第四章 第3节 分部积法
高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
上交大微积分教学课件 第四章不定积分
3.原函数定理
定理1 若函数 f (x) 在区间D上连续，则 f (x) 在区间D上一定存在原函数 F(x) ．
定理2 如果函数F(x) 是 f (x)在区间D上的原 函数，则
(1) F (x) C 也是 f (x) 在区间D上的原函
数，其中C是任意常数； (2) f (x) 在区间D上的任意两个原函数之间 只相差一个常数．
❖ ④ 若被积函数中含有 x2 a2 (a 0) ，可令 x a sect ．
第三节 分部积分法
当被积函数是两类基本初等函数的乘积的形式 时，这种类型的积分用换元法一般不能求出．例
如： xcos xd x 和 xex d x 等.为此，我们再探讨一种
新的积分法—分部积分法，它是与导数(微分)运 算中乘积的导数(微分)公式相对应的积分方法．
换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，
这就是第二类换元积分法的思想 .
定理2 (第二类换元积分法) 若 x (t)单调可微 且 (t) 0，如果
f (x) d x f (t)(t) d t (t) C [ (x)] C
即 f (x) d x [ (x)] C 其中，t (x) 是 x (t)
当被积函数为幂函数与指数函数或三角函数乘积时， 选幂函数为 u(x) ；当被积函数为幂函数与对数函数或 反三角函数乘积时，选幂函数为v(x) ；当被积函数为 三角函数与指数函数乘积时，u(x) 可以任意选取．
❖ 例1 求 xcos xd x ．
❖ 分析 因被积函数是幂函数与三角函数的乘 积．把“cos x ”凑f [(x)](x) ．
因此 f (x)(x)d x f (u)du
．
❖ 注意：
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出 的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经 过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个 常数．
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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结束
例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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结束
x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
分部积分法
分部积分法我在做数学题时常用分部积分法，就是将题目中的各个已知量化成各个相等的部分，然后利用这些量之间的关系进行计算。
在解答比较复杂的数学题时，也经常会遇到需要利用分部积分法解决的问题。
分部积分法运用得好，能使解题过程变得十分简洁、准确，还能帮助我们更快地得出答案。
如：小明家距离学校60千米，每天上学平均要走10千米。
如果以每小时行走4千米为标准，求小明一周大约要走多少千米？不妨试试分部积分法：以每小时行走4千米为标准， 1天行走60/10=4（千米）； 3天行走60/4=12（千米）； 5天行走60/12=9（千米）； 2周共行走60/16= 8（千米）。
如果用被除数和除数同时乘10得出的商做分母，除数与商同时除以10得出的积作分子，把两者结合起来列式，则可转化为两个因数相乘的形式。
可见，当因数a ×b×c时，积是一个等式，我们可以先约分再计算，得分母a×b×c=b×c，即a×b×c=b。
所以，最后可以写成， a×b×c=b， a×b=b，这样就可以直接约分了。
学习了分部积分法后，我在做应用题时不仅学会了转化思想，而且对分部积分法有了更深刻的认识。
在解应用题时，通常会涉及“路程=速度×时间”的数学模型，但有时实际情况中，还会涉及“路程=时间×速度”或“速度=路程/时间”的数学模型，所以，还要引导学生善于把现实中的数量关系与数学模型联系起来加以理解。
在实际生活中，这种情况很多，只要我们注意观察和思考，并进行适当的分析、推理，找出规律，解题就变得容易了。
这种方法应用起来非常简便，所以受到人们的青睐。
分部积分法既能使计算简单明了，又不易出错。
例如：某工厂生产一批零件，第一天生产120个零件，第二天生产120个零件，第三天生产120个零件，依此类推，最后完成任务时还剩20个没有生产。
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
（4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 .
（5）上述换元公式也可反过来使用。
a
0
0
a
0 [ f (x ) f ( x) ]d x
即
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f ( x) ] d x
a
0
a
a
即
f (x)d x [ f (x) f (x) ] d x
a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
则
b
f (x)d x F(b) F(a)
a
由不定积分换元法有 f [ (t)] '(t)d t F[ (t)] c
f [ (t)] '(t)d t F[ (t)]
F[( )] F[( )]
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
第四节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
第三节 分部积分法
例2 求 xx22eexxddxx..x sin x cos解x C .x arctan反xd对x 幂第1三三节指ar分ct部an积1x x a2rcsin x
例若 解 解选3 求x求择cxxol2unsexxxxx=ddlldnxxn三xxx角ddxxxxxc函2x22..loee2nc第sdxx数oxe三xsdx，dx节22xx2v2分2xxxd=e2部eexxd幂xx例解 例 2积xx2xs2分2函i66cnl法noe数求求xsxxdedx，xxxs2则ieenxxxx2x2ss2iid反11d22更dnnxlcxxnxx对难o22xddsaa幂x积 xastt三i出 rsaancinnnsx指ixxxndex
解
令 x2
sxe=ca32ax22dtdatexxentxst(e12,aecat2(xxsdsetexaCcc1n=)22| 解sttldednctt|x,sIee则nacxt2taxn1(sxxd(etax2cx|en23xxtdxadxs2|a21)et)2c,n)2t3xCn2xt.2d2x1nln(dx(tt(22x
第三节 分部积分法
一、分部积分公式 二、举例
第三节 分部积分法
一、分部积分公式
由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法 分部积 分法.
