数学建模反问题PPT

奇怪的腊肠(10)
11. 12.
问题 怎么才能只利用卷尺和小刀确定C(x)？ 问题 两种不同的密度分布能产生相同的质 心位置函数吗？ 提示：如果f和g是产生相同的质心位置函 数的密度函数，那么习题8表明
f ( x)
讨论此式反映的f和g的关系。

x
0
f (u )du

g ( x)

x
0
g (u )du
4. 5.
6.
7.
习题 根据D和h计算射程R. 问题 给定D和h并忽略空气阻力，在地球的 卫星上所得的喷射运动是否会比在地球上 有更远的射程？ 习题 若容器中水的深度为D，求出对应于 不同开孔高度得到的所有可能射程的分布 区间。 计算 假设D=12ft, 作出射程R关于h的分布 函数(0≤h≤D).
进而得到f(x)=Kg(x)，其中K>0是一个常数。
奇怪的腊肠(12)
14.
15.
习题 如果两根横木有相同的质心位置函数 和总质量，且它们的密度函数可导，证明 它们的密度函数相同。 习题 现在讨论一种由质心位置函数决定密 度函数的方法。假设C是某个密度函数对 应的质心位置函数。那么由习题5、6、8 知道，C(x)满足下列必要条件 C(0)=0, 0<C(x)<x, C’(x)>0 我们的目的是用该条件构造一个密度函数f。
奇怪的腊肠(11)
13.
习题 假定f和g是产生相同的质心位置函数 的密度函数。 F ( x) G( x) (a) 证明
F ( x) G ( x)
x 0
其中F ( x) (b) 导出
x
0
f (u)du,G( x) g (u)du,
d d ln F ( x) ln G ( x) dx dx
因此对j=1,2,…,n 有
f (x j ) C ( x j ) 2 (C ( x j ) xi ) f ( xi )
i 1 j 1
x j C( x j )
假设 初值f(0)=1.
奇怪的腊肠(18)
20.
上机 给定质心位置函数
2 x 2 3x C ( x) 3x 6
奇怪的腊肠(8)
7.
8.
问题 以物理直觉为基础，猜一猜C(x)是x的 增函数还是减函数？ 习题 证明C(x)是(0, 1)上的可微函数，且导 数为C( x) f ( x) ( x C ( x))

x 0
f (u )du
利用习题5导出(0, 1)上C’(x)>0。该结果是 否和你提供的习题7的答案符合？
x 1 x 1
奇怪的腊肠(14)


在习题3中我们看到正问题是稳定的：几乎 相同的密度产生几乎相同的质心。自然要 问反问题是否具有相似的稳定性，即如果 质心位置函数列一致收敛于一个质心位置 函数，相应的密度函数列是否收敛于相应 的密度函数？ 下面的结果表明反问题一般是不具有稳定 性的。
奇怪的腊肠(15)
奇怪的腊肠(2)



引言 考虑单位长度密度非均匀的横木。把横木 的中轴线看作x轴，左端点位于原点。 假设横木的质量密度是一个给定的连续函 数f（实际上f可以有有限个跳跃间断点）。 M(x)表示横木在[0,x]区间的总质量，则对很 小的增量△x，区间[x, x+△x]上横木的质量 近似为f(x) △x, 即
小水流喷射(5)
1.
2.
3.
研究活动 问题 喷射的水流所形成的曲线可以用时间 作为参数来描述，这条曲线的形状是什么？ 练习 找出喷射前沿的下落时间。注意此时 间独立于D，给出此独立性的解释。 计算 假设容器中水的深度D=12ft, 洞的高 度h=4.5ft。作出喷射的水流所形成的抛射 曲线。
小水流喷射(6)
奇怪的腊肠(9)
9.
10.
习题 C’(0)表示limx→0+ C(x)/x，假设这个极 限存在。（为什么这样定义合理？） (a)如果C’(0)存在，证明0≤C’(0)≤1 ； (b)如果f(x)在x=0是连续的且f(0)≠0，证明 C’(0) =1/2。 练习 尽管f(x)=x-1/3不是有物理意义的密度 函数（为什么？），证明相应的质心函数 仍然是有定义的。
奇怪的腊肠(13)


