2020学年武汉市部分高中学校高一上学期期末数学试卷
2020-2020学年湖北省武汉市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则=．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2020-2020学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则=．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x +）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f （x ）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）。
湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={y|1<y≤6}，集合N={x|x2−2x−3≤0,x∈N∗}，集合P=M⋂N，则P的非空子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.设则f(g(π))=()A. 3B. 4C. 6D. 83.设α∈(0,π2)，sinα=√63，则tanα等于()A. 12B. √22C. √2D. 24.当a>1时，函数y=log a x和y=(1−a)x的图象只可能是()A. B.C. D.5.已知α角的终边经过点P(−6,y)，且，则y的值为()A. B. 52C. −52D. ±526.已知f(x)=√1+x，当π4<θ<π2时，f(sin2θ)−f[sin(−2θ)]的值为()A. 2sinθB. 2cosθC. −2sinθD. −2cosθ7.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A. d1>d2B. d1<d2C. d1>20mD. d2<20m8. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且a =f(−1)，b =f(log 24)，则实数a ，b 的大小关系时( )A. a <bB. a =bC. a >bD. 不能比较9. 已知函数f(x)=x 2−ax +1 在(1,3)有零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,52)D. (2,103) 10. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减11. 若函数f(x)=log 3(x 2+ax +a +5)，f(x)在区间(−∞,1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为( ) A. [−3,−2] B. [−3,−2)C. (−∞,−2]D. (−∞,−2) 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=( )A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数y =f(x +2)是奇函数，且x ∈(0,2)时，f(x)=2x ，则f(3.5)= ______ ．14. 记函数f(x)=3sin(2x −π3)的图像为C ，则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的序号)．①图像C 关于直线x =11π12对称;②图像C 关于点(2π3,0)对称;③函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数;④由y =3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度后可以得到图像C ．15. 已知数列{a n }的前4项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为______ ．16.函数f(x)={1, x>0 0, x=0−1, x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥x−2}．(1)求A∩B；(2)(∁U B)∪A．18.已知函数f(x)=4cosωx⋅sin(ωx+π6)+a(ω>0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π。
湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题及答案
（2）已知
3 tan
=
−2
tan
+
4
，求
cos
2
+
4
的值.
20.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = −x2 + 2x + 3 + x
（1）求 f ( x) 的定义域；
（2）求 f ( x) 的最小值.
21.（本题满分 12 分）
( ) 已知函数 f (x) = log4 4x +1 + kx(k R) 是偶函数.
（1）求 k 的值；
（2）若方程
f
(x)
=
log4
m 2x
−1 有解，求实数 m
的取值范围.
22.（本题满分 12 分）
用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假
7.已知 a = log0.1 0.2 ， b = log1.1 0.2， c = 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
8.在同一直角坐标系中，分别作函数
y
=
1 ax
，
y
= loga
lg(2 − x) + 1 的定义域为（ ） x +1
A. (−1, 2] B. [−1, 2) C. (−1, 2) D.[−1, 2)
6.若
cos
4
−
=
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2019-2020学年人教A版湖北省武汉市武昌区高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3二、填空题13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是．16．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是．三、解答题17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝（﹣1，1）．故选：B．2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，则cosα＝＝，故选：A．3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据常见函数的单调性的性质分别判断即可．解：对于A，函数在（0，2）递减，不合题意；对于B，函数在（0，2）递减，不合题意；对于C，函数在（0，2）递减，不合题意；对于D，函数在（0，2）递增，符合题意；故选：D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣1＜x＜2．∴函数的定义域为（﹣1，2）．故选：C．6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α＝cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：a＝log0.10.2∈（0，1），b＝log1.10.2＜0，c＝1.10.2＞1，则a，b，c的大小关系为：c＞a＞b．故选：D．8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据对数函数的指数函数的单调性分别进行讨论即可．解：在对数中a＞0且a≠1，对数函数的定义域为（，+∞），则②④不正确，①中，对数函数为减函数，则0＜a＜1，此时函数y＝为增函数，故①正确，③中，对数函数为增函数，则a＞1，此时函数y＝为减函数，故③正确，故正确的有两个，故选：B．9．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：知函数＝，把图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）＝的图象，由于x，所以．故．所以函数的最小值为﹣3．故选：C．10．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n【分析】本题运用均值不等式和对数函数的性质分别得到m、n的取值范围，即可判断m，n之间的大小关系．解：由题意，可知m＝a++1≥2+1＝3，当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立；又x＞，根据对数函数性质，可得n＝＜＝3，∴m≥3＞n，即m＞n．故选：A．11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】先通过f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，来确定a的取值范围，再由此判断其他问题的正误．解：当x∈[0，2π]时，，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴即，所以③正确；①当＜6π即时，函数y＝f（x）+1在（0，2π）上有3个零点，即①错误；②当x∈时，，若f（x）在单调递增，则即，∵，∴符合题意，即②正确；所以正确的有②③，故选：C．12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3【分析】由题意可得a＜b＜c，则a＜0，c＞0，依题意可得：﹣＜＜1，然后结合根的对称性分析得答案．解：∵﹣1是函数f（x）＝ax2﹣bx+c的一个零点，∴a+b+c＝0，∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，∵﹣1×m＝＜0，∴m＞0．由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜．∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，∴m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x0∈（﹣1，m），故0＜m﹣x0＜（2d）min，∴x0＜m+x0，综合四个选项，实数m的值可能是+x0．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】直接利用A⊆B即可求解．解：∵集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，且A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为 4 ．【分析】化简函数为cos x的二次函数，根据cos x的范围求得f（x）的最大值．解：∵f（x）＝3sin（x+）+cos2x＝3cos x+2cos2x﹣1＝2（cos x+）2﹣，∵cos x∈[﹣1，1]，∴在cos x＝1时，f（x）取得最大值为2×（1+）2﹣＝4，故答案为：4．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是2 ．【分析】结合正弦函数的性质先求出函数的单调递增区间，然后结合已知区间递增可建立不等式可求．解：由ωx+可得，，故函数的单调递增区间为（﹣，），又f（x）在（0，）上单调递增，故，解可得，0＜ω≤2即ω的最大值为2．故答案为：216．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【分析】讨论当m≥0时，不等式显然不成立；当m＝﹣1时，恒成立；当m＜﹣1时，去绝对值，由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得恒成立；当﹣1＜m＜0时，不等式不恒成立．解：由f（m+x）+mf（x）＜0得：（x+m）|x+m|+mx2＜0，x≥1，当m≥0时，即有（x+m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．当m＝﹣1时，即有（x﹣1）2﹣x2＝1﹣2x＜﹣1＜0恒成立；当m＜﹣1时，﹣m＞1，当x≥﹣m＞1，即有（x+m）2+mx2＝（1+m）x2+2mx+m2，由1+m＜0，对称轴为x＝﹣＜1，则区间[﹣m，+∞）为减区间，即有（1+m）x2+2mx+m2≤m3＜0恒成立；当﹣1＜m＜0时，由x+m＞0，可得（x+m）2+mx2＜0不恒成立．综上可得当m≤﹣1时，对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．【分析】（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．函数M（x）的图象图2．（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，解得x，即可得出．解：（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）图1 函数f（x），g（x）的图象图2 函数M（x）的图象（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，得x（x+1）＝0，解得x＝﹣1，或x＝0．结合图2，得出函数M（x）＝．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．【分析】（1）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；（2）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解函数的最值．解：（1），因为，所以ω＝1．（2）由（1）知．因为﹣π≤x≤0，所以．当，即时，f（x）取得最小值．所以f（x）的最小值为．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）利用同角基本关系及二倍角及和差角公式进行化简即可求；（2）先由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．解：（1）＝，＝．（2）因为，所以tanα＝2或．因为，所以，分子分母同除以cos2α，得，将tanα＝2或分别代入上式，得．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．【分析】本题第（1）题根据﹣x2+2x+3≥0即可解得函数f（x）的定义域；第（2）题对f（x）进行变形后运用三角换元法令，将一般函数转化为三角函数求最值问题．解：（1）依题意，由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3．故函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．（2）由题意，根据，可知（x﹣1）2≤4．令，则，即．∵，∴，∴，∴，故f（x）的最小值为﹣1．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．【分析】（1）根据偶函数可知f（x）＝f（﹣x），取x＝﹣1代入即可求出k的值；（2）问题转化为22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，从而求出m的范围即可．解：（1）由题意得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）+k（﹣x）＝log4（4x+1）+kx，化简得log4＝2kx，从而4（2k+1）x＝1，此式在x∈R上恒成立，∴；（2）由（1）若方程有解，则log4（4x+1）＝log4（m﹣2x）有解，故22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，故＝m﹣有解，而（t+）2＞，故m﹣＞，解得：m＞1．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．【分析】（1）（i）根据函数f（x）的实际意义即可写出，（ii）由题意可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为，再利用作差法比较即可．解：（1）（ⅰ）f（0）＝1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1，，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的；（ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为．由于，所以，W1﹣W2的符号由a2﹣16决定，当a＞4时，W1＞W2．此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a＝4时，W1＝W2．此时，两种清洗方法效果相同；当a＜4时，W1＜W2．此时，用a单位的水清洗一次，残留的农药量较少．。
