是以为周期的周期函数。
的周期为的周期为的周期为四．函数周期性与对称性的关系：若函数的图象关于直线与对称，则是以为周期的周期函数。
若函数的图象关于点与点对称，则是以为周期的周期函数。
若函数的图象关于直线与点，则是以为周期的周期函数。
注:“内同表示周期性，内反表示对称性”函数奇偶性与对称性的关系：若函数为偶函数，则函数图像直线对称（为偶函数）若函数为奇函数，则函数图像点对称（为奇函数）函数奇偶性、对称性、周期性的关系：若函数是奇函数，且图像关于直线对称，则函数是以周期的周期函数；若关于点对称，则函数是以周期的周期函数。
高中数学中的函数与图像对称性质
高中数学中的函数与图像对称性质在高中数学中，函数与图像的对称性质是一个重要的概念。
通过对函数和图像的对称性质的研究，我们能够更好地理解函数的性质和图像的特点。
本文将从函数的对称性、图像的对称性以及对称性在解题中的应用等方面进行探讨。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变。
常见的函数对称性有奇偶性、周期性和对称轴等。
1. 奇偶性对于一个函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇偶性是函数对称性的一种重要表现形式。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以发现f(-x) = (-x)^2 = x^2，即f(x) = f(-x)，所以函数f(x)是一个偶函数。
而对于函数g(x) = x^3，我们可以发现g(-x) = (-x)^3 = -x^3，即g(-x) = -g(x)，所以函数g(x)是一个奇函数。
2. 周期性对于一个函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数。
周期性是函数对称性的另一种表现形式。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以发现f(x+2π) = sin(x+2π) = sin(x)，即f(x+2π) = f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数。
3. 对称轴对于一个函数f(x)，如果存在一条直线x = a，使得对于任意x，有f(2a-x) =f(x)，则称直线x = a为函数f(x)的对称轴。
对称轴是函数对称性的又一种表现形式。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以发现f(2a-x) = (2a-x)^2 = (x+2a-x)^2 = x^2，即f(2a-x) = f(x)，所以直线x = a是函数f(x)的对称轴。
二、图像的对称性图像的对称性是指图像在某种变换下保持不变。
常见的图像对称性有轴对称和中心对称等。
函数对称的知识点总结
函数对称的知识点总结函数对称是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和分析等各个领域都有着重要的应用。
函数对称可以由函数的图像、函数表达式和函数的性质来描述。
在本文中，我们将探讨函数对称的各种类型和性质，并且将介绍函数对称在各种数学问题中的应用。
一、基本概念1.1 函数的对称性在数学中，函数的对称性是指函数图像相对于某个直线或者点的对称性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1.2 函数的图像和对称性根据函数的图像可以很直观地判断函数的对称性。
例如，当函数的图像关于y轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=f(-x)；当函数的图像关于x轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=-f(-x)；当函数的图像关于原点对称时，函数的表达式一般可以表示为f(-x)=-f(x)。
1.3 函数的性质和对称性函数的对称性也可以由函数的性质来判断。
例如，奇函数具有关于原点对称的性质，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
二、函数的对称类型2.1 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称。
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数、和函数等。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
常见的偶函数包括幂函数、指数函数、对数函数等。
2.3 周期函数周期函数是指函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
周期函数的图像在某个区间上有重复的规律。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数等。
2.4 对称关于y轴的函数函数关于y轴对称的性质是指f(x)=f(-x)。
常见的对称关于y轴的函数包括二次函数、幂函数、指数函数等。
2.5 对称关于x轴的函数函数关于x轴对称的性质是指f(x)=-f(-x)。
常见的对称关于x轴的函数包括一次函数、双曲函数、指数函数等。
函数的基本性质(学生版)
第二讲 函数的基本性质知识梳理：1.函数的单调性(局部性质)（1）注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)直接法：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
（D ）复合函数的单调性：复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2．函数的奇偶性（整体性质）⑴偶函数:f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)⑵奇函数:f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)⑶具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．⑷利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . ⑸设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇3．函数最大（小）值○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 基础检测：1、已知函数a x x x f ++=2)(2在区间[]2,3-上的最大值是4，则a = 。
函数的两个主要性质
函数的两个主要性质
其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质性质一：对称性
数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴X和Y轴对称。
原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，间隔原点一样的函数上点的坐标的坐标值互为相反数。
