不等式问题中含参问题知识分享
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册在初中数学中，不等式是一个重要的概念，也是常见的题型之一。
初一下册的不等式主要包括含有参数的不等式，也就是题目中会给出一个或多个参数，需要我们在参数的取值范围内解决不等式。
下面我们来介绍一些常见的不等式题型及解题方法。
1.基本不等式的解法基本不等式一般是指只有加减乘除运算的不等式，例如x + 3 > 7。
这类不等式的解法与方程的解法类似，需要进行移项和化简。
对于不等式题目，我们要先消去不等式号两边的括号，然后将未知数（即参数）移到左侧，常数移到右侧。
最后，如果有乘除运算，需要根据乘除法的性质进行变形。
解出不等式的解集后，需要在给定参数的取值范围内判断解集的合法性。
2.基本不等式组的解法基本不等式组是指同时含有两个或多个不等式的题目，例如x + 2 > 4x - 1 < 3对于这类题目，我们首先要解决每个不等式，得到它们的解集。
然后将这些解集取交集，即得到整个不等式组的解集。
需要注意的是，如果不等式组的解集为空集，则表示该不等式组没有解。
3.组合不等式的解法组合不等式是指含有和或积的的不等式，例如2x + 3 > 7对于这类不等式，我们需要对每个不等式进行分析，将组合项拆开成多个不等式的和或积，并求解每个不等式。
最后，将每个不等式的解集合并，得到整个组合不等式的解集。
4.几何意义的不等式问题有时候，不等式问题可以通过几何图形来解决。
考虑一道题目：面积为12平方单位的矩形，宽度是a个单位，求长度的取值范围。
我们可以通过矩形的面积公式S = a * b，将题目转化为不等式a * b = 12。
然后我们可以根据不等式的性质，在平面直角坐标系上画出b =12/a的图像。
这个图像表示了矩形的可能形状，我们可以通过几何的方法解决这道题目。
以上介绍的是初一下册常见的不等式题型及解题方法。
不等式在数学中占有重要地位，对于初中阶段的学生来说，掌握不等式题型及解题方法十分重要。
专题：不等式(组)含参问题
7
8
x
方法：
如果它有解，那么的取值范围是什么？ 1、用口诀
2、用数轴
大小小大中间找
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
步骤：
可以等于吗？
1、定范围
2、定节点
可以等于吗？
练习：
x m 1
1、若不等式组
的解集为
x 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
>
可以利用画数轴
或者口诀解决这
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
个问题吗？
可以等于吗？
同大取大
如果它的解集是 > ，那么 的取值范围又是什么呢？
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
可以等于吗？
1
2
3
4
5
6
7
8
x
≤3
1 +
2 3
x 2
2、如果不等式组
x m
( D
)
A. m 2
4
5
6
7
x
的解集为
B.
m2
8
x 3，求m的取值范围．
x
m
mC. 2
m2
，则m的取值范围是
m D.2
3、如果不等式组 x 8 有解，则m的取值范围是(
A .m 8
C.
x m
m8
4、关于x的不等式组
(2)若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围．
4、不等式组中含参解集取值范围
>2
含参不等式
第三讲 含参不等式一、 知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
(b)对含参数的一元二次不等式，还要分0>∆、0=∆、0<∆讨论。
(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为21,x x （或更多）但含参数，要分21x x >、21x x =、21x x <讨论。
（3）对指数、对数不等式要注意对底数分1>a 与10<<a 进行讨论。
2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([ a x f <)(恒成立⇔ a x f >)(解集非空⇔a x f >max )]([ a x f <)(解集非空⇔ a x f >)(无解⇔a x f ≤max )]([ a x f <)(无解⇔ a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )]([ a x f ≤)(恒成立⇔ a x f ≥)(解集非空⇔a x f ≥max )]([ a x f ≤)(解集非空⇔ a x f ≥)(无解⇔a x f <max )]([ a x f ≤)(无解⇔(2)二次不等式（设R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2）(a)0)(>x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ；(b)0)(≥x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ;(c)0)(<x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 . （注：若二次项系数含有参数，须分“0=a ”、“0≠a ”讨论）3.补充说明：a x f >)(恒成立⇔a x f >)(的解集为R ⇔ a x f ≤)(无解a x f <)(恒成立⇔a x f <)(的解集为R ⇔a x f ≥)(无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于x 的不等式)2,1(0)2()1)((≠≠>---a a x x a x 且变式1：解关于x 的不等式)(0)()(2R a a x a x ∈<--例2. 解关于x 的不等式)(12)1(R a x x a ∈>--变式2：解关于x 的不等式0)2)(2(>--ax x题型二：含参不等式与集合运算例1设R B A B A a x x B x x A =∅=≤-=>-= ,},1|2||{},1|12||{，求实数a 的值.