2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．已知M ＝{x |x 2﹣x ≤0}，N ＝{x |x−1x≤0}，则集合M 、N 之间的关系为（ ）A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．N ⫋MD ．M ⫋N2．设f （x ）={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，g （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，则f （g （π））的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．π3．已知α∈[π4，π2]，sin2α=√55，则tan2α＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．−124．已知lga +lgb ＝0（a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1），则函数f （x ）＝a ﹣x 与函数g （x ）＝log b x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=−45，则m 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√326．化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（ ） A ．sin2+cos2B ．sin2﹣cos2C ．cos2﹣sin2D ．﹣sin2﹣cos27．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h 0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h 0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）A ．0.5倍B ．0.8倍C ．1倍D ．1.4倍8．定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，若a ＝f （log 216），b ＝f （log 24.9），c ＝f （20.8），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b9．若函数f （x ）＝2x −120x 2（x ＜0）的零点为x 0，且x 0∈（a ，a +1），a ∈Z ，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣410．给出下列函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝cos|x |，③y ＝sin （2x +π2），④y ＝tan|x |，其中周期为π的所有偶函数为（ ） A ．①②B ．①②③C ．②④D ．①③11．若y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[6，8）B ．[6，8]C ．[6，+∞）D ．[23，475）12．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2），其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，则φ的取值范围是（ ）A ．[−π6，π6]B ．[−π4，0]C ．（−π3，−π12]D ．[0，π4]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若y ＝f （x ）在x ∈[0，+∞）上的表达式为y ＝x （1﹣x ），且f （x ）为奇函数，则x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）等于 ．14．函数f （x ）＝3sin （2x −π3）的图象为C ，如下结论中正确的是 ①图象C 关于直线x =1112π对称； ②图象C 关于点（2π3，0）对称；③函数即f （x ）在区间（−π12，5π12）内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：12=0.00195】16．设函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x，x ≤0，则函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4的零点个数是 ． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣x 2+2x +15≤0}，B ＝{x ||x ﹣5|＜1}，求A ∪B ，（∁R A ）∩B ．18．函数f （x ）＝A sin （ωx −π6）+1（A ＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式和当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间； （Ⅱ）f （x ）的图象向右平行移动π12个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g （x ）的图象，用“五点法”作出g （x ）在[0，π]内的大致图象．19．已知定义域为R 的函数f(x)=2x2x +a−12是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1，2]，不等式f （x 2﹣mx ）+f （x 2+4）＞0成立，求实数m 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间． （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21．已知定义域在（0，+∞）上的函数f （x ）满足对于任意的x ，y ∈（0，+∞），都有f （xy ）＝f （x ）+f （y ），当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立． （1）设x ，y ∈（0，+∞），求证f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈（0，+∞），若f （x 1）＜f （x 2），试比较x 1与x 2的大小； （3）若﹣1＜a ＜3，解关于x 的不等式f [x 2﹣（a +1）x +a +1]＞0． 22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1．（Ⅰ）若f （x ）的值域为[0，+∞），求a 的值；（Ⅱ）已知a ≤12，是否存在这祥的实数a ，使函数y =f(x)−log 2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知M ＝{x |x 2﹣x ≤0}，N ＝{x |x−1x≤0}，则集合M 、N 之间的关系为（ ）A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．N ⫋MD ．M ⫋N【分析】可以求出集合M ，N ，然后即可判断集合M ，N 的关系． 解：∵M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{x |0＜x ≤1}， ∴M ∩N ＝N ，N ⫋M ． 故选：C ．2．设f （x ）={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，g （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，则f （g （π））的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．π【分析】根据π是无理数可求出g （π）的值，然后根据分段函数f （x ）的解析式可求出f （g （π））的值． 解：∵π是无理数 ∴g （π）＝0则f （g （π））＝f （0）＝0 故选：B ．3．已知α∈[π4，π2]，sin2α=√55，则tan2α＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12【分析】由已知求得cos2α，再由商的关系求解tan2α． 解：∵α∈[π4，π2，∴2α∈[π2，π]，又sin2α=√55，∴cos2α=−√1−sin 22α=−√1−15=−2√55．∴tan2α=sin2αcos2α=√55−2√55=−12．故选：D．4．已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，1a=b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．解：由lga+lgb＝0可知，1a=b，故f（x）＝a﹣x＝b x，故函数函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x的单调性相同，故选：B．5．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=−45，则m的值为（）A．−12B．12C．−√32D．√32【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．解：由题意可得x＝﹣8m，y＝﹣6sin30°＝﹣3，r＝|OP|=√64m2+9，cosα=x r =−8m√64m+9=−45，解得m=1 2，故选：B．6．化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（）A．sin2+cos2B．sin2﹣cos2C．cos2﹣sin2D．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．解：√1−2sin(π−2)cos(π+2)=√1−2sin2⋅(−cos2)√sin22+2sin2⋅cos2+cos22=√(sin2+cos2)2＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．故选：A．7．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（）倍？（注意tan36°34′＝0.75）A．0.5倍B．0.8倍C．1倍D．1.4倍【分析】θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，可得ℎ0影长=tan36°34′，进而得出．解：θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，∴ℎ0影长=tan36°34′＝0.75，∴影长=43h0≈1.4h0．∴两楼的距离应至少约为h0的1.4倍．故选：D．8．定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（log216），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵a＝f（log216）＝f（log26），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），又log26＞log24.9＞2＞20.8＞1，则a＞b＞c．故选：A．9．若函数f（x）＝2x−120x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 解：由f （﹣1）=12−120＞0，f（0）＝1＞0，f （﹣2）=14−15＞0，f （﹣3）=18−920＜0， 及零点存在定理知f （x ）的零点在区间（﹣3，﹣2）上， ∴零点所在的一个区间是（a ，a +1）＝（﹣3，2） ∴a ＝﹣3， 故选：C ．10．给出下列函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝cos|x |，③y ＝sin （2x +π2），④y ＝tan|x |，其中周期为π的所有偶函数为（ ） A ．①②B ．①②③C ．②④D ．①③【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可． 解：：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，是偶函数，周期T =2π2=π，满足条件 ②y ＝cos|x |＝cos x ，是偶函数，周期T ＝2π，不满足条件 ③y ＝sin （2x +π2）＝cos2x ，是偶函数，周期T =2π2=π，满足条件 ④y ＝tan|x |是偶函数，但不是周期函数，不满足条件． 故选：D ．11．若y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[6，8）B ．[6，8]C ．[6，+∞）D ．[23，475）【分析】由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在（﹣1，+∞）上单调递减，只需内层函数t ＝3x 2+ax +5在（﹣1，+∞）上单调递增且恒大于0即可． 解：令t ＝3x 2+ax +5，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x =−a6， 外层函数y ＝log 0.5t 是定义域内的减函数，∴要使y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减， 则{−a6≤−13×(−1)2−a +5≥0，解得6≤a ≤8．∴a 的取值范围是[6，8]． 故选：B ．12．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2），其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，则φ的取值范围是（ ）A ．[−π6，π6]B ．[−π4，0]C ．（−π3，−π12]D ．[0，π4]【分析】由函数图象和题意可得ω＝3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．解：由题意可得函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1的最大值为3， ∵f （x ）图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f （x ）的周期T =2π3，∴2πω=2π3，解得ω＝3， ∴f （x ）＝2cos （3x +φ）+1，∵f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，∴2cos （3x +φ）+1＞1即cos （3x +φ）＞0对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，∴−π4+φ≥2k π−π2且π2+φ≤2k π+π2，解得φ≥2k π−π4且φ≤2k π，即2k π−π4≤φ≤2k π，k ∈Z ． 结合选项可得当k ＝0时，φ的取值范围为[−π4，0]， 故选：B ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若y ＝f （x ）在x ∈[0，+∞）上的表达式为y ＝x （1﹣x ），且f （x ）为奇函数，则x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）等于 x （1+x ） ．【分析】先设x ≤0，则﹣x ≥0，根据x ≥0时，y ＝f （x ）＝x （1﹣x ），代入即可求解． 解：设x ≤0，则﹣x ≥0，因为x ≥0时，y ＝f （x ）＝x （1﹣x ）， 所以f （﹣x ）＝﹣x （1+x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝x （1+x ）． 故答案为：x （1+x ）．14．函数f （x ）＝3sin （2x −π3）的图象为C ，如下结论中正确的是 ①②③ ①图象C 关于直线x =1112π对称；②图象C 关于点（2π3，0）对称；③函数即f （x ）在区间（−π12，5π12）内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．【分析】把x =1112π代入2x −π3求值，只要是π2的奇数倍，则①正确，把横坐标代入2x −π3求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x 的范围求出2x −π3的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x ＝x −π3代入2x −π3进行化简，再比较判断④是否正确． 