第三节 分部积分法
(2) vdu 要比 udv 容易积出.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
当被积函数是两类基本初等函数的乘积时， 可用如 下的办法来选择 u 和 dv :
选择 u 和 dv 时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作 u，而把排在后面的 那类函数选作 v .
最新03第三节分部积分法
03第三节分部积分法第三节分部积分法分布图示★分部积分公式★几点说明★例1 ★例2 ★例3★例4★例5 ★例6 ★例7★例8★例9 ★例10 ★例11★例12★例13 ★例14 ★例15★例16★例17 ★例18★分部积分的列表法★例19 ★例20 ★例21★例22★内容小结★课堂练习★习题4-3内容要点分部积分公式：«Skip Record If...» (3.1)«Skip Record If...» (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).«Skip Record If...»例题选讲例1 (E01)求不定积分 «Skip Record If...».解一令«Skip Record If...»«Skip Record If...»显然, «Skip Record If...»选择不当，积分更难进行.解二令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2(E02) 求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3(E03)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4 (E04)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5(E05)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u, dv可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6(E06)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7(E07)求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由于上式右端的第三项就是所求的积分«Skip Record If...»把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得«Skip Record If...»例8 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»例10(E08)求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12 求«Skip Record If...»解法 1 先分部积分，后换元.设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入上式, 得«Skip Record If...»«Skip Record If...»解法 2 先换元, 后分部积分.设«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»例13 求不定积分«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»例14(E09)求不定积分«Skip Record If...», 其中n为正整数.解用分部积分法，当«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»以此作递推公式，并由«Skip Record If...»即可得«Skip Record If...»例15(E10)已知«Skip Record If...»的一个原函数是«Skip Record If...», 求«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»根据题意«Skip Record If...»再注意到 «Skip Record If...»两边同时对«Skip Record If...»求导，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例16 求不定积分«Skip Record If...»解先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例17求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例18 求不定积分«Skip Record If...».解选«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 本题选«Skip Record If...»比选«Skip Record If...»更能使解题方便.例19 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»不易求积分，只能放在左列，而«Skip Record If...»放在右列,列表如下:«Skip Record If...»««Skip Record If...»«Skip Record If...»例20 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»可看作乘积形式«Skip Record If...»将«Skip Record If...»放在左列,1放在右列，列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例21 计算不定积分«Skip Record If...»解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故«Skip Record If...»放左列, «Skip Record If...»放右列列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例22 计算不定积分«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取«Skip Record If...»为左,«Skip Record If...»为右, 可得«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，移项得«Skip Record If...»课堂练习1. 求不定积分«Skip Record If...»2. 求不定积分«Skip Record If...».。
高等数学第三节 变量置换法和分部积分法-PPT课件
1 1 2t d t 1 xdx 1 t d t 2 (11t)
2 t 2 ln | 1 t | C
换回原变量
2 x 2 ln | 1 x | C .
例2 求
x 1 3
dx. x
6 5 6 解 令 x t , 则 x t , d x 6 t d t .
可分别令 x a tan t , x a sin t , x a sec t .
例6 求 解
d x . 2 x 2 x 2
x
x
d x d( x 1 ) 2 2 x 2 x2 (x 1 ) 1
x 1 1
令 u x 1
u 1 1 u2
du
7 ( a 0 ).
2 2 d x a cos t d t , a x a sin t ,则 解 令 x a cos t ,
2 a 2 2 2 2 a x d xa cos t ( 1 cos 2 t) d t td 2
x cos x d x xdsin x x sin x sin x d x x sin x cos x C . x 例10 求 x e x . d x x x x x x x e d x x e e d x x de x e e C 解
1
x
2 1d ( 1 x ) 2 arcsin x arcsin x 1 x C . 2 2 1 x
3 ( 1 ) 根号内含有 x 的一次函数 , 如 ax b , ax b , 小结
3 可分别令 ax b t , ax b t .