假定总质量为1(为什么？)。构造密度函数 的关键是习题8. 给定质心位置函数C，记 B( x) C( x) , A( x) f (u)du,
x
x C ( x)
0
则A’(x)=f(x)，对总质量的假定表明 A(1)=1．由习题8和B的定义， A’(x)=f(x)=B(x)A(x). d (a) 证明 dx ln A( x) B( x) (b) 利用总质量假设，验证 A( x) exp( B(u)du) f ( x) A( x) B( x) exp( B(u)du) (c) 验证密度函数满足


课程水平：微分方程 研究目标：研究一些基本的混合型反问题 数学背景：线性微分方程 科学背景：质量、体积、浓度和流速之间 的关系 技术方法：计算器、MATLAB或其他高级语 言
M ( x x) M ( x) f ( x)x
奇怪的腊肠(3)

质量密度的定义为
即累积质量分布函数M(x)是密度函数f(x)的 不定积分，故横木的质量为
M (1) f ( x)dx
0 1
M ( x x) M ( x) f ( x) lim M ( x) x 0 x
y
v D h
R
x
小水流喷射(4)


设想一滴水以水平速度v从洞口射出。 其在时刻t的水平运动距离为 x vt 1 2 垂直距离为 y 2 gt 水滴离开洞口的水平速度由托里切利定律 给出（想一想：为什么？）：
v 2g ( D h)

正问题：在D,h给定后决定喷射距离R; 反问题：由R来决定洞口的高度h.


使横木平衡的点称为质(重)心，质心的定义 依赖于力矩，即总质量在质心 x 处关于原点 的力矩和原来配置下的力矩一样。
奇怪的腊肠(4)

将横木分成n个小区间[xi-1,xi],i=1,2, …,n, 每 个小区间长△x=1/n，则横木关于原点的力 矩为 M (1) x lim x f ( x )x x f ( x)dx
微积分中的反问题
奇怪的腊肠(1)




课程水平： 微积分 研究目标：用积分模拟静力学中的基本问题， 微积分基本原理的应用，解的存在惟一性，异 常微积分问题的分析技巧 数学背景：微积分、指数函数和对数函数、梯 形积分法、洛必达法则、微积分基本定理 科学背景：质量、密度分布、力矩、重心 技术方法：计算器、MATLAB或其他高级语言
什么是反问题？

正问题：
输入/原因 •x
过程/模型 •K
输出/结果 •？
什么是反问题？

反问题I：
输入/原因 •？
过程/模型 •K
输出/结果 •y
什么是反问题？

反问题II：
输入/原因
过程/模型
输出/结果
•x
•?
•y
几个思考题

Q1:怎样证明月亮是球体？ Q2:怎样证明地球是球体？ Q3:怎样证明太阳是球体？
反问题
——大学生的科技活动


Charles W. Groetsh. Inverse Problem--Activities for Undergraduates. Springer. 程潜， 谭永基，刘继军译. 清华大学出版社， 2006.6. 本书介绍了作者关于反问题研究活动的一 些想法，涉及初等数学、微积分、微分方 程和线性代数中的各种反问题，每一模块 都由“引言”、“研究活动”和“课题” 组成。
17.
练习 (a) 记C(x)=x/2，证明C(x)是密度f(x)=1对应的 质心位置函数。 x 1 (b) 记 C ( x) x ,n 3, 4,5,
n2 n
2
n
18.
证明{Cn(x)}一致收敛于中(a)的质心位置函数。 (c) 记fn是总质量为1的横木的密度函数列，相 应的质心位置函数列是上述Cn，证明n→∞时 fn(1)→∞ ，因而fn不收敛于f。 习题 找出和质心位置函数相同的密度函数。 提示：考虑形如f(u)=Cuk
21.
22.
求满足f(0)=1的f(x)。在同一坐标系下画出 精确密度函数和近似的数值解。 上机 重复计算20，但是对输入质心数据加 上幅度为0.0001的一致随机扰动，再考虑 幅度为0.001的扰动。 课题 提出一种算法用来处理质心数据中的 噪音。
微分方程中的反问题
Hale Waihona Puke Baidu
混合溶液的流动(1)

