定积分在物理学中的应用[优质ppt]
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高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
1.7.2定积分在物理中的应用1.ppt
i 1
i 1
t
n
b Oa
ti
b
S
lim
x
i 1
v(ti ) t
v(t)dt
a
t b a n
例 3 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示， 求汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s
30 A
B
O 10
C t/s
40 60
解：由速度-时间曲线可知
v(t) 31300,t 2,
所走的路程是？
7
二、物体所做的功
1) 恒力
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为
W F s.
思考？如何求变力 F(x)在运动了 s 作的功？
2）变力所做的功
物体在变力Ｆ(x)的作用下做直线运动,并且物
例 2 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
b
a F (x)dx
x
Oa
xi b a b
x
n
例4. 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位 置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所作 的功.
1.7.2-定积分在物理中的应用-课件(人教A版选修2-2)
kl2
J.
第10页，共20页。
例3 有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)= 8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程； (2)当t＝5时，P点的位置； (3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程； (4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
5.一圆柱形蓄水池高为 5 米，底面半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出， 需做多少功？( 取 3.14，结果保留整数)
解：建立坐标系如图
取 x 为积分变量，x [0,5]
o
x
5
x x
取任一小区间[x, x x],
3
x
这一薄层水的重力为 9.8 32 x 88.2x
w 88.2 x x,
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
第13页，共20页。
1．已知自由落体的速率 v＝gt，则落体从 t＝0 到 t＝ t0 所走的路程为 ( C )
A. 13gt20
B. gt20
C. 12gt20
D. 16gt20
第14页，共20页。
2.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长
B
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
解 : 由速度 时间曲线可知 : 图1.7 3
3t ,
0 t 10;
v t 30,
10 t 40;
1.5t 90, 40 t 60.
第6页，共20页。
因此汽车在这1min行驶的路程是 :
s
10
3tdt
40
30dt
做的功为 102.4J
定积分在物理中的应用课件
S＝∫10(t2－4t＋3)dt＋∫31（t2－4t＋3）dt＋∫43(t2－ 4t＋3)dt＝∫10(t2－4t＋3)dt－∫31(t2－4t＋3)dt＋∫43(t2－4t ＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|10－13t3－2t2＋3t|31＋13t3－2t2＋3t|43 ＝43－0－43＋634－20＝4(m)．
归纳升华 利用定积分求变力做功注意以下两个方面： (1)应将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问 题．
类型 2 利用定积分求变速直线运动的路程或位移
[典例 2] 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求质点在 t＝4s 时的位置及经过 的路程．
定积分在物理中的应用
1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝_∫__ba_v_(t_)_d_t _.
温馨提示 在求物理运动的路程时要注意：物体运动 的
解：在 t＝4s 时该质点的位移为∫40(t2－4t＋3)dt＝ 13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在 t＝4s 时该质点距出发点43(m)． 又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上的速度 v(t)≥0，在区间 [1，3]上的速度 v(t)≤0. 所以在 t＝4s 时所经过的路程为
物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果 物体沿着与 F 相同的方向移动了 s m，则力 F 所做的功 为 W＝Fs；如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相 同的方向从 x＝a 移动到 x＝b，则变力 F(x)做的功 W＝ _∫__ba_F_(_x_)d_x__.
《定积分在几何、物理中的应用》参考课件
定积分求解功和能量
定积分可以计算力学系 统中的功和能量变化， 为能量守恒定律的研究 提供了数学基础。
四、应用举例
垂直于坐标轴的曲线面 积
通过定积分，可以计算曲线 与垂直于坐标轴的轴之间的 面积，如椭圆、以准确计算 球体的体积，为球体的表面 积、密度等相关问题提供了 解决方法。
定积分的符号表示一般用 ∫f(x)dx 表示，计 算方法有黎曼和和定积分的定义公式等。
二、几何中的应用
1
定积分求解曲线下的面积
通过计算定积分，可以准确求解曲线与坐标轴之间的面积，如长方形、三角形等 几何形状。
2
定积分求解旋转体体积
通过定积分的应用，可以计算旋转体的体积，如圆柱体、圆锥体等各种形状的物 体。
3
定积分求解弧长和曲率
定积分在计算曲线的弧长和曲率等几何属性时，起到了重要的作用。
三、物理中的应用
定积分解质点的位 移和速度
定积分可以描述质点在 一段时间内的位移和速 度变化，特别适用于确 定加速度为常数的物理 问题。
定积分求解加速度 和力的关系
通过定积分的运用，可 以推导出质点的加速度 与力的关系，揭示了牛 顿第二定律的深层含义。
《定积分在几何、物理中 的应用》参考课件
定积分是数学中重要的概念，它在几何和物理领域中具有广泛的应用。本课 件将介绍定积分的符号表示和计算方法，以及在几何和物理中的各种应用。
一、介绍
什么是定积分
定积分是对函数在一定区间上的"积分"或 "累加"结果的表示，可以理解为曲线下的 面积。
定积分的符号表示和计算方法
弹簧振动的位移
定积分可用于求解弹簧振动 的位移，帮助我们理解弹簧 振动的规律和特性。
( 人教A版)定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
1.7 定积分的简单应用
定积分在物理中的应用.ppt
F(x)=W kxdx kx |0 kl J 0 2 2
l
l
1 2 答:克服弹力所作的功为 kl J 2
练习
一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同 的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求力F(x)所作的功.