关于一点对称：这种类型和原点对称颇为相近，不同的是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任意一点。
性质二：周期性
所谓周期性也就是说，函数在一局部区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，那么可以说T是该函数的周期，假如T的绝对值到达最小，那么称之为最小周
期。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数的基本性质 (学生版)
函数的基本性质 一.考点，难点，热点；1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 5．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 6．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值M 为最小值7．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 8.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、典型例题考点一：函数的定义域、解析式及图像1、函数21x f (x )e -=的部分图象大致是2、函数()2lg 212x y x x=++-的定义域是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3、已知函数2()4f x x =-,()y g x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()log g x x =,则函数()()f x g x ⋅的大致图象为4、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为考点二：函数的奇偶性与周期性、对称性1、已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22、已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．03、已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是 （ ）A ．23B ．2C ．4D ．64、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x >0时,()12x f x -=-,则不等式()f x <12-的解集是 （ ）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,2()21,(log 12)x f x f =-则=A.13B ．43C ．2D ．11三、课堂实战1、函数2ln ||x y x x=+的图象大致为2、已知函数1()()2x xf x e e -=-, 则()f x 的图象 （ ）A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称3、函数y =2x-2x 的图像大致是4、已知函数()2x f x e =-,2()45g x x x =-+-.若有()()f b g a =,则a 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．(22,22)-+C ．[22,22]-+D ．[2,3] 5、已知函数()f x 的定义域为[3,6],则函数12(2)log (2)f x y x =-的定义域为（ ）A ．3[,)2+∞ B ．3[,2)2C ．3(,)2+∞D ．1[,2)26、已知奇函数3(0),()()(0),x a x f x g x x ⎧+=⎨⎩≥＜则(2)g -的值为__________.7、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x,则2(1log 5)f +的值为___________;8、奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于（ ）A ．0B ．1C ．21－D ．21 9、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f = （ ）A ．0B ．2013C ．3D ．2013-11、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912、下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是（ ）A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x y D ．||2x y -=13、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．xx f 1)(=B ．x x f -=)( C ．x x x f 22)(-=-D ．x x f tan )(-=14、定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有2121()()0f x f x x x -<-,则有（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-15、已知)(x f 为奇函数,在[]3,6上是增函数,[]3,6上的最大值为8,最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-等于（ ）A ．15-B ．13-C ．5-D ．516、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) （ ）A ．3-B ．3C ．8-D ．817、已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．218、设奇函数错误！未找到引用源。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系；的关系； ③作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。
是奇函数。
（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇 2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。
高二函数图像的性质知识点
高二函数图像的性质知识点函数图像的性质是高中数学中一个重要的知识点，尤其在高二学习中更加突出。
在本文中，我们将介绍高二函数图像的性质，包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。
一、函数的奇偶性在研究函数的性质时，奇偶性是一个重要的方面。
函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴或者原点的对称性。
具体而言，如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值也取相反数，那么这个函数就是偶函数；如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值取相反数的相反数，即：y=-y，那么这个函数就是奇函数。