变式1：已知集合}02|{2≤--∈=x x R x A ，}3|{+<<∈=a x a R x B 且∅=B A ，则实数a 的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式03)1(4)54(22>+---+x a x a a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围变式1：设关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x x x a 的解集为R ，求a 的取值范围例2若a x x >+--|5||2|恒成立，则实数a 的取值范围是____________ _________变式2：若不等式a x x ≤++-|3||4|的解集为空集，则实数a 的取值范围是三、巩固练习1.若不等式)0(02≠<++a a x ax 无解，则a 的取值范围是（ ）2121.≥-≤a a A 或 21.<a B 2121.≤≤-x C 21.≥a D2.设集合}044|{},01|{2恒成立对任意实数x mx mx R m Q m m P <-+∈=<<-=，则下列关系式中成立的是（ ）Q P A ⊂.Q P B =. P Q C ⊂. ∅=Q P D .3.已知0>a ，不等式a x x <-+-|3||4|在实数集R 上的解集不是空集，则正实数a 的取值范围是4.若不等式a x x >++-|3||4|的解集为R ，则实数a 的取值范围是5.设}25|{,},03|{},0325|{2≤<-=∅=≤++=<-+=x x B A B A ax x x B x x x A ，则实数a 的值为 6.解关于的不等式01>--x a x7解关于x 的不等式)0(02≠<-a x ax。
不等式组专题之含参问题
不等式组专题——含参问题一、【知识回顾】不等式解集的表示方法：（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了，容易知道哪些数不是原不等式的解。
（2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时，易于找到正确的答案。
在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。
二、【课前热身】1，已知关于x 的不等式()13a x -≥的解集是31x a≤-，则a 的取值范是__________.2，关于x 的不等式组11x ax b -<⎧⎨+>⎩的解集是01x <<，则a b +=___________.3，在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为4，如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是( )A .3a >B .a ≥3C .a ≤3D .3a <三、【典例讲解】题型一：含参不等式组有解/无解问题 例1：1，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><-mx x 0121有解，则m 的取值范围是（ ）A.m>2B.m<2C.m≥2D.m≤22，若不等式组⎩⎨⎧>->+m x x x 148无解，则m 的取值范围 ．3，若不等式组有解，则a 的取值范围是 ．4，若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧>+<-7203m x m x 无解，则m 的取值范围为（ ）A.57≤mB.57>mC.57->mD.57-≤m题型二：含参不等式组整数解问题例2：1，若关于x 的不等式3<x<a 有3个整数解,则a 的取值范围是（ ）A.5≤a<6B.5<a≤6C.6<a≤7D.6≤a<72，若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥<-11x a x 的整数解有3个，则a 的取值范围是（ ）A.3<a ≤4B.2<a ≤3C.2≤a <3D.3≤a <43，关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围是 。
含参方程与不等式求解
含参方程与不等式求解在数学中，含参方程与不等式是常见的数学问题类型，需要通过一定的方法来解决。
本文将介绍含参方程与不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识点。
一、含参方程的求解方法含参方程是指方程中含有未知参数的方程，通过改变参数的值可以得到不同的解。
常见的含参方程有一元一次方程、一元二次方程等。
1. 一元一次方程的求解方法一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x 为未知数。
将方程进行变形，可得到x = -b/a。
根据这个公式，可以通过给定的参数值计算出方程的解。
举例说明：对于方程3x + 5 = 0，将参数3代入公式中，可得到x = -5/3。
同理，对于参数为2的情况，解为x = -5/2。
2. 一元二次方程的求解方法一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
通过求解方程的根可以得到方程的解。
常用的求解一元二次方程的方法有公式法和配方法。
公式法：根据一元二次方程的求解公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以通过给定的参数值计算出方程的解。
配方法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为完全平方的形式来求解。
具体的配方法需要根据具体的方程形式进行操作。
举例说明：对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，根据公式法，可以得到x = -1和x = -2为其解。
二、含参不等式的求解方法含参不等式是指不等式中含有未知参数的不等式，通过改变参数的值可以得到不同的解。
常见的含参不等式有一元一次不等式、一元二次不等式等。
1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或<、≥、≤），其中a和b为已知常数，x为未知数。
通过确定不等式的区间可以得到不等式的解。
举例说明：对于不等式3x + 5 > 0，当参数3代入时，解为x > -5/3；当参数2代入时，解为x > -5/2。
初一下册不等式含参
初一下册不等式含参初一下册不等式含参一、引言不等式是数学中的一个重要概念，通过不等式我们可以研究数的大小关系。
