北师版数学高一必修1第二章第2节对函数的进一步认识(第1课时)

2.1 函数概念

1．了解生活中的变量关系．

2．理解函数的概念．

3．会求出简单函数的定义域、值域．

1．生活中的变量关系

(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．

(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．

函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数

关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作

物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，

具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．

【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )．

A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数

【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？

2．函数的概念

给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．

(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x

的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”．

【做一做2】下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )．

A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1

C．x－2y＝6 D．x＝y

3．区间与无穷的概念

(1)区间

这里实数a，b都叫作相应区间的________________．

并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．

无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．

【做一做3】将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间．

(1){x|x≥1}；

(2){x|x＜1或x≥2}；

(3){x|2≤x≤8且x≠5}．

答案：1．(1)唯一确定

【做一做1－1】A

【做一做1－2】解：t小时走的路程是s＝v t.

由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数．2．数集任何一个唯一f(x){f(x)|x∈A}

【做一做2】A A选项中，给定一个x(比如x＝5)，有两个y(y＝±2)与它对应，所以y不是x的函数．同理可验证其他选项中y都是x的函数．

3．(1)[a，b](a，b)[a，b)(a，b]端点(2)[a，＋∞)

(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)

【做一做3】解：(1)[1，＋∞)；

(2)(－∞，1)∪[2，＋∞)；

(3)[2,5)∪(5,8]．

数轴表示分别如图(1)(2)(3)．

如何理解函数符号f(x)的意义？

剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.

(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字

描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个依赖于x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．

题型一函数的概念

【例1】判断下列函数是否为同一函数：

(1)f(x)＝|x|

x与g(x)＝⎩⎪⎨

⎪⎧1，x≥0，

－1，x＜0；

(2)f(x)＝x x＋1与g(x)＝x(x＋1)；

(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；

(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．

分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致．

反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同．

(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数；

(2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数；

(3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；

(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；

(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．

题型二求函数的定义域