解：①、把x =1112π代入2x −π3得，2×11π12−π3=3π2，故①正确； ②、把x =2π3代入2x −π3得，2×2π3−π3=π，故②正确； ③、当x ∈(−π12，5π12)时，求得2x −π3∈(−π2，π2)，故③正确； ④、有条件得，f(x)=3sin(2x −π3)=3sin2(x −π6)，故④不正确． 故答案为：①②③．15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 10 个“半衰期”．【提示：12=0.00195】【分析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能被测到碳14，则x ⋅12n ＜11000x ，即12＜0.001，再根据参考数据即可得解． 解：设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能被测到碳14， 则x ⋅1n ＜11000x ，即12＜0.001， 由参考数据可知，12=0.00195＞0.001，12=0.00195×12=0.000975＜0.001，∴n ＝10， 故答案为：10．16．设函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x ，x ≤0，则函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4的零点个数是 5 ． 【分析】利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．解：由g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4＝[3f （x ）﹣2][f （x ）﹣2]＝0， 得f(x)=23和f （x ）＝2，函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x ，x ≤0的图象如图所示：由图可得方程f(x)=23和f （x ）＝2共有5个根，即函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4有5个零点． 故答案为：5．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣x 2+2x +15≤0}，B ＝{x ||x ﹣5|＜1}，求A ∪B ，（∁R A ）∩B ．【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集、并集和补集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥5}，B ＝{x |4＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤﹣3或x ＞4}， ∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， （∁R A ）∩B ＝{x |4＜x ＜5}．18．函数f （x ）＝A sin （ωx −π6）+1（A ＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式和当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）f （x ）的图象向右平行移动π12个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g （x ）的图象，用“五点法”作出g （x ）在[0，π]内的大致图象．【分析】（Ⅰ）根据条件求出A ，ω的值，即可求函数f （x ）的解析式，结合函数的单调性即可求当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g （x ）的解析式，利用五点法进行作图即可． 解：（Ⅰ）∵函数f （x ）的最大值是3， ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π， ∴ω＝2．所以f （x ）＝2sin （2x −π6）+1 令π2+2k π≤2x −π6≤3π2+2k π，k ∈Z ， 即π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴f （x ）的单调减区间为[π3，5π6]．（Ⅱ）依题意得g （x ）＝f （x −π12）﹣1＝2sin （2x −π3）， 列表得：x 0 π65π122π311π12π2x −π3 −π3 0 π2π 3π25π3g （x ）−√32 0﹣2−√3描点（0，−√3），（π6，0），（5π12，2），（2π3，0），（11π12，﹣2），（π，−√3），连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．19．已知定义域为R的函数f(x)=2xx−12是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）令f（0）＝0；（2）利用单调性定义证明；（3）利用单调性的定义，转化为求2x2﹣mx+4＞0，利用参数分离法求出．【解答】解（1）由题意得：∵函数f(x)=2x2x+a−12是奇函数，定义域为R∴f（0）＝0，11+a−12=0解得a＝1．（2）f（x）=12⋅2x−12x+1，设x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=12（2x1−12x1+1−2x2−12x2+1）=12（2x1+x2+2x1−2x2−1−(2x1+x2−2x1+2x2−1)(2x1+1)(2x2+1)）=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)＞0，故f（x）在R上单调递增；（3）任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0，即f（x2﹣mx）＞f（﹣x2﹣4），所以2x2﹣mx+4＞0，m ＜2x +4x ，因为2x +4x ≥2√8=4√2，当且仅当x =√2成立，所以m ＜（2x +4x）min ＝4√2．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间． （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【分析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，建立三角函数关系式表示高度h 关于时间t 的函数；（2）由h 关于t 的函数，令h ≥2，求出t ∈[0，3]时的取值范围，再计算有多长时间即可． 解：（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示； 由OB ＝1，OP 0＝2，所以∠BOP 0=π3，所以∠AOP 0=π6； 设h ＝2sin （ωt −π6）+1，则T =2πω=3，解得ω=2π3； 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为 h ＝2sin （2π3t −π6）+1（t ≥0）；（2）由h ＝2sin （2π3t −π6）+1≥2，得sin （2π3t −π6）≥12；令t ∈[0，3]，则2π3t −π6∈[−π6，11π6]；由π6≤2π3t −π6≤5π6， 解得12≤t ≤32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米．21．已知定义域在（0，+∞）上的函数f （x ）满足对于任意的x ，y ∈（0，+∞），都有f （xy ）＝f （x ）+f （y ），当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立． （1）设x ，y ∈（0，+∞），求证f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈（0，+∞），若f （x 1）＜f （x 2），试比较x 1与x 2的大小； （3）若﹣1＜a ＜3，解关于x 的不等式f [x 2﹣（a +1）x +a +1]＞0． 【分析】（1）取y =yx •x ，代入已知等式即可证得结果；（2）由f （x 1）＜f （x 2），结合（1）中等式f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ），得到f （x 1x 2）＜0，再根据当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立得到x 1x 2＞1，从而得到x 1＞x 2；（3）在已知等式中取特值x ＝y ＝1求出f （1）＝0，由（2）可知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f （x 2﹣（a +1）x +a +1）＞0中，用f （1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求．【解答】（1）证明：∵f （xy ）＝f （x ）+f （y ），∴f （yx ）+f （x ）＝f （y ），∴f （yx）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）解：∵f （x 1）＜f （x 2），∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 又f （x 1x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2），所以f （x 1x 2）＜0，∵当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立，∴当f （x ）＜0时，x ＞1， ∴x 1x 2＞1，x 1＞x 2；（3）解：令x ＝y ＝1代入f （xy ）＝f （x ）+f （y ）得f （1）＝f （1）+f （1），f （1）＝0，∴f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0⇔f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞f（1），由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1＜1，∵∀a∈（﹣1，3），△＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＜0；∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1恒成立；故只需满足x2﹣（a+1）x+a+1＜1即x2﹣（a+1）x+a＜0成立即可；即（x﹣a）（x﹣1）＜0；当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；当a＝1时，x∈∅；当a∈（1，3）时，x∈（1，a）；综上可得：当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；当a＝1时，x∈∅；当a∈（1，3）时，x∈（1，a）．22．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；（Ⅱ）已知a≤12，是否存在这祥的实数a，使函数y=f(x)−log2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据一元二次函数图象知若f（x）的值域为[0，+∞），则开口向上，△＝0即可；（Ⅱ）函数y=f(x)−log2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．即g（x）＝ax2﹣2x+3＝log2x＝h（x），等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，根据h（x）中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．解：（Ⅰ）函数f（x）的值域为[0，+∞），则{a＞0△=(−2)2−4a=0解得a＝1．（Ⅱ）由y=f(x)−log2x4=ax2−2x+3−log2x=0，即ax2﹣2x+3＝log2x令g（x）＝ax2﹣2x+3，h（x）＝log2x，x∈[1，2]，原命题等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．（1）当a ＝0时，g （x ）＝﹣2x +3在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增， 而g （1）＝1＞0＝h （1），g （2）＝﹣1＜1＝h （2）， ∴函数g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点．（2）当a ＜0时，g （x ）图象开口向下，对称轴为x =1a＜0，g （x ）在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增，g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点， 当且仅当{g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即{a +1≥04a −1≤1，即﹣1≤a ≤12．∴﹣1≤a ＜0．（3）当0＜a ≤12时，g （x ）图象开口向上，对称轴为x =1a ≥2，g （x ）在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增，g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点， {g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即{a +1≥04a −1≤1即−1≤a ≤12，∴0＜a ≤12．综上，存在实数a ∈[﹣1，12]，使函数y ＝f （x ）﹣log 2x4于在区间[1，2]内有且只有一个点．。
2020-2021学年湖北省武汉市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖北省武汉市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，4，5}，则A∩∁U B＝（）A．{1}B．{2}C．{2，3}D．{1，2，4，5} 2．设x∈R，则“2x＞4”是“|x|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（）A．B．∪C．D．4．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.85．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m，则f（2021）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．已知f（x）＝sin（﹣2x+），则f（x）的单调递增区间为（）A．[+kπ，+kπ]，k∈ZB．[+2kπ，+2kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ，+kπ]，k∈ZD．[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z7．已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．7C．8D．98．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值B．+有最大值C．+有最小值2D．a2+b2有最大值10．下列说法中正确的是（）A．若x＞2，则函数的最小值为3B．若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n的最小值为4C．若x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最小值为1D．若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则的最小值为11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有2个零点C．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）12．定义：若函数f（x）的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换Γ是f（x）的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f（x）的“同值变换”的是（）A．f（x）＝x2﹣2x，Γ：将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）＝2x﹣1，Γ：将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）＝log2x，Γ：将函数f（x）的图象关于y＝x直线对称D．