在初一下册数学学习中，我们接触到了不等式含参这个新的概念。
不等式含参的学习，不仅可以提高我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们理解和解决实际问题。
二、基本概念不等式含参是指在不等式中含有带有参数的表达式。
参数是不确定的数，可以取不同的值，从而使得不等式的解集发生变化。
例如，不等式 |2x - 3| > a 可以称为一个不等式含参，其中 x 是参数，a是给定常数。
当我们确定了不同的 a 值时，不等式的解集也会随之改变。
三、解决方法解决不等式含参的问题，一般需要进行以下几个步骤：1. 化简：首先，我们需要对不等式进行化简，将其转化为简洁的形式。
例如，使用绝对值不等式的性质，可以将 |2x - 3| > a 化简为 2x - 3 > a 或者 2x - 3 < -a。
2. 分类讨论：根据化简得到的不等式，我们可以将其分成几种情况进行讨论。
例如，当 a > 0 时，将 2x - 3 > a 分成 x > (a+3)/2 和 x < (3-a)/2 两种情况。
3. 求解：接下来，我们需要解决每个分类讨论中的不等式。
通过运用代数运算和性质，将不等式化简为 x 的区间表示形式。
例如，在第一种情况 x > (a+3)/2 中，可以化简为 x > (a+3)/2。
4. 综合解集：最后，我们需要将每个分类的解集综合起来，得到不等式含参的解集。
综合解集时，需要考虑各个分类的交集或并集。
四、应用示例不等式含参可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用不等式含参来分析商品价格的涨跌幅度。
在生活中，我们可以通过不等式含参来研究食品或药品的安全问题。
五、总结初一下册不等式含参是一个重要的数学概念，在我们的学习中扮演着重要的角色。
通过学习不等式含参，我们可以锻炼逻辑思维能力，理解和解决实际问题。
含参不等式
含参不等式组一．有、无解问题（不等式符号传递性）例：不等式组的解集为m ＜x ＜-1，①若有解，求m 范围；②无解，求m 范围。
变式：1.不等式组的解集为m ≤x ≤-1，分别求出有解无解m 的取值范围。
2. 不等式组的解集为m ＜x ≤-1，分别求出有解无解m 的取值范围。
二．已知解（大大取大，小小取小）例：不等式组⎩⎨⎧1-m ＜＜x x 的解集为m x <，求m 范围。
变式：1.不等式组⎩⎨⎧≤a2-x x ＜的解集为-2<x ，求a 范围。
2.不等式组⎩⎨⎧≤a 2-x x ＜的解集为a ≤x ，求a 范围。
3.不等式组⎩⎨⎧≥≥m3x x 的解集为3≥x ，求m 范围。
三．整数解以不等式组的解集为-3≤x ＜a ，整数解都为4个为例。
1. 有且仅有4个整数解2. 至少有4个整数解3. 至多（不超过）4个整数解4. 有解5. 有解且不超过4个整数解6. 有整数解（至少有一个整数解）7. 有整数解且不超过4个整数解8. 有且仅有4个非正整数解9. 有且仅有4个非负整数解10.有且仅有4个奇数解11.有且仅有4个偶数解专题 含参不等式（组）1. 已知关于x 的不等式组{4x ≥3(x −1)2x −x−12<a有且只有3个负整数解，则符合条件的a 的取值范围为( )2. 若数a 使关于x 的不等式组{x3−2≤14(x −7),6x −2a >5(1−x)有且仅有三个偶数解，则所有满足条件的a 的取值范围是( )3. 若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12<x +2的解集是x ≤a ，则符合条件的所有a 的取值范围为( )4. 若数a 使关于x 的不等式组{x−52+1≤x+135x −2a >2x +a 至少有3个整数解，则满足条件的所有a 的取值范围是( )5. 如果关于x 的不等式组{a −2x ≤1−x 4x+12>x +3的解集为x >52，那么符合条件的所有a 的取值范围为(6. 如果关于x 的不等式组{x −m ≤34x−76>x −32的解集为x <1，则所有符合条件的m 的取值范围是( )7. 若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4>−a有且只有4个奇数解，则符合条件的a 的取值范围为( )8. 如果关于x 的不等式组{x−a 3>0x +2<2(x −1)的解集为x >4，那么符合条件的a 的取值范围是( )9. 如果关于y 的不等式组{2(a −y)≤−y −43y+42<y +1无解，则符合条件的a 的取值范围是(10. 若数a 使关于x 的不等式组{a+x 2≥x −2x3−(x −2)>23的解为x <2，则满足条件的a 的取值范围是( )11. 若整数a 使得关于y 的不等式组{y−a 5≤03y−22+1>y −22至少有三个整数解，则符合条件的a 的取值范围是()12. 若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x 3−x−12≤1只有4个整数解，则符合条件的所有整数k 的积为( )13. 使得关于x 的不等式组{6x −a ≥−10−1+12x <−18x +32有且只有4个整数解的a 的取值范围是( )14. 若数a 使得关于x 的不等式组{x−32<x−23x +a ≥5(1−2x)，有且仅有四个奇数解，则所有满足条件的a 的取值范围是( )15. 若关于x的不等式组{13x +2>3x+34−a−13>−x−112的解集为x >3，则所有符合条件的a 取值范围为( )16. 若数a 使关于x 的不等式组{3−x ≥a −2(x −1)2−x ≥1−x 2有解且所有解都是2x +6>0的解，则满足条件的所有整数a 的个数是( )个17. 若a 为整数，关于x 的不等式组{2(x +1)≤4+3x 4x −a <0有且只有3个非正整数解，则a 的取值范围为( )．18. 若数m 使关于x 的一元一次不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，则满足条件的所有m 的取值范围是（ ）19. 如果关于x 的不等式组有且仅有三个奇数解，则满足条件的m 的取值范围是（ ）20. 如果关于x 的不等式组至少有3个整数解，则满足条件的a 的取值范围是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧-≤->+223235m x x x ⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-44213211x m x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<+0511635x a x x21. 若关于x 的不等式组的解为正数，则符合的a 的取值范围是（ ）.22. 若关于x 的一元一次不等式组所有整数解的和为-9，则符合条件的a 的取值范围为 .()⎪⎩⎪⎨⎧+>-->-+6223134x a x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-xa x x 2321。