小水流喷射(2)


引言 将一个容器充满水，然后在侧壁上凿一个 洞，会发生什么现象? 水喷射的距离由哪些因素决定？

洞的位置与水从洞中喷出的速度 其中速度大小取决于洞口处水平面的压力，而 压力的大小取决于洞口以上水柱的高度。
小水流喷射(3)


忽略空气阻力并且假 定洞口喷出的每一滴 水仅受到恒定的重力 作用。 假设容器置于水平面 上，设置坐标轴如图 所示。
小水流喷射(7)
8.
9.
10.
11.
习题 给定R∈[0, D],证明通常存在两个开孔高 度h产生相同的射程R，给出此现象的物理解 释。 问题 在何种情况下，习题8中的问题有惟一 解h？ 习题 假设容器在高度h处有惟一的洞，并且 测出与两个不同水深值D1,D2对应的射程R1,R2。 证明D1,D2, R1,R2惟一决定h. 习题 证明对h∈(0, D)，喷射前沿不会“垂直” 撞击地面。
0 0
xj
xj
奇怪的腊肠(17)

用梯形积分公式来近似上面的积分得
h C ( x j ) [ f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2 f ( x j 1 ) f ( x j )] 2 h [2 x1 f ( x1 ) 2 x j 1 f ( x j 1 ) x j f ( x j )] 2
奇怪的腊肠(16)


在本模块最后，讨论由给定的质心数据近 似求解密度函数f(x), f(0)>0的一个简单的数 值方法。 假定质心数据在等距空间节点xj=jh, j=0,1,…,n, h=1/n上给定。由
uf (u )du C ( x) f (u)du
0 x 0 x
可知
C ( x j ) f (u)du uf (u)du
奇怪的腊肠(7)
4.
5.
6.
计算 在区间[0,1]上画出密度函数f(X)=1.1exp(-(x-0.25)2)对应的质心位置函数的图形。 估计具有该密度的横木左边四分之一的质 心位置。用同样的方法计算横木右边四分 之一的质心位置。 习题 如果C是质心位置函数，证明 0<C(x)<x对x>0成立，给出这种关系的物理 解释。 求limx→0+ C(x) ，并给出物理解释。
C ( x)

x
0 x 0
u e
2 1/ u
du
u 3e1/ u du


1/ x
1/ x
e w dw

we w dw

x x 1

反问题：给定质心函数C(x)，求密度分布f(x).
奇怪的腊肠(6)
1.
2.
3.
研究活动 练习 求密度函数f(x)=2(x+1)/3对应的质心位 置函数。 练习求密度函数f(x)=2(x+1)-2对应的质心位置 函数。 习题 假设f是密度，fn是一致收敛于f的密度序 列，即|fn(u)-f(u)|≤an对u∈[0,1]一致成立，其 中limn → ∞ an =0。记Cn(x), C(x)分别是对应fn(x), f(x)的质心函数。证明Cn(x) → C(x)对x∈[0,1]成 立。
n 1 n i 1 i i 0

质心为

对横木的每一段[0, x] ，该段的质心位置为 x
uf (u )du C ( x) f (u)du
0 x 0
xf ( x)dx x f ( x)dx
0 1 0
1
奇怪的腊肠(5)

正问题：给定密度分布f(x)，求质心函数C(x). 例如，给定 f ( x) x3e1/ x 对应的质心位置函数为
几个思考题

Q4:怎样测量与计算地球的周长？ Q5:怎样估计地球的寿命？ Q6:怎样估计太阳的寿命？

Q7:怎样根据雷达观测到导弹的部分轨迹数 据，推断导弹的发射场？如何拦击摧毁该 导弹？
初等数学中的反问题
小水流喷射(1)



课程水平：初等数学 研究目标：解的存在唯一性 数学背景：参数方程、二次方程 科学背景：落体运动定律、托里切利定律 技术方法：计算器