f（x）＝cos（x+），Γ：将函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是．14．已知f（x﹣1）＝2x﹣5，则f（x）＝，若f（a）＝6，则a的值为．15．已知函数f（x）＝﹣cos2x，x∈[，]，则f（x）的最大值为．16．在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数m满足m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；命题q：曲线表示双曲线．（1）若a＝2，若p为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围；（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+ax+3﹣2a．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．19．某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中0≤x≤k，k≥1）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．20．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．21．已知函数g（x）＝lg（﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若对任意，都有，求m的最大值．2020-2021学年湖北省武汉市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，4，5}，则A∩∁U B＝（）A．{1}B．{2}C．{2，3}D．{1，2，4，5}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，5}，∴∁U B＝{1，3}，∴A∩∁U B＝{1}，故选：A．2．设x∈R，则“2x＞4”是“|x|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x＞4，解得x＞2，由|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，则2x＞4”是“|x|＞2”的充分不必要条件，故选：A．3．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（）A．B．∪C．D．【解答】解：因为f（x）是偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（4）＝2，所以不等式f（4x﹣1）＞2⇔f（4x﹣1）＞f（4）⇔f（|4x﹣1|）＞f（4）⇔|4x﹣1|＜4，解得﹣＜x＜．故选：A．4．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8【解答】解：小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为1.020130＝（1.012）30＝（1.0130）2≈（1.4）2＝1.96．∴30天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C．5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m，则f（2021）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（1﹣x）；∴f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x+4）＝f（x）；∴f（x）的周期为4；∵x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣m；∴f（0）＝1﹣m＝0；∴m＝1；∴x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1；∴f（2021）＝f（1+505×4）＝f（1）＝1．故选：A．6．已知f（x）＝sin（﹣2x+），则f（x）的单调递增区间为（）A．[+kπ，+kπ]，k∈ZB．[+2kπ，+2kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ，+kπ]，k∈ZD．[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z【解答】解：f（x）＝﹣sin（2x﹣），要求函数f（x）的递增区间，即求函数y＝sin （2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得+kπ≤x≤+kπ]，k∈Z，即函数f（x）的递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，故选：A．7．已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．7C．8D．9【解答】解：令f（x）＝1，解得或x＝﹣1，则令g（x）＝0，可得或f（x）＝﹣1，作出函数f（x）的图象如下图所示，由图象可知，有3个零点，有3个零点，f（x）＝﹣1有1个零点，故函数g（x）有7个零点．故选：B．8．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116【解答】解：由题意可得，＝1×e﹣7.6×0.8μ，∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值B．+有最大值C．+有最小值2D．a2+b2有最大值【解答】解：因为正实数a，b满足a+b＝1，由基本不等式可得ab＝，当且仅当a＝b时取等号，故A正确；因为＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，当且仅当a＝b时取等号，所以的最大值为，故B正确；＝＝≥4，即有最小值4，故C错误；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab，结合A可知有最小值，当且仅当a＝b时取等号，故D错误；故选：AB．10．下列说法中正确的是（）A．若x＞2，则函数的最小值为3B．若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n的最小值为4C．若x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最小值为1D．若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则的最小值为【解答】解：若x＞2，则函数＝x﹣1+，令x﹣1＝t（t＞1），则g（t）＝t++1在（1，+∞）上为增函数，则g（t）＞g（1）＝3，即＞3，故A错误；若m+n＝2（m，n∈R），则2m+2n≥，当且仅当2m＝2n，即m＝n＝1时上式等号成立，故B正确；若x，y＞0，则﹣（x+y）≤﹣2，由x+y+xy＝3，得xy＝3﹣（x+y）≤3﹣2，即xy+2﹣3≤0，解得0＜xy≤1，当且仅当x＝y时等号成立，没有最小值，故C错误；若x＞1，y＞0满足x+y＝2，则x﹣1+y＝1，∴＝（）（x﹣1+y）＝3+．当且仅当时上式等号成立，则的最小值为，故D正确．故选：BD．11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有2个零点C．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：对于A，函数的最小正周期为T＝＝π，A正确；对于B，令f（x）＝0，得2x+＝kπ+，k∈Z；x＝kπ+，k∈Z；x∈[0，π]时，x＝或x＝，f（x）有两个零点，B正确；对于C，x＝时，函数f（x）＝cos（2×+）＝，取得最大值，C正确；对于D，把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即可得出函数的图象，D正确．故选：ABCD．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换Γ是f（x）的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f（x）的“同值变换”的是（）A．f（x）＝x2﹣2x，Γ：将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）＝2x﹣1，Γ：将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）＝log2x，Γ：将函数f（x）的图象关于y＝x直线对称D．f（x）＝cos（x+），Γ：将函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1变换Γ：将函数f（x）的图象关于y轴对称可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1≥﹣1，满足题意，A正确；f（x）＝2x﹣1＞﹣1，Γ：将函数f（x）的图象关于x轴对称可得y＝1﹣2x＜1，值域不同，B错误；由于f（x）＝log2x的值域R，Γ：将函数f（x）的图象关于y＝x对称可得y＝2x＞0，值域不同，C错误；由于f（x）＝cos（x+），Γ：将函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称后还是三角函数，值域为[﹣1，1]，符合题意，D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是{a|a＜0或0＜a≤或a≥1}．【解答】解：f（x）的对称轴是x＝，a＜0时，f（x）开口向下，x＝＜0，f（x）在[1，3]递减，符合题意，a＞0时，若f（x）在[1，3]单调，只需≥3或0＜≤1，解得：a≥1或0＜a≤，综上，a∈{a|a＜0或0＜a≤或a≥1}，故答案为：{a|a＜0或0＜a≤或a≥1}．14．已知f（x﹣1）＝2x﹣5，则f（x）＝4x﹣1，若f（a）＝6，则a的值为．【解答】解：，则f（x）＝4x﹣1，由f（a）＝6得，4a﹣1＝6，解得．故答案为：4x﹣1；．15．已知函数f（x）＝﹣cos2x，x∈[，]，则f（x）的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣cos2x＝sin2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，故f（x）∈[0，]，故函数f（x）的最大值为，故答案为：．16．在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是log25．【解答】解：∵log30.6＜log31＝0，∴log30.6＜0，∵log25＞log24＝2，∴log25＞2，∵，∴，∴在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是log25，故答案为：log25．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数m满足m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；命题q：曲线表示双曲线．（1）若a＝2，若p为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围；（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由m2﹣3am+2a2＜0（a＞0）；得（m﹣a）（m﹣2a）＜0，（a＞0）；即a＜m＜2a，即p：a＜m＜2a，若曲线表示双曲线，则（m﹣1）（m﹣5）＜0，得1＜m＜5，即q：1＜m＜5，若a＝2，则p：2＜m＜4，若p为假命题，p∨q为真命题，则q为真命题，即，得4≤m＜5或1＜m≤2，即实数m的取值范围是{m|4≤m＜5或1＜m≤2}（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即，得，得1≤a≤，即实数a的取值范围是1≤a≤．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+ax+3﹣2a．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+a（﹣x）+3﹣2a＝x2﹣ax+3﹣2a＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2+ax﹣3+2a（x＜0），所以f（x）＝，（2）若f（x）是R上的单调函数，且f（0）＝0，则实数a满足解得，解得，故实数a的取值范围是．19．某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中0≤x≤k，k≥1）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【解答】解：（1）由题意，得，将代入化简，得；（2）由（1）得，y＝20﹣（）＝21﹣（），当且仅当，即x＝1（满足0≤x≤k，k≥1）时，上式取等号．故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．20．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）＝+2＝．∴．（Ⅱ）．∵，∴．∴f（x）的单调增区间为：．21．已知函数g（x）＝lg（﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．【解答】解：（1）∵g（x）＝lg（﹣x）是定义在R上的奇函数，∴g（0）＝lg（）＝0，即a＝1，当a＝1时，验证可知g（x）＝lg（﹣x）是定义在R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝lg（﹣x）在R上单调递减．证明如下：令u（x）＝﹣x，设x2＞x1，则＝＝＝．∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0，又＞|x2|，＞|x1|，∴≤＜1，则﹣1＜0，∴u（x2）＜u（x1），即u（x）为R上的减函数，又y＝lgu为定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，函数g（x）＝lg（﹣x）在R上单调递减．由g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，得bx2+2＜2x+1，即bx2＜2x﹣1，也就是b＜在[2，3]上有解，令，则t∈[，]，求得，则b＜；（3）g（﹣x）＝lg（+x），f（x）＝1﹣2|x﹣|＝，当x∈[0，1]时，f（f（x））＝，∵f（f（0））＝g（0）＝0，f（f（））＝1，而g（）＝lg2＜1，如图，函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上有4个零点．22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若对任意，都有，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为＝＝＝，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知；令，当时，；若对任意，都有，即对任意，都有，所以；即，所以m的最大值为．。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合A＝{x|x−1≤0}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（）A.(−1, 2)B.(−2, 1]C.[1, 2)D.[−2, 3)2. sin454∘+cos176∘的值为（）A.sin4∘B.cos4∘C.0D.2sin4∘3. 函数f(x)＝ln x−的零点所在的大致区间是（）A.（，1)B.(1, e)C.(e, e2)D.(e2, e3)4. 设p：实数a，b满足a>1且b>1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771<lg3<0.4772，则下列各数中与最接近的是（）A.1033B.1053C.1073D.10936. 把函数的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为（）A. B. C.或 D.或7. 已知，则＝（）A. B. C. D.8. 已知函数，若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（）A.(−∞，2−1)B.C. D.