不等式含参问题口诀
不等式含参问题口诀听着，咱今天要说的是“含参不等式”的问题，哈哈，别一听到这些数学词儿就开始皱眉头，别着急，咱慢慢来，慢慢捋清楚。
你看啊，这种题，首先它有个特点，特别关键，你得知道这东西是有“参”的，什么是参呢？其实就是那种不确定的数，可能是x、y，也可能是a、b，总之你能看见这个符号，心里就得打个预防针：这事儿不简单！其实一开始我们都觉得这东西好像很高深，但你仔细想想，其实也就是个“做题游戏”，对吧？你别光看它名字长，没啥大不了的。
只要掌握了技巧，它其实也就那么回事。
想当年我也是个“看见不等式就腿软”的人，后来慢慢的才知道，哎，这不就是“左右不对称”的一场较量嘛。
你看，问题中的“参”，就是我们要解的关键。
你可能要问，什么叫左右不对称？就是我们得琢磨这参的取值范围。
想象一下，假如这参是“a”，它可能会让式子的两边的关系变得天翻地覆。
所以你做题的时候，得时刻关注这个参，别让它“脱缰”，否则这道题就不好搞了。
讲道理，不等式有时就是这么个“翻脸不认人”的东西，平时看着还挺温顺，一旦给它一个不合适的参，马上就暴跳如雷。
别急，先给你来个“口诀”，我觉得你可以记住这几条。
第一条：参越大，范围越广。
这句话是我做题经验的总结。
你想啊，参大的时候，它对整个不等式的影响也大，尤其是当它跑到一边，它直接就决定了你不等式成立的条件。
所以，每次看到参大的时候，千万别掉以轻心，得特别警惕，像盯着高空掉下来的炸弹一样。
第二条：参越小，影响越小。
这就跟你小时候写字，笔小字小，差不多意思。
参越小，意味着它对式子的影响比较轻，基本上是“加点儿小料”，给题目带不来太大变动。
你这时候只要稍微运算一下，通常能搞定。
再来第三条：不等式两边都得仔细琢磨。
这玩意儿就跟谈恋爱似的，不能光顾着盯着自己这一边，别忽视了另一边的情绪，嘿嘿。
比如说，你不可能在一个方向上给它加点儿东西，然后在另一边放任它不管，不等式就是这么“挑剔”的东西，你必须确保两边都妥帖，才不会出岔子。
含参数的不等式讨论
含参不等式讨论（1）一元一次不等式分类讨论1已知关于x 的不等式k(x-2)>x+6，①解这个不等式，②若1不是这个不等式的解，0是这个不等式的解， 求k 的范围课堂练习11关于x 的一元一次不等式2-kx ＞k 的解是x ＞2，求k 的值？2关于x 的一元一次不等式3x -2＜k 的正整数解是1，2，3，则求k 的取值范围？3解关于x 的不等式①k(x-2)＞2x-4 ② (m 2－4)x ＜m ＋2 ③ (m-1)x<n（2）一元二次不等式分类讨论1解关于x 的不等式（1）x 2－2ax －3a 2<0(a <0)． （2）x 2-5ax+6a 2〈0 （3） 2(2)20x a x a -++<.2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.3解关于x 的不等式x －a x －a 2<04解关于x 的不等式x 2+ax+4>05已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.课堂练习21解关于x 的不等式:①x 2-(2a+1)x+a(a+1)<0. ②223()0x a a x a -++>2设a 是任意实数,解关于x 的不等式:(a+3)x 2+2ax+a-3>0.3已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)若对所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．课后练习1关于x 的不等式(2a －b)x+a －5b>0的解集是)710,(-∞，则关于x 的不等式ax>b 的解集是（ ） A ．),53(+∞ B ．)53,(-∞ C ．),53(+∞- D ．)53,(--∞ 2已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为________． 4函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示．（1）方程0)(=x f 的解集是__________________________； （2）不等式0)(<x f 的解集是________________________；（3）不等式0)(>x f 的解集是________________________．5解下列不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<->+<--②①)1)(3(20322m x m x x x6解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．7设a R ∈，函数22()2.f x x ax a =--，若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
不等式问题中含参问题
22 12
5
当点M与点B（2，3）重合时，w取得最大值，
即wmax（=（2 0）2 （3 0）故2）2wm1i3n,= wmax54=，13.
【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且
0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，
f(x1)-f(x2)=x1+
a x1 1
x
2
x
a 2
1［1(x-1
x2
)
∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,
］, a
x1 1(x2 1)
∴(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,
∴
<1,∴f(x1)-f(x2)>0,
a
∴f(xx)1在1［(x02，1+) ∞)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=a.
