北师版数学高一必修1第二章第2节对函数的进一步认识(第1课时)

2.1 函数概念1．了解生活中的变量关系．2．理解函数的概念．3．会求出简单函数的定义域、值域．1．生活中的变量关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )．A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？2．函数的概念给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”．【做一做2】下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )．A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y3．区间与无穷的概念(1)区间这里实数a，b都叫作相应区间的________________．并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．【做一做3】将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间．(1){x|x≥1}；(2){x|x＜1或x≥2}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}．答案：1．(1)唯一确定【做一做1－1】A【做一做1－2】解：t小时走的路程是s＝v t.由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数．2．数集任何一个唯一f(x){f(x)|x∈A}【做一做2】A A选项中，给定一个x(比如x＝5)，有两个y(y＝±2)与它对应，所以y不是x的函数．同理可验证其他选项中y都是x的函数．3．(1)[a，b](a，b)[a，b)(a，b]端点(2)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【做一做3】解：(1)[1，＋∞)；(2)(－∞，1)∪[2，＋∞)；(3)[2,5)∪(5,8]．数轴表示分别如图(1)(2)(3)．如何理解函数符号f(x)的意义？剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个依赖于x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．题型一函数的概念【例1】判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x＜0；(2)f(x)＝x x＋1与g(x)＝x(x＋1)；(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致．反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同．(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数；(2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数；(3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y＝2x－1－7x；(2)y＝(x＋1)0 |x|－x.分析：求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．反思：1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2．如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．3．如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．4．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．5．对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值．分析：解决求值问题，先分清对应法则，再代入求值．反思：(1)求函数值问题，首先确定出函数的对应法则f的具体含义，再代入求值．(2)求类似f(g(2))的值，要注意f，g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值．题型四求函数的值域【例4】求下列各函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；(2)y＝x＋1；(3)y＝x2－4x＋6；(4)y＝x＋2x－1.分析：确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系，关键是弄清自变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律．反思：求函数值域的方法：(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0等观察出函数的值域；(3)换元法：利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．论函数的值域要先考虑函数的定义域，本例(1)中，如果忽视函数的定义域，那么会错误地得出函数值域为R .避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则．题型五 易错辨析易错点 求函数定义域时非等价化简解析式致错 【例5】 求函数y ＝x －2·x ＋2的定义域． 错解：y ＝x －2·x ＋2＝x 2－4，由x 2－4≥0，得x ≥2或x ≤－2，∴函数的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}．错因分析：错解在求函数的定义域时，对函数的解析式进行了不等价变形，导致定义域范围扩大．答案：【例1】 解：(1)f (x )的定义域中不含有元素0，而g (x )的定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域也不相同，所以不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此也不是同一函数．【例2】 解：(1)令⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17.所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤17.(2)令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，所以x ＜0且x ≠－1.所以函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． 【例3】 解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13； 又g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 【例4】 解：(1)当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，∴函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)∵函数的定义域为[0，＋∞)， 当x ≥0时，x ≥0，∴y ≥1，即函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)． (3)函数的定义域为R .∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， ∴该函数的值域为[2，＋∞)． (4)换元法：设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12且t ≥0.问题转化为求y ＝1＋t 22＋t (t ≥0)的值域．∵y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)，(t ＋1)2≥1，∴y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.故该函数的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.【例5】 正解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，x ＋2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≥－2，即x ≥2，∴函数的定义域为{x |x ≥2}．1 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图像是( )．2 已知函数f (x )＝11x x +-，则f (2)等于( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．03 函数y ( )．A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}4 函数y ＝5x ，x ∈[1,5)的值域是__________．5 判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由． (1)y ＝x －1，x ∈R 与y ＝x －1，x ∈N ；(2)y y (3)y ＝11x +与u ＝11t+.答案：1．C 2.A3．D 要使函数有意义须10,0,x x -≥⎧⎨≥⎩解得0≤x ≤1.4. (1,5] 画出函数的图像，如图所示，观察图像得图像上所有点的纵坐标的取值范围是(f (5)，f (1)]，则函数的值域是(1,5]．5．解：(1)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．(2)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．(3)相等．定义域相同均为非零实数，对应关系相同，都是自变量取倒数后加1，故相等．。