电流的磁场ppt1-1

磁场的旋度得以求证。
例：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求 空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。
解：在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心 在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应 强度有相同数值，并沿圆周环绕方向。 先求磁感强度：
(1) 当r>a时，通过圆内的总电流为I，用安培环路
1dV r
由于 r (x x)2 ( y y)2 (z z)2
因而对r的函数而言,对x微分与对x’微分仅差一负号,
因此， A 0 J ( x) 1dV
4 V
r
用附录(1.19)式可得
A
0 4
V
J
( x) r
dV
0 4
V
1 r
J (x)dV
上式右边第一项可以化为面积分，由于积分区域包括所有电
流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积积分为零。
在右边第二项中，由恒定电流的连续性，因此这积分也等于
零。
所以
A0
再计算2A，可得
2 A 0
4
J (x)2 1dV 0
V
r
4
V
J
(
x)
r r3
dV
由直接计算得，当r≠0时，
r r3
0
因此上式的被积函数只可能在x’ ≠ x点上不为零，因而体
(1) 当r>a时由我们求出的B得出
B
B z
eˆr
1 r
r
(rB
)eˆz
0
(2) 当r<a时，由上面的式子得
B
0 I a2
eˆz
0J
(r<a)
(r>a)
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2. I 和 J 的关系
由电流密度 I 的定义，可知 通过面元 dS 的电流dI为：
dI JdS cos J dS
通过任一曲面S的总电流强度 I 为：
I S J dS
所以，电流强度就是电流密度的通量。
讨论：
a. 电流由一种运动带电粒子构成，
J =ρv
b. 电流由几种带电粒子构成，
J ivi i
一、电荷守恒定律
1. 电流的描述 （1）电流强度 I：
单位时间内穿过某一横截面的电量。
I = dq/dt 对于导线中的电流，用电流强度描述完全可 以满足要求，但对于横截面不能忽略的导体 来说，仅用电流强度描述太粗略了。
（2）电流密度矢量J ： 大小：它等于单位时间垂直通过单位面积的 电量。 方向：沿着该点的电流方向。
式中
A 0 J ( x)dV
4 V r
由附录知识可以求得
B(x) ( A) 0
2.计算B的旋度
由附录(1.25)式，
B( x) ( A) ( A) 2 A
先计算·A。由附录(1.19)式，
注意不作用于J(x’)上，得
A
0 4
V
J
( x) r
dV
0 4
V
J (x)
B dl L
0
J dS
S
2.磁场的旋度
根据旋度的定义，我们可以得到
B 0J
——上式是恒定磁场的一个基本微分方程。
四、磁场的散度
由电磁学知识，我们知道由电流激发的磁感应线 总是闭合曲线。因此，磁感应强度是无源场。
其微分形式为 B 0
——这说明磁场是无源场。（无散场）
五、磁场旋度和散度公式的证明
第二节 电流和磁场
Electric Current and Magnetic Field
本节主要讨论磁场的基本规律，因为 磁场 是 与 电 流 相 互 作 用 的 ， 而 Ampere’s law在静磁学中的地位同 Coulomb’s law 在静电学中的地位相当，所以，这节中的 电流元相当于上节中的点电荷，在讨论磁 场规律之前，先讨论电流分布的基本规律。
定理得
B L
dl
2rB
0I
因此，可以得出
B
0 I 2 r
eˆ
(r>a)
式中eθ为圆周环绕方向单位矢量。
(2) 若r<a,则通过圆内的总电流为
J
Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r2J
r2I a2
r2 a2
I
应用安培环路定理得
B L
dl
2rB
0Ir 2
a2
因而，得出
B
0 Ir 2 a2
eˆ
(r<a)
用柱坐标的公式求磁场的旋度：
1.用毕奥–萨伐尔定律推导磁场散度
由毕奥–萨伐尔定律出发：
B(x) 0 J (x) rdV 0 J (x) 1dV
4
r3
4
r
注意算符对x的微分算符，与x’无关,由附录(1.20)式
J
(
x)
1 r
1 r
J
(
x)
1 r
J
(
x)
因此
B( x) 0 J ( x)dV A
4 V r
积分仅需对包围x点的小球积分。这时可取J(x’)= J(x) ，
抽出积分号外，而
V
r r3
dV
V
r r3
dV
S
r r3
dS
注意r是由源点x’指向场点x的径矢，它和面元dS’反 向，因此上式为
因此，
S
r r3
dS
S
1 r2
dS
d 4
S
2 A 0J
由上面的式子我们可以得出
B 0J
V
(
J )dV
V
dV
t
由此可得： ( J )dV 0
V
t
由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即
J 0
t
这就是电荷守恒定律的微分形式，称为电流连续性
方程。
讨论：
1. 当V是全空间，S为无穷远界面，由于在S上没有电流
流出，则有
d dt
V
dV
0
——表示全空间的总电荷守恒。
3.电荷守恒定律
若在通有电流的导体内部，任意
V
取一小体积V，包围这个体积的
闭合曲面为S。 单位时间内穿过
S
S曲面流出去的电量为：SJ dS
而流出去的电量应该等于封闭曲面S内总电荷在
所单以位时间SJ内d的S 减少ddt 量V dVddtVVdt dV
——这是电荷守恒定律的积分形式。
应用高斯定理，将闭合面的通量化为体积分，即：
2. 当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化，
即有
0
t
因此， J 0
这就表示恒定电流的场线处处连续，因而是闭合的。
二、毕奥–萨伐尔定律
1. 磁场:电流之间存在作用力,这种作用力是通过一 种物质作为媒介来传递,这种特殊物质称为磁场.
2. 恒定电流激发磁场由毕奥–萨伐尔定律给出。 设J(x’)为源点x’上的电流密度，r为由x’点到场
点x的距离，则场点上的磁感应强度为
B(x) 0
4
J
(
x) r3
r
dV
若激发磁场的源是面电流,则毕奥–萨伐尔定律为
B(x) 0
4
α(
x) r3
r
dS
对于细导线上恒定电流激发的磁场,毕奥–萨伐尔
定律为
B(x) 0
4
Idl r L r3
三、磁场的环量和旋度
1.安培环路定理：
B L
dl
0I
注：当电流连续分布时，环路定理表达为：