群速度色散

1
P0
非线性长度
色散长度LD和非线性长度LNL为脉冲演化过程中色散和非线性效应哪 个更重要提供了一个长度尺度。根据L、LD及LNL之间的相对大小， 传输行为可分为以下四类。
不同的传输区域
L～LNL L～LD GVD
SPM
1 L<< LNL L<<LD ×
×
脉冲在传输过程中保持其形状。在这个区域，
(T ) sgn(2 )(z LD )T
T 1 (z LD )2T02
➢ δω随T线性变化，也就是说横过脉冲的频率变化是线性的，
这称为线性频率啁啾。
➢ 啁啾δω的符号依赖于β2的符号。在正常色散区(β2>0)，脉 冲前沿(T<0)的δω为负，向后沿δω线性增大；而在反常色 散区(β2<0)则正好相反。
T t z e
T0
T0
同时，利用下面的定义引入归一化振幅U
A(z,t) P0 e(z 2)U (z, )
入射脉冲峰值功率
利用以上方程，U(z,τ)满足方程
=±1，取决于β2的符号
i U sgn(2 ) 2U ez | U |2 U
z
2LD 2 LNL
LD
T02
| 2
|
色散长度
LNL
光纤不起太重要的作用，只是起传输光脉冲
的作用。T0>100ps & P0<1mW
2 L<< LNL LLD
×
脉冲变化由GVD决定，它作用引起脉冲展宽。
T0～1ps & P0<<1W
3. L LNL L<<LD ×
非线性起主要作用，SPM致脉冲频谱展宽 T0>100ps & P0>1W
4 L≥ LNL L≥LD
无啁啾高斯脉冲入射的特点：
✓保持高斯形状不变 ✓GVD展宽脉冲，展宽程度取决于LD ✓GVD导致线性频率啁啾—β2>0，啁
啾线性；β2<0，啁啾线性 ✓GVD致脉冲展宽与β2的符号无关
啁啾高斯脉冲
对于线性啁啾高斯脉冲情形，入射场可写为
啁啾参量 。C>0，正（上）啁啾，
U
(0,T
)
exp
(1 iC) 2
第三章 群速度色散
1.不同的传输区域 2.群速度感应的脉冲展宽 3.三阶色散 4.色散管理
1.不同的传输区域
色散长度与非线性长度
： 脉宽大于5ps的脉冲在光纤中的传输可以用下面的方程描述
慢变振幅
i
A z
i
2
A
1 2
2
2 A T 2
|
A |2
A
光纤损耗 色散 T t z g
非线性效应
引入一个对初始脉宽T0归一化的时间尺度
2
U~(0,
)
exp
i 2
2
2
z
iT
)
d
U~(0,)
U (0,T ) exp(iT )dT
这两式适用于任意形状的输入脉冲。
高斯脉冲
考虑入射光场具有以下形式的高斯脉冲的情形
U
(0,T )
exp
T2 2T02
脉冲半宽度（在峰值强度的1/e处）
习惯用半极大全宽度（FWHM）表示脉宽，对于高斯脉冲，有关系
双曲正割脉冲
这种脉冲的光场形式为
U
(0,T
)
sech
T T0
exp
iCT 2 2T02
TFWHM 2ln(1
2)T0 1.763T0
✓ 对于高斯脉冲和双曲正割脉 冲，色散感应脉冲展宽的定性 特征近似一致。 ✓ 二者主要区别是：对于双曲 正割脉冲而言，色散感应的频 率啁啾沿脉冲不再是纯粹线性 变化的。
U (z,) exp(iT )d
2
U~(z, )满足常微分方程
i
U~ z
1 2
2 2U~
其解为
U
(
z,
)
U
(0,
wk.baidu.com
)
exp
i 2
2
2
z
上式表明，GVD改变了脉冲每个频谱分量的相位，且其改变量取决于 频率和传输距离。尽管这种相位变化不会影响脉冲频谱，但却能改变 脉冲形状。
时域方程的通解为
U (z,T ) 1
透射场为
U (z,T
)
T02
T0
i2 z(1
1
iC)
2
exp
(1 iC)T 2
2[T02 i2z(1
iC)]
.
啁啾高斯脉冲在传输过程中其形状仍保持为高斯形。在传输距离z后，
其脉宽T1与初始脉宽T0的关系为
T1 T0
1
C2z
T02
2
2z
T02
2
1
2
脉冲的展宽依赖于GVD参量β2和啁啾参量C的相对符号： 当β2C>0时， 高斯脉冲单调展宽；当β2C<0时，有一个初始窄化的阶段。
T2 T02
C<0，负（下）啁啾
U
(0,)
2 T02
1 iC
1
2
exp
2T02
2(1 iC)
频谱的半宽度(振幅的1/e处) 为
(1 C 2 )1 2 / T0
无啁啾时(C=0)，谱宽为傅立叶变换极限，满足关系式 T0 1
在有线性啁啾的情况下，谱宽增大了 (1 C 2 )1 2 倍。
U (z,T ) |U (z,T ) | exp[i(z,T )]
(z,T ) sgn(2 )(z LD ) T 2 1 tan1( z )
1 (z LD )2 2T02 2
LD
在任意距离z处，相位沿脉冲是按照二次曲线变化的，而且和脉冲是
通过光纤的正常色散区还是反常色散区有关。
相位φ(z,T)与时间有关，意味着中心频率为ω0的脉冲从中心到两侧有 不同的瞬时频率，频率差δω恰好是时间的导数-∂φ/∂T
在β2C<0的情况下，在光纤长
z
z m in
C 1 C2
LD
处，脉冲宽度最小，
其值为
T min 1
T0 1 C2
12
啁啾高斯脉冲入射的特点： •保持高斯形状不变； •脉冲展宽依赖于β2和 C的相对符号。
✓ 对初始窄化阶段的解释： 当一脉冲带有啁啾，且满足β2C<0的条件，色散致啁啾与初始啁 啾是反号的，其结果是使脉冲的净啁啾减小，导致脉冲窄化。最 小脉冲宽度出现在两啁啾值相等处。随着传输距离的增加，色散 致啁啾超过初始啁啾而起主要作用，脉冲开始展宽。
TFWHM 2(ln 2)1 2T0 1.665T0
沿光纤长度方向任一点z处的振幅为
U z,T
T02
T0
i2z
12
exp
2
T2
T02 i2 z
高斯脉冲在传输过程中其形状保持不变，但宽度T1随z增加，变为
T1
T0 1 z
LD
2
1
2
可以看出，尽管入射脉冲是不带啁啾的（无相位调制），但经光纤传 输后变成了啁啾脉冲，这一点通过把U(z,T)写成下面的形式就能清楚 地看出。
GVD和SPM效应的互作用与GVD或SPM单独
起作用相比较有不同的表现：
反常色散区——能维持光孤子
正常色散区——用来进行脉冲压缩。
2.色散感应的脉冲展宽
线性条件下的传输方程
对只有GVD起主要作用的情况，方程简化为下面的线性偏微分方程
i U z
1 2
2
2U T 2
如果利用你傅里叶变换
U (z,T ) 1