2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 根号内含有 x 的二次函数 , 如 a x ,a x ,x a ,
分部积分法
【例47】
分部积分法
分部积分法
【例48】
求∫e3xdx. 解设3x=t,x=t3,dx=3t2dt, ∫e3xdx=3∫t2etdt=3∫t2det=3t2et－6∫tetdt=3t2et－ 6∫tdet =3t2et－6tet+6∫etdt=3t2et－6tet+6et+C =3e3x(3x2－23x+2)+C. 到目前为止，前面介绍了求不定积分的三种最基本的方法， 记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用它们求解 不同类型的题目.同时，还应当注意到某些不定积分的求解需要将 几种方法结合起来应用，才能有效地解决问题.
分部积分法
【例46】
求∫x2cosxdx . 解∫x2cosxdx=∫x2dsin x =sinx•x2－∫sin xdx2=x2sin x－2∫xsin xdx =x2sin x－2∫xd(－cosx)=x2sin x－2(－cos x•x+∫cos xdx ) =x2sinx+2xcos x－2sin x+C. 例46说明，有些不定积分用一次分部积分法不能解出 来，可以多次使用分部积分法.
分部积分法
分部积分法
前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些 积分，如∫xexdx,∫xcos xdx 等，利用换元积分法就无法求解.本节要介绍 另一种基本积分法——分部积分法.
设函数u=ux,v=vx具有连续导数, duv=udv+vdu,
udv=duv－vdu.
∫udv =uv－∫vdu
下面通过例子说明如何运用这个重要公式.
【例42】
Байду номын сангаас
分部积分法
分部积分法
第三节 不定积分的分部积分法
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x )]
C.
例9 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解
x arctan x dx
secn2 x
(n 2) secn3x sec x tan x
secn2 x tan x (n 2) secn2 x (sec2 x 1) dx
secn2 x tan x (n 2) In (n 2) In2
说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
(x) dx
cos
x
2 sin x
x
2 cos x2
x
d
x
内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx 1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
2. 使用经验 :进入“微分号”的逆次序:反、对、幂、三、指
解（一） x cos xdx 1 cos xdx2
x2 2
cos x
x2 2
2
d cos x
x2 cos x 2
x2 sin xdx
2
显然 积分更难进行.
解（二）
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
03第三节分部积分法
第三节分部积分法★ 分部积分公式★ 几' 点说明★ 例1★ 例2 ★ 例 3 ★ 例 4★ 例5 ★ 例6 ★ 例 7 ★ 例 8★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11 ★ 例 12★ 例13 ★ 例14 ★ 例 15★ 例 16★ 例17 ★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例 21★ 例 22★ 内容小结★ 课堂练习★习题4-3积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).例题选讲例1 (E01)求不定积分x cos xdx .x 2解一 令 u cosx, xdx d 一 dv,2显然，u,选择不当，积分更难进行解二 令 u x,cosxdx dsinx dv,xcosxdxxd si nx xsinx sin xdx xsi nx cosx C.分布图示2cosxd —22x cosx 2xcosxdx2sin xdx,2内容要点分部积分公式：udv uvvduuv dx uvu vdx(3.1) (3.2)(或微分)的逆运算• 一般地，下列类型的被nx sin mx nx .e sin mx n mxx en .x arcsin mx x n cos mxnxe cosmx x n (ln x)nx arccosmxx n arctanmx 等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数例2 (E02)求不定积分 x 2e x dx .解 u x 2,e x dx de x dv2 x2 x 2 xx 2 x x 2 x x xx e dx x de x e 2 xe dx x e 2 xde x e 2(xe e ) C. 注：若被积函数是幕函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幕函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号 ,使得应用分部积分公式后，幕函数的幕次降低一次.注：若被积函数是幕函数与对数函数或反三角函数的乘积 u,而将幕函数凑微分进入微分号 ，使得应用分部积分公式后 例 5 (E05) 求不定积分 e x sin xdx.解e x sin dx sin de xxe sin x e x d (sin x) e x sin xe x cos xdxxe sin xcosxde xxxe sin x (e cosxe x d cosx)e x (s in x cos x)e x sin xdxxe x sin dx(sin x cos x) C.注：若被积函数是指数函数与正 (余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取，但在两次分部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.例3 (E03)求不定积分xarctanxdx. 