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）如果角α与角γ+45∘的终边相同，角β与γ−45∘的终边相同，那么α−β的可能值为（）A.90∘B.360∘C.450∘D.2330∘下列函数中，既是偶函数又是区间(1, +∞)上的增函数有（）A.y＝3|x|+1B.y＝ln(x+1)+ln(x−1)C.y＝x2+2D.已知f(x)＝cos(sin x)，g(x)＝sin(cos x)，则下列说法正确的是（）A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1, 1]B.f(x)为偶函数且g(x)也为偶函数C.f(x)的值域为[cos1, 1]，g(x)的值域为[−sin1, sin1]D.f(x)与g(x)最小正周期为2π高斯(Gauss)是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−2.3]＝−3，[15.31]＝15．已知函数，G(x)＝[f(x)]，则下列说法正确的有（）A.G(x)是偶函数B.G(x)的值域是{−1, 0}C.f(x)是奇函数D.f(x)在R上是增函数三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为________．已知实数a，b满足log4(a+9b)＝log2，则a+b的最小值是________．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)=2f(1x)√x−1，则f(x)=________．已知函数f(x)＝A sin(2x+φ)−(A>0，0<φ<），g(x)＝，f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，则实数m的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2−2ax+(a2−1)<0}．（1）当a＝2时，求(∁U A)∩(∁U B)；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=sin(5π2−ωx)(ω>0)，且其图象上相邻最高点、最低点的距离为√4+π2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若已知sinα+f(α)=23，求2sinαcosα−2sin2α1+tanα的值．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)元与用电量x（度）间的函数关系；(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？已知函数f(x)=2sinωx，其中常数ω>0．（1）若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心．已知连续不断函数，．（1）求证：函数f(x)在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数g(x)在上有且只有一个零点（不必证明），记f(x)和g(x)在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．已知f(x)＝log2(4x+1)−kx(k∈R)．（1）设g(x)＝f(x)−a+1，k＝2，若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；（2）若f(x)是偶函数，设ℎ(x)＝log2(b⋅2x−43b)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】由A＝{x|x−1≤0}＝{x|x≤5}，B＝{x|x2−x−6<2}＝{x|−2<x<3}，则A∩B＝{x|−4<x≤1}，2.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用诱导公式，化简可得结果．【解答】sin454∘+cos176∘＝sin94∘−cos4∘＝cos4∘−cos6∘＝0，3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．【解答】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)＝−1<4>0，且函数在区间( 3, e)上单调递增的零点所在的区间为( 1．故选：B．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当a>1且b>1时，ab>8，即充分性成立，反之当a＝4，b＝1时但a>1且b>2不成立，即p是q的充分不必要条件，5.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】根据条件可得M≈3361，N≈1080，由对数性质有3＝10lg3≈100.477，从而得到M≈3361≈10172.2，由此能求出结果．【解答】∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．∴M≈3361，N≈1080，根据对数性质有8＝10lg3≈100.477，∴M≈3361≈(100.477)361≈10172.2，∴≈＝1092.2≈1093，6.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】把函数的图象向左平移φ(7<φ<π)个单位，可以得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−）的图象，若g(x)是偶函数，则2φ−＝，k∈Z，∴分别令k＝0、k＝1，或φ＝，7.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式化简即可计算求解．【解答】因为，所以sin（+θ)＝-，则＝cos[+θ)]＝sin（．8.【答案】A 【考点】函数恒成立问题【解析】利用函数奇偶性的判定方法判定奇偶性，然后根据复合函数的单调性判定单调性，化简不等式，然后将m分离，利用基本不等式求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．【解答】因为f(−x)+f(x)＝−2x+ln（）+2x+ln（，所以函数f(x)是奇函数，由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，所以不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−2)<0对任意x∈R均成立等价于f(3x−6x)<−f(m⋅3x−3)＝f(2−m⋅3x)，即3x−3x<3−m⋅3x，即m<对任意x∈R均成立，因为≥，所以m<．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【答案】A,C【考点】终边相同的角【解析】由已知，表示出α，β，再结合选项考虑．【解答】如果角α与γ+45∘终边相同，则α＝2mπ+γ+45∘角β与γ−45∘终边相同，则β＝2nπ+γ−45∘，∴α−β＝4mπ+γ+45∘−2nπ−γ+45∘＝2(m−n)π+90∘，(k＝m−n+6)，即α−β与90∘角的终边相同，观察选项，【答案】A,C,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f(−x)＝5|−x|+1＝3|x|+7＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在区间(1, +∞)上|x|+1＝y＝5x+1，为增函数，符合题意，对于B，y＝ln(x+1)+ln(x−3)，有，即函数的定义域为(1，不是偶函数，对于C，y＝x7+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，+∞)上的增函数，对于D，y＝x2+，其定义域为R2+＝x2+＝f(x)，可令t＝x2，可得t＝x8在(1, +∞)递增在(5，则函数y＝x2+为增函数，【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A根据正弦和余弦函数性质判断；B根据奇偶函数定义判断；C根据复合函数值域判断；D根据周期函数定义判断．【解答】对于A，f(x)与g(x)的定义域都是R；对于B，因为f(−x)＝f(x)，f(x)和g(x)都是偶函数，所以B对；对于C，因为sin x∈[−1，），所以f(x)的值域为[cos1，因为cos x∈[−1, 7]⊂(−，），）内单调递增，所以g(x)的值域为[−sin1, sin2]；对于D，f(x)＝cos(sin x)＝cos|sin x|，所以D错．【答案】B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的值域及其求法【解析】根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合可得答案．【解答】根据题意，对于A，G(1)＝[f(1)]＝0，G(1)≠G(−1)，A错误，对于B，＝-，由1+2x>5，则-，则有G(x)的值域是{−1，B正确，对于C，，其定义域位R-＝-，则f(−x)+f(x)＝6，C正确，对于D，＝-，设t＝1+4x，则y＝-，t＝2x+1在R上是增函数，y＝-，+∞)也是增函数，则f(x)在R上是增函数，D正确，故选：BCD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）【答案】9【考点】扇形面积公式【解析】先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．【解答】半径r＝＝＝4，根据扇形面积公式S＝|α|r3＝×8×32＝3，【答案】16【考点】基本不等式及其应用对数的运算性质【解析】由对数的运算法则知a+9b＝ab，从而有a+b＝(a+b)⋅（），展开后，再利用基本不等式，得解．【解答】∵log4(a+9b)＝log7＝log4（）2，∴a+4b＝ab，即＝7，∴a+b＝(a+b)⋅（）＝4+9++＝16，当且仅当＝，即a＝3b＝12时，∴a+b的最小值是16．【答案】2 3√x+13【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据f(x)=2f(1x )√x−1，考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，用1x代替x代入f(x)=2f(1x )√x−1，解关于入f(x)与f(1x)的方程组，即可求得f(x)．【解答】解：考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，故可考虑利用换元法进行求解．在f(x)=2f(1x )√x−1，用1x代替x，得f(1x )=√x1，将f(1x)=√x−1代入f(x)=2f(1x)√x−1中，可求得f(x)=23√x+13．故答案为：23√x+13【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．可得f(0)＝A sinφ−＝1，sin(2×+φ)＝±1．根据A>0，0<φ<，可得φ，A．利用三角函数的单调性可得f(x)min．g(x)＝＝−m，利用函数的单调性可得g(x)min．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，可得g(x1)min≥f(x2)min，即可得出．【解答】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝．∴f(0)＝A sinφ−＝1+φ)＝±1．又A>4，0<φ<，A＝．∴f(x)＝sin(7x+，x ∈[0，]，∴(8x+）∈，∴sin(2x+）∈，∴f(x)∈．∴f(x)min＝1．g(x)＝＝−m，∵x∈[−1, 3]min＝−m．若对于任意的x6∈[−1, 2]6∈[0，]，使得g(x4)≥f(x2)，则g(x1)min≥f(x3)min，∴−m≥7．∴实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．【解答】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【答案】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】（1）设最高点为(x1, 1)，最低点为(x2, −1)，结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为√4+π2列式，求出周期，代入周期公式求得ω，则函数解析式可求；（2）有题意可得sinα+cosα=23，两边平方可解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【答案】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）分0≤x≤30、x>30两种情况讨论即可；（2）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论；（3）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论．【解答】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【答案】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象【解析】（1）由条件利用正弦函数的单调性求得ω的范围．（2）利用y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，可得g(x)的图象的对称中心，从而求得g(x)的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【答案】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】（1）通过判断f(0)与的正负，结合函数的单调性，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用零点的定义可得，将其变形为＝0，通过g(x)有且只有一个零点x2，即可得到x1，x2的关系，即可求解．【解答】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【答案】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x>1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解，转化为利用函数的单调性求出a的范围；（2）先根据偶函数的性质求出k的值，再根据函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)＝ℎ(x)有且只有一个实根，化简可得方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根令t＝2x>0，则转化才方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，讨论b＝1，以及△＝0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数b的取值范围．【解答】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x >1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．。
2020学年湖北省高一上学期期末联考数学试题及答案解析
2020学年湖北省高一上学期期末联考数学试题及答案解析一、单选题1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A【解析】【详解】试题分析：{}{}2|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以，故选A.【考点】集合的运算.2．已知函数2()1f x x =+，那么(1)f a +的值为( )． A ．22a a ++ B ．21a +C ．222a a ++D ．221a a ++【答案】C【解析】将1a +代入2()1f x x =+即可得结果. 【详解】解：因为2()1f x x =+，所以22(1)(1)122f a a a a +=++=++， 故选：C. 【点睛】本题考查已知解析式，求函数值，是基础题.3．454sincos tan 363πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝( )．A ．－334B ．334C ．－34D ．34【答案】A【解析】试题分析：454sincos tan()363πππ-=.【考点】诱导公式．4．已知点M （x ，1）在角θ的终边上，且2cos x θ=，则x ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ．﹣1或0或1 【答案】D【解析】利用三角函数的定义，建立关于x 的方程，即可求出x 的值． 【详解】 由题得22cos 1x θ==+，1x ∴=-或0或1，故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．5．下列命题中正确的个数有（）①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．【详解】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//AB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误；对于④，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.故选：A．【点睛】本题考查向量的基本定义和命题的真假判断，关键是理解向量有关概念的定义．6．已知函数()()=+的图像关于原点对称，则a=f x x acos3（ ） A ．k k Z ，π∈ B ．()21k k Z π+∈， C ．22k k Z ，ππ+∈D ．2k k Z ππ+∈，【答案】D【解析】首先由题意可知()f x 为奇函数，再通过()f x 为奇函数即可得到()00f =，再将()00f =代入函数()()cos 3f x x a =+中即可求出a 的取值范围，得出结果。