二、函数的对称性除了奇偶性之外，函数还具有其他的对称性。
在函数图像中，如果图像关于y轴对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于y轴的对称性。
类似地，如果图像关于原点对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, -y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于原点的对称性。
三、函数的单调性函数的单调性是函数图像的一个重要性质。
在函数中，如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1小于y2，那么这个函数就是增函数；如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1大于y2，那么这个函数就是减函数。
增函数的图像呈现逐渐上升的趋势，减函数的图像呈现逐渐下降的趋势。
四、函数的周期性某些函数具有周期性，即函数图像在一定范围内重复出现。
周期性可以通过函数的图像观察得到，当函数在一个周期内的取值规律与整个函数的取值规律相似时，就具有周期性。
例如，三角函数就是一类常见的周期函数，如正弦函数和余弦函数等。
综上所述，高二函数图像的性质包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。
这些性质能够帮助我们更好地理解函数的图像，从而更好地解决与函数相关的问题。
对于高二学生来说，掌握这些性质是非常重要的，它们不仅能够帮助我们在学习中深入理解函数的本质，还能够应用到实际问题的解决中。
函数的周期性和对称性
6：函数 是定义在R上的偶函数，且对任意的实数x，都有 成立，若当 时， (1)求 时，函数 的表达式； (2)求当 函数 的表达式； (3)若函数 的最大值为 解关于x不等式
5：设 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式。
3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。 性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=
X=a
X=b
性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T= 假定 (a,0) (b,0)
（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 图象关于直线 对称,在 上， 求当 时 的解析式。
例5：设 是定义在R上的偶函数，它的图 象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式
性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=
假定
X=b
(a,0)
X
Y
O
练习1:定义在R上的函数 满足 且方程 有1001个根，则这1001个根的和？ 4:如果 那么 3：如果 那么 2:函数 图象关于点 对称，则
函数的性质 --对称性、周期性
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(1)若 关于直线 对称
一、函数的对称性
若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。
(2)若 关于点 对称
5:(1)定义在R上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有( )个根。 (2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间 至少有( )个根。
函数的性质之---函数的对称性
函数的性质之---函数的对称性
对称性，我相信读者们或多或少已经了解过，或者现在还记得小学学习的对称，对称性在高中阶段包含了两方面，其中一方面就是轴对称，另一方面就是中心对称。
轴对称：
什么是轴对称？从字面上看就是关于一条轴对称，这条轴叫做对称轴。
函数是否有对称性就看函数的图像是否是关于一条轴对称，如果是，则就是轴对称函数，反之找不到这条对称轴，则就不是。
中心对称：
什么是中心对称？从字面上看就是关于一个中心对称，这个中心数学界叫做对称中心。
函数是否有对称性就看函数的图像是否是关于一个点对称，如果是，则就是中心对称函数，反之找不到这个对称中心点，则就不是。
三、判断方式
作者在讲解对称性的时候已经透露了一种判断的方式，就是根据图像判断，如果能在图像上找到一条轴对称，那么这个函数就有对称性，同样如果能找到一个中心对称点，那么这个函数就有对称性。
第二种方法就是根据函数的解析式来进行判断：
轴对称函数则必须满足：f(x+c)=f(-x)（c是一个常数）
根据这个表达式可以得知，只要函数的横坐标相加为一个常
数，这就是说明这个函数有着对称性，是一个轴对称图形，并且这个函数的对称轴是：
x=c/2
中心对称函数则必须满足：f(x+c)+f(-x)=b（c，b是一个常数）
根据这个表达式可以得知，只要函数的横坐标，纵坐标相加为一个常数，这就是说明这个函数有着对称性，是一个中心对称图形，并且这个函数的对称中心是：
（c/2，b/2）。
8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数对称性1、函数的自对称问题已知函数()y f x =图像关于：（1）直线x a =对称，则()f x =()2f a x -；（2）点(),a b 对称，则()()22f x b f a x =--，即()()22f x f a x b +-=。
2、函数的互对称问题若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：（1）x 轴对称，则()()g x f x =-； （2）y 轴对称，则()g x =()f x -； （3）原点对称，则()()g x f x =--。
（4）()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称()()f a x g a x +=-； （5）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称()()2f x g x b +=； （6）()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称()()2f a x g a x b ++-=； （7）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称()f x 和()g x 互为反函数。
二、函数图像变换注意：一切变换针对于变量本身 （1）平移变换：ⅰ．函数)(x f y = ⅱ．函数)(x f y =（2）伸缩变换：⇔⇔⇔⇔ⅰ．函数)(x f y =的图象函数)(x k f y ⋅=的图象； ⅱ．函数)(x f y =（3）对称变换：ⅰ．函数)(x f y = ⅱ．函数)(x f y = ⅲ．函数)(x f y = ⅳ．函数)(x f y =ⅴ．函数)(x f y =（4）翻折：自变量y 加绝对值即把x 轴下方部分翻折到上方即可，自变量x 加绝对值需把y 轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像。
