勾股定理专题训练
勾股定理例题单选题100道及答案解析
勾股定理例题单选题100道及答案解析1. 在直角三角形中,两直角边分别为3 和4,则斜边的长度为()A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A解析:根据勾股定理,斜边的平方等于两直角边的平方和,即斜边= √(3²+ 4²) = 52. 一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8,那么斜边上的高为()A. 4.8B. 5C. 6D. 8答案:A解析:先求出斜边为√(6²+ 8²) = 10,三角形面积= 0.5×6×8 = 0.5×10×斜边上的高,解得斜边上的高为4.83. 若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x 的值可能有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个答案:B解析:当4 为斜边时,x = √(4²- 2²) = 2√3;当x 为斜边时,x = √(2²+ 4²) = 2√5,所以x 的值有2 个4. 已知直角三角形的两直角边长分别为5 和12,则斜边长为()A. 13B. 14C. 15D. 16答案:A解析:斜边长= √(5²+ 12²) = 135. 直角三角形的一条直角边为9,另一条直角边为12,则斜边的长为()A. 15B. 16C. 17D. 18答案:A解析:斜边= √(9²+ 12²) = 156. 一个直角三角形的斜边为10,一条直角边为6,则另一条直角边为()A. 8B. 9C. 11D. 12答案:A解析:另一条直角边= √(10²- 6²) = 87. 若直角三角形的周长为12,斜边长为5,则其面积为()A. 12B. 10C. 8D. 6答案:D解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 5 = 12,a + b = 7,(a + b)²= 49,即a²+ 2ab + b²= 49,又因为a²+ b²= 25,所以2ab = 24,面积= 0.5ab = 68. 直角三角形的两直角边分别为6 和8,则斜边上的中线长为()A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A解析:斜边= 10,斜边上的中线长为斜边的一半,即 59. 在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 13,AC = 12,则BC 的长为()A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A解析:BC = √(13²- 12²) = 510. 若一个直角三角形的两条边长分别为3 和5,则第三条边长为()A. 4B. √34C. 4 或√34D. 无法确定答案:C解析:当5 为斜边时,第三条边= √(5²- 3²) = 4;当 3 和5 为直角边时,第三条边= √(3²+ 5²) = √3411. 已知直角三角形的两边长分别为3 和4,则第三边长为()A. 5B. √7C. 5 或√7D. 不确定答案:C解析:当4 为斜边时,第三边= √(4²- 3²) = √7;当 3 和4 为直角边时,第三边= √(3²+ 4²) = 512. 一个直角三角形的两条直角边分别为15 和20,那么这个三角形的周长是()A. 60B. 75C. 80D. 85答案:D解析:斜边= √(15²+ 20²) = 25,周长= 15 + 20 + 25 = 6013. 直角三角形的一条直角边为12,斜边为13,则另一条直角边为()A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A解析:另一条直角边= √(13²- 12²) = 514. 若直角三角形的斜边长为25,一条直角边长为7,则另一条直角边长为()A. 24B. 26C. 27D. 28答案:A解析:另一条直角边= √(25²- 7²) = 2415. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 5,b = 12,则c = ()A. 13B. 14C. 15D. 16答案:A解析:c = √(5²+ 12²) = 1316. 一个直角三角形的两条直角边分别为8cm 和15cm,则斜边为()A. 17cmB. 18cmC. 19cmD. 20cm答案:A解析:斜边= √(8²+ 15²) = 17cm17. 若直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则其面积为()A. 30cm²B. 60cm²C. 90cm²D. 120cm²答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 13 = 30,a + b = 17,(a + b)²= 289,即a²+ 2ab + b²= 289,又因为a²+ b²= 13²= 169,所以2ab = 120,面积= 0.5ab = 30cm²18. 直角三角形的一条直角边长为11,另一条直角边长为60,则斜边的长为()A. 61B. 62C. 63D. 64答案:A解析:斜边= √(11²+ 60²) = 6119. 在直角三角形中,两直角边分别为5 和12,那么斜边上的中线长为()A. 6.5B. 7.5C. 8.5D. 9.5答案:A解析:斜边= 13,斜边上的中线长为6.520. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8,那么这个直角三角形斜边上的高为()A. 4.8B. 5C. 6D. 8答案:A解析:斜边= 10,三角形面积= 0.5×6×8 = 0.5×10×斜边上的高,解得斜边上的高为 4.821. 直角三角形的两直角边分别为9 和12,则此直角三角形的周长为()A. 21B. 30C. 36D. 42答案:C解析:斜边= √(9²+ 12²) = 15,周长= 9 + 12 + 15 = 3622. 若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm,则斜边上的高为()A. 2.4cmB. 2.5cmC. 2.6cmD. 2.7cm答案:A解析:斜边= 5cm,三角形面积= 0.5×3×4 = 0.5×5×斜边上的高,解得斜边上的高为2.4cm23. 一个直角三角形的两条直角边分别为7和24,则斜边为()A. 25B. 26C. 27D. 28答案:A解析:斜边= √(7²+ 24²) = 2524. 直角三角形的一条直角边为5,斜边为13,则另一条直角边为()A. 12B. 13C. 14D. 15答案:A解析:另一条直角边= √(13²- 5²) = 1225. 在△ABC 中,∠C = 90°,BC = 6,AC = 8,则AB 的长为()A. 9B. 10C. 11D. 12答案:B解析:AB = √(6²+ 8²) = 1026. 若直角三角形的三边长分别为5,12,x,则x 的值可能是()A. 13B. 14C. 15D. 17答案:A解析:当x 为斜边时,x = √(5²+ 12²) = 13;当12 为斜边时,x = √(12²- 5²) = √119,因为选项中只有13,所以x = 1327. 一个直角三角形的两条直角边分别为18和24,则这个三角形的周长为()A. 60B. 72C. 84D. 96答案:C解析:斜边= √(18²+ 24²) = 30,周长= 18 + 24 + 30 = 7228. 直角三角形的一条直角边为16,斜边为20,则另一条直角边为()A. 12B. 13C. 14D. 15答案:A解析:另一条直角边= √(20²- 16²) = 1229. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 8,b = 15,则c = ()A. 17B. 18C. 19D. 20答案:A解析:c = √(8²+ 15²) = 1730. 已知直角三角形的两边长分别为5和13,则第三边长为()A. 12B. √194C. 12 或√194D. 不能确定答案:C解析:当13 为斜边时,第三边= √(13²- 5²) = 12;当 5 和13 为直角边时,第三边= √(5²+ 13²) = √19431. 一个直角三角形的两条直角边分别为10和24,则斜边为()A. 25B. 26C. 27D. 28答案:B解析:斜边= √(10²+ 24²) = 2632. 若直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为()A. 24B. 36C. 48D. 96答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 10 = 24,a + b = 14,(a + b)²= 196,即a²+ 2ab + b²= 196,又因为a²+ b²= 100,所以2ab = 96,面积= 0.5ab = 2433. 直角三角形的一条直角边长为7,斜边为25,则另一条直角边为()A. 24B. 26C. 27D. 28答案:A解析:另一条直角边= √(25²- 7²) = 2434. 在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 17,AC = 15,则BC 的长为()A. 8B. 9C. 10D. 11答案:A解析:BC = √(17²- 15²) = 835. 若一个直角三角形的两条边长分别为8和15,则第三条边长为()A. 17B. √161C. 17 或√161D. 无法确定答案:C解析:当15 为斜边时,第三条边= √(15²- 8²) = √161;当8 和15 为直角边时,第三条边= √(8²+ 15²) = 1736. 已知直角三角形的两边长分别为8和10,则第三边长为()A. 6B. 2√41C. 6 或2√41D. 不确定答案:C解析:当10 为斜边时,第三边= √(10²- 8²) = 6;当8 和10 为直角边时,第三边= √(8²+ 10²) = 2√4137. 一个直角三角形的两条直角边分别为20和21,则这个三角形的周长是()A. 60B. 61C. 62D. 63答案:D解析:斜边= √(20²+ 21²) = 29,周长= 20 + 21 + 29 = 7038. 