近世代数(吴品三)习题解答第三章 环与域

A A
个子环. [ 证 ] (1) 容 易 验 证 ,( A ,+) 是 可 换 加 群 ,( A ,·) 是 乘 法 半 群 , 且 对 于
A A
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f , g , h A A 和 x A ,有:
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第三章
环与域
[ f ( g + h )]( x )= f ( x ) [( g + h )( x )]= f ( x ) [ g ( x ) + h ( x ) ] = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) =( fg )( x )+( fh )( x )=( fg + fh )( x ). 所以 f ( g + h )= fg + fh .同样,有( g + h ) f = gf + hf .所以乘法对加法适合分配律, 故( A ,+,·)作成一个环. (2)显然 ,零同态(即把 A 中的任意元素都映射为 0 的同态)∈ BS , 所以 BS 非 空 . f , g BS , 则 f , g A A , f ( S ) S , g ( S ) S , 而 S 是 A 的 子 环 , 所 以 ( f - g )( s )= f ( s ) - g ( s ) ∈ S ;( f g )( s )= f ( s ) g ( s ) ∈ S , s S . 所 以 ( f - g )( S ) S ,( f g )( S ) S ,故 BS 是( A ,+,·)的一个子环.
( b a )( ab )= b 1 (a 1a )b = b b =1,从而 ab 是 A 的正则元,且 (ab) 1 = b a .
1 1 1 1 1
8. 设 A 是有单位元的环,证明, A 中正则元一定不是零因子. [证] 用反证法.设 a 是 A 中一个正则元,如果 a 是零因子,则 b A , b ≠0,使 得 ab =0.但 a 为正则元,有逆元 a
B1 B2 {15 x | x ∈ Z }.
但 是 , 显 然 B1 {15 x | x ∈ Z }, B2 {15 x | x ∈ Z }, 所 以
B1 B2 {15 x | x ∈ Z }.故 B1 B2 ={15 x | x ∈ Z }.
12. 设 E 是 加 群 ( G ,+) 的 自 同 态 环 , H 是 G 的 一 个 子 群 , 证 明
1 1 1
A , 使 得 aa 1 = a 1a =1. 所 以
1
1
(- a )(- a )=(- a )(- a )=1.从而- a 也是正则元,且 ( a ) =- a .
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第三章
环与域
7. 设 a , b 是 有 单 位 元 的 环 A 的 两 个 正 则 元 , 证 明 ab 是 A 的 正 则 元 , 且
a (bc ) = ( ab)c =0.但 a 不是 A 的左零因子,所以必有 bc =0,但 b 也不是 A 的左零因
子,所以必有 c =0 与 c ≠0 矛盾.所以 ab 不是 A 的左零因子.同理可证, ab 也不是 A 的右零因子.因此, ab S , S 对乘法封闭. 又因为结合律显然成立,所以 S 是( A ,·)的子半群. 注:原题“设 S 表示 A 的一切不是零因子的元的集合”,这样,按原书关于零因 子的定义, A 中就包含是左零因子,而非右零因子的元;也包含是右零因子,而非左零 因子的元,那么,题中结论不成立. 例如取 A 为 F 上无穷矩阵环(见第三章习题 40).令
B H ={ f | f E , x G : f ( x H ) f ( x ) H }是 E 的一个子环.
[ 证 ] 因为单位映射 1∈ B H , 所以 B H 非空 . f 1 , f 2 BH , 则 f 1 , f 2 ∈ E , 且
x G , f1 ( x H ) f1 ( x ) H , f 2 ( x H ) f 2 ( x ) H .
E H ={ f | f E , f ( H ) H }是 E 的一个子环.
[ 证 ] 因为单位映射 1∈ E H , 所以 E H 非空 . f1 , f 2 E H , 则 f 1 , f 2 ∈ E , 且
f1 ( H ) H , f 2 ( H ) H .
因为 E 是环,所以( f 1 - f 2 )∈ E ,( f 1 · f 2 )∈ E ,且 ( f 1 - f 2 )( h )=( f 1 ( h ) - f 2 ( h ) )∈ H ; ( f 1 · f 2 )( h )=( f 1 ( h ) · f 2 ( h ) )∈ H · H = H (因为 H 是子群), h H .
的子半群. 11. 证明 , B1 ={3 x | x Z }, B2 ={5 x | x Z } 是整数环 Z 的两个子环 . 求
B1 B2 =?
[ 证 ] ① a , b B1 , 则 必 x1 , x 2 Z , 使 得 a =3 x1 , b =3 x 2 , 所 以
因为 E 是环,所以( f 1 - f 2 )∈ E ,( f 1 · f 2 )∈ E . 又因为 H 是 G 的子群 , f 1 ( x H ) f 1 ( x ) H , f 2 ( x H ) f 2 ( x ) H . 所以对 x G , h H ,有: ( f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H ); ( f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) · f 2 ( x ) + H ). 所以 x G , h H , ( f 1 - f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H =( f 1 - f 2 )( x )+ H ; ( f 1 · f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) + H =( f 1 f 2 )( x )+ H . 从而( f 1 - f 2 )∈ B H ,( f 1 · f 2 )∈ B H ,故 B H 是 E 的一个子环. 14*. 设( A ,+,·)是一个环,对 A 规定加法与乘法: f , g A A , x A ,命
a - b =3 x1 -3 x 2 =3( x1 - x 2 )∈ B1 ;且 a · b =3 x1 ·3 x 2 =3(3 x1 x2 )∈ B1 ,所以 B1 是
Z 的子环.同理可证, B2 是 Z 的子环.