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
【例4】 设函数f(x)= x a ，x∈［0,+∞).
x 1
（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；
【例1】关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根，一个小1，
一个大于1，求实数k的取值范围.
【审题指导】本题考查一元二次方程根的分布问题，因 为此方程有两根，所以2k≠0,即k≠0，另外要注意对k 的讨论. 【规范解答】 ∵关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根， ∴2k≠0.又∵一个小于1，一个大于1， ∴设f(x)=2kx2-2x-3k-2,则当k>0时，f(1)<0, 即2k-2-3k-2<0,整理得k>-4, ∴k>0; 当k<0时，f(1)>0,即2k-2-3k-2>0, 整理得k<-4,∴k<-4. 综上所述，当k∈(-∞,-4)∪(0,+∞)时，方程2kx2-2x3k-2 =0的两根，一个小于1，一个大于1.
专题02 方程、不等式中的含参问题
k 的取值范围为
．
【答案】k＜ 且 k≠±1
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 2、一元二次方程的二次项系数不为 0．
变式 2.3 已知α、β是方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个实数根，则α3+8β+6 的值为（ ） A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【解析】
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于 A、B 的二元 一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网
考点二、一元二次方程的含参问题
例 2 关于 x 的方程 x2+mx﹣9=0 和 x2﹣3x+m2+6m=0 有公共根，则 m 的值为
．
【答案】﹣3，0，﹣4.5．
④若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根，可得 x0=
，
把 x0 的值代入（2ax0+b）2，可得 b2﹣4ac=（2ax0+b）2， 综上所述其中正确的①②④． 故选 B 【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示 x0，整体代入求 b2﹣4ac=（2ax0+b）2．
变式 3.3 已知关于 x 的方程
只有整数解，则整数 a 的值为
．
【答案】﹣2，0 或 4 【解析】试题分析：首先 解此分式方程，即可求得 x=
=﹣2﹣ ，由方程只有整数
解，可得 1﹣a=3 或 1 或﹣3 或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验． 试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2）， 得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，
专题三 含参不等式
专题三 含参不等式一、含参不等式的解法：含参数问题的讨论是数学学习中的一个难点。
关键是要弄清为何讨论、如何讨论。
在解决这类类问题时，应正确认识问题中的参数，从而形成解决参数问题的正确思维习惯与解题思想。
由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则予以讨论，否则不予讨论。
例1、解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax例2、解关于x 的不等式：[(m+3)x-1](x+1)>0 (m ∈R)例3、解关于x 的不等式0212>---x x ax例4、解关于x 的不等式)1(,12)1(≠>--a x x a二、含参不等式中的逆向问题1、含参不等式的解集与系数的关系：例6、关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．例7、若不等式6|2|<+ax 的解集为)2,1(-，则实数a 等于（）A 、8B 、2C 、-4D 、-8例8、已知关于x 的不等式0>+n mx 的解集为}2|{>x x ，解关于x 的不等式022>-++x x n mx2.不等式的恒成立问题①对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a②对于一般问题，转化为函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
初中数学—不等式含参拔高题5步法总结
不等式/不等式组含参拔高题5步法总结（根据步骤没有做不对的题）一：有解ⅰ：同大取大型⎩⎨⎧>>（小）（大）b x x 3 解集x>3 （教师指导） ⎩⎨⎧≥≥bx x 3解集x ≥b （学生练习） 步骤①化简②根据口诀（同大取大）判断大小，3是大，b 是小 ③大致范围3>b④判断不等号取等：当3=b 时，（不等式b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧>>33x x 解集为x>3,取等成立⑤所以参数b 的范围为：3≥b⎩⎨⎧≥>（大）（小）b x x 3解集x ≥b （教师指导） ⎩⎨⎧>≥b x x 3解集x ≥3（学生练习） 步骤①化简②根据口诀（同大取大）判断大小，b 大，3小 ③大致范围：b>3④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧≥>33x x 解集x>3,取等不成立⑤所以参数b 的范围为：b>3ⅱ：同小取小型⎩⎨⎧<<b x x 3解集x<3（学生练习） ⎩⎨⎧≤≤（小）（大）b x x 3解集x ≤b （教师指导） 步骤①化简②根据口诀（同小取小）判断大小，3大，b 小 ③大致范围：3>b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧≤≤33x x 解集x ≤3（也就是x ≤b ），取等成立⑤所以参数b 的范围为：3≥b⎩⎨⎧≤<b x x 3解集x ≤b （学生练习） ⎩⎨⎧<≤（大）（小）b x x 3解集x≤3教师指导） 步骤①化简②根据口诀（同小取小）判断大小，3小，b 大 ③大致范围：3<b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧<≤33x x 解集x<3,取等不成立⑤所以参数b 的范围为：3<bⅲ：比大的小，比小的大型⎩⎨⎧<>（大）（小）b x 3x 有解 （教师指导） ⎩⎨⎧≤≥b x x 3有解（学生练习） 步骤①化简②根据口诀（比大的数<，比小的数>）判断大小，3小，b 大 ③大致范围：3<b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧<>33x x 无解，取等不成立⑤所以参数b 的范围为：3<b⎩⎨⎧<≥b x x 3有解 （学生练习） ⎩⎨⎧≥<（小）（大）b x 3x 有解（教师指导） 步骤①化简②根据口诀（比大的数<,比小的数>）判断大 ③大致范围：3>b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧≥<33x x 无解，取等不成立⑤所以参数b 的范围为：3>b二：无解⎩⎨⎧><b x 3x 无解（学生练习） ⎩⎨⎧≥≤（大）小）b x x (3无解（教师指导） 步骤①化简②根据口诀（比小数的<，比大的数>）判断大小，3小，b 大 ③大致范围：3<b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式组为⎩⎨⎧≥≤33x