直角三角形的一条直角边为24,斜边为25,则另一条直角边为()A. 7B. 8C. 9D. 10答案:A解析:另一条直角边= √(25²- 24²) = 739. 若直角三角形的斜边长为37,一条直角边长为12,则另一条直角边长为()A. 35B. 36C. 37D. 38答案:A解析:另一条直角边= √(37²- 12²) = 3540. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 12,b = 16,则c = ()答案:A解析:c = √(12²+ 16²) = 2041. 一个直角三角形的两条直角边分别为12cm 和16cm,则斜边为()A. 20cmB. 21cmC. 22cmD. 23cm答案:A解析:斜边= √(12²+ 16²) = 20cm42. 若直角三角形的周长为36cm,斜边长为15cm,则其面积为()A. 54cm²B. 60cm²C. 72cm²D. 81cm²答案:A解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 15 = 36,a + b = 21,(a + b)²= 441,即a²+ 2ab + b²= 441,又因为a²+ b²= 15²= 225,所以2ab = 216,面积= 0.5ab = 54cm²43. 直角三角形的一条直角边长为18,另一条直角边长为24,则斜边的长为()A. 30B. 32C. 34D. 36答案:A解析:斜边= √(18²+ 24²) = 3044. 在直角三角形中,两直角边分别为7和24,那么斜边上的中线长为()A. 12.5B. 13C. 13.5D. 14答案:A解析:斜边= 25,斜边上的中线长为斜边的一半,即12.545. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为9和12,那么这个直角三角形斜边上的高为()A. 7.2B. 7.5C. 7.8D. 8答案:A解析:斜边= 15,三角形面积= 0.5×9×12 = 0.5×15×斜边上的高,解得斜边上的高为7.246. 直角三角形的两直角边分别为15和20,则此直角三角形的周长为()A. 60B. 70C. 80D. 90答案:B解析:斜边= 25,周长= 15 + 20 + 25 = 6047. 若直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm,则斜边上的高为()A. 6cmB. 8cmC. 60/13 cmD. 120/13 cm答案:C解析:斜边= 13cm,三角形面积= 0.5×5×12 = 0.5×13×斜边上的高,解得斜边上的高为60/13 cm48. 一个直角三角形的两条直角边分别为25和60,则斜边为()A. 65B. 70C. 75D. 80答案:A解析:斜边= √(25²+ 60²) = 6549. 直角三角形的一条直角边为36,斜边为39,则另一条直角边为()A. 15B. 16C. 17D. 18答案:A解析:另一条直角边= √(39²- 36²) = 1550. 在△ABC 中,∠C = 90°,BC = 8,AC = 15,则AB 的长为()答案:B解析:AB = √(8²+ 15²) = 1751. 若直角三角形的三边长分别为8,15,x,则x 的值可能是()A. 17B. 18C. 19D. 20答案:A解析:当x 为斜边时,x = √(8²+ 15²) = 17;当15 为斜边时,x = √(15²- 8²) = √161,因为选项中只有17,所以x = 1752. 一个直角三角形的两条直角边分别为30和40,则这个三角形的周长为()A. 90B. 100C. 110D. 120答案:D解析:斜边= 50,周长= 30 + 40 + 50 = 12053. 直角三角形的一条直角边长为48,斜边为50,则另一条直角边为()A. 14B. 16C. 18D. 20答案:A解析:另一条直角边= √(50²- 48²) = 1454. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 10,b = 24,则c = ()A. 25B. 26C. 27D. 28答案:B解析:c = √(10²+ 24²) = 2655. 已知直角三角形的两边长分别为12和16,则第三边长为()A. 20B. 4√7C. 20 或4√7D. 不能确定答案:C解析:当16 为斜边时,第三边= √(16²- 12²) = 4√7;当12 和16 为直角边时,第三边= √(12²+ 16²) = 2056. 一个直角三角形的两条直角边分别为40和41,则斜边为()A. 58B. 59C. 60D. 61答案:D解析:斜边= √(40²+ 41²) = 6157. 若直角三角形的周长为48,斜边长为20,则其面积为()A. 48B. 96C. 192D. 384答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 20 = 48,a + b = 28,(a + b)²= 784,即a²+ 2ab + b²= 784,又因为a²+ b²= 20²= 400,所以2ab = 384,面积= 0.5ab = 9658. 直角三角形的一条直角边为50,斜边为52,则另一条直角边为()A. 16B. 18C. 20D. 22答案:A解析:另一条直角边= √(52²- 50²) = 1659. 在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 29,AC = 21,则BC 的长为()A. 20B. 22C. 24D. 26答案:A解析:BC = √(29²- 21²) = 2060. 若一个直角三角形的两条边长分别为10和26,则第三条边长为()A. 24B. 2√69C. 24 或2√69D. 无法确定答案:C解析:当26 为斜边时,第三条边= √(26²- 10²) = 24;当10 和26 为直角边时,第三条边= √(10²+ 26²) = 2√6961. 已知直角三角形的两边长分别为14和16,则第三边长为()A. 2√51B. 2√65C. 2√51 或2√65D. 不确定答案:C解析:当16 为斜边时,第三边= √(16²- 14²) = 2√51;当14 和16 为直角边时,第三边= √(14²+ 16²) = 2√6562. 一个直角三角形的两条直角边分别为55和73,则斜边为()A. 90B. 92C. 94D. 96答案:A解析:斜边= √(55²+ 73²) = 9063. 若直角三角形的周长为56,斜边长为25,则其面积为()A. 84B. 96C. 108D. 120答案:A解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 25 = 56,a + b = 31,(a + b)²= 961,即a²+ 2ab + b²= 961,又因为a²+ b²= 25²= 625,所以2ab = 336,面积= 0.5ab = 8464. 直角三角形的一条直角边为65,斜边为68,则另一条直角边为()A. 21B. 23C. 25D. 27答案:A解析:另一条直角边= √(68²- 65²) = 2165. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 18,b = 24,则c = ()A. 30B. 32C. 34D. 36答案:A解析:c = √(18²+ 24²) = 3066. 一个直角三角形的两条直角边分别为18cm和24cm,则斜边为()A. 30cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm答案:A解析:斜边= √(18²+ 24²) = 30cm67. 若直角三角形的周长为40cm,斜边长为17cm,则其面积为()A. 30cm²B. 60cm²C. 90cm²D. 120cm²答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 17 = 40,a + b = 23,(a + b)²= 529,即a²+ 2ab + b²= 529,又因为a²+ b²= 17²= 289,所以2ab = 240,面积= 0.5ab = 60cm²68. 直角三角形的一条直角边长为32,另一条直角边长为24,则斜边的长为()A. 40B. 42C. 44D. 46答案:A解析:斜边= √(32²+ 24²) = 4069. 在直角三角形中,两直角边分别为11和60,则斜边上的中线长为()A. 30.5B. 31C. 31.5D. 32答案:C解析:斜边= 61,斜边上的中线长为30.570. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为13和14,那么这个直角三角形斜边上的高为()A. 12B. 12.5C. 120/13D. 130/14答案:C解析:斜边= √(13²+ 14²) = √365,三角形面积= 0.5×13×14 = 0.5×√365×斜边上的高,解得斜边上的高为120/1371. 直角三角形的两直角边分别为21和28,则此直角三角形的周长为()A. 77B. 80C. 84D. 88答案:A解析:斜边= 35,周长= 21 + 28 + 35 = 8472. 若直角三角形的两直角边长分别为7cm和24cm,则斜边上的高为()A. 72/25 cmB. 84/25 cmC. 168/25 cmD. 252/25 cm答案:B解析:斜边= 25cm,三角形面积= 0.5×7×24 = 0.5×25×斜边上的高,解得斜边上的高为84/25 cm73. 一个直角三角形的两条直角边分别为75和100,则斜边为()A. 125B. 130C. 135D. 140答案:A解析:斜边= √(75²+ 100²) = 12574. 直角三角形的一条直角边为80,斜边为89,则另一条直角边为()A. 39B. 41C. 43D. 45答案:A解析:另一条直角边= √(89²- 80²) = 3975. 在△ABC 中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB 的长为()A. 13B. 14C. 15D. 16答案:C解析:AB = √(12²+ 9²) = 1576. 若直角三角形的三边长分别为15,20,x,则x 的值可能是()A. 25B. 26C. 27D. 28答案:A解析:当x 为斜边时,x = √(15²+ 20²) = 25;当20 为斜边时,x = √(20²- 15²) = 5√7,因为选项中只有25,所以x = 2577. 