对偶理论与灵敏度分析
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对偶理论和灵敏度分析
设A中存在一可行基B，相应的变量X分成基变量 XB和非基变量XN，价格系数C也相应地分成CB和CN两 部分，A阵也分成B、N两部分，即
A ( B, N ), X ( X B , X N )T , C (CB , CN ) 这样 XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S XS X S
min w 300 y1 400 y2 250 y3 y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式：
其变量均具有非负约束 其约束条件当目标函数要求极大时取“≤”，当目 标函数求极小时均取“≥”
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y c 12 1 22 2 32 3 2 st. a13 y1 a23 y2 a33 y3＝c3 y1 0, y2无约束, y3 0
非对称形式的原－对偶问题
, 有x2 0 令x2 x2 x3 ，其中x3 0，x3 0。 令x3 x3
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a11 x1 a12 x2 a x a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 23 3 2 a23 x3 a23 x3 b2 st. a21 x1 a22 x2 a x a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3 33 3 0, x3 0, x3 0 x1 0, x2
A ( B, N ), X ( X B , X N )T , C (CB , CN ) 这样 XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S XS X S
min w 300 y1 400 y2 250 y3 y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式：
其变量均具有非负约束 其约束条件当目标函数要求极大时取“≤”，当目 标函数求极小时均取“≥”
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y c 12 1 22 2 32 3 2 st. a13 y1 a23 y2 a33 y3＝c3 y1 0, y2无约束, y3 0
非对称形式的原－对偶问题
, 有x2 0 令x2 x2 x3 ，其中x3 0，x3 0。 令x3 x3
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a11 x1 a12 x2 a x a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 23 3 2 a23 x3 a23 x3 b2 st. a21 x1 a22 x2 a x a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3 33 3 0, x3 0, x3 0 x1 0, x2
运筹学对偶理论与灵敏度分析
17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶理论与灵敏度分析
1 0 1 / 2 1 0
N 2 (2，0) (0，0，3) 0 1 0 / 4 0 (2， 3 / 4)
0 0 1 / 4 0 1
换入换变入量变x1量 x2
1 B21 (bB，11P(1b)， P200)
10 0
1 0 0
01 / 10
200181686
10/ 4 11122
设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：
max z CB X B C N X N 0X S BX B NX N IX s b XB 0 XN 0 Xs 0
max z C B X B C N X N X B B 1 NX N B 1 X s B 1b XB 0 XN 0 Xs 0
ω^ =Y^AX^+Y^XS 当Y^Xs=0，Ys X^=0时z ^=ω^，则X，Y^是最优解。 当 X，Y^是最优解时 z ^= ω^，则Y^Xs=0，Ys X^=0 19
例：已知线性规划问题
min z
2 x1
3 x2
5 x3
2 x4
3
xX5
* 1
(1,0,0,0,1)T
y1 y2
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 x46 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x7
max z CX
Y # AX # b
X #0
对偶问题（原问题）
min Yb
X # YA# C Y #0
例：min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
y1 x1 x2 3 x3 x4 5
y2
2
x1
2x3 x4 4
y3
x2 x3 x4 6
x1 0，x2，x3 ，x4无 约 束
对偶问题与灵敏度分析
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第三章 对偶理论及灵敏度分析
灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 = 400
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C B D
（斜率为0） x2 = 250
x1 + x2 = 300
（斜率为-1）
A
| E | | | 100 200 300 400
x1
对 偶 问 题
分析资源系数b的改变产生的影响
