圆锥曲线性质的探讨

圆锥曲线性质的探讨

顺义十中 数学组

一．平行射影

【教学目标】 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.

【教学重点与难点】

教学重点：体会平行投影

教学难点：证明平面与圆柱面的截线是椭圆

㈠.复习与引入 1、点在直线上的正射影

2、直线在直线上的正射影

㈡.新课讲授

问题1：点、直线在平面上的正射影是什么呢？

给定一个平面α

A′

称为点A 在平面α上的正射影.

那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？

一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影. 问题2β上的正射影是什么图形？

A ‘

N M A

B A ‘ B ‘

当平面α与平面β不平行时，圆在平面β上的正射影是什么图形？

如果平面α

ββ

如果取消

“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。

设直线l 与平面

α相交，称直线l 的方向为投影方向。过A 点作平行于l 的直线（称为投影线）必交与一点A′,称点A′为A

一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 显然，正射影是平行射影的特例。

问题3：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？

可以看出水平面是一个椭圆.

定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。

我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。其中，点A 的投影为点E,点D 的投影为F ，显然EF>AD 。与杯口（圆）的直径AD 垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆.

上述问题可以抽象为：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆.

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