一个直角三角形的两条直角边分别为84和13,则斜边为()A. 85B. 86C. 87D. 88答案:A解析:斜边= √(84²+ 13²) = 8578. 若直角三角形的周长为60,斜边长为26,则其面积为()A. 72B. 96C. 108D. 120答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 26 = 60,a + b = 34,(a + b)²= 1156,即a²+ 2ab + b²= 1156,又因为a²+ b²= 26²= 676,所以2ab = 480,面积= 0.5ab = 12079. 直角三角形的一条直角边为96,斜边为100,则另一条直角边为()A. 28B. 32C. 36D. 40答案:B解析:另一条直角边= √(100²- 96²) = 3280. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 20,b = 21,则c = ()A. 29B. 30C. 31D. 32答案:A解析:c = √(20²+ 21²) = 2981. 已知直角三角形的两边长分别为20 和25,则第三边长为()A. 15B. 5√41C. 15 或5√41D. 不确定答案:C解析:当25 为斜边时,第三边= √(25²- 20²) = 15;当20 和25 为直角边时,第三边= √(20²+ 25²) = 5√4182. 一个直角三角形的两条直角边分别为63 和16,则斜边为()A. 65B. 67C. 69D. 71答案:A解析:斜边= √(63²+ 16²) = 6583. 若直角三角形的周长为70,斜边长为29,则其面积为()A. 120B. 130C. 140D. 150答案:A解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 29 = 70,a + b = 41,(a + b)²= 1681,即a²+ 2ab + b²= 1681,又因为a²+ b²= 29²= 841,所以2ab = 840,面积= 0.5ab = 21084. 直角三角形的一条直角边为72,斜边为75,则另一条直角边为()A. 27B. 29C. 31D. 33答案:A解析:另一条直角边= √(75²- 72²) = 2785. 在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 37,AC = 35,则BC 的长为()A. 12B. 14C. 16D. 18答案:A解析:BC = √(37²- 35²) = 1286. 若一个直角三角形的两条边长分别为18 和32,则第三条边长为()A. 38B. 14√2C. 38 或14√2D. 无法确定答案:C解析:当32 为斜边时,第三条边= √(32²- 18²) = 14√2;当18 和32 为直角边时,第三条边= √(18²+ 32²) = 3887. 已知直角三角形的两边长分别为9 和11,则第三边长为()A. √22B. √40C. √22 或√202D. 不确定答案:C解析:当11 为斜边时,第三边= √(11²- 9²) = √22;当9 和11 为直角边时,第三边= √(9²+ 11²) = √20288. 一个直角三角形的两条直角边分别为45和28,则斜边为()A. 53B. 55C. 57D. 59答案:A解析:斜边= √(45²+ 28²) = 5389. 若直角三角形的周长为66,斜边长为26,则其面积为()A. 96B. 108C. 112D. 120答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 26 = 66,a + b = 40,(a + b)²= 1600,即a²+ 2ab + b²= 1600,又因为a²+ b²= 26²= 676,所以2ab = 924,面积= 0.5ab = 11290. 直角三角形的一条直角边为108,斜边为110,则另一条直角边为()A. 32B. 34C. 36D. 38答案:D解析:另一条直角边= √(110²- 108²) = 3891. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 30,b = 40,则c = ()A. 50B. 60C. 70D. 80答案:A解析:c = √(30²+ 40²) = 5092. 一个直角三角形的两条直角边分别为36cm 和48cm,则斜边为()A. 60cmB. 62cmC. 64cmD. 66cm答案:A解析:斜边= √(36²+ 48²) = 60cm93. 若直角三角形的周长为56cm,斜边长为20cm,则其面积为()A. 96cm²B. 112cm²C. 128cm²D. 144cm²答案:A解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 20 = 56,a + b = 36,(a + b)²= 1296,即a²+ 2ab + b²= 1296,又因为a²+ b²= 20²= 400,所以2ab = 896,面积= 0.5ab = 96cm²94. 直角三角形的一条直角边为78,斜边为85,则另一条直角边为()A. 37B. 39C. 41D. 43答案:B解析:另一条直角边= √(85²- 78²) = 3995. 在△ABC 中,∠C = 90°,BC = 16,AC = 30,则AB 的长为()A. 34B. 36C. 38D. 40答案:A解析:AB = √(16²+ 30²) = 3496. 若直角三角形的三边长分别为24,10,x,则x 的值可能是()A. 26B. 22C. 26 或22D. 不能确定答案:C解析:当x 为斜边时,x = √(24²+ 10²) = 26;当24 为斜边时,x = √(24²- 10²) = 2297. 一个直角三角形的两条直角边分别为90和120,则斜边为()A. 150B. 160C. 170D. 180答案:A解析:斜边= √(90²+ 120²) = 15098. 若直角三角形的周长为84,斜边长为37,则其面积为()A. 120B. 126C. 132D. 138答案:B解析:设两直角边分别为a、b,a + b + 37 = 84,a + b = 47,(a + b)²= 2209,即a²+ 2ab + b²= 2209,又因为a²+ b²= 37²= 1369,所以2ab = 840,面积= 0.5ab = 12699. 直角三角形的一条直角边为132,斜边为137,则另一条直角边为()A. 45B. 47C. 49D. 51答案:A解析:另一条直角边= √(137²- 132²) = 45100. 在Rt△ABC 中,∠C = 90°,若a = 48,b = 55,则c = ()A. 73 B. 75 C. 77 D. 79答案:A解析:c = √(48²+ 55²) = 73。
勾股定理典型模型归纳训练
1 / 3勾股定理【知识梳理】 1.勾股定理:股勾b a2.勾股定理的证明:方法一:以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形方法二:做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像下图那样拼成两个正方形.方法三:以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形3.基本训练:(1)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求AB 的长.(2)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=1,BC=2,求AB 的长.(3)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=1,BC=3,求AB 的长.(4)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=6,AB=10,求BC 的长.(5)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=12,AB=13,求BC 的长.3.常见的勾股数:【探究】与勾股定理相关的问题探究1.已知直角三角形的两边求第三边,或已知直角三角形的两边比和一边长求两边. (1)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,求BC 的长.(2)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC :BC=3:4,AB=10,求AC 、BC 的长.2.求直角三角形斜边上的高. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,AC=3,BC=4,求CD 的长.3.求直角三角形三边的中线的长.(1)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,E 是BC 的中点,求AE 的长.(2)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AB=5,E 是AC 的中点,求BE 的长.(3)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,F 是AB 的中点,求CF的长.4.求直角三角形角平分线的长.(1)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,AD平分∠CAB,求CD和AD的长.(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,BD平分∠ABC,求CD和BD的长.5.含特殊角的直角三角形(1)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=1,求AB和BC的长.(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=2,求AC和BC的长.(3)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=3,求AC和AB的长.