2020-2021学年湖北省某校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省某校高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算cos(−330∘)＝（）A. B. C. D.2. 已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x, x∈R}，则A∩B＝（）A.[0, 1]B.[−1, 1]C.[1, +∞)D.[0, +∞)3. 若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝(0.2)2021，则（）A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b4. 已知函数f(x)＝tan x−k sin x+2(k∈R)，若，则＝（）A.1B.0C.5D.35. 现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（）A.g(x)＝sin xB.C. D.6. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中√3 2≈0.866）．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A.π4B.π3C.2π3D.π27. 已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是( )A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小值为0C.f(x)=12在[0,π2]上有解 D.f(π2−x)=f(x)8. 已知函数f(x)＝，则方程f（f(x)）−1＝0的根的个数是（）A.5B.4C.7D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．设a，b，c∈R，a<b，则下列不等式一定成立的是（）A.e−a>e−bB.a+c<b+cC.D.ac2<bc2给出下面四个结论，其中正确的是（）A.命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2−2x+1<0”B.角是的必要不充分条件C.若奇函数f(x)满足f(2+x)＝−f(x)，且当−1≤x≤0时，f(x)＝−x，则f(2021)＝1D.方程log3x+x−3＝0在区间(2, 3)上有唯一一个零点已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−mx+2=0的两个实根，则下列结论正确的是( )A.m>2√2B.tanα+tanβ=−mC.tan(α+β)=−mD.m+tanα≥4函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增B.f(0)＝1C.若f(a)＝f(b)＝1，则|a−b|的最小值为D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知，则＝________．若函数f(x)＝ax+b，x∈[a−4, a]的图象关于原点对称，则a＝________；若m＝bx+，则x∈[1, 2]时，m的取值范围为________．写出一个最小正周期为2的偶函数f(x)＝________．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N∗)小时才可以驾车，则n的值为________．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）若幂函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P(m, n)(n>0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝-，求tanα的值．已知函数f(x)＝sin2x+cos x−a．（1）当a＝0时，求f(x)在上的值域；（2）当a>0时，已知g(x)＝a log2(x+3)−2，若∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，求a的取值范围．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)这个港口的水深与时间的关系可用函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0)近似描述，试求出这个函数解析式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用(1)中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能连续待多久？若函数f(x)对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f(−x)＝−f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部奇函数”；满足f(−x)＝f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部偶函数”．已知函数f(x)＝2x+k×2−x，其中k为常数．（1）若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，当x∈[−3, 3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f(x)在区间[−1, 1]上是“局部奇函数”，在区间[−3, −1)∪(1, 3]上是“局部偶函数”，．(ⅰ)求函数F(x)的值域；(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省某校高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值函体奇序微病性质与判断求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】弧因激式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表型正切公式基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】二倍角于三角术数两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】任意角使三角函如两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】在实三问葡中建湖三量函数模型由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式三角函三模型的觉用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
湖北省武汉市青山区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖北省武汉市青山区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.半径为1cm，中心角为150°的弧长为()A. 23cm B. 2π3cm C. 56cm D. 5π6cm2.若α是第四象限的角，则π−α是()A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角3.已知角α的终边与单位圆的交点为M(12,y)，则cosα=()A. 0B. 12C. √22D. 14.角α为第二象限角，则α2为第()象限角A. 一B. 二C. 一或四D. 一或三5.已知α∈[0,2π)，cosα+3sinα=√10，则tanα=()A. −3B. 3或13C. 3 D. 136.sin5π6=()A. −√32B. −12C. 12D. √327.sin49°sin19°+cos19°sin41°=()A. 12B. −12C. √32D. −√328.已知点P(1,√2)是角α终边上一点，则cos(π6−α)等于()A. 3+√66B. 3−√66C. −3+√66D. √6−369.△ABC中，看sin2A=sin2B，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形10.函数f(x)=−sin(ωx+φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=()A. π3B. −π3C. −2π3D. π3或−2π311. 设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanβ=1+sinαcosa，则( )A. α−3β=−π2 B. α−2β=−π2 C. α+3β=π2D. α+2β=π212. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,23]∪[7,263] C. [7,263]∪[503,19]D. (0,23]∪[503,19]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数y =√−sin x3的定义域是________．14. 化简(√3tan12°−3)(4cos 212°−2)sin12°= ______ ．15. 若劣弧AB ⌢所在圆O 的半径为r ，所对的圆心角为2π3.若扇形OAB 的周长为4+4π3，则半径r = ，扇形OAB 的面积为 ．16. 已知cosθ=−√210，θ∈(π2,π)，则cos (θ−π4)=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 一只正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？18. 已知cosα=−45，且α为第三象限角，求sin(5π+α)，tan(π−α)，sin 4α+cos 4α的值．19.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象．若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)，求θ的最小值．(3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到的．20.已知函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6)−1．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．21.已知tan(α+β)=2tanβ，求证3sinα=sin(α+2β).22.已知函数f(x)=sin2x+asinx+3−a，x∈[0,π]．(1)求f(x)的最小值g(a)；(2)若f(x)在[0,π]上有零点，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查弧长公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式l=αr，属于基础题．由题意知半径r=1cm，中心角α=150°，由弧长公式l=αr即可求出．解：已知半径r=1cm，中心角α=150°=56π，由弧长公式l=αr=56πcm，故选：D．2.答案：C解析：本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．先求出α的表达式，再求−α的范围，然后求出π−α的范围．解：若α是第四象限的角，即：2kπ−12π<α<2kπk∈Z所以2kπ<−α<2kπ+12π，k∈Z2kπ+π<π−α<2kπ+3π2k∈Z故选C．3.答案：B解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．解：角α的终边与单位圆的交点为M(12,y)，则cosα=12，故选B．4.答案：D解析：本题主要考查象限角的判断，属基础题.认清每一象限角的特征是关键．解：∵角α为第二象限角，即2kπ+π2<α<2kπ+π,(k∈Z)，则kπ+π4<α2<kπ+π2,(k∈Z)，当k为偶数，即当k=2n，n∈Z时，2nπ+π4<α2<2nπ+π2,(n∈Z)，α2为第一象限角，当k为奇数，即当k=2n+1，n∈Z时，2nπ+5π4<α2<2nπ+3π2,(n∈Z)，α2为第三象限角，所以α2为第一或三象限角．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题．【解答】解：∵(cosα+3sinα)2=10，∴cos2α+6sinαcosα+9sin2α=10，∴cos2α+6sinαcosα+9sin2αcos2α+sin2α=10，∴1+6tanα+9tan2α1+tan2α=10，∴tanα=3，故选C．6.答案：C解析：解：sin5π6=sin(π−π6)=sinπ6=12．故选：C．原式中的角度变形后利用诱导公式化简即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7.答案：C解析：本题考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：sin49°sin19°+cos19°sin41°=sin49°sin19°+cos19°cos49°=cos(49°−19°)=cos30°=√32．故选：C．8.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数及两角和与差的三角函数，由任意角的三角函数定义，求出sinα，cosα，然后利用两角差的余弦求解即可．解：因为点P(1,√2)是角α终边上一点，所以r=|OP|=√12+(√2)2=√3，所以可得sinα=yr =√63,cosα=xr=√33，所以cos(π6−α)=cosπ6cosα+sinπ6sinα =√32×√33+12×√63=3+√66．故选A．9.答案：C解析：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦函数的图象与性质，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．【解答】解：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC是等腰或直角三角形．故选C．10.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．11.答案：B解析：本题主要考查同角三角函数j 基本关系、诱导公式和两角差的正弦公式.先把已知式子化为sinβcosβ=1+sinαcosα，再变形为sinβcosα=cosβ+cosβsinα得出sin (β−α)=sin (π2−β)，由此即可求出结果．解：∵tanβ=1+sinαcosα，∴sinβcosβ=1+sinαcosα，∴sinβcosα=cosβ+cosβsinα， ∴sin (β−α)=cosβ，∴sin (β−α)=sin (π2−β)∵α∈(0,π2)，β∈(0,π2)， ∴−π2<β−α<π2， ∴β−α=π2−β，∴α−2β=−π2．故选B ．12.答案：B解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，属于中档题．由两角和的正弦公式，可得，根据正弦函数的图象与性质进行求解即可． 解：，因为f (x )在区间上单调递增， 所以，所以0<ω≤12， 故排除C 、D ； 令ω=8，因为，所以，此时在区间[π6,π4]上单调递增，满足题意，因此排除A；故选B．13.答案：[6kπ−3π,6kπ](k∈Z)解析：本题考查三角函数的定义域及性质，属于基础题．根据函数有意义的条件得到−sin x3≥0，进而根据三角函数的定义域及性质进行计算即可．