x 解为x=3有解，取等不成立⑤所以参数b 的范围为：3<b⎩⎨⎧<≥bx x 3无解（学生练习） ⎩⎨⎧>≤bx x 3无解（学生练习）三：整数解例1、⎩⎨⎧<>bx x 3有3个整数解（教师指导）步骤①化简②画数轴，确定整数解4、5、6和b （红色方条）的位置③大致范围：6<b<7④判断不等号取等（两端都要考虑取等）当b=6时，（不等式中b 替换为6），不等式组为⎩⎨⎧<>63x x 整数解为4、5不成立，左端取等不成立当b=7时，（不等式中b 替换为7），不等式为⎩⎨⎧<>73x x 整数解为4、5、6成立，右端取等成立⑤所以参数b 的范围为：6<b ≤7例2、x ≤a 只有3个正整数解，则a 的范围（教师指导）步骤①化简②画数轴，确定整数解1、2、3和a （红色方条）的位置③大致范围：3<b<4④判断不等号取等（两端都要考虑取等）当b=3时，（不等式中b 替换为3），不等式为x ≤3整数解为1、2、3成立，左端取等成立当b=4时，（不等式中b 替换为4），不等式为x ≤4整数解为1、2、3、4不成立，右端取等不成立⑤所以参数b 的范围为：3≤b <4四：包含问题例1、不等式x<3的解都是x<b的解步骤①化简②x<3范围小，x<b范围大③大致范围：3<b④判断不等号取等：当b=3时，（不等式中b替换为3），不等式x<3的解都是x<b(x<3)解，取等成立⑤所以参数b的范围为：3≤b。
不等式组含参问题解法口诀
不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。
一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。
步骤：1、根据不等式求出直线方程。
2、将直线画出。
3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。
4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。
口诀：直线而行，标志清晰。
参数解，交点全描。
于原点，交点证。
或无限，一致性。
例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。
2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。
图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。
当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。
当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。
当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。
4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。
二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。
步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。
2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。
3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。
口诀：解纠结，化简薄。
一变化，再推进。
终得范，系统定。
例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。
化简得 m-2n+20≤0 。
2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。
3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。
三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。
含参不等式的解题方法与技巧
含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。
二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。
三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。
四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。
不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳（定稿）
不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳（定稿）第一篇：不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳（定稿）第九章不等式与不等式知识点归纳一、不等式及其解集和不等式的性质用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。
常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。
含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。
注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。
②方向：大于向右画，小于向左画。
不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变；③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。
作差法比较a与b的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a ＜b；若a-b=0, 则a=b。
例1、下列式子中哪些是不等式？① a+b=b+a;②a＜b－5;③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。
例2、若aaba+1b+122 －;④；⑤am___bm 2232⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a² b²；⑨am bm。
例3、①由ax<a，可得x>1可得a____；②由ax<a，可得x＜1可得a____；③ 由mx-2≤2x-m可得x≥-1，那么m______。
例4、不等式5(x+2)≤28-2x的非负整数解是__________________。
二、一元一次不等式及其实际问题一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）（4）合并同类项（5）将x项系数化为1（系数为负数要变号）。
一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册一、不等式含参题型介绍不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。
不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。
二、不等式含参题型的解题方法1.确定不等式的类型和形式在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。
根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。