(4)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,BC=2,求AC和AB的长.(5)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AB=2,求AC和BC的长.6.等边三角形与直角三角形如图,△ABC是等边三角形,AB=6,AD⊥BC,求AD的长和△ABC的面积.7.含120°角的等腰三角形与直角三角形(1)如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB=3,AD⊥BC,求AD、BC的长和△ABC的面积.(2)如图,AB=AC,∠BAC=120°,BC=6,AD⊥BC,求AD、AB的长和△ABC的面积.8.等腰三角形与直角三角形(1)如图,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,求AD的长和△ABC的面积.(2)如图,AB=AC=5,BC=8,AD⊥BC,求AD的长和△ABC的面积.9.含特殊角的三角形与直角三角形(1)如图,AB=2,BC=3,求AC的长和△ABC的面积.DB CDBB2 / 33 / 360°ABC(2)如图,AB=1,BC=2,求AC 的长和△ABC 的面积.120°ABC10.折叠与直角三角形(1如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,沿AD 折叠,使点C 落在斜边AB 上,若AC=3,BC=4,则CD= .DCAB第(1)题 第(2)题 第(3)题 第(4)题 第(5)题(2))如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6cm ,AC=8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′点,那么△ADC ′的面积是 .(3)如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC =6 cm 、BC =8 cm ,现将△ABC 折叠,使点B 与点A重合,折痕为DE ,则DE 的长为 .(4)如图.在Rt △ABC 中,∠A=30°,DE 垂直平分斜边AC ,交AB 于D ,E 式垂足,连接CD ,若BD=1,则AC 的长是 .(5)如图所示,已知在三角形纸片ABC 中,BC =3, AB =6,∠BCA =90°,在AC 上取一点E ,以BE为折痕,使AB 的一部分与BC 重合,A 与BC 延长线上的点D 重合,则DE 的长度为 . (6)如图,矩形ABCD 中,点E 在边AB 上,将矩形ABCD 沿直线DE 折叠,点A 恰好落在边BC 的点F处.若AE=5,BF=3,则CD 的长是 .第(6)题 第(7)题 第(8)题 第(9)题 (7)如图,矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠,使点D 落在BC 上的F 处,已知AB=6,△ABF 的面积是24,则FC 等于 .(8)如图所示,矩形纸片ABCD 中,6AB cm =,8BC cm =,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,则AF 长为 .(9)如图,将长8cm ,宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠,使点A 与C 重合,则折痕EF 的长为_____cm. (10)把一张矩形纸片(矩形ABCD )按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF .若AB = 3 cm ,BC = 5 cm ,则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2.(11)如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC=3,则折痕CE 的长为 .第(10)题 第(11)题 第(12)题 第(13)题(12)如图,矩形纸片ABCD 中,已知AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且EF=3,则AB 的长为 .(13)如图,从点()02A ,发出的一束光,经x 轴反射,过点()43B ,,则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 .(14)矩形纸片ABCD 的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积为_____________.。
《勾股定理》数学专题训练(完整版)
《勾股定理》专题训练一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。
公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:(3,4,5)(5,12,13) (6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是()A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
5、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、,则+++=_____________。
《勾股定理》专项训练练习
60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )A .2,3,4B .3,4,6C .5,12,13D .4,6,7 2、在△ABC 中,∠C=90°,周长为60,斜边与一直角边比是13:5,•则这个三角形三边长分别是( )A .5,4,3 B .13,12,5 C .10,8,6 D .26,24,10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ,那么△ABC 的面积为( ). A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )A .a :b :c=8∶16∶17B . a 2-b 2=c 2C .a 2=(b+c)(b-c)D . a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( ) A .121 B .120 C .90 D .不能确定7、放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为( ) A .600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P 到各边的距离相等,则这个距离是( )A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中,AB=12cm , BC=16cm , AC=20cm , 则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图,水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ,现由水厂A 和B 、C 两厂供水,要在A 、B 、C 间铺设输水管道,有如下四种设计方案,(图中实线为铺设管道路线),•其中最合理的方案是( )11、在△ABC 中,∠C=90°, AB =5,则2AB +2AC +2BC =_______.12、如图,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米.13、如图所示,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm )计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .14、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14,c=10,则Rt △ABC 的面积是_____15、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米,梯子的顶端B 到地面的距离为7米.现将梯子的底端A 向外移动到A ’,使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米,同时梯子的顶端 B 下降至 B ’,那么 BB ’的值: ①等于1米;②大于1米5;③小于1米.其中正确结论的序号是 .16、如图,将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米?18、如图,铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄,若DA =10km ,CB =15km ,DA ⊥AB 于A ,CB ⊥AB 于B ,现要在AB 上建一个中转站E ,使得C 、D 两村到E 站的距离相等.(1)求E 应建在距A 多远处? (2)DE 和EC 垂直吗?试说明理由19、如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ,垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图 第13题图 第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,如图2,测得BD长为0.5米,求梯子顶端A下落了多少米.2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至B′,那么BB①等于1米;②大于1米;③小于1米.其中正确结论的序号是________.(要求写出过程)二、勾股定理中的数学思想1、面积法.已知△ABC中,∠ACB=90°,AB=5㎝.BC=3㎝,CD⊥AB于点D,求CD的长.2、构造法.如图,已知△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=4,AC=22.求△ABC的面积.3、转化思想.如图3,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.求四边形ABCD的面积.4、分类讨论思想.已知Rt△ABC中,其中两边的长分别是3,5,求第三边的长.5、方程思想.如图4,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,CA=13,求BC边上的高AD.6、逆向思维的方法如图1,在△ABC中,D为BC边上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,那么DC=_____.图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且30QPN ∠=︒,点A 处有一所中学,AP =160m 。