Max Z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 310 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1、 x 2 ≥ 0
上页 下页 返回
对 偶 问 题
► 问题：
上页 下页 返回
当这些系数中的一个或多个发生变化 时，原最优解会怎样变化？ 当这些系数在什么范围内变化时，原 最优解仍保持不变？ 若最优解发生变化，如何用最简单的 方法找到现行的最优解？
► 研究内容：
对 偶 问 题
研究线性规划中， aij , bi , c j 的 变化对最优解的影响。
上页 下页 返回
1
min w = 15 y + 24 y + 5 y
2
3
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润（ 利润（元） 0 6 1 2
Ⅱ 5 2 1 1
D 15时 时 24时 时 5时 时
对 偶 问 题
原 问 题
m z = 2x1 + x2 ax s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
设备A 设：设备A —— 设备B 设备B –––– 调试工序 ––––
y1元／时 y2元／时 y3元／时
付出的代价最小， 付出的代价最小， 且对方能接受。 且对方能接受。
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
第二章 对偶理论及灵敏度分析
2013-11-13 11
写对偶问题的练习（1）
min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 ≥ 6 -x1+2x2-3x3 = 12 2x1+x2+2x3 ≤ 8 x1+3x2-x3 ≥ 15 x1≥0 x2≤0 x3: Free
max y=6w1+12w2+8w3+15w4 s.t. 3w1- w2+2w3+ w4≤ 2 -w1+2w2+ w3+3w4 ≥ 4 2w1- 3w2+2w3- w4 = -1 w1 ≥ 0,w2Free 3 ≤ 0,w4 ≥ 0 ,w
2013-11-13 16
当B为最优基时，XB为最优解时，则有： CN-CBB-1N≤0 -CBB-1≤0
∵CB-CBI=0
代入得： CN－CBB-1N+CB-CBI≤0 C－CBB-1(B+N)≤0 整理得： C－CBB-1 A≤0 -CBB-1≤0
令CBB-1为单纯形乘子，Y‘＝CBB-1 则： Y’ A≥C’ C－Y’ A≤0 -Y’≤0 Y’ ≥0 W＝Y’b=CBB-1b=Z 所以当原问题为最优解时，对偶问题为可行解且具有相 2013-11-13 17 同的目标函数值。
2013-11-13
第一种产品 第二种产品
x1 x2
6
原始问题为 min z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3≥6
原始问题是极小化问题 原始问题的约束全为≥ 原始问题有3个变量，2个约束 原始问题的变量全部为非负
2x1-3x2+2x3≥9
x1, x2, x3≥0 根据定义，对偶问题为 max y=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≤2 2y1- 3y2≤3 y1+2y2≤-1 y1, y2≥0
写对偶问题的练习（1）
min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 ≥ 6 -x1+2x2-3x3 = 12 2x1+x2+2x3 ≤ 8 x1+3x2-x3 ≥ 15 x1≥0 x2≤0 x3: Free
max y=6w1+12w2+8w3+15w4 s.t. 3w1- w2+2w3+ w4≤ 2 -w1+2w2+ w3+3w4 ≥ 4 2w1- 3w2+2w3- w4 = -1 w1 ≥ 0,w2Free 3 ≤ 0,w4 ≥ 0 ,w
2013-11-13 16
当B为最优基时，XB为最优解时，则有： CN-CBB-1N≤0 -CBB-1≤0
∵CB-CBI=0
代入得： CN－CBB-1N+CB-CBI≤0 C－CBB-1(B+N)≤0 整理得： C－CBB-1 A≤0 -CBB-1≤0
令CBB-1为单纯形乘子，Y‘＝CBB-1 则： Y’ A≥C’ C－Y’ A≤0 -Y’≤0 Y’ ≥0 W＝Y’b=CBB-1b=Z 所以当原问题为最优解时，对偶问题为可行解且具有相 2013-11-13 17 同的目标函数值。
2013-11-13
第一种产品 第二种产品
x1 x2
6
原始问题为 min z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3≥6
原始问题是极小化问题 原始问题的约束全为≥ 原始问题有3个变量，2个约束 原始问题的变量全部为非负
2x1-3x2+2x3≥9
x1, x2, x3≥0 根据定义，对偶问题为 max y=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≤2 2y1- 3y2≤3 y1+2y2≤-1 y1, y2≥0
第08次课--第二章 对偶理论与灵敏度分析
24
第二节 改进单纯形法
则
B E
1
1
1 r0 s0
B
1
又已知 B 故只需求
E
1 r0 s0
考虑增广矩阵
( Er0s0 I )
国防科技大学
25
第二节 改进单纯形法
( Er0s0 I )
1 0 0 1 0 0 0 0
26
r i
1
0 0 0
0 0 0
, em
1 B 1 : Er B 1 0 s0
q : ir0 ; ir0 js0 ; js0 q
第二节 改进单纯形法
例 1.11 用改进单纯形法求解以下线性规划问题：
max Z 2 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 6 x1 2 x2
解：
16
国防科技大学
1
第二节 改进单纯形法
假设已对线性规划模型进行标准化
max Z CX AX b X 0
初始可行基 B 为单位阵，N 是非基变量的系数子矩阵，有:
系数矩阵：
A B, N mn
X B xi1 , xi2 ,
