人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：基本不等式

基本不等式

1．均值定理：如果a ，

b +∈R （+R 表示正实数），那么

2

a b

+，当且仅当a b =时，有等号成立．

此结论又称均值不等式或基本不等式．

2

2a b +2

a b +需要前提条件,a b +∈R ．

2

a b

+叫做a ，b a ，b

3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．

考点1：常规基本不等式问题

例1.（1）已知0x >，则1

82x x

+的最小值为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1

82x x

=即14x =时取等号，

故选：C ． （2）已知3

05

x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．

310

B ．910

C ．

95

D ．

12

【解答】解：305

x <<

Q ， 则2115359

(35)5(35)()5

5220

x x x x x x +--=⨯-⨯=

„， 当且仅当535x x =-即3

10

x =时取最大值 故选：A ．

（3）已知函数9

4(1)1

y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9

B ．7

C ．5

D ．3

【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>，

99

41511

y x x x x ∴=-+

=++-++

5…

1=，

当且仅当9

11

x x +=

+，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=．

故选：B ．

（4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( )

A ．

12

B C ．1 D

【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21

121(2)()2

222

a b ab a b +=⨯⨯=g „

， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1

2

． 故选：A ．

考点2：基本不等式易错点

例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1

x x y ++的最小值是( ) A ．

1

2

B ．

14

C ．

34

D ．

54

【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121

x x x y x y +=+++， 122242x x x x

x x x x +-=+=+

--， 12115()2442424

x x x x -=

+++⨯=-…， 当且仅当

242x x

x x

-=

-即23x =时取等号； ②当0x <时，

1||1()2||121

x x

x y x y +=-+++，

121213(

)()1224244244

x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----…， 当且仅当

242x x

x x

--=

--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34

故选：C ．

考点3：基本不等式常见变形

例3.已知0b a <<，且1ab =，则22

a b a b

+-取得最小值时，a b +等于( )

A

．B

．C

．D

．【解答】解：1ab =Q

∴2222()2()22()a b a b ab a b a b a b a b a b a b

+-+-+===-+----

0b a <

∴22a b a b +-…2)a b a b

-=-

即22a b a b +-取得最小值时，满足21

a b a b ab ⎧

-=⎪-⎨⎪=⎩

22()()46a b a b ab ∴+=-+=

0b a <

a b ∴+=

故选：B ．

例4.（1）已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的最小值是( ) A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

【解答】解：Q 正数a ，b 满足3ab a b =++，

33ab a b ∴=++…，

∴9ab ∴…，

当且仅当3a b ==时取等号，

ab ∴的最小值为9．

故选：A ．

（2）已知0x >，0y >，且22

426x y x y +++=，则2x y +最大值是 ．

【解答】解：Q 2

2

2

(2)42x y x y ++…，

222

(2)64222

x y x y x y x y +∴=+++++…，

令20x y t +=>，上式化为22120t t +-„，解得01t <„．

t ∴的最大值即2x y +1．

1．

例5.（1）已知0a >，0b >，42a b +=，则11a

b

+的最小值是( ) A ．4

B ．

92

C ．5

D ．9

【解答】解：0a >Q ，0b >，42a b +=，

∴11111()(4)2a b a

b

a

b

+=++

14(5)2b a a b

=

++

19(522

+=…， 当且仅当

4b a a b =

，即13a =，2

3

b =时取等号， 故选：B ．

例6.（1）设0x >，0y >，且2

2

12y x +=，求 【解答】解：0x >Q ，0y >，且22

12

y x +=，

∴=

„22212x y ++=g

212+==g

x =且2y =时取等号，

∴的最大值为

4