八年级勾股定理练习题
勾股定理练习题:练习一:(基础)1.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__12_.2.一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是__240_.3.已知a ,b ,c 为△三边,且满足(a 2-b 2)(a 22-c 2)=0,则它的形状为( D )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.如图,一圆柱高8,底面半径2,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( B ).(A )20 (B )10 (C )14 (D )无法确定5. 在△中,斜边2,则2+2+28.6.△一直角边的长为11,另两边为自然数,则△的周长为( C )A 、121B 、120C 、132D 、不能确定7.如图,正方形网格中的△,若小方格边长为1,则△是 (A )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8.如果△的两直角边长分别为n 2-1,2n (n >1),则它的斜边长是( D )A 、2nB 、1C 、n 2-1D 、n 2+1ABC9.在△中,,90︒=∠C 若,7=+b a △的面积等于6,则边长 5 10.如图△中,BC BM AC AN BC AC ACB ====︒=∠,,5,12,90则 611.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 1012.若△是直角三角形,两直角边都是6,在三角形斜边上有一点P ,到两直角边的距离相等,则这个距离等于 313.如图,一个牧童在小河的南4的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8北7处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?1714、有一个直角三角形纸片,两直角边68,现将直角边沿∠的角平分线折叠,使它落在斜边上,且与重合,你能求出的长吗?3AB 小河北牧童 小屋AEC DB15.校园里有一块三角形空地,现准备在这块空地上种植草皮以美化环境,已经测量出它的三边长分别是13、14、15米,若这种草皮每平方米售价120元,则购买这种草皮至少需要支出多少?因为高相等,底边15上的一条直角边长为X 1322=142-(15)26.6高为 132-6.62=11.2211.2 15*11.2*0.5=84 84*120=1008016、如图,在△中,∠ 90,6,把△进行折叠,使点A 与点D 重合,1:2,折痕为,点E 在上,点F 在上,求的长。
完整版)勾股定理培优专项练习
完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练(根据对称求最小值)基本模型:已知点A、B为直线m同侧的两个点,请在直线m上找一点M,使得AM+BM有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E,AE=1,AD⊥BC于D,请在AD上找一点N,使得EN+BN有最小值,并求出最小值。
解:由于AE=1,所以DE=√3.连接BE,设∠EBN=x,则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。
由正弦定理得:EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增,所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX,所以问题转化为:在直线AD上找一点N,使得MN+EB最小。
连接AC,设交点为F,则∠ABF=∠FBD=30°,BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF,所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1,所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此,EN+BN的最小值为3+√3,此时x=30°。
2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E,AE=1,请在对角线AC上找一点N,使得EN+BN有最小值,并求出最小值。
解:连接BE,设∠EBN=x,则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。
由正弦定理得:EN/sinx = BN/sin(45°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增,所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX,所以问题转化为:在对角线AC上找一点N,使得MN+EB最小。
连接BD,设交点为F,则∠ABF=∠FBD=45°,BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF,所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
勾股定理专题训练
第17章勾股定理一、勾股定理的证明1、如图1,是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图2是以c为直角边的等腰直角三角形,用图1和图2可拼成图3的图形。
(1)请指出图3是什么图形,并用它证明勾股定理.(2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理图形.(画出图形,不用证明)。
A.6B.C.D.4与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AB的长是4.4、在如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和.5、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形边长为7cm,那么正方形A、B、C、D的面积之和为6、(2015•牡丹江)在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=30°,以AC为一边作等边△ACD,连接BD.请画出图形,并直接写出△BCD的面积.AB7、如图,△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D 为AB上一点。
(1)求证:△ACE 全等△BCD ; (2)若AD=5,BD=12,求BE 的长三、作辅助线构造直角三角形。
1、 如图,在△ABC 中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm ,求BC 的长.2、如图,.在△ABC 中,∠B=120°,BC=4cm ,AB=6cm ,求AC 的长.C3、已知:如图,△ABC 中,AC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AB.A4、如图,在△ABC 中,已知∠B=45°,∠A=105°,AB=2.求BC 的长.5、如图,在等腰△ABC 中,AB =AC =13cm ,BC=10cm,求△ABC 的面积和AC 边上的高.AB C6、已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD 的面积.7、如图,在平面直角坐标系中,点C 的坐标为(0,4),∠B=90°, ∠BCO=60°,AB=2,求点B 的坐标.8、(2015常州)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(1)若AD=2,求AB;(2)若AB+CD=2+2,求AB.四、分类讨论直角三角形中,已知两边长,求第三边时,应分类讨论。
勾股定理专题训练试题精选(一)附答案
勾股定理专题训练试题精选(一)一. 选择题(共30小题)1.(2014•十堰)如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB.若DG=3, EC=1, 则DE的长为()A.2B.C.2D.2. (2014•吉林)如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为()A.B.2C.D.3. (2014•湘西州)如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为()A.B.C.1D.24. (2013•和平区二模)如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是()A.B.1C.D.5. (2012•威海)如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为()A.25°B.65°C.70°D.75°6. (2011•衢州)一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为()A.B.C.D.7. (2011•惠山区模拟)梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=()A.2.5AB B.3AB C.3.5AB D.4AB8. (2011•白下区二模)如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2(n为正整数), 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为()A.B.C.D.9. (2010•西宁)矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为()A.5B.C.6D.10.A.B.C.D.2(2010•鞍山)正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为三角形,则正方形ABCD的边长为()11. (2010•鼓楼区二模)小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面(不考虑接缝), 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为()A.40 B.30+2C.20D.10+1012.A.132 B.121 C.120 D.