(5)顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行。
但注意，由于习惯把y 单独放在等式左边，所以针对于y 的变换如在右侧进行的话，规则相反。
函数的对称性 高中数学知识点
3.2.2函数的对称性1.函数对称性的概念(1)轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称，称该直线为该函数的对称轴(2)中心对称：如果一个函数的图象绕一个点旋转180°，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称，称该点为该函数的对称中心2.函数的自对称(1)若函数()f x 的图象关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b −++=;反之亦然(2)若函数()f x 的图象关于直线x=a 对称，则()()f a x f a x +=−;反之亦然.一般地，若函数()f x 满足()()f a x f b x c −++=,则它的图象关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若函数()f x 满足()()f a x f b x −=+,则它的图象关于直线2a b x +=对称； ①()y f a x =+是偶函数()()()()2f a x f a x f x f a x ⇔+=−⇔=−⇔()f x 关于x a =对称；②()()()f a x f b x f x +=−⇔关于2a b x +=对称； ③()y f a x =+是奇函数()()()f a x f a x f x ⇔+=−−⇔关于点(),0a 中心对称； ④()()()()()2f x a f x a f x a f x f x +=−⇔+=⇔是周期为()20T a a =≠的周期函数1.2. 已知二次函数()f x 同时满足条件：①()()11f x f x +=−;②()f x 的最大值为15;③()0f x =两根的立方和为17.求()f x 的解析式。
3. （1）求函数()21x f x x =−图像的对称中心； （2）若函数()()()4f x x a x a x =+−+−的图像是中心对称图形，求实数a 的值4. 已知函数()22f x x x =−，若关于x 的方程()()0f x f a x t +−−=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，求实数t 的取值范围5. 已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x +=与()y f x =的交点为()()()1122,,,,,m m x y x y x y ，则()1m i i i x y =+=∑m 3.函数的互对称(1)已知函数()y f x =,则函数()y f a mx =+与函数()y f b mx =−的图象关于直线2b a x m−=轴对称.注：对称直线方程可简单记为变量相等，即a+mx=b-mx. (2)已知函数()y f x =,则函数()y f x a m =−+与函数()y f b x n =−−+的图象关于点,22a b m n ++⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称.注：与对称直线方程相比，对称中心的横坐标可简单记为变量相等时的变量值，即x a b x −=−,可得2b a x +=,而纵坐标就是上下平移的平均值 6. 对于定义在R 上的函数()f x ,有下列四个命题①若()f x 是奇函数，则()1f x −的图象关于点()1,0A 对称；②若函数()1f x −的图象关于直线1x =对称,则()f x 为偶函数；③函数()1y f x =+与函数()1y f x =−的图象关于直线1x =对称；④若对x R ∈,有()()11f x f x +=−,则()y f x =的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的序号为。
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教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数对称性1、函数的自对称问题已知函数()y f x =图像关于：（1）直线x a =对称，则()f x =()2f a x -；（2）点(),a b 对称，则()()22f x b f a x =--，即()()22f x f a x b +-=。
2、函数的互对称问题若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：（1）x 轴对称，则()()g x f x =-；（2）y 轴对称，则()g x =()f x -；（3）原点对称，则()()g x f x =--。
（4）()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称⇔()()f a x g a x +=-；（5）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称⇔()()2f x g x b +=；（6）()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=；（7）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称⇔()f x 和()g x 互为反函数。
二、函数图像变换注意：一切变换针对于变量本身（1）平移变换：ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象；ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象；（2）伸缩变换： ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ⋅=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ⋅=的图象；（3）对称变换：ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象；ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象；ⅲ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象；ⅳ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象； ⅴ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象；（4）翻折：自变量y 加绝对值即把x 轴下方部分翻折到上方即可，自变量x 加绝对值需把y 轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像。
(5)顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行。
