(华师大版)九年级数学上册课件：2122二次根式的除
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华师大版九年级上册课件：21.2.3二次根式的除法
2.把下列各式的分母有理化：
（4）3
2＝
3
6
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
mm－ －4531成、1解 立、 4.： 的等要条式使件等 mm是－ －式 __53成_＝_m立_>_，_5mm_m－ －_必_53_须 _成。满立足的 条
2 • 10 ＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
aa
bb
a 0,b 0
商 两的 个算 二术 次平根方式根相等除于，被等除于式把的被算开术 方平 数方 相根 除，
除 作以 为除 商式 的的被算开术方平数方根。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝ －4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
（4）3
2＝
3
6
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
mm－ －4531成、1解 立、 4.： 的等要条式使件等 mm是－ －式 __53成_＝_m立_>_，_5mm_m－ －_必_53_须 _成。满立足的 条
2 • 10 ＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
aa
bb
a 0,b 0
商 两的 个算 二术 次平根方式根相等除于，被等除于式把的被算开术 方平 数方 相根 除，
除 作以 为除 商式 的的被算开术方平数方根。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝ －4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除教学课件 (新版)华东师大版
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方
根的积。
注意：
× a b a b
问题1： (4)(9)× 4 9 ？
问题2： 9 16× 9 16 ？
× 52 32 52 32
例题：计算
(1) 7 6
(2) 1 32 2
解：(1) 7 6 6 7 42
(2) 1 32 1 32 16 4
解：2000 102 22 5 102 22 5
102 22 5 10 2 5 20 5
由上例可得以下规律：
(1). a2 a(a 0)
(2).如果a1、a2、.....、 . an 0 则：a1 • a2 • ...• an a1 • a2 • ...• an
(1) ab a • b（a≥0,b≥0)
213 26(cm)
练习3
一个直角三角形的两条直角边分别长2 2cm 与 10cm ，
求这个直角三角形的面积。
S 1 2 2 10 2 （5 cm2） 练习42 （综合练习）
1、 x 1• x 1 x2 1的成立的条件是（
）
x 1＞0且x 1＞ 0，即：x＞1
2、如果： x 2 6 y z2 6z 9 0
5
（2） 8 20
例3、化简:
3
100
可以开方的一定 要开方!化到最
简!
解:原式= 3 3 100 10
练习:(填下列各题的解题步骤) 9
64
0.25
遇到被开 方数是小 数先化成 分数再化
简!
解:原式= 9 64 3
=8
解:原式= =
1 4
1 =1 42
例4：化简
(1)
4 9x2
解式分解或 因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”
华东师大版九年级数学上册 21.2.1 二次根式的乘除(1)教学课件 (共17张PPT)
14
（小组讨论、展示）
性质 3： 如果 a≥0，b≥0，则有 a·b＝ ab。
两个 算术平方根的积，等于它们 被开方数的积的算术平方根.
由等式对称性，性质 3 也可以写成： ab＝ a·b＝﹙a≥0，b≥0﹚
积的算术平方根，等于各因式算
术平方根的积.
2020/7/25
15
在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康托尔
2020/7/25
4
4× 25＝＿10＿ 4 25 10
0.25× 100＝ ＿5＿ 0.25×100＝＿5＿
比较左右两边的等式，你发现了什么？
你能用字母表示你发现的规律吗？
性质 3： 如果 a≥0，b≥0，则有 a·b＝ ab。
2020/7/25
5
例 1 计算： （1） 6× 27 （2）﹙－3 5﹚×2 10
解：
（1） 6× 27＝ 6×27＝ 2×3×33 ＝ 2×34＝ 2× 34 ＝ 2×32＝9 2
（2）﹙－3 5﹚×2 10
＝﹙－3﹚× 5×2× 10
＝－6 5×10＝－6 52×2
＝－6× 52× 2＝－30 2
2020/7/25
6
（小组展示）
计算： ⑴ 28× 7
⑶ 2 27×(－3 3)
重点：理解二次根式的性质3 .
难点：灵活运用性质3进行有关计算.