以上答案都不对(2009•鄞州区模拟)直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是()A.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.(2009•宝安区一模)下列命题中,是假命题的是()B.在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C.在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D.三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等14. (2008•江西模拟)已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形A.2n﹣2B.2n﹣1C.2n D.2n+115. (2007•台湾)以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:(甲)因为>=3, >=2, 所以+ >3+2=5且=<=5所以+>5>故+≠(乙)作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高(勾股)定理()2+()2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+>故+≠A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确, 乙错误D.甲错误, 乙正确对于两人的证法,下列哪一个判断是正确的()16. (2007•宁波二模)如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有()A.2个B.3个C.4个D.5个17.A.1B .C .D.(2006•郴州)在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为()18. (2002•南宁)如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是()A.S l+S2>S3B.S l+S2<S3C.S1+S2=S3D.S12+S22=S3219. (2001•广州)已知点A和点B(如图), 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出()A.2个B.4个C.6个D.8个20. 设直角三角形的A.2B.3C.4D.5三边长分别为a、b、c, 若c﹣b=b﹣a>0,则=()21. (1999•A.4B.6C.8D.温州)已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于()22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为()A.B.C.D.A.16 B.18 C.12D.1223. 在△ABC中,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于()24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为()A.54 B.75 C.90 D.9625. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是()A.A B=AC B.∠BO2E=2∠E C.A B=BE D.E O2=BE26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为()A.1B.C.D.27. 直角A.10 B.2C.4或10 D.10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是()28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是()A.1:5 B.1: 25 C.5:1 D.25: 129. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF=S△ABC;④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A.B重合)BE+CF=EF.上述结论中始终正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个30. 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°, AE平分∠BAC交BC于E, BD⊥AE于D, DM⊥AC于M, 连CD. 下列结论: ①AC+CE=AB;②;③∠CDA=45°;④=定值.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个勾股定理专题训练试题精选(一)参考答案与试题解析一. 选择题(共30小题)1.(2014•十堰)如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB.若DG=3, EC=1, 则DE的长为()A.2B.C.2D.考点:勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题:几何图形问题.分析:根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG, 根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA, 根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD, 再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD, 根据等腰三角形的性质可得CD=DG, 再根据勾股定理即可求解.解答:解: ∵AD∥BC, DE⊥BC,∴DE⊥AD, ∠CAD=∠ACB, ∠ADE=∠BED=90°,又∵点G为AF的中点,∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,∴∠CGD=2∠CAD,∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD,∴∠ACD=∠CGD,∴CD=DG=3,在Rt△CED中, DE= =2 .故选:C.故选: C.故选:C.点评:综合考查了勾股定理, 等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线, 解题的关键是证明CD=DG=3.2. (2014•吉林)如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为()A.B.2C.D.考点:等腰直角三角形;等腰三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题:几何图形问题.分析:利用AD=DB=DE, 求出∠AEC=90°, 在直角等腰三角形中求出AC的长.解答:解: ∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DB=DE,∴∠B=∠DEB,∴∠AEB=∠DEA+∠DEB= ×180°=90°,∴∠AEC=90°,∵∠C=45°, AE=1,∴AC= .故选:D.故选: D.故选:D.点评:本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质, 解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角.3. (2014•湘西州)如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为()A.B.C.1D.2考点:等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析:由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形, 得出AD=BD= AB=1, 再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1.解答:解: ∵∠ACB=90°, CA=CB,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴AD=BD= AB=1, ∠CDB=90°,∴CD=BD=1.故选:C.故选: C.故选:C.点评:本题主要考查了等腰直角三角形, 解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系.4. (2013•和平区二模)如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是()A.B.1C.D.考点:等腰直角三角形;垂线段最短;平行线之间的距离. 菁优网版权所有分析:利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°, ∠DCE=90°.利用勾股定理得出DE的表达式, 利用函数的知识求出DE的最小值.