数学建模反问题PPT

21.
22.
求满足f(0)=1的f(x)。在同一坐标系下画出 精确密度函数和近似的数值解。 上机 重复计算20，但是对输入质心数据加 上幅度为0.0001的一致随机扰动，再考虑 幅度为0.001的扰动。 课题 提出一种算法用来处理质心数据中的 噪音。
微分方程中的反问题
混合溶液的流动(1)

M ( x x) M ( x) f ( x)x
奇怪的腊肠(3)

质量密度的定义为
即累积质量分布函数M(x)是密度函数f(x)的 不定积分，故横木的质量为
M (1) f ( x)dx
0 1
M ( x x) M ( x) f ( x) lim M ( x) x 0 x
x 1 x 1
奇怪的腊肠(14)


在习题3中我们看到正问题是稳定的：几乎 相同的密度产生几乎相同的质心。自然要 问反问题是否具有相似的稳定性，即如果 质心位置函数列一致收敛于一个质心位置 函数，相应的密度函数列是否收敛于相应 的密度函数？ 下面的结果表明反问题一般是不具有稳定 性的。
奇怪的腊肠(15)


课程水平：微分方程 研究目标：研究一些基本的混合型反问题 数学背景：线性微分方程 科学背景：质量、体积、浓度和流速之间 的关系 技术方法：计算器、MATLAB或其他高级语 言
小水流喷射(2)


引言 将一个容器充满水，然后在侧壁上凿一个 洞，会发生什么现象? 水喷射的距离由哪些因素决定？

洞的位置与水从洞中喷出的速度 其中速度大小取决于洞口处水平面的压力，而 压力的大小取决于洞口以上水柱的高度。
小水流喷射(3)


忽略空气阻力并且假 定洞口喷出的每一滴 水仅受到恒定的重力 作用。 假设容器置于水平面 上，设置坐标轴如图 所示。
奇怪的腊肠(13)


假定总质量为1(为什么？)。构造密度函数 的关键是习题8. 给定质心位置函数C，记 B( x) C( x) , A( x) f (u)du,
x
x C ( x)
0
则A’(x)=f(x)，对总质量的假定表明 A(1)=1．由习题8和B的定义， A’(x)=f(x)=B(x)A(x). d (a) 证明 dx ln A( x) B( x) (b) 利用总质量假设，验证 A( x) exp( B(u)du) f ( x) A( x) B( x) exp( B(u)du) (c) 验证密度函数满足
因此对j=1,2,…,n 有
f (x j ) C ( x j ) 2 (C ( x j ) xi ) f ( xi )
i 1 j 1
x j C( x j )
假设 初值f(0)=1.
奇怪的腊肠(18)
20.
上机 给定质心位置函数
2 x 2 3x C ( x) 3x 6
奇怪的腊肠(16)


在本模块最后，讨论由给定的质心数据近 似求解密度函数f(x), f(0)>0的一个简单的数 值方法。 假定质心数据在等距空间节点xj=jh, j=0,1,…,n, h=1/n上给定。由
uf (u )du C ( x) f (u)du
0 x 0 x
可知
C ( x j ) f (u)du uf (u)du
什么是反问题？

正问题：
输入/原因 •x
过程/模型 •K
输出/结果 •？
什么是反问题？

反问题I：
输入/原因 •？
过程/模型 •K
输出/结果 •y
什么是反问题？

反问题II：
输入/原因
过程/模型
输出/结果
•x
•?
•y
几个思考题

Q1:怎样证明月亮是球体？ Q2:怎样证明地球是球体？ Q3:怎样证明太阳是球体？
奇怪的腊肠(7)
4.
5.
6.
计算 在区间[0,1]上画出密度函数f(X)=1.1exp(-(x-0.25)2)对应的质心位置函数的图形。 估计具有该密度的横木左边四分之一的质 心位置。用同样的方法计算横木右边四分 之一的质心位置。 习题 如果C是质心位置函数，证明 0<C(x)<x对x>0成立，给出这种关系的物理 解释。 求limx→0+ C(x) ，并给出物理解释。
奇怪的腊肠(2)



引言 考虑单位长度密度非均匀的横木。把横木 的中轴线看作x轴，左端点位于原点。 假设横木的质量密度是一个给定的连续函 数f（实际上f可以有有限个跳跃间断点）。 M(x)表示横木在[0,x]区间的总质量，则对很 小的增量△x，区间[x, x+△x]上横木的质量 近似为f(x) △x, 即
反问题
——大学生的科技活动


