[学习]椭圆型方程的有限差分法

u( xi1 ) u( xi1 )
hi hi1
du [ dx ]i
hi
hi1 2
d 2u [ dx2 ]i
o(h2
),
(2.3)
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函 数xi点 取 值 。
p(
x
i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
[p
du
dx
]
i
1 2
hi 2 24
[p
d 3u
dx3
] i
x(1)
x(1)
其 中 W ( x) p( x) du dx
(2.15)
(2.14)
考虑守恒型微分方程：
特
别
于(2.14)取[
x
(1)
,
x
(
2)
]对
偶
单
元[
x
i
1
,
x
i
1
],
2
2
则
W
(
x
i
1
)
W
(
x
i
1
)
2
2
x
i
1 2
qudx
x
i
1
2
xi 1
2
fdx, (2.14)
x
i
1
2
考 虑 到p( x)允 许 有 间 断 点 ， 由(2.15)进 一 步 差 分
其 中q, f为[a, b]上 的 连 续 函 数, q 0;
, 为 给 定 常 数 。
1 区间的剖分
将 区间[a, b]分 成n等 分， 分 点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a) / N .于 是我 们 得 到区 间I [a, b]的 一个 网 格 剖 分 ，x j称 为 网 格 结 点 （ 节 点 ）， 间 距h称 为步长。
)]i
1 [
12
p
d 3u dx3 ]i
1 2
[r
d 2u dx2 ]i
o(h2
),
(2.8)
为 差 分 算 子Lh的 截 断 误 差 ， 舍 去Ri (u)便 得 逼 近 边 值 问
题(2.1),(2.2)的 差 分方 程 。
Lhui
hi
2
hi 1
[
p
i
1 2
ui1 ui hi 1
p
i
1
2
ui
ui1 ] hi
差 分 方 程(1.6)当i 1,2, N 1,时 成 立 ， 加 上 边 值 条 件 就 得 到 关 于 的 线 性 代 数方 程 组 ：
Lhui
ui 1
2ui h2
ui1
qi ui
fi , i 1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它 的 解ui是u( x)于x xi的 近 似 。 称(1.8),(1.9)为 逼 近(1.1) (1.2)的 差 分 方 程 或 差 分 格 式。
首 先 取N 1个 节 点 ：
a x0 x1 xi xN b, 将 区 间I [a, b]分 成N个 小 区 间 ：
Ii : xi1 x xi , i 1,2, N .
于 是 得 到 区 间I的 一 个 网 格 剖 分 ， 记hi xi xi1 ,
称h
max i
hi为
程 ， 则 在[a, b]内 任 一 小 区 间,[ x(1) , x(2) ]上 的 热 量 守 恒律具有形式
d x( 2)
du
x(2)
x(2)
( p )dx qudx fdx,
dx x(1) dx
x(1)
x(1)
或
W ( x(1) ) W ( x(2) )
x(2)
x(2)
qudx fdx,
关
于
右
端
稳
定
，
如
果
存在
与
网
格I
及
h
右
端f h
(
fh
(
xi
)
fi )
无 关 的 正 常 数M和h0， 使
vh
M
fh
,
R
当0 h h0 ,
(1.17)
其中
fh
R
是
右
端f
的
h
某
一
范
数
，
它
可
以
和 相
同
，
也 可 以 不 同 ，vh( xi ) vi , i 1,2, , N 1.