2020/7/25
3
二次根式的定义：
形如 a﹙a≥0﹚的式子叫做二次根式。
二次根式的性质：
a ≥ 0；a ≥ 0﹙ a本身及被开方数a的 双重非负性﹚
( a)2＝a ﹙a ≥ 0﹚
a ﹙a ≥ 0﹚
a2＝ a ＝ －a ﹙a ≤ 0﹚
2022年华东师大版数学九上《二次根式的乘除2》精品课件
学习目标
1.利用菱形特有性质〔对角线互相垂直〕来判定平 行四边形是否为菱形；〔重点〕
2.菱形的性质与判定的综合运用.〔难点〕
导入新课
复习引入 问题：上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.定理：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分
1 26 5=____54 ___； 3 46 9=____76 ___．
归纳
一般地，二次根式的除法法那么
思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？
a= a bb
〔a≥0，b＞0〕
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开 方数.
典例精析
例1 计算：
1 40; 2 4 1.
5
3 12
解： (1)
∴ AB=AD=5 .
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交
AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四
边形ADCE是菱形.
A
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO〔ASA〕．
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：
注意:(1) 这里的被开方数是一个整式〔可以是多项式，也
可以是单项式〕.
(2) 注意被开方数的取值范围.
例2
化简：（1）
1 2
(要求分母不带根号)
（2） 1 (要求分母不带根号) 2+1
解：（1）
1 2
=
1• 2•
2 2
=
2 2
华东师大版九年级上册课件：21.2.3二次根式的除法(共28张PPT)
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3) 16ab22ca0,b0
(4)
0.09×169 0.64×196
（ 5）
2a a＋ b
（ 6） 2 y 2 4 xy
课堂练习
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3）a－1 •（
例3：指出下列各式中的最简二次根式
(1) b x
(2) 2ab3 (3) 0.3
(4) 0.5ab ( 6 ) 3 a (7) a2 b2
2
(8) x36x29x
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（
－ 1）
4
2
37
（ 2） 2a a＋ b
（ 3） 2 3 40
解：（
－ 1）
4
2 ＝－4
2•
7
＝ －4
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
(华师大版)九年级数学上册课件：21.2.2 二次根式的除
a b与 a b;a b c d与a b c d 等. （来自《点拨》）
知2－讲
例3 化简 1 , 使分母中不含二次根式，并且被开方 2
数中不含分母．
解： 1 2
1 2
12 22
2 22
2
2 .
22 2
这里，二次根式 1 , 的被开方数中含有分 2
母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分 母“配”成完全平方，再“开方”出来．
bb
分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母 同乘以a，再应用“ a a (a 0,b 0)”进行化简．
bb
解：
(1)
7 1
16 =
16 4 =.
9 9 93
(2) 1 2 2 . 32 64 8
知2－讲
(3) 方法一：
a
28 a3
a
28 a 2 7 2 7 2 7a .
计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计
算．
（来自《点拨》）
例1 计算：
(1) 15 ; 3
(2)
24 .
6
解： (1) 15 15 5. 33
(2) 24 24 4 2. 66
知1－讲
题(2)也可先将分子 化简为 2 6 从而容 易算得结果．
（来自教材》）
知1－讲
例2 计算：
（来自教材）
例4 将下列各式化简：
(1) 1 7 ; 9
(2) 1 ; 32
28 (3)a a3 .
知2－讲
导引： (1) 先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；
(2) 需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个
知2－讲
例3 化简 1 , 使分母中不含二次根式，并且被开方 2
数中不含分母．
解： 1 2
1 2
12 22
2 22
2
2 .
22 2
这里，二次根式 1 , 的被开方数中含有分 2
母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分 母“配”成完全平方，再“开方”出来．
bb
分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母 同乘以a，再应用“ a a (a 0,b 0)”进行化简．
bb
解：
(1)
7 1
16 =
16 4 =.
9 9 93
(2) 1 2 2 . 32 64 8
知2－讲
(3) 方法一：
a
28 a3
a
28 a 2 7 2 7 2 7a .