X N x j1 ,
基变量： 非基变量：
, xim
, an 0 ，计算 B b ai1 ,
T
1
, aim
T
xir air r 1, , m x a s 1, , n m 基可行解 X： j j s s
18
国防科技大学
第二节 改进单纯形法
（ 2 ） s 1, 其中
, n m ，计算 j C B B Pj C j ，
第二章对偶理论与灵敏度分析A4
第二章对偶理论与灵敏度分析A4第二章对偶理论与灵敏度分析本章内容重点：1、线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义；2、线性规划的对偶单纯形法；3、线性规划的灵敏度分析。
线性规划有一个有趣的特性，就是每一个LP问题都存在一个与之相应的LP问题，我们称其中任一个为原问题（记为LP），另一个为对偶问题（记为DP）。
线性规划的这个特性称为对偶性。
线性规划有一个有趣的特性，就是每一个LP问题都存在一个与之相应的LP问题，我们称其中任一个为原始问题（记为LP），另一个为对偶问题（记为DP）。
线性规划的这个特性称为对偶性。
研究线性规划的对偶问题，不仅可以获得许多原始问题的知识，还可以得到原始问题不易直接弄清楚的问题，从而有利于原始问题的求解。
在这一章中，我们将从经济意义上研究线性规划的对偶问题，揭示原问题与对偶问题之间的关系，间接地获得更多的有用的信息，为企业经营决策提供更多的科学依据。
§1 线性规划的对偶问题一、 LP对偶问题的提出例1某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备台时数，每件产品可获得的利润以及三种设备可利用的台时数如下表所示。
求获取利润最大的生产方案。
甲产品乙产品每天设备台时限制设备A0515设备B6224设备C115利润（万元/21吨）这个问题的数学模型与第一章例2类似，设x1, x2分别为产品甲、乙的计划日产量，则有：Max z = 2x1 + x2s.t. 5x2 ≤ 156x1 + 2x2 ≤ 24x1 + x2 ≤ 5x1 , x2 ≥ 0求解得每天最大利润8.5万元。
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。
假如有另一个企业要求租用该厂的设备A、B、C，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？一般来说，有两点需要考虑，一是该厂出租设备要合算；二是要价合理。
所谓合算，就是出租的收入不少于生产利润8.5万元。
而要价合理，就是在合算的前提下，租金要尽量低，这样才能吸引求租者。
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y 1 , y 2 , y 3 0
7
三、非对称LP问题的对偶问题
例3 写出下列LP问题的对偶问题
Max Z = x1+2x2+x3 x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2 x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
x1 -x2+x3 ≤ 1 x1 -x2+x3 ≥ 1
－2x1+x2’ －x3’+x3’’ ≤－2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Min W =2y1+y2 －y3－2y4
y1+y2 －y3－2y4 ≥ 1 －y1+y2 －y3 +y4 ≥-2 s.t. －y1+y2 －y3－y4 ≥ 1
y1 －y2+y3 +y4 ≥-1 y1, y2, y3, y4 ≥0
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3
s.t. y1+4y2 ≥2
2y1 +4y3 ≥3
y1 ,y2,y3 ≥0
5
（3）对偶问题的对偶是原问题
推导过程
Max Z=CX
( L ) s.t. AX≤b
X≥0
变
形
变形对偶 对偶 ( D )
x1 -x2+x3 ≤ 1 -x1 +x2-x3 ≤ - 1
-2x1-x2-x3 ≤ -2 Max Z = x1－2x2’ +x3’ －x3’’
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其 化为第一类对称形式
x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤ 2
x1+x2’+x3’ －x3’’ ≤ 1 s.t. －x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤－1
正常的对正常的，不正常的对不正常的
原问题约束条件是等式对应于对偶问题决策变 量无约束，反之亦然
10
例3 直接写出LP问题的对偶问题
MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x 2 0, x 3无 约 束
M in W 2 u 1u 22 u 3 u1u22u3 1
x1 x2 x3
2x1x2x3
1
2
x 1 0 x 2 0 x3无约束
12
对偶问题 原问题
原问题 对偶问题
目标函数 变量
Max z
n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件
Min w
n个 ≥ ≤ =
m个
约束条件
≥
≤
=
变量
m个 ≤0 ≥0 无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数变量的系数
约束条件右端项
13
第二节 LP问题的对偶理论
定理1(弱对偶定理): 极大化原问题目标函数值总是不 大于其对偶问题的目标函数值。
若X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则有CX(0)≤Y(0)b
证明：max z=CX;AX≤b;X≥0……(L)
min w=Yb;YA≥C;Y≥0……(D)
由于X(0)是(L)的可行解，有AX(0)≤b, X(0)≥0.