不
等
式(1.17)表
此 格 式 称 为 中 心 差 分 格式 。
注意:
方 程(1.8)的 个 数 等 于 网 格 内 点x1 ,
x2 ,
,
x
N
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
以I
表
h
示
网
格
内
点x1
,
x2 ,
,
x
N
的
1
集
合
，I表
示
网
格
内
点
和 界 点x0 a, xN b的 集 合 。 定 义 在I（h 相 应 的Ih )上 的 函
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函 数xi点 取 值 。 于 是 在 可 将 方 程(1.1)写 成
u(
xi
1
)
2u( xi h2
)
u(
xi
1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u),(
其中
Ri
(u)
h2 12
h2u( x) [ dx2 ]
o(h3
),
(1.5)
当h足够小，Ri (u)是h的二阶无穷小量。若舍去Ri (u)， 则 得 逼 近 方 程(1.1)的 差 分 方 程 ：
化 是 不 合 适 的 。 但 “ 热流 量 ”W ( x)恒 连 续,
故 将(2.15)改 写 成
du W ( x) , dx p( x)
在 沿[ xi1 , xi ]积 分 ， 得
ui ui1
xi W ( x) dx, xi1 p( x)
利
用
中
矩
形
公
式
，
得
W
i
1
2
ai
ui
ui1 hi
1 2
o(h3 ),
[
p
du
dx
]
i
1 2
hi 2 24
[
p
d 3u dx3 ]i
o(h3 ),
(2.4)
p(
x
i
1 2
)
u(
xi
1 ) hi
1
u(
xi
)
[
p
du
dx
]
i
1 2
h2i1 24
[
p
d 3u dx3 ]i
o(h3 ),
(2.5)
由(2.5)减(2.4)， 并 除 以hi hi1 ， 得 2
定义1.2
称 差 分 解uh收 敛 到 边 值 问 题 的 解u， 如 果 当h充 分 时 ， (1.8), (1.9)的 解uh存 在 ， 且 按 某 一 范 数 有
lim
h0
uh
u
0.
这
里u看
成I
网
h
函
数
。
(1.15)
可 将 方 程(1.4)写 成
Lhu(
xi
)
u(
xi1
)
2u( xi h2
第四章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
§2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考 虑 二 阶 常 微 分 方 程 的边 值 问 题
Lu
d 2u dx2
qu
f
u(a) , u(b)
a x b, (1.1) (1.2)
(
p
du dx )]i
hi1 12
hi
[
p
d 3u dx3 )]i
o(h2 ),
(2.6)
令p
i
1
p(
x
i
1
),
ri
r( xi ),qi
q( xi ),
fi
f (xi ),
2
2
则 由(2.3),(2.6)知,边 值 问 题 的 解u( x)满 足 方 程 ：
Lhu( xi
)
hi
2 hi1
hi
2 hi1
[
p(
x
i
1
)
2
u( xi1 ) u( xi ) hi 1
p(
x
i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
hi
2 hi1
([ p
du
dx
]
i
1 2
[p
du
dx
]
i
1 2
)
hi1 12
hi
[p
d 3u dx3 ]i
o(h2 ),
[d dx
(
p
du dx )]i
hi1 4
hi
d2 [ dx 2
2
2
2
2
又 作 成[a, b]的 一 个 网 格 剖 分 ， 称 为对 偶 剖 分 。 图1
中 打 “” 号 的 是 原 剖 分 节 点 ，打 “” 号 的 是 对 偶
剖分节点。
xi 1 2
xi 1 2
a
xi1 xi xi1
b
图1
其 次 用 差 商 代 替 微 商 将方 程(2.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分 光 滑 的 解u， 由Taylor展 式 可 得
明
，
解v
连
h
续
依
赖
右
端f h，
即
右
端
变 化 小 时 解 的 变 化 也 小。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
若 边 值 问 题 的 解u充 分 光 滑 ， 差 分 方 程
按 满 足 相 容 条 件 ， 且 关 于右 端 稳 定 ， R
则 差 分 解uh按 收 敛 到 边 值 问 题 的 解 ，且
[
p( xi 1 2
)
u( xi1 ) u( xi hi 1
)
p(
x
i
1
)
2
u( xi ) u( xi1 )] hi
hi
ri hi1
[u( xi1 )
u( xi1 )]
qi u( xi
)
fi Ri (u)
(2.7)
其中
1 d 2 du
Ri
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(u)
( hi 1
hi
)( 4
[ dx 2
(
p
dx
)
u(
xi 1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi
相 减 ， 得 Lh (u( xi ) ui ) Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则 误 差 函 数eh ( xi ) ei满 足 下 列 差 分 方 程 ；
Lhei e0
e
Ri (u) N 0
i 1,2, , N 1, (1.16)
于 是 收 敛 性 及 收 敛 速 度的 估 计 问 题 。
就 归 结 带 通 过 右 端Ri (u（) 截 断 误 差 ） 估 计 误 差 函 数eh的 问 题.