计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计
算．
（来自《点拨》）
例1 计算：
(1) 15 ; 3
(2)
24 .
6
解： (1) 15 15 5. 33
(2) 24 24 4 2. 66
知1－讲
题(2)也可先将分子 化简为 2 6 从而容 易算得结果．
（来自教材》）
知1－讲
例2 计算：
（来自教材）
例4 将下列各式化简：
(1) 1 7 ; 9
(2) 1 ; 32
28 (3)a a3 .
知2－讲
导引： (1) 先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；
(2) 需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个
华师大版数学九年级上册21.2 第2课时 二次根式的除法 课件(共19张PPT)
华师大版数学九年级上册21.2 第2课时二次根式的除法课件(共19张PPT)(共19张PPT)第21章二次根式21.2 二次根式的乘除第2课时二次根式的除法学习目标1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质;（重点）2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点）导入新课1.二次根式的两个基本性质:= a(a ≥ 0)=∣a∣a (a ≥ 0)-a (a＜0)=2.二次根式的乘法：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.3.二次根式乘法运算规律公式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.如何化简二次根式·= (a≥0，b≥0).二次根式的除法(2)(3)_______；_______；_______；_______；_______；_______．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？一般地，二次根式的除法法则（a≥0，b＞0）这就是说，两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根.概括归纳这里为什么要求a≥0，b＞0？a≥0 可以保证有意义，b＞0可以保证有意义且满足分母不等于0。
典例精析计算:(1) ;(2) ;===== 2商的算术平方根公式的逆用这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。
利用这个性质可以进行二次根式的化简.注意:(1) 这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也可以是单项式）.(2) 注意被开方数的取值范围.1.与积的算术平方根的性质比较：共同点：一个根号变成两个根号.区别：取值范围不同.商的算术平方根:2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：比较，得出结论典例精析化简,使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母。
解：=====.这里，二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来.化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式。
21.2.3 二次根式的除法(课件)九年级数学上册(华东师大版)
第21章 二次根式
21.2.3 二次根式的除法
华东师大版(2012)九年级上册数学
回顾知识
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
第21章 二次根式
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
针对练习
1 计算 （1） 14 7；
（2）3 5 2 10；
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
3 36 = __7_____ ， 49
2 4 = ____3___ ； 9
4 16 = ___5____ ； 25
6 36 = ___7____ . 49
猜想
（a≥0，b＞0）
第21章 二次根式
归纳知识 二次根式除法法则
（a≥0，b＞0） 两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根.
5.化简
(1) 0.09 169 0.64 196
(2) 1 32
(3) 2 7 9
(4) a
28 a3
（5）
81 25x2
(x
0)
;
解：(1)
0.09 169 0.64 196
0.313 39 . 0.814 112
(3) 2 7
9
25 5 ; 93
(4)
81 25 x2
9; 5x
(5)
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
第21章 二次根式
归纳知识 3.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 简记：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
21.2.3 二次根式的除法
华东师大版(2012)九年级上册数学
回顾知识
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
第21章 二次根式
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
针对练习
1 计算 （1） 14 7；
（2）3 5 2 10；
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
3 36 = __7_____ ， 49
2 4 = ____3___ ； 9
4 16 = ___5____ ； 25
6 36 = ___7____ . 49
猜想
（a≥0，b＞0）
第21章 二次根式
归纳知识 二次根式除法法则
（a≥0，b＞0） 两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根.
5.化简
(1) 0.09 169 0.64 196
(2) 1 32
(3) 2 7 9
(4) a
28 a3
（5）
81 25x2
(x
0)
;
解：(1)
0.09 169 0.64 196
0.313 39 . 0.814 112
(3) 2 7
9
25 5 ; 93
(4)
81 25 x2
9; 5x
(5)
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
第21章 二次根式
归纳知识 3.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 简记：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
华东师大版九年级数学上册《21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法》精品课件_1
课后作业
1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取. 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部
分.