Charles W. Groetsh. Inverse Problem--Activities for Undergraduates. Springer. 程潜， 谭永基，刘继军译. 清华大学出版社， 2006.6. 本书介绍了作者关于反问题研究活动的一 些想法，涉及初等数学、微积分、微分方 程和线性代数中的各种反问题，每一模块 都由“引言”、“研究活动”和“课题” 组成。
小水流喷射(7)
8.
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10.
11.
习题 给定R∈[0, D],证明通常存在两个开孔高 度h产生相同的射程R，给出此现象的物理解 释。 问题 在何种情况下，习题8中的问题有惟一 解h？ 习题 假设容器在高度h处有惟一的洞，并且 测出与两个不同水深值D1,D2对应的射程R1,R2。 证明D1,D2, R1,R2惟一决定h. 习题 证明对h∈(0, D)，喷射前沿不会“垂直” 撞击地面。
微积分中的反问题
奇怪的腊肠(1)




课程水平： 微积分 研究目标：用积分模拟静力学中的基本问题， 微积分基本原理的应用，解的存在惟一性，异 常微积分问题的分析技巧 数学背景：微积分、指数函数和对数函数、梯 形积分法、洛必达法则、微积分基本定理 科学背景：质量、密度分布、力矩、重心 技术方法：计算器、MATLAB或其他高级语言
17.
练习 (a) 记C(x)=x/2，证明C(x)是密度f(x)=1对应的 质心位置函数。 x 1 (b) 记 C ( x) x ,n 3, 4,5,
n2 n
2
n
18.
证明{Cn(x)}一致收敛于中(a)的质心位置函数。 (c) 记fn是总质量为1的横木的密度函数列，相 应的质心位置函数列是上述Cn，证明n→∞时 fn(1)→∞ ，因而fn不收敛于f。 习题 找出和质心位置函数相同的密度函数。 提示：考虑形如f(u)=Cuk
C ( x)

x
0 x 0
u e
2 1/ u
du
u 3e1/ u du


1/ x
1/ x
e w dw

we w dw

x x 1

反问题：给定质心函数C(x)，求密度分布f(x).
奇怪的腊肠(6)
1.
2.
3.
研究活动 练习 求密度函数f(x)=2(x+1)/3对应的质心位 置函数。 练习求密度函数f(x)=2(x+1)-2对应的质心位置 函数。 习题 假设f是密度，fn是一致收敛于f的密度序 列，即|fn(u)-f(u)|≤an对u∈[0,1]一致成立，其 中limn → ∞ an =0。记Cn(x), C(x)分别是对应fn(x), f(x)的质心函数。证明Cn(x) → C(x)对x∈[0,1]成 立。
进而得到f(x)=Kg(x)，其中K>0是一个常数。
奇怪的腊肠(12)
14.
15.
习题 如果两根横木有相同的质心位置函数 和总质量，且它们的密度函数可导，证明 它们的密度函数相同。 习题 现在讨论一种由质心位置函数决定密 度函数的方法。假设C是某个密度函数对 应的质心位置函数。那么由习题5、6、8 知道，C(x)满足下列必要条件 C(0)=0, 0<C(x)<x, C’(x)>0 我们的目的是用该条件构造一个密度函数f。
奇怪的腊肠(11)
13.
习题 假定f和g是产生相同的质心位置函数 的密度函数。 F ( x) G( x) (a) 证明
F ( x) G ( x)
x 0
其中F ( x) (b) 导出
x
0
f (u)du,G( x) g (u)du,
d d ln F ( x) ln G ( x) dx dx
y
v D h
R
x
小水流喷射(4)


设想一滴水以水平速度v从洞口射出。 其在时刻t的水平运动距离为 x vt 1 2 垂直距离为 y 2 gt 水滴离开洞口的水平速度由托里切利定律 给出（想一想：为什么？）：
v 2g ( D h)

正问题：在D,h给定后决定喷射距离R; 反问题：由R来决定洞口的高度h.
小水流喷射(5)
1.
2.
3.
研究活动 问题 喷射的水流所形成的曲线可以用时间 作为参数来描述，这条曲线的形状是什么？ 练习 找出喷射前沿的下落时间。注意此时 间独立于D，给出此独立性的解释。 计算 假设容器中水的深度D=12ft, 洞的高 度h=4.5ft。作出喷射的水流所形成的抛射 曲线。
小水流喷射(6)


使横木平衡的点称为质(重)心，质心的定义 依赖于力矩，即总质量在质心 x 处关于原点 的力矩和原来配置下的力矩一样。
奇怪的腊肠(4)

将横木分成n个小区间[xi-1,xi],i=1,2, …,n, 每 个小区间长△x=1/n，则横木关于原点的力 矩为 M (1) x lim x f ( x )x x f ( x)dx