解：要使函数y=√−sin x3有意义，需满足−sin x3≥0，即sin x3≤0，需使−π+2kπ≤x3≤2kπ，k∈Z，解得：6kπ−3π≤x≤6kπ，k∈Z，所以函数y=√−sin x3的定义域是[6kπ−3π,6kπ](k∈Z)，故答案为[6kπ−3π,6kπ](k∈Z)．14.答案：−4√3解析：解：∵(√3tan12°−3)(4cos212°−2)sin12°=√3(sin12°−√3cos12°)2sin12°cos12°cos24°=2√3sin(12°−60°)12sin48°=−4√3故答案为−4√3利用二倍角公式及两角和与差的公式进行化简，可根据特殊角的使用，巧妙解决问题．本题主要考查倍角公式的应用．此类题往往与三角函数中其他常用公式如诱导公式、两角和公式等一块考查．应注意灵活掌握．15.答案：2;4π3解析：本题考查扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．由弧长公式及扇形OAB的周长为4+4π3，求出r，然后利用扇形面积公式求解即可．解：因为劣弧AB⌢所在圆O的半径为r，所对的圆心角为2π3，扇形OAB的周长为4+4π3所以，解得r=2，所以扇形OAB的面积为．故答案为2;4π3．16.答案：35解析：根据已知条件求出sinθ，再代入两角差的余弦公式．本题考查两角差的余弦公式．∵cosθ=−√210 ,θ∈(π2,π)，∴sinθ=√1−cos2θ=7√210，∴cos(θ−π4)=cosθcos π4+sinθsinπ4=√22×6√210=35，故答案为35．17.答案：24π11解析：自零点开始到分针与时针再一次重合，设时针转过的时间为x小时，则2πx−2π=π6x，解得x=1211，∴分针所转过的角的弧度数是1211×2π=24π11.答：分针所转过的角的弧度数是24π11．18.答案：解：∵cosα=−45，且α为第三象限角，∴sinα=−√1−cos 2α=−35，∴sin(5π+α)−sinα=35，tan(π−α)=−tanα=−sinαcosα=−34， 则sin 4α+cos 4α=1−2sin 2αcos 2α=1−2×925×1625=337625．解析：由cosα的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，进而确定出tanα的值，所求式子各项利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19.答案：解：(1)根据表中已知数据，解得A =5，ω=2，φ=−π6，数据补全如下表：且函数解析式为f(x)=5sin (2x −π6)．(2)由(1)知f(x)=5sin (2x −π6)，则g(x)=5sin (2x +2θ−π6)． 因为函数y =sinx 图象的对称中心为(kπ,0)，k ∈Z ， 令2x +2θ−π6=kπ,k ∈Z ，解得x =kπ2+π12−θ,k ∈Z ．由于函数y =g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称． 所以令kπ2+π12−θ=5π12，解得θ=kπ2−π3,k∈Z．由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值π6．(3)把y=sinx的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到y=sin(x−π6)的图象，再把y=sin(x−π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x−π6)的图象，最后把y=sin(2x−π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y=5sin(2x−π6)的图象．解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．(1)根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=−π6.从而可补全数据，解得函数表达式为f(x)=5sin(2x−π6);(2)由(1)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ−π6).令2x+2θ−π6=kπ，解得x=kπ2+π12−θ，k∈Z.令kπ2+π12−θ=5π12，解得θ=kπ2−π3，k∈Z.由θ>0可得解．(3)根据函数图象的平移规律求解即可．20.答案：解：，(1)T=2π2=π，最小正周期为π；(2)因为x∈[−π6,π4 ]，所以2x+π6∈[−π6,2π3]，所以当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取最大值为2；当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)取最小值为−1．解析：本题考查两角和与差的三角函数公式及二倍角公式与辅助角公式及正弦函数的性质，属于基础题目．(1)先利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式与辅助角公式化简f(x)，再由三角函数的性质得出最小正周期；(2)利用正弦函数的性质得出函数f(x)在区间上的最值即可．21.答案：解：由tan(α+β)=2tanβ，可得sin(α+β)cos(α+β)=2sinβcosβ，∴sin(α+β)⋅cosβ=2cos(α+β)⋅sinβ．∵sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)⋅cosβ+cos(α+β)⋅sinβ=2cos(α+β)⋅sinβ+cos(α+β)⋅sinβ=3cos(α+β)⋅sinβ，sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)⋅cosβ−cos(α+β)⋅sinβ=2cos(α+β)⋅sinβ−cos(α+β)⋅sinβ=cos(α+β)⋅sinβ，∴3sinα=sin(α+2β).解析：本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和差的三角函数，属于基础题．首先由同角三角函数的基本关系将切化为弦，再通过凑角及两角和差的三角函数即可证得结果．22.答案：解：(1)∵f(x)=sin2x+asinx+3−a=(sinx+a2)2−a24+3−a，，，当时，即时，则sinx=0时，f(x)取得最小值g(a)=3−a；当0≤−a2≤1时，即−2≤a≤0时，则时，f(x)取得最小值；当时，即时，则sinx=1时，f(x)取得最小值g(a)=4，综上可得，g(a)={3−a,a>0−a24+3−a,−2≤a≤0 4,a<−2；，，由f(x)=0，可得，令，则a(1−t)=t2+3，当t=1时，等式显然不成立，故t≠1，则a=t2+31−t，令m=1−t，则m∈(0,1]，则a=(1−m)2+3m =m+4m−2，由函数的单调性易得在(0,1]上，a随m的增大而减小，∴a≥3．解析：本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．(1)利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得f(x)的最小值g(a)；(2)通过换元，分离参数利用单调性求解．。
2020-2021武汉市高一数学上期末试题(附答案)
2020-2021武汉市高一数学上期末试题(附答案)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．3．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>4．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+8．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．19．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}10．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞11．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．14．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 15．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 16．0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.18．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.19．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围. 22．计算或化简：（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.23．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.24．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，1()3x m y -=．测得部分数据如表：（1）求y 关于x 的函数关系式y ＝f （x ）；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+.（1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．C解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2020-2021武汉市七一中学高中必修一数学上期末试卷及答案
2020-2021武汉市七一中学高中必修一数学上期末试卷及答案一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．24．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．5．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<6．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2787．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.98．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D．1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭10．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形可能是A．B．C．D．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f（2）=0，则使f（x）<0的x的取值范围（）A．（－∞，2）B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞）D．（－2，2）12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A．11yx=-B．cosy x=C．ln(1)y x=+D．2xy-=二、填空题13．若函数(),021,01x xf xxmx m≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m的取值范围是__________．14．()f x是R上的奇函数且满足(3)(3)f x f x-=+，若(0,3)x∈时，()lgf x x x=+，则()f x在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数()22ln0210x xf xx x x⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d、、、，有()()()()f a f b f c f d===，则+++a b c d的取值范围是______.16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．17．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.19．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知二次函数()f x 满足()02f =，()()12f x f x x +-=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()0f x mx -≥在[]1,2上有解，求实数m 的取值范围； （3）若方程()2f x tx t =+在区间()1,2-内恰有一解，求实数t 的取值范围． 23．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：（1）有下列函数模型：①2016x y a b -=⋅；②sin2016xy a b π=+；③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=）24．已知定义域为R 的函数211()22x x f x a +=-+是奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明. 25．求下列各式的值. （1）121log 23324()(0)a a a a -÷>；（2）221g 21g4lg5lg 25+⋅+.26．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．5．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题7．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.8．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.9．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．11．D解析：D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.12．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数， ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.15．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围.【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c --==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x -=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).17．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考 解析：4【解析】【分析】设()2sin 1x g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++x y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】 ∵函数2sin 21=+++x y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1x g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数，设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -，又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-，∴max min 224y y M M +=++-=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1x g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题. 18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5【解析】【分析】 将2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】 解：由2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()x f x g x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x x x g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =，当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =， 此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.20．