2.移项变形对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。
通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。
3.化简并求解对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。
化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。
4.运用不等式性质在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。
常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。
5.综合运用在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。
需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。
三、不等式含参题型的典型例题及解析题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。
然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。
所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。
题目二：已知不等式x^2 - 3x + 2 > 0，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行化简，得到(x-1)(x-2) > 0。
然后通过代数方法或图像法对不等式进行求解，得到x < 1或x > 2。
所以不等式x^2 - 3x + 2 > 0的解集为x < 1或x > 2。
(完整版)含参不等式题型
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
(x > -31：已知关于 x 的不等式组〈lx < a。
(1)若此不等式组无解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明(x > a (y + a 之 12：如果关于 x 的不等式组〈无解，问不等式组〈的解集是怎样的?3、若关于 x 的不等式组〈的解集是 x>2a,则 a 的取值范围是。
4、已知关于 x 的不等式组〈> 1的解集为x > 2 ，则( )A.m > 2B.m < 2C.m = 2D.m 三 2lx < b ly + b 三 15、关于 x 的一元一次不等式组〈 的解集是 x>a,则 a 与 b 的关系为( ) (|x – 3(x – 2) 共 4 (x > a l x > bA.a > bB.a 共 bC.a > b > 0D.a 共 b < 0(x + 8 4x – 1 6、 若关于 x 的不等式组〈 的解集是x ＞ 3 ， 则 m 的取值范围是 x m (x < 8，7、 若关于 x 的不等式组〈 有解，则 m 的取值范围是__ ___。
( x < m + 18、 若关于 x 的不等式组〈 无解 ，则 m 的取值范围是。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法： 先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于 x 的不等式组〈(2x – a < 1 的解集为 – 1< x < 1 ，求(a + 1)(b – 1) 的值。
2 ：已知关于 x 的不等式组〈 a + 2x 的解集是1共 x<3 ，求 a 的值。
不等式组的含参问题
不等式组的含参问题不等式组的含参问题一：求解含参不等式组•问题描述：给定一个含有参数的不等式组，求解参数的取值范围，使得不等式组成立。
•解释说明：含参不等式组是指在多个不等式中，含有未知参数。
通过求解参数的取值范围，可以确定满足不等式组的解集。
问题二：参数的影响分析•问题描述：分析参数对不等式组解集的影响，即研究参数的变化如何影响不等式组的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值不同会导致解集的改变。
通过参数的影响分析，可以找出参数取值范围与解集的关系。
问题三：参数的极值问题•问题描述：对于含参不等式组，求解参数的极值点，使不等式组取得最值。
•解释说明：在求解参数的极值问题时，需要注意不等式组的约束条件和最值的定义，分析参数取极值时解集的特点。
•问题描述：研究参数在某些特殊取值时，不等式组所满足的特殊性质。
•解释说明：在含参不等式组中，当参数取某些特殊值时，解集可能具有特定的性质，如唯一解、无解、有无穷多解等。
问题五：参数的系统解问题•问题描述：对于复杂的含参不等式组，寻找参数的解集表达式或参数取值集合，使得不等式组的解集满足某些特定要求。
•解释说明：参数的系统解问题是在多个不等式之间存在约束条件的情况下，分析参数取值的限制条件，从而求得满足特定要求的解集。
问题六：参数的图像表示问题•问题描述：通过图像表示参数的取值范围，以直观地展示不等式组的解集。
•解释说明：参数的图像表示问题可以通过绘制不等式组的平面图或三维图，观察参数取值范围对解集形态的影响，从而更直观地理解不等式组。
以上是关于不等式组的含参的一些相关问题，通过解决这些问题，可以深入理解含参不等式组的特点和解集的性质。
•问题描述：分析含参不等式组中参数的取值，寻找满足特定约束条件的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值可能受到一定的约束条件，如参数的取值范围、参数与其他参数的关系等。
通过分析这些约束条件，可以确定满足特定条件的解集。
含参方程不等式有关解的问题初一
含参方程不等式有关解的问题初一含参方程不等式有关解的问题初一一、引言在初中数学课程中，同学们接触到了含参方程不等式有关解的问题。
这个课题对于初一学生来说可能显得有些复杂，但只要能够掌握其中的关键思想和方法，就能够很好地解决这类问题。
本文将以初一阶段的数学学习为背景，系统地介绍含参方程不等式有关解的问题，帮助同学们更深入地理解这个主题。
二、含参方程不等式的基本概念1. 含参方程的概念及表示方法含参方程是指方程中含有“参数”的方程，通常用字母表示未知量，并通过参数的变化来得到方程的一组解。
对于一般形式为 $ax + b >c$ 的一元一次不等式方程，当参数 $a$、$b$、$c$ 分别取不同的值时，方程的解也会随之发生变化。
这就是含参方程的基本概念。
2. 不等式的图像表示和解集表示对于一元一次不等式方程 $ax + b > c$，可以通过画出其图像来直观地理解解集的情况。
当参数 $a$ 大于 0 时，不等式代表的图像是一条斜率为正的直线，所有大于不等式右侧值的$x$ 组成的区域为解集；当参数 $a$ 小于 0 时，不等式代表的图像是一条斜率为负的直线，所有小于不等式右侧值的 $x$ 组成的区域为解集。
三、含参方程不等式有关解的问题1. 解的存在性和唯一性对含参方程不等式 $ax + b > c$，在参数 $a$、$b$、$c$ 取值的不同情况下，我们需要探讨方程解的存在性和唯一性。
这需要从参数的大小关系出发，分情况讨论。
- 当 $a>0$ 时，解集为 $x>c-\frac{b}{a}$；- 当 $a<0$ 时，解集为 $x<c-\frac{b}{a}$。
含参方程不等式的解存在且唯一，这是初一学生需要理解的基本概念。
2. 解的范围和变化对于不同的参数取值，含参方程不等式的解集会有所变化。
通过观察参数 $a$ 的取值情况，同学们可以发现不等式的解集随参数的变化而变化，这就需要对参数的取值范围进行具体分析，从而得出解的范围和变化规律。
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（2）当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.