② y B1 B2 ,则 y B1 , y B2 .由 y B1 ,知 3| y ;由 y B2 ,知 5| y ,而 (3,5)=1, 所 以 (3×5)| y , 即 15| y , 从 而 y =15 x ∈{15 x | x ∈ Z }, 故
第三章
环与域
第三章
练习 §1.
1. 在环 A 中,计算 (a b) 3 =?
环与域
定义及基本性质
[ 解 ] (a b) 3 = (a b) 2 (a b) = (a 2 ab ba b 2 ) ( a b) = a + aba
3
+ ba + b a + a b + ab + bab + b . 2. 证明 Z [ i ]={ a + bi | a, b Z , i 是虚数单位}关于数目加法、乘法作成一个 环. [证] 分别验证环的定义中所须条件成立即可. 3. 证明,任意一个不仅含有一个数的有限数集关于数目的加法和乘法不能作成 一个环. [证] 用反证法.设 R 是一个有限数集, R 中不只有一个元素,但 R 作成环.因为 R 不只含一个元素,所以必 a R , a ≠0.作 S ={ na | n 为整数},则 S R .显然, 在数集中,由于 a ≠0,所以当 m ≠ n 时,有 ma ≠ na ,所以 S 为无限集.这与已知 R 是有限集且 S R 矛盾.故 R 不能作成环. 4. 在 Z 5 中,找出每一个非零元的逆元. [解] 1 的逆元是 1 本身; 2 和 3 互为逆元; 4 的逆元是 4 本身. 5. 在 Z15 中,找出方程 x -1=0 的全部根. [ 解 ] 设 y ∈ Z15 , y -1=0, 则 y =0,1,…,14, y 2 ≡1( mod15 ). 易求得 , 只有
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环与域
0 1 0 0 1 1 0 a = , b = , 1 其中 1 是 F 中单位.由 ab 是 A 的单位元,易证 a, b S ,但 ba S .故 S 不是( A ,·)
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第三章
环与域
所以( f 1 - f 2 )( H ) H ,( f 1 · f 2 )( H ) H . 从而( f 1 - f 2 )∈ E H ,( f 1 · f 2 )∈ E H ,故 E H 是 E 的一个子环. 13. 设 E 是 加 群 ( G ,+) 的 自 同 态 环 , H 是 G 的 一 个 子 群 , 证 明
2
2
2
2
2
2
3
y =1,4,11,14.所以方程 x 2 -1=0 在 Z15 中的全部根是 1 , 4 , 11 , 14 .
6. 设 a 是 有 单 位 元 的 环 A 的 一 个 正 则 元 , 证 明 ,- a 也 是 正 则 元 , 且
( a ) 1 =- a 1 .
[ 证 ] 因 为 a 是 正 则 元 , 所 以 a
1
.于是, b = a 1 (ab) = a
1
0=0,与 b ≠0 矛盾.所
以 A 中任一正则元一定不是零因子. 9. A 是所有分母为 2 的非负整数次方幂的既约分数所成集合,问 A 关于数目加 法、乘法是否作成一个环? [证] a, b A ,则必存在整数 k1 , k 2 和非负整数 m1 , m2 ,使 a = 从而 a ± b =
k1 k2 ,b = m , m1 2 2 2
k1 2 m2 k 2 2 m1 .显然,经过约分之后, a ± b 仍是分母为 2 的非负整 2 m1 m2
k1 k 2 ∈ A. 2 m1 m2
数次方幂的既约分数,从而 a ± b ∈ A .同理, ab =
按环的定义,容易证得, A 关于数目加法、乘法作成一个环. 10. 设 S 表示 A 的一切不是(左零因子,也不是右)零因子的元的集合,证明, S 是( A ,·)的子半群. [证] a, b S ,今用反证法证明 ab 不是 A 的左零因子. 如 若 ab 为 A 的 左 零 因 子 , 则 有 c A , c ≠0, 使 得 ( ab)c =0. 所 以
A A
15. 设 F 是数域 , F [ x ] 是 F 上未知量 x 的多项式环 , 对 F [ x ] 规定结合 法
A
( f + g )( x )= f ( x ) + g ( x ) ,( f · g )( x )= f ( x ) · g ( x ) . 证明,( A ,+,·)是一个环.
A 命 S 是 A 的一个子环 ,证明 BS ={ f | f A , f ( S ) S } 是( A ,+,·)的一
(ab) 1 = b 1a 1 .
[ 证 ] 因 为 a , b 是 A 的 正 则 元 , 所 以 a , b
1 1
A , 使 得
aa 1 = a 1a =1, bb 1 = b 1b =1. 所 以 ( ab )( b 1a 1 )= a(bb1 )a 1 = aa 1 =1; 且