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】2(1)212192()2151551x x x x e f x e e e+-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011xe ∴<<+， 2201x e ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， {}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1-【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题21．(1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可；(2)由312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩， 即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<，∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.22．（1）2()2f x x x =-+；（2）2m ≤；（3）5t =或14t ≤<【解析】【分析】（1）由待定系数法求二次函数的解析式；（2）分离变量求最值，（3）分离变量，根据函数的单调性求实数t 的取值范围即可.【详解】解：（1）因为()f x 为二次函数，所以设2()f x ax bx c =++， 因为(0)2f =，所以2c =，因为(1)()2f x f x x +-=，所以22ax a b x ++=，解得1,1a b ==-，所以2()2f x x x =-+；（2）因为()0f x mx -≥在[]1,2上有解，所以22mx x x ≤-+，又因为[1,2]x ∈，所以max 21m x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭， 因为2212212x x +-≤+-=， 2m ∴≤；（3）因为方程()2f x tx t =+在区间()1,2-内恰有一解，所以22(2)x x t x -+=+，因为(1,2)x ∈-，令2(1,4),m x =+∈则()()2222tm m m ---+=，即258tm m m =-+ 85t m m∴=+-， 又8()5g m m m=+-在单调递减，在4)单调递增， (1)1854g =+-=，8(4)4541g =+-=，55g ==，所以5t =或14t ≤<.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，关键是参变分离将有解问题或有一个解的问题转化为最值问题，属于中档题.23．（1）①，2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）2022年【分析】（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再两边同时取对数求解即可. 【详解】解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合， 设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. 经检验，2018x =和2019x =也符合. 综上：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭； （2）令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取对数得： 20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-. 综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题.24．（Ⅰ）1α= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.解：（Ⅰ）∵函数21()22x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ， ∴(0)0f =，即11012a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)x x x x f x -=-=++ ()()2112()()221212x xx x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，1a \=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭()()2211222121x x x x =++-∵12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <故()f x 在R 上单调递增.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.25．（1）0；（2）2【解析】【分析】直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解.【详解】（1）2212521log log 33332420a a a a a a a a ⎛⎫-÷=-÷=-= ⎪⎝⎭（2）22lg 2lg 4lg5lg 252lg 2(lg 2lg5)2lg52(lg 2lg5)2+⋅+=++=+=【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）1a = （2）112m -≤≤【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1）()2121a f +=-，()121112a f +-=- 因为()221x x a f x +=-是奇函数. 所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=- 化简可得()2121x f x =+- 所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-所以212m m ≥-， 即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。
湖北省武汉市2020年高一上学期数学期末考试试卷D卷
湖北省武汉市2020年高一上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}则（）A . {x|x>1}B . {x|x>0}C . {x|x<-1}D . {x|x<-1或x>1}2. （2分） (2019高二上·温州期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知，则A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·朝阳期中) 要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A . 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B . 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C . 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D . 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度5. （2分）函数的零点所在的区间为（）A . （－1，0）B .C . （1，2）D .6. （2分） (2019高三上·日照期中) 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .7. （2分）下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数，则方程的不相等的实根个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2018·成都模拟) 已知平面向量，，则在上的投影为________.10. （1分） (2018高一下·蚌埠期末) 已知，则 ________．11. （1分） (2018高一下·毕节期末) 函数的部分图象如图所示，则的值是________．12. （1分）(2018·滨海模拟) 在平行四边形中，，，，为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________13. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是________.14. （1分） (2017高三上·南通开学考) 函数y=lnx﹣x的单调递增区间为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2017高一下·福州期中) 已知sinα﹣2cosα=0，求（1）；（2）2sinαcosα．16. （10分） (2017高一上·唐山期末) 已知向量 =（1，2）， =（2，﹣3）．（1）若垂直，求λ的值；（2）求向量在方向上的投影．17. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值．18. （10分） (2017高三上·郫县期中) 已知函数，x∈R，ω＞0．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为，求函数y=f（x）的单调区间．19. （10分） (2020·肥城模拟) 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知， .（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.20. （10分） (2017高一上·武汉期中) 经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）= ．（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
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2020−2021学年湖北省武汉市部分高中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ＝{x|x 2＋x −2＞0}，B ＝{−3，−2，−1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ）
A 、{−3，2}
B 、{−3，2，3}
C 、{−1，0，1，2}
D 、{−3，−2，2，3}
2．设命题p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，则￢p 为（ ）
A 、∀n ∈N ，n 2＞2n
B 、∃n ∈N ，n 2≤2n
C 、∃n ∈N ，n 2＞2n
D 、∀n ∈N ，n 2≥2n
3．已知函数f(x)＝⎩⎨
⎧≤>0,40,log 3x x x x ,则f(f(91))＝（ ） A 、−161 B 、16
1 C 、−16 D 、16 4．已知p ：a ≥0；q ：∀x ∈R ，x 2−ax ＋a ＞0，则p 是q 的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）单调递减的是（ ）
A 、y ＝x 2
＋1 B 、y ＝|x|−1 C 、y ＝
21x
D 、y ＝e −x 6．已知正实数a ，b 满足2a ＋3b ＝1，则a 1＋b 2的最小值为（ ） A 、15
B 、8＋23
C 、16
D 、8＋43
7．函数y ＝1
42)2(3+-x x
x x 的部分图象大致为（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
8．已知定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，且f （x ＋2）＝−f （x ），若f （x ）在区间[0，1]
是减函数，则f(
35)，f （1），f(2
11)的大小关系是（ ） A 、f(211)＜f(1)＜f(35) B 、f(1)＜f(211)＜f(3
5) C 、f(35)＜f(1)＜f(211) D 、f(35)＜f(211)＜f(1) 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若0＜a ＜1，b ＞c ＞1，则（ ）
A 、(
b c )a ＜1 B 、c 1-a ＜b 1-a C 、a c log 1＜a b log 1 D 、a b a c --＜b
c 10．已知函数f(x)＝1
|1|4
2-+-x x x ，下列结论正确的是（ ） A 、f （x ）的定义域为[−1，0）∪（0，1]
B 、f （x ）的图象关于坐标原点对称
C 、f （x ）在定义域上是减函数
D 、f （x ）的值域为[−1，1]
11．已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-+3,22552
131|,)1(log |22x x x x x ，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不同的实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则下列结论正确的是（ ）
A 、x 1x 2＝−1
B 、11x ＋2
1x ＝−1 C 、x 3＋x 4＝10 D 、x 3•x 4∈[21，25]
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]＝−4，[2.1]＝2．已知函数f(x)＝1
1-e x +x e ，函数g （x ）＝[f （x ）]，以下结论正确的是（ ） A 、f （x ）在R 上是增函数
B 、g （x ）是偶函数
C 、f （x ）是奇函数
D 、g （x ）的值域是{−1，0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f （x ）＝ln （1−x ）＋x 2+的定义域为_____________．
14．求值：2log 241−(278)32
-−lg 100
1＝___________． 15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若按照上述变化规律，则死亡生物体内碳14含量每年的衰减率为___________．
16．函数f （x ）＝log a （x 2−ax ＋12）在（2，3）单调递减，则实数a 的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋2x −8≤0}，B ＝{x|m −1≤x ≤m ＋1}．
（1）若m ＝2，求（∁U B ）∩A ；
（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
18．已知函数f （x ）＝−x 2＋2|x|．
（1）判断函数f （x ）的奇偶性；
（2）将函数f （x ）写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．
19．已知函数f （x ）＝log 2x
-+1x 1． （1）求不等式f （x ）＜1的解集；
（2）判断并证明f （x ）的单调性．
20．（1）已知f(x)＝(21)x ，g(x)＝(2
1)x -，比较f （x ）与g （x ）的大小； （2）比较log 45，log 56的大小．
21．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产x （x ＞0）万部手机并全部销售完当年销售量x 不超过40万部时，销售1万部手机的收入R （x ）＝380−5x 万元；当年销售量x 超过40万部时，销售1万部手机的收入R(x)＝x 9000−240500x
万元 （1）写出年利润y 万元关于年销售量x 万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
22．已知函数f （x ）＝log 3（9x ＋1）＋kx （k ∈R ）是偶函数．
（1）求实数k 的值；
（2）若函数y ＝f （x ）−x ＋a 没有零点，求实数a 的取值范围；
（3）若函数h （x ）＝3
x x f +)(−m •3x −1，x ∈[0，log 35]的最大值为0，求实数m 的值．。