－2x1+x2’ －x3’+x3’’ ≤－2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
8
y1-y2+y3 -y4 ≤ 2
上述第一类对称形式LP问题的对偶问题为：
Max Z = x1－2x2’ +x3’ －x3’’ x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤ 2
x1+x2’+x3’ －x3’’ ≤ 1 s.t. x1 －x2’ －x3’+x3’’ ≤－1
ST
:
u1 u2 u3
u1u2u3
2
1
u1 0，u2无约束，u 3 0
11
MinW 2u1 u2 2u3
u1 u2 2u3
ST
:
u1 u2 u3 u1 u2 u3
u1 0, u2无约束, u3
1 2 1 0
M axZx12x2x3
x1 x2 x3 2
ST
:
对于max ，约束为“” ；
对于min，约束为“”
第二类对称形式
M in W Y b
YA C
S .T .
Y
0
（2）对称LP问题的对偶问题
M axZ CX
(L )
(D )
AX b
S .T .
X
0
M in W Y b
YA C
S .T .
Y
0
4
例1 写出下列LP问题的对偶问题
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
(L)
x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2
(D)
x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
u1+u2+2u3 ≥1
s.t. u1 -u2+ u3 ≤2
-u1+u2+ u3 =1 u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
对偶关系：一个问题第i个变量的约束情况决定另一问题 第i个约束不等式的方向，反之亦然。
3 x1 3 x2 4 x3 7
ST
:
4 x1 x2 x3 8 x1 x2 x3 1
x 1 , x 2 , x 3 0
M axZ 7 y1 8 y2 y3
解: 上述LP问题的 对偶问题为：
3 y1 4 y2 y3 3
ST
:
3 y1 4 y1
y2 y2
y3 4 y3 0
令
u1= y1 u2=y2－y3 u3=－y4
则上述问 题变为：
Min s.t.
W =2u1+u2+2u3
u1+u2+2u3 ≥1 u1 －u2+ u3 ≤2 －u1+u2+ u3 =1
-y1+y2 -y3 -y4 ≤ 1
u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
9
Max Z = x1+2x2+x3
Min W =2u1+u2+2u3
Min W=Yb
s.t. YA≥C
Y≥0
变
形
Min Z ’= (-C)X
( D D ) s.t. (-A)X≥ (-b)
X≥0
Max W ’= Y(-b)
Max W ’= -Yb
s.t. -YA≤ -C
Y≥0
s.t. Y(-A)≤ (-C)
Y≥0
6
例2 写出下列LP问题的对偶问题
M inW 3 x1 4 x2
第二章 线性规划的对偶理论
窗
含
西
岭 本章主要内容：
千
秋 • 线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义
雪
， • 线性规划的对偶单纯形法
门
泊 东
• 线性规划的灵敏度分析
吴
万
里
船
1
二、对偶问题
（1）对称P问题的定义
第一类对称形式
M axZ CX
AX b
S .T .
X
0
（1）变量为非负； （2）约束条件为不等式。