解答:解: 在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°∴∠DCE=90°∴AD2+CD2=AC2, CE2+BE2=CB2∴CD2= AC2, CE2= CB ,∵DE2=DC2+EC2,∴DE===∴当CB=1时, DE的值最小, 即DE=1.故选:B.故选: B.故选:B.点评:此题考察了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法.5. (2012•威海)如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为()A.25°B.65°C.70°D.75°考点:等腰直角三角形;平行线的性质. 菁优网版权所有专题:计算题.分析:根据等腰直角三角形性质求出∠ACB, 求出∠ACE的度数, 根据平行线的性质得出∠2=∠ACE, 代入求出即可.解答:解: ∵∠BAC=90°, AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠1=20°,∴∠ACE=20°+45°=65°,∴∠2=∠ACE=65°,故选B.点评:本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质, 关键是求出∠ACE的度数.6. (2011•衢州)一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为()A.B.C.D.考点:等腰直角三角形;圆周角定理. 菁优网版权所有专题:证明题.分析:连接OB.根据圆周角定理求得∠AOB=90°;然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50 m, 从而求得⊙O的直径AD=100 m.解答:解: 连接OB.∵∠ACB=45°, ∠ACB= ∠AOB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∴∠AOB=90°;在Rt△AOB中, OA=OB(⊙O的半径), AB=100m,∴由勾股定理得, AO=OB=50 m,∴AD=2OA=100m;故选B.点评:本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理.利用圆周角定理求直径的长时, 常常将直径置于直角三角形中, 利用勾股定理解答.7. (2011•惠山区模拟)梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=()A.2.5AB B.3AB C.3.5AB D.4AB考点:勾股定理;等腰直角三角形;相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题:计算题;证明题;压轴题.分析:过点B作BM∥AD, 根据AB∥CD, 求证四边形ADMB是平行四边形, 再利用∠ADC+∠BCD=90°, 求证△MBC为Rt△, 再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2, 在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可.解答:解: 过点B作BM∥AD,∵AB∥CD, ∴四边形ADMB是平行四边形,∴AB=DM, AD=BM,又∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BMC+∠BCM=90°, 即△MBC为Rt△,∴MC2=MB2+BC2,∵以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形,∴△AED∽△ANB, △ANB∽△BFC,= , = ,即AD2= , BC2= ,∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2= += = ,∵S1+S3=4S2,∴MC2=4AB2, MC=2AB,CD=DM+MC=AB+2AB=3AB.故选B.点评:此题涉及到相似三角形的判定与性质, 勾股定理, 等腰直角三角形等知识点, 解答此题的关键是过点B作BM∥AD, 此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB, 此题有一定的拔高难度, 属于难题.8. (2011•白下区二模)如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2(n为正整数), 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为()A.B.C.D.考点:等腰直角三角形;勾股定理. 菁优网版权所有专题:计算题;规律型.分析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长, 找出规律即可解答.解答:解: ∵△A1A2B是直角三角形, 且A1A2=A2B=a, A2A3⊥A1B,∴A1B= = a,∵△A1A2B是等腰直角三角形,∴A2A3⊥A1B,∴A2A3=A1A3= A1B= = ,同理, A4A5= ×= ,∴线段An+1An+2的长为.故选B.故选B.点评:此题属规律性题目, 涉及到等腰三角形及直角三角形的性质, 解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长找出规律.灵活运用等腰直角三角形的性质, 得到等腰直角三角形的斜边是直角边的倍, 从而准确得出结论.9. (2010•西宁)矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为()A.5B.C.6D.考点:勾股定理;矩形的性质. 菁优网版权所有专题:压轴题.分析:过E作EG⊥CD于G, 利用矩形的判定可得, 四边形AEGD是矩形, 则AE=DG, EG=AD, 于是可求MG=DG ﹣DM=1, 在Rt△EMG中, 利用勾股定理可求EM.解答:解: 过E作EG⊥CD于G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,又∵EG⊥CD,∴∠EGD=90°,∴四边形AEGD是矩形,∴AE=DG, EG=AD,∴EG=AD=BC=7, MG=DG﹣DM=3﹣2=1,∵EF⊥FM,∴△EFM为直角三角形,∴在Rt△EGM中, EM= = = =5 .故选B.点评:本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识, 是基础知识要熟练掌握.10.A.B.C.D.2(2010•鞍山)正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为的等边三角形,则正方形ABCD的边长为()考点:勾股定理;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质. 菁优网版权所有分析:根据正方形的各边相等和等边三角形的三边相等, 可以证明△ABE≌△ADF, 从而得到等腰直角三角形CEF, 求得CF=CE=1.设正方形的边长是x, 在直角三角形ADF中, 根据勾股定理列方程求解.解答:解: ∵AB=AD, AE=AF,∴Rt △ABE≌Rt△ADF.∴BE=DF.∴CE=CF=1.设正方形的边长是x.在直角三角形ADF中, 根据勾股定理, 得x2+(x﹣1)2=2,解, 得x= (负值舍去).即正方形的边长是.故选A.点评:此题综合运用了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理.11. (2010•鼓楼区二模)小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面(不考虑接缝), 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为()A.40 B.30+2C.20D.10+10考点:等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析:所求正方形的边长即为AB的长, 在等腰Rt△ACF、△CDE中, 已知了CE、DE、CF的长均为10, 根据等腰直角三角形的性质, 即可求得AC、CD的长, 由AB=AC+CD+BD即可得解.解答:解: 如图;连接AB, 则AB必过C.D;Rt△ACF中, AC=AF, CF=10;则AC=AF=5;同理可得BD=5;Rt△CDE中, DE=CE=10, 则CD=10 ;所以AB=AC+CD+BD=20 ;故选C.点评:理清题意, 熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键.A.132 B.121 C.120 D.以上答案都不对12.(2009•鄞州区模拟)直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是()考点:勾股定理. 菁优网版权所有分析:假设另外两边后, 根据勾股定理适当变形, 即可解答.解答:解: 设另外两边是a、b(a>b)则根据勾股定理, 得:a2﹣b2=121∵另外两边的长都是自然数∴(a+b)(a﹣b)=121=121×1即另外两边的和是121,故三角形的周长是132.故选A.故选A.点评:注意熟练进行因式分解和因数分解, 根据另外两边的长都是自然数分析结论.A.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.(2009•宝安区一模)下列命题中,是假命题的是()B.在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C.在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D.三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等考点:勾股定理;角平分线的性质;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题:计算题;证明题.分析:A.根据等腰三角形的性质求解;B.根据直角三角形的面积计算方法求斜边的高;C、根据勾股定理求解;D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C.