定义1.3
称 差 分 方 程Lhvi fi (i 1,2, , N 1),v0 vN 0
最
大
网
格
步
长
。
用I h表
示
网
格
内
点
x1 , x2 ,
x
N
的
1
集
合,
I
表
h
示
内
点
和
界
点x0
a, xN
b
的 集 合.
取 相 邻 节 点xi1 ,
xi的
中
点x
i
1
2
1 2
( xi1
xi )(i
1,2,
,
N )，
称 为 半 整 数 点 ， 则 由 节点
a x0 x1 x3 xi1 xN 1 xN b,
定义1.1
设是 某 一 充 分 光 滑 函 数 类，Rh(u)是 由 截 断 误 差 (1.7)定 义 的 网 格 函 数 ， 若 对任 何 ， 恒 有
lim Rh(u) 0,
(1.14)
则 说 差 分 算 子Lh逼 近 微 分 算 子L， 而 称(1.14)为 相 容
条 件.
由(1.5)便 知 ， 差 分 算 子(1.6)逼 近 微 分 算 子 ， 且 逼 近的 阶 是: Rh(u) c o(h2 ), Rh(u) 0 o(h2 ), Rh(u) 1 o(h).
u(a) , u(b)
(2.2)
其 中p C 1[a, b], p( x) pmin 0, r, q, f C[a, b],
, 为 给 定 常 数 。
我 们 将 介 绍 差 分 格 式 的三 种 方 法 ： 直 接 差 分 法 、 积 分 插 值法 和 变 分 差 分 法 。
2.1直接差分化
误 差 的 阶 。 因 此 我 们 的主 要 任 务 去 建 立 差 分 格式 的 稳
定 性 ， 即 建 立 形 如(1.17)的 估 计 式 ， 称 之 为 关 于差 分 方
程解的先验估计。
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题：
Lu
d dx
(
p
du ) dx
r
du dx
qu
f
a x b, (2.1)
有和
Rh (u)
相 同 的 收 敛 阶.
R
为 了 建 立 差 分 解 的 收 敛性 ， 就 需 要 检 验 相 容 条件 和 建
立 差 分 方 程 的 稳 定 性 。检 验 相 容 条 件 并 不 困 难。 我 们 曾
用Taylor展 式 证 明 它 都 满 足 相 容条 件 ， 并 且 估 计 了 截 断
数uh ( xi ) ui称 为I（h 相 应 的Ih )上 的 网 函 数.
我
们
对I
上
h
的
网
函
数
引
进
范
数
uh
c
max
1i N 1
ui
,
(1.10)
N 1
uh
2 0
hui2 ,
i 1
(1.11)
uh
2
1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12)
于 是
uh
2 1
N h( ui
i 1
ui1 ), h
(1.13)
,
(2.16)
hi
ri hi1
[ui 1
ui1 ]
qi ui
fi
i 1, , N 1,
u0 , uN ,
(2.10)
(2.9)
2.2 积分插值法
考虑守恒型微分方程：
Lu d ( p du) q( x)u f ( x). dx dx
(2.13)
如 果 把 它 看 作 是 分 布 在一 根 杆 上 的 稳 定 温 度 场方
Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi ,(1.6)
式 中qi q( xi ), fi f ( xi ).称Ri (u)为 差 分 方 程(1.6)的 截
断误差。
截 断 误 差 Ri (u) Lhu( xi ) [Lu]i (1.7) 所 以Ri (u)是 用 差 分 算 子Lh代 替 微 分 算 子L所 引 起 的 截 断 误 差(，1.6)式 关 于h的 阶 为0(h2 ).
1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方 程(1.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分光 滑
的 解u， 由Taylor展 式 可 得
u( xi1 ) 2u( xi ) u( xi1 ) h2
[d
2u( x) dx2 ]i
h2 h2u( x)
[ 12
dx2
]
o(h3
),(1.3)