解 令 u arctanx, xdx 2xd —2 dv,x arcta n xdx arcta n xdx 22 x arcta nx 22xd (arcta nx) 22x arcta n x 2x 2^dx 1 x 22x arcta nx 21 2 dx1 x 22x arcta nx 212(xarcta nx) C.例4 (E04)求不定积分In xdx.解令 u In x,x 3dxx 4dv,x 3 ln xdxx 4 In xd -4-x 4ln x 4x 3dx■ in x 414x 16C.为 失.,可设对数函数或反三角函数,对数函数或反三角函数消例6 (E06)求不定积分 sin(ln x)dx .x 解sin (I n x)dx xsin (I n x)xd [s in (I n x)]x[sin (I n x) cos(l n x)] sin (I n x)dxsin(1 n x)dx x[sin(ln x) cos(ln x)] C.灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题 •下面再举一些例子，请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07)求不定积分 sec xdx .解seC 3 xdxsecxd tanx secxtanx secxtan 2xdx23secxtanxsecx(sec x 1)dx secxtanxsec xdx secxdx3secx ta nx In | secx tanx| sec xdx2.1 x arcs inxx arcta nx ―: dx 、1 x231 sec xdx (secxtanx In |secx tanx|) C.22,便得求不定积分 arcs in ..x dx. 、1 xarcs in . x ,dx、1 x2 arcs inxd1 x2.1 x arcs in 、x 2 .1 xd arcs in 、xxsin(In x)xcos(ln x)1dxxsin(In x) xcos(ln x)xd[cos(ln x)]由于上式右端的第三项就是所求的积分sec xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以2-1 x arcs in . x 2 x C.求不定积分x arcta n x ----------- dx. 1 x 2arcta nxd 1 x 21 x 2I2..1 x 2 arctanx 1 x 2d(arctanx)原式.1 x 2 arctanx ln(x x 2) C.例10 (E08) 求不定积分 e 护dx. 解令 t ... x,则 x t 2,dx 2tdt,于是e x dx 2 e t tdt2 tde t 2te t 2 e t dt7x dx.代入上式，得2te t 2e t C 2e t (t 1) C2e x(x 1)C. 11求不定积分 In (1.x)dx.令 tx,则 xt 2,ln(1 . x )dxIn (12 2t)dt t ln(1 t)t 2dl n(1 t) t 2l n(1 t)1 2-dt t2dt 2t 2t) Ct ln(1 t) (t1)dtt ln(1 t) 1 t2t ln(1(x 1)1 ln(1 ■- x) x -C.例解1 /3..1 x 2 arctanx1dxx tant, -sec 2 tdt 1 tan 21sectdt |n( sect tan t) C ln(x 1 x 2) C.12解法 1先分部积分，后换兀 •设u 1/3xe,dv 丄dx,则 3 xdu2/31/3xedx,v3 2/3x2再设3 2/3 x ex1/31ex1/3dx2t 3,则 dx 3t 2dt,于是Y 1 /3e dx2 t2 13 t e dt 3t ete t dt 3t 2e t 6te t e t dt 3(t 22t 2)e tC...1 x 2 arctanx1I 3x2/3 e x1/323(3..X223.X2x1/32)e x C 3(3.. x1/31)e x C.解法2先换元,后分部积分.设x t3,dx3t2dt,则te 2 t3t2dt 3 te t dtt再设u t,dv e t dt,则I 3te t 3 e t dt 3te t3e t c 3(\. x 1 /31)e x c.13求不定积分(1 x) arcsi n(1 x) dx.,2x x2x,则dx dt,原式tarcsi ntdt.1 t2arcsi ntd(』1 t2)其中C C1 1.14 (E09) 求不定积分用分部积分法,dx(x2 a2)n1I nI nI n1 t2 arcsint■-1 t2arcsint：2x x2arcsin(1dx(x2 a1时有x (x2 a2)n1x (x2 a2)n1x ~~22、n 1 (x a ) 2(n 1)( I n2(n2(n12a2 (n 1) 以此作递推公式，并由1.1x)卒，其中t21 t2dtC.n为正整数.a2l n).(2n 3)I m11 — arctan' C,即可得I n.a a2例15 (E10) 已知f (x)的一个原函数是 e x ,求xf (x)dx . a2dx,解 xf (x)dx xdf(x) xf (x) f(x)dx.根据题意 f (x)dx ex 2C,再注意到 f (x)dx f (x), 两边同时对x 求导，得 2 f(x) 2xe xxf (x)dx xf (x) 2 f (x)dx 2x e x2 e x2 C. 16求不定积分 3sin x xCOs x e 2cos x 先折成两个不定积分，再利用分部积分法 • si nx si nx原式 e x cosxdx e — dxcos x sin xsinxsinx ■e xe e dxcosxsinx . e dx17 求不定积分 sin xln(tan x)dx.sin xln(tan x)dx In(tan x)d cosxcosxln(tan x)18 求不定积分(xxj 2)2 xx e ,于是2 xx e .2dx (x 2)2x 2e x d sin xxde sin xxecosxln(tan x) 注：本题选u x 2e x 比选e sinx d 丄cosx1 sin x e C. cosxcosxd In(tan x)1dx cosxln(tan x) In |cscx sin xx 2e x—d(x 2e x ) 2cotx | C.x 2e x x 22xe x x2 xx e x 2 2 xxxx e, xxe dxxdex 2xx e x xe x 2x e x x xe e dxx 2e x C.2x x 更能使解题方便.