20 10
v/m/s
40
O
10 20 30 40 50 60 t/s
=
+
+
解: 由v-t图象曲线可知:
3t , vt 30, 1.5t 90,
10 40
0 t 10; 10 t 40; 40 t 60;
60
v/m/s
40 30 20 10
10 20 30 40 50 60 t/s
因此汽车在这1min行驶的路程是:
3 2 10 3 2 60 40 t |0 30t |10 t 90t |40 2 4 1350m
0 10 40
s 3tdt 30dt 1.5t 90dt O
答:汽车在这 1 min 行驶的路程是1 350 m.
W
4
0
3 2 4 F x dx 3x 4dx x 4 x |0 40J 0 2
4
练习
把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比.已知1kg的力 能使弹簧伸长1cm,问把弹簧拉长10cm要作多少功?
练习
按万有引力定律,两质点间的吸引力F
km1m2 , k为常数, 2 r
m1 , m2为两质点的质量,r为两点间距离,若两质点起始距 离为a,质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处,试求所作 之功(ｂ＞a)?
定积分在物理上的应用【高等数学PPT课件】
bΒιβλιοθήκη W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
定积分在物理的应用ppt课件
变速直线运动程做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数等于其速度函数vvtvt0在时间区间在时间区间ab上的定积分即变力做功力如果物体在变力fx的作用下做直线运动并且物体沿着与的作用下做直线运动并且物体沿着与fx相同的方向从xa移动到xbab那么变力fx所做的功为所做的功为?bavtdt?bafxdx1
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
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W49x0dx2.45J
0
例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解 取 ox 轴竖直向上
地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律，
火箭所受地球的引力
解 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 由题设 9.8=0.02k k= 490 F=490x
要求的是变力所作的功 用微元法
取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1]
[x ,x d] x [0 ,0 .1 ]
f
k
mM x2
x R+H
随火箭发射的高度 x 而变化
当火箭在地面上 即 x =R 时
火箭所受的引力就是火箭的重力mg
代入上km 式R2M fm ,m gkgR 2M xg 12 2 R
R o
为了发射火箭，必须克服地球引力，
克服地球引力的外力F与 f 大小相等
F(x)mg2R x12 下面用微元法来求变力所作的功。
b
dx F six nsin adxx01 2asin [x (0b)2x0 2]
x0
1a(b2hbsin)
o
y
2
将以上几例的解法一般化 a
得液体的侧压力的计算公式 x
yf(x)
yg(x)
b
b
Px[f(x)g(x)]dx
0
2
将以上几例的解法一般化 可得
若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x )
对物体所作的功为
b
w F(x)dx
a
二、液体的侧压力
由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，
其面积为A，距液面的深度为 h ，则该薄板的一 侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的
定积分在物理学中的应用
前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应 用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸 如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转 体的体积等问题时，关键在于写出所求量的 微元
定积分在物理方面的应用的关键也是如此， 希望大家注意如何写出所求量的微元——微 功、微压力、微引力等
一、变力沿直线作功
0
四分之一圆面积
x y y+dy
例5 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角
斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处 ，设 a > b 液体的比重为 ，求板的一侧
所受的压力。
解 如图建立坐标系
hx0sin , x0sh in
x0
x
坐标为 x 处液体的深度为 x+dx
取 x 为积分变量 x [R ,R H ]
dW F(x)d xm2 gx 12 R dx
WH RRHmg2Rx12dx
mg2(R 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
所须作的功
lim lim w H w H H m 2 (g R 1 R R 1H )mgR
o
[y,yd]y[0,2R]
dP y2xdy
x
2R
P y R2(yR)2dy
2R
(令 ty0R )2R(tR ) R 2t2dt
y
R
R
R
2t R 2t2d t2 R 2t2dt
R 奇函数 R
R 偶函数
4 R2 t2dt R3
乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是
PpA hA
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度 处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采用微元法，利用定积分来计算。
例4 设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐， 求闸门一侧所受的压力。
解 取坐标系如图
这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭
离开地面时的初速度为 v 0
则动能为
1 2
mv
2 0
因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
1m 2
v02
m
gR
v0
2gR
g 9 .8 1 3 0 ks m 2,R 63 k7 m 1
代入上式得 v011.2kms——第二宇宙速度
例3 半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力）
于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变
力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功
dW F (x )d x 4x 9d 0x
0.1
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的
在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体
该水柱重为 R2dy
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
Hy