2
2
(1). 3 6 (2).3 2 5 8 (3).5 x 3 x3 (4). 2 4 8
3x 15x
a 3ab
b3 a3aLeabharlann b2 xy 1 x
师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
一、情境导入，初步认识
计算
4 9 = 49 4 25 = 4 25 16 9 = 16 9
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何
用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们
的被开方数相乘.
例题1：计算
(1) 7 6(2) 1 32 2
解： 7 6 6 7 42
1 32 1 32 16 4
华师大版数学九年级上册2.3二次根式的除法同步课件
27 32 3 32 3 3 3 3 3
(3)
8
8
2a
4
a 2
a .
2a 2a 2a 2a a
常用的分母有理 化情势有： a, a b,a b,
m a n b,
(4)
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
2.
随堂演练
1. 使
x x2
x 成立的x的取值范围是（
x2
C）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
的除法的
逆运算
1 1 2
解：（方法二）
2
2
2
22 2
2 .
2
1 1 2
22
解：（方法二）
2
2
2
2 2 2 .
分数的基 本性质
二次根式 的定义
像 2 3, 2 这样的数，具有下面的特点：
2
（1）被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
（3）另外还要具备分母中不含二次根式．
我们把满足上述几个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例3 计算：(1) 3 ；
3
(2)
2；
5
27
(3) 8 ； (4) 3 + 2 .
2a
3- 2
解：(1) 3 3 5 15 15 .
5 5 5 （ 5）2 5
(2) 3 2 = 3 2 = 3 2 = 2 = 2 3 6 .
互逆
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
(3)
8
8
2a
4
a 2
a .
2a 2a 2a 2a a
常用的分母有理 化情势有： a, a b,a b,
m a n b,
(4)
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
2.
随堂演练
1. 使
x x2
x 成立的x的取值范围是（
x2
C）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
的除法的
逆运算
1 1 2
解：（方法二）
2
2
2
22 2
2 .
2
1 1 2
22
解：（方法二）
2
2
2
2 2 2 .
分数的基 本性质
二次根式 的定义
像 2 3, 2 这样的数，具有下面的特点：
2
（1）被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
（3）另外还要具备分母中不含二次根式．
我们把满足上述几个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例3 计算：(1) 3 ；
3
(2)
2；
5
27
(3) 8 ； (4) 3 + 2 .
2a
3- 2
解：(1) 3 3 5 15 15 .
5 5 5 （ 5）2 5
(2) 3 2 = 3 2 = 3 2 = 2 = 2 3 6 .
互逆
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
华师大版九年级数学上册《21.2目标二 二次根式的除法》课件
5 【2020·绥化】下列等式成立的是( D )
A. 16＝±4
3 B.
－8＝2
C．－a 1a＝ －a D．－ 64＝－8
6 【2019·山西】下列二次根式是最简二次根式的是( D )
A.
1 2
B.
12 7
C. 8
D. 3
7 【2020·济宁】下列各式是最简二次根式的是( A )
A. 13 B. 12 C. a3 D.
(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法．
解：(解法不唯一)∵ 10＝ 770＝ 770＝ba， ∴ 4.9＝ 4190＝ 4190××1100＝170 10＝170·ba＝170ba.
A．1
5 B.3
C．5
D．9，定义一种 新运算“⊕”如下：a⊕b＝ aa＋ －bb，如：3⊕2＝ 33＋ －22＝ 5， 那么 12⊕4＝_____2___．
4 若 1－a2a＝ 1a－a，则 a 的取值范围是( D ) A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0<a≤1
3 (2) 45÷2
13 5×2
5；
＝(1×23×32)× 45÷15×5＝ 45×5×5＝15 5.
(3)3
213×－18
1 15÷2
2 5.
＝(－3×18÷12)× 73×15÷25＝－34 7×52×5＝－185 14.
10 老师在讲解“二次根式及其性质”时，在黑板上写下了下面的
一题作为练习：
已知 7＝a， 70＝b，用含有 a，b 的代数式表示 4.9.
甲的解法： 4.9＝
4190＝
4190××1100＝
71×070＝
7× 10
70＝a1b0；