但注意，由于习惯把y 单独放在等式左边，所以针对于y 的变换如在右侧进行的话，规则相反。
如：213223x y -+=-+可由函数3322y x x y y +=−−−−→=−−−−−−−−−−→向左平移将轴左侧图像换为与右侧对称图像313213222x x x y y y +-+-+=−−−−→=−−−−−→=向右平移1横坐标缩小一半（针对于x 的变换结束） 213213213222222x x x x y y y -+-+-+=−−−−→=-−−−−−−−→=-−−−−→向下平移将轴下方图像翻上来向上平移3213223x y -+=-+（针对于y 的变换结束）三、综合性质：1、若()()f x a f b x +=-，则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称； 2、若()()f x a f b x c ++-=，则()y f x =图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称； 3、()y f x a =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称； 4、()y f x a m =++与()y n f b x =--关于点,22b a m n -+⎛⎫⎪⎝⎭对称； 5、若()f x 关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 为以()2b a -为周期的周期函数；6、若()f x 关于点(),0a 和x b =()a b ≠对称，则()f x 为以()4b a -为周期的周期函数；7、若()f x 关于点()0,a y 和()0,b y ()a b ≠对称，则()f x 为以()2b a -为周期的周期函数。
记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题。
四、函数的零点：对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数()()y f x x D =∈的零点。
注：零点是数；用二分法求零点的理论依据是：（零点定理）①函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续； ②()()0f a f b ⋅<那么，一定存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。
（反之，未必）【经典例题】例1、关于)(x f y =给出下列五个命题：①若)1()1(x f x f +=+-，则)(x f y =是周期函数；②若)1()1(x f x f +-=-，则)(x f y =为奇函数；③若函数)1(-=x f y 的图像关于1=x 对称，则)(x f y =为偶函数；④函数)1(x f y +=与函数)1(x f y -=关于直线1=x 对称；⑤若)1()1(x f x f +=-，则)(x f y =的图像关于点)0,1(对称填写所有正确命题的序号_________例2、函数xy -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于________例3、确定函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心。
例4、求证函数xx y -=28log 2的图象关于点()1,3P 成中心对称。
例5、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()11,02f f -==-，则()()()()1232013f f f f ++++的值为（ ）A ．-2 B.-1 C.0 D.1例6、已知函数()3262a a f x x x x =-++的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1中心对称，求()f x 。
例7、已知()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，()()()32232g x a x x =---，其中92a >为常数，若()f x 的最大值为12，求a 的值。
例8、要得到()x y -=3lg 的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向_____平移3个单位而得到。
【拓展提高】例9、将函数()()311f x x =+-的图像按向量a 平移后得函数()g x 的图像，若函数()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a 的坐标是 （ ）A ()1,1--B 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ()2,2 D 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭例10、设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．例11、设函数()()||f x x a x b =-+（1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[1,1]x ∈-，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.例12、设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围． 【巩固练习】1、函数)(x f 满足对于任意的R x ∈都有)()2(x f x f -=+，那么函数的图像关于直线_ __ 对称。
2、已知函数1)(---=a x a x x f 的图像的对称中心是)1,4(则=a _______ 3、直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则的取值范围是_____4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线2=x 对称，且当)2,2(-∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当)2,6(--∈x 时，=)(x f _________5、若函数b ax x x f --=2)(的俩个零点是2和3，则函数1)(2--=ax bx x g 的零点是_ _____6、定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；7、若函数21()log ()f x x a x =+-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有零点，则实数a 的取值范围是_ _ _ 。
8、若函数y=f (x ) (x ∈R)满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．9、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．10、已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像。