(x 2)2例19计算不定积分 xln xdx.解 In x 不易求积分，只能放在左列，而 x 放在右列，列表如下：()ln例20计算不定积分 in xdx.1 in x,将in x 放在左列,1放在右列，列表如下1in xdx xlnx — xdx xinx x c. x例21计算不定积分 xsin xdx.解 函数x 和sinx 都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求 导后逐渐简单的，故 x 放左列，sinx 放右列列表如下：xsinxdx xcosx 1 ( sinx) c例22计算不定积分e x cos xdx..解 函数e x ,cosx 都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的sinx （或cosx ）形式，故它们的左右位置可随意选取 .例如选取e x 为左，cosx 为右，可得e x cosxdx e x sin x e x ( cosx) e x ( cosx)dx ，x移项得 e x cosxdx — (sin x cosx) c.2课堂练习212 1 1 2 , 1 2 , 11 2 ,1 2xin xdx in x x— x dx x in x xdx x in x x c 2x 2 22 2 4( )-x 22 1in x 可看作乘积形式xcosx sinx c.e x 和cosxsi nxcosx1. 求不定积分xsin2 xdx;2 求不定积分e x sin 2xdx .。
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问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx,
udv uv vdu. 分部积分公式 2
例1 求积分 x cos xdx .
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
10
例10 sec3xdx secx sec2 xdx
secxd tan x
secx tan x tan x secx tan xdx
ln 5
ln 5
5
例4 求积分 x arctan xdx.
解 x arctan xdx arctan xd( 1 x2 )
x2 arctan x
x2
2
d(arctan x)
2
2
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
Q( x)arccos xdx
Q( x)arctan xdx
Q( x)ln xdx
例7
x arcsinxdx
1 2
arcsin
xdx2
1 [x2 arcsin x x2 dx]
2
1 x2
1 [x2 arcsin x
1 x2 1 dx]
2
1 x2
1 x2 arcsin x 1 [1 arcsin x 1 x 1 x2 ] 1 arcsin x 8 C
解（一） x cos xdx
x2 cos x
x2 d cos
2
2
cos xd( 1 x2 )
x
x2 2
2
cos x
x2 sin xdx
2
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） x cos xdx xd sin x
x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
2
22
2
2
例8 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
3
例2 求积分 x2e xdx.
解 x2e xdx x2dex
x2e x 2 xe xdx
x2e x 2 xdex
x2e x 2( xe x e x ) C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
16
习题4 3 P212
双数
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x
dx
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
13
例 12 已知 f ( x)的一个原函数是ex2 , 求 xf ( x)dx .
2
2
6
例5 求积分 x3 ln xdx.
解 x3 ln xdx ln xd( 1 x4 ) 4
1 4
x4lnx来自1 4x3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例6
ln x
x
2
dx
ln
xd
1 x
[
1 x
ln
x
1 x
1dx] x
1 x
ln x
1 x
C
7
一般地：
Q(x)arcsinxdx
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
9
例9 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x
e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
secx tan x (sec2 x 1)secxdx
secx tan x sec3xdx secxdx secx tan x sec3xdx ln(secx tan x)
sec3 xdx 1 [secx tan x ln(secx tan x)] C
2
11
例11 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
12
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
ex2
C.
14
例13
x
e2
cos
x
sin x
dx
sin x
x
e2
cos x dx
x
e2
sin x
x
x
2 e 2d sin x e 2
sin xdx
sin xdx
x
x
x
2e 2 sin x e 2 sin xdx e 2 sin xdx
x
2e 2 sin x C
15
二、小结
4
一般地：
P(x)sinxdx
P(x)cos xdx
P( x)exdx
P( x)axdx
例3
(2x
3)5x
dx
1 ln 5
(2
x
3)d
5x
1 [(2x 3)5x 5x d(2x 3)]
ln15 [(2x 3)5x 2 5x dx] ln 5
1 [(2x 3)5x 2 1 5x ] C