高中数学课件-数列求和

10 2
10 3
10
n
)
1 9
(11 1 1)
n个1
1 10(10 n 1) n 1 (10 n1 10 9n) 9 10 1 9 81
（分组求和）
当
a 1
时，Sn
1
1 an
1 1
(3n 1)n 2
a
a a1n (3n 1)n
＝
a 1
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设 ak k(k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2 k
n
n
∴ Sn k(k 1)(2k 1) ＝ (2k 3 3k 2 k)
（合并求和）
(log 3 a1 a10 ) (log 3 a2 a9 ) (log 3 a5 a6 )
log3 9 log3 9 log3 9 10
七、利用数列的通项求和
• 先根据数列的结构及特征进行分析，找出 数列的通项及其特征，然后再利用数列的 通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一 个重要的方法.
• 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一 起就具有某种特殊的性质，因此，在求数 列的和时，可将这些项放在一起先求和， 然后再求Sn.
[例11]] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
3. 1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5. 1 1 ( a b ) a b ab
[例9]]
在数列{an}中，an
1 n 1
2 n 1
n n 1
[例14] 求 111111 11 1 1 之和.
n个1
解：由于 111 1
k个1
1 9
999 9
k个1
1 (10 k 9
1) （找通项及特征）
∴ 111111 11 1＝ 1 n个1
1 (101 1) 1 (102 1) 1 (103 1) 1 (10n 1)
9
9
9
9
1 9
(101
∵ cos n cos(180 n ) （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°） + （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°） + cos90°＝ 0
[例13] 在各项均为正数的等比数列中，若 a5a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10 的值.
设 Sn
2 4 2 22
6 2n
23
2n
…………………………………①
1 2
S
n
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2 2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
2
2
2
2
五、裂项法求和
• 这是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通 项）分解，然后重新组合，使之能消去一
些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂 项）如：
常见的拆项公式 [z x x k 学科网]
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
2
例 1．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{Sn}的前 n 项和为 Tn，满足 Tn＝2Sn－n2，n∈N*. （1）求 a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．
二、错位相减法求和
• 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式 时所用的方法，这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分 别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和
：
Sn
1 3x
5x2
7x3
(2n
1)x n1
[例4] 求数列
2 2
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
前n项的和
[例4] 求数列
2 2
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
前n项的和
解：由题可知，{
2n 2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1 2n }的通项之积
a a2
a n1
解：设
Sn
(11) ( 1 a
4) ( 1 a2
7) ( 1 a n1
3n 2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn
(1
1 a
1 a2
1 ) (1 4 7 3n 2) a n1
（分组）
当a＝1时，S n
n (3n 1)n 2
＝ (3n 1)n 2
，又
bn
2 an an1
求数列{bn}的前n项的和
解：∵
12
nn
an
n 1
n 1
n 1
2
∴
bn
n
2 n
1
8( 1 n
1) n 1
（裂项）
22
∴ 数列{bn}的前n项和
Sn
8[(1
1) (1 22
1) (1 33
1) (1
4
n
n
1
1)]＝
8(1
1) n 1
＝
8n n 1
六、合并法求和
解：设 Sn log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10
由等比数列的性质 m n p q aman apa（q 找特殊性质项）
和对数的运算性质log a M log a N log a M N 得
Sn (log 3 a1 log 3 a10 ) (log 3 a2 log 3 a9 ) (log 3 a5 log 3 a6 )
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的
最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：
Sn
n(a1 2
an
)
na1
n(n 1) 2
d
2、等比数列求和公式：Sn
na1 a1 (1
q
n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
3、Sn
n k 1
k
1n(n 2
1)
k 1
k 1
将其每一项拆开再重新组合得
n
n
n
S ＝ 2 k 3 3 k 2 k
n
k 1
k 1
k 1
（分组）
2(13 23 n3) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)
n2 (n 1)2 n(n 1)(2n 1) n(n 1) n(n 1)2 (n 2)
三、倒序相加法求和
• 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列（反 序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.
[例6] 求 sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 88 sin2 89 的值
例1.设f x
4x 4x 2
,求f 1 2008
f
2 2008
f 2007 的值 2008
四、分组法求和
• 有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
4、Sn
n k 1
k2
1n(n 6
1)( 2n
1)
5、Sn
n k 1
k3
[1n(n 1)]2 2
• [例1] 已知
log 3
x
1 log 2 3
，
求 x x2 x3 xn 的前n项和
由等比数列求和公式得
Sn
x
x2
x3
xn
x(1 xn ) 1 x
1 2
(1
1 2n
1 1
)
1
1 2n