空间向量与立体几何(1)s

立体几何与空间向量（1）

知识点1 空间向量的坐标运算

设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k；

(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k.

已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．知识点2 证明线面的平行、垂直

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD

为平行四边形． 证明

知识点3 向量坐标的应用

棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是

平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．

(1)求证：B 1O 3⊥PA ； (2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值；

(3)求PO 2的长．

直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1

＝2，N 是AA 1的中点．

(1)求BN 的长；

(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值． 解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则

知识点4 棱柱、棱锥和棱台 圆柱、圆锥、圆台和球

例1：如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何

体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．

A '

D ' B ' C '

例2：观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？ （1）

（2）

例3：请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．

知识点5：中心投影和平行投影

知识、一个封闭的立方体，它的六个表面各标有F E D C B A ，，，，，这六个字母之一，

现放置成如图的三种不同的位置，则字母C B A ，，对面的字母分别为 ．

例5：如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影

C

A '

B A

B '

C '

A

A '

B

C

D

B '

C '

D '

A

A '

B

C

D

E

F B 'C 'D 'F 'E ' （3）

A

B

C

A

D C

E

B A

C

B

可能是(

)

A ．(1)(2)(3)(4)

B ．(1)(3)

C ．(1)(4)

D ．(2)(4)

例6：一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积

（单位：cm 3）为（ ）

（A ）72cm 3 （B ）36cm 3 （C ）24cm 3 （D ）12cm 3

例7：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）

A. B. C. D.

正视图 侧视图

俯视图

6 4

4

6

6

6

3

（第6题）

知识点6：平面的基本性质 完成表格

位置关系 符号表示

点P 在直线l 上

直线AB 与直线BC 交于点B

∈M 平面α

l C ∉

⊂AB 平面α

直线l 不在平面α内

例13：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题

是否正确？并说明理由． ①．1AC 在平面B B CC 11内；

②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，

则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；

④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，

若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；

⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．

例14：在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．

A B

C D

O

O 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A

B

C

D D 1

C 1

B 1

A 1

例16：正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为1111C B C D 、的中点，

P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11．

求证：（1）E F B D 、、、四点共面；

（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则R Q P 、、三点共线．

知识点7：空间两条直线的位置关系

例18：三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； （2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形；

（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．

例19：已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．

且2==HD

AH

EB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．

A

B

C

D

P

A 1

B 1

C 1

D 1

F

G

H

A

B

C

D

E

B

F C

G D H

E

A