dw R2(Hy)dy
wR2H(Hy)d yR2H 2
a
x
三、引力
由万有引力定律：两个质量分别为 m1,m2
相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由
于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不
能直接利用上述公式计算。
例6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另 有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到 杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s
这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。
例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功
取 x 为积分变量
[x ,x d] x [0 ,l]
0
例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解 取 ox 轴竖直向上
地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律，
火箭所受地球的引力
解 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 由题设 9.8=0.02k k= 490 F=490x
要求的是变力所作的功 用微元法
取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1]
[x ,x d] x [0 ,0 .1 ]
f
k
mM x2
x R+H
随火箭发射的高度 x 而变化
当火箭在地面上 即 x =R 时
火箭所受的引力就是火箭的重力mg
代入上km 式R2M fm ,m gkgR 2M xg 12 2 R
R o
为了发射火箭，必须克服地球引力，
克服地球引力的外力F与 f 大小相等
F(x)mg2R x12 下面用微元法来求变力所作的功。
b
dx F six nsin adxx01 2asin [x (0b)2x0 2]
x0
1a(b2hbsin)
o
y
2
将以上几例的解法一般化 a
得液体的侧压力的计算公式 x
yf(x)
yg(x)
b
b
Px[f(x)g(x)]dx
0
2
将以上几例的解法一般化 可得
若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x )
对物体所作的功为
b
w F(x)dx
a
二、液体的侧压力
由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，
其面积为A，距液面的深度为 h ，则该薄板的一 侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的
定积分在物理学中的应用
前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应 用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸 如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转 体的体积等问题时，关键在于写出所求量的 微元
定积分在物理方面的应用的关键也是如此， 希望大家注意如何写出所求量的微元——微 功、微压力、微引力等
一、变力沿直线作功
0
四分之一圆面积
x y y+dy
例5 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角
斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处 ，设 a > b 液体的比重为 ，求板的一侧
所受的压力。
解 如图建立坐标系
hx0sin , x0sh in
x0
x
坐标为 x 处液体的深度为 x+dx
取 x 为积分变量 x [R ,R H ]
dW F(x)d xm2 gx 12 R dx
WH RRHmg2Rx12dx
mg2(R 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
所须作的功
lim lim w H w H H m 2 (g R 1 R R 1H )mgR
o
[y,yd]y[0,2R]
dP y2xdy
x
2R
P y R2(yR)2dy
2R
(令 ty0R )2R(tR ) R 2t2dt
y
R
R
R
2t R 2t2d t2 R 2t2dt
R 奇函数 R
R 偶函数
4 R2 t2dt R3
乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是
PpA hA
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度 处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采用微元法，利用定积分来计算。
例4 设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐， 求闸门一侧所受的压力。
解 取坐标系如图
这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭
离开地面时的初速度为 v 0
则动能为
1 2
mv
2 0
因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
1m 2
v02
m
gR
v0
2gR
g 9 .8 1 3 0 ks m 2,R 63 k7 m 1
代入上式得 v011.2kms——第二宇宙速度
例3 半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力）
于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变
力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功
dW F (x )d x 4x 9d 0x
0.1
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的
在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体
该水柱重为 R2dy
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
Hy
dw R2(Hy)dy
wR2H(Hy)d yR2H 2
a
x
三、引力
由万有引力定律：两个质量分别为 m1,m2
相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由
于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不
能直接利用上述公式计算。
例6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另 有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到 杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s
这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。
例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功
取 x 为积分变量
[x ,x d] x [0 ,l]