【审题指导】解答此题要明确a=2与0<a<1的区别，在利用
基本不等式求最值时，要注意等号是否取到，若取不到，应
怎样求最值.
【规范解答】（1）把a=2代入f(x)=x a ,
x 1
得f(x)=x+ 2 =(x+1)+ 2-1
x 1
x 1
∵x∈［0,+∞),∴x+1>0, 2>0,∴x+1+ 2 2 2.
【规范解答】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的 对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时，f(x)在［-1，+∞)上单调递增， f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈［-1,+∞)时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为［-3,1］.
【例2】已知函数f(x)=log3
mx2 x2
8x 1
n
的定义域为R，值域为
［0，2］，求m,n的值.
【审题指导】定义域为R等价于 mx2 8＞x 0n恒成立，值域为
x2 1
［0，2］可转化为 mx2 ∈8x［1n,9］求解.
x2 1
【规范解答】令y=mx
2 x2
8x 1
n
,
∵函数f(x)的定义域为R，∴对任意实数x∈R,y>0恒成立，
22 12
5
当点M与点B（2，3）重合时，w取得最大值，
即wmax（=（2 0）2 （3 0）故2）2wm1i3n,= wmax54=，13.
【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且
0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，
x 1
x 1
当且仅当x+1= 2 ，即x=
x 1
2-1时，f(x)取最小值.
此时，f(x)min=2 2-1.
(2)当0<a<1时，
f(x)=x+1+ a -1若x+1+ a 2 a ,
x 1
x 1
则当且仅当x+1= a 时取等号，
x 1
此时x= a-1<0（不合题意），因此，上式等号取不到.
设x1>x2≥0，则
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
【例4】 设函数f(x)= x a ，x∈［0,+∞).
x 1
（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；
2x y 2 0,
【例5】已知实数x,y满足 x 2y 4 0,
3x y 3 0.
求w=x2+y2的最大值和最小值.
【审题指导】可知x,y的约束条件是线性的.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2,∴w为可行域内动点（x,y）
到原点O（0，0）的距离的平方.
2x y 2 0
【例1】关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根，一个小1，
一个大于1，求实数k的取值范围.
【审题指导】本题考查一元二次方程根的分布问题，因 为此方程有两根，所以2k≠0,即k≠0，另外要注意对k 的讨论. 【规范解答】 ∵关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根， ∴2k≠0.又∵一个小于1，一个大于1， ∴设f(x)=2kx2-2x-3k-2,则当k>0时，f(1)<0, 即2k-2-3k-2<0,整理得k>-4, ∴k>0; 当k<0时，f(1)>0,即2k-2-3k-2>0, 整理得k<-4,∴k<-4. 综上所述，当k∈(-∞,-4)∪(0,+∞)时，方程2kx2-2x3k-2 =0的两根，一个小于1，一个大于1.
以及根与系数的关系的应用.
【规范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β为方程
ax2+bx+c=0的两根，
∴由根与系数的关系可得
b a
0,①
c
a
0.②
方法一：∵a<0,
∴由②得c<0，则cx2+bx+a<0可化为xb2+ ax+ >0.
cc
①÷②，得 b ห้องสมุดไป่ตู้ 1 1) 0.
c
由②得 a 1 1 ·1 0.
①
由题意知f(x)∈［0,2］，则y∈［1,9］.
即关于y的不等式①的解集为［1，9］.
∴
m n 10 mn 16 9
,此 时nm满5足5.
故所求mmmn=0156,.n=5.
【例3】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R)，当x∈［-1,+∞)时， f(x)≥a恒成立，求a的取值范围. 【审题指导】解答此类题要正确理解好f(x)≥a恒成立的意义， 一是可转化为f(x)min≥a，二是重新构造新函数F(x)=f(x)a≥0恒成立.
c
∴ 1 为, 1方程 x2 b的x 两a根 .0
cc
又∵0<α<β,∴ 0 1 1 .
∴不等式
x2 b x的 a解集0 为{x|x<
cc
或x> 1},
1
即不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x1< 或x1> }.
即mx2+8x+n>0恒成立.
当m=0时，不等式化为8x>-n，不可能恒成立；
当m≠0时，必有m 604, 4mn 0,即mmn01, 6. 由y= mx2 8x得 （n m-y)x2+8x+(n-y)=0.
x2 1
∵x∈R,∴Δ=82-4(m-y)(n-y)≥0,
即y2-(m+n)y+mn-16≤0
【规范解答】画出不等式组 x 2y 4 0
3x y 3 0
表示的平面区域，如图所示的△ABC，
包括边界及其内部.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2表示
的是可行域内的动点M（x,y）到
原点O（0，0）的距离的平方，
∴当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，w取得最小值，于
是wmin=(d02=0 2 )2 4 ;
f(x1)-f(x2)=x1+
a x1 1
x
2
x
a 2
1［1(x-1
x2
)
∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,
］, a
x1 1(x2 1)
∴(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,
∴
<1,∴f(x1)-f(x2)>0,
a
∴f(xx)1在1［(x02，1+) ∞)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=a.