根据勾股定理求解;D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C、根据勾股定理求解;D.求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C、根据勾股定理求解;D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.解答:解: A.等腰三角形底角相等, 若底角为60°, 则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°, 若顶角为60°, 则底角为=60°, 所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形, 故A选项正确;B.直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半, 只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故B选项错误;C.在直角三角形中, 最大的边为斜边, 根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和, 故C选项正确;D.过三角形角平分线的交点作各边的垂线, 则三角形分成3对小三角形, 其中各顶点所在的两个直角三角形全等, 即过角平分线作的高线相等, 故D选项正确;即B选项中命题为假命题,故选B.故选B.点评:本题考查了全等三角形的证明, 考查了直角三角形中勾股定理的运用, 考查了等腰三角形的性质, 考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边长一半的性质.14. (2008•江西模拟)已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形的面积是()A.2n﹣2B.2n﹣1C.2n D.2n+1考点:等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题:规律型.分析:根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积, 找出规律即可.解答:解: ∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形,∴S△ABC=×1×1==21﹣2;AC= = , AD= =2…,∴S△ACD=××=1=22﹣2;S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n ﹣2.故选A.故选A.点评:此题属规律性题目, 解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积, 找出规律即可.15. (2007•台湾)以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:(甲)因为>=3, >=2, 所以+ >3+2=5且=<=5所以+>5>故+≠(乙)作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高(勾股)定理()2+()2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+>故+≠对于两人A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确, 乙错误D.甲错误, 乙正确的证法,下列哪一个判断是正确的()考点:勾股定理;实数大小比较;三角形三边关系. 菁优网版权所有专题:压轴题;阅读型.分析:分别对甲乙两个证明过程进行分析即可得出结论.解答:解: 甲的证明中说明+ 的值大于5, 并且证明小于5, 一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的.乙的证明中利用了勾股定理, 根据三角形的两边之和大于第三边.故选A.故选A.点评:本题解决的关键是正确理解题目中的证明过程, 阅读理解题是中考中经常出现的问题.16. (2007•宁波二模)如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有()A.2个B.3个C.4个D.5个考点:勾股定理;等腰三角形的判定. 菁优网版权所有专题:探究型.分析:先根据勾股定理求出AB的长, 再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可.解答:解: ∵A.B是4×5网格中的格点,∴AB= = ,同理可得, AC=BD=AC= ,∴所求三角形有:△ABD, △ABC, △ABE.故选B.点评:本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质, 先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键.17.A.1B.C.D.(2006•郴州)在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为()考点:勾股定理;解一元二次方程-因式分解法;三角形的内切圆与内心. 菁优网版权所有专题:压轴题.分析:根据AC、BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, 根据根与系数的关系求出.解答:解: 根据“AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根”可以得出:AC+BC=7, AC•BC=12,AB2=AC2+BC2=25,AB=5,△ABC内一点P到三边的距离都相等, 即P为△ABC内切圆的圆心,设圆心的半径为r, 根据三角形面积表达式:三角形周长×内切圆的半径÷2=三角形的面积,可得出, AC•BC÷2=(AC+BC+AB)×r÷2,12÷2=(7+5)×r÷2,r=1,根据勾股定理PC= = ,故选B.故选B.点评:本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系. 本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点.18. (2002•南宁)如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是()A.S l+S2>S3B.S l+S2<S3C.S1+S2=S3D.S12+S22=S32考点:勾股定理. 菁优网版权所有专题:压轴题.分析:依据半圆的面积公式, 以及勾股定理即可解决.解答:解: 设直角三角形三边分别为a, b, c, 则三个半圆的半径分别为, ,由勾股定理得a2+b2=c2, 即()2+()2=()2两边同时乘以π得π()2+π()2=π()2即S1.S2.S3之间的关系是S1+S2=S3故选C.故选C.点评:根据勾股定理, 然后变形, 得出三个半圆之间的关系.19. (2001•广州)已知点A和点B(如图), 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出()A.2个B.4个C.6个D.8个考点:等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题:压轴题.分析:利用等腰直角三角形的性质来作图, 要注意分不同的直角顶点来讨论.解答:解: 此题应分三种情况:①以AB为腰, 点A为直角顶点;可作△ABC1.△ABC2, 两个等腰直角三角形;②以AB为腰, 点B为直角顶点;可作△BAC3.△BAC4, 两个等腰直角三角形;③以AB为底, 点C为直角顶点;可作△ABC5.△ABC6, 两个等腰直角三角形;综上可知, 可作6个等腰直角三角形, 故选C.点评:等腰直角三角形两腰相等, 顶角为直角, 据此可以构造出等腰直角三角形.关键是以AB为腰和以AB为底来讨论.A.2B.3C.4D.520. 设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c﹣b=b﹣a>0, 则=()考点:勾股定理. 菁优网版权所有分析:根据已知条件判断c是斜边, 并且得到c+a=2b, 然后根据勾股定理得到c2﹣a2=b2, 然后因式分解可以求出c﹣a, 代入要求的式子可以求出结果了.解答:解: ∵c﹣b=b﹣a>0∴c>b>a, c+a=2b根据勾股定理得, c2﹣a2=b2, (c+a)(c﹣a )=b2,∴c﹣a= b∴=4故选C.故选C.点评:此题主要利用了勾股定理和因式分解解题, 题目式子的值不能直接求出, 把它的分子分母分别用b表示才能求出.A.4B.6C .8D.21. (1999•温州)已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于()考点:勾股定理. 菁优网版权所有分析:由CD的长, 可求得AD的值, 进而可在Rt△ABD中, 由勾股定理求得BD的长.解答:解: 如图;△ABC中, AB=AC=10, DC=2;∴AD=AC﹣DC=8;Rt△ABD中, AB=10, AD=8;由勾股定理, 得:BD= =6;故选B.点评:此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用.22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为()A.B.C.D.考点:勾股定理. 菁优网版权所有专题:计算题.分析:作AE⊥BC, DF⊥BC, 构建直角△AEB和直角△DFC, 根据勾股定理计算BE, CF, DF, 计算EF的值, 并根据EF求AD.解答:解: 如图, 过点A, D分别作AE, DF垂直于直线BC, 垂足分别为E, F.由已知可得BE=AE= , CF= , DF=2 ,于是EF=4+ .过点A作AG⊥DF, 垂足为G.在Rt△ADG中, 根据勾股定理得AD= = = = = .故选D.点评:本题考查了勾股定理的正确运用, 本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键.A.16 B.18 C.12D.1223. 在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于()考点:勾股定理;三角形的面积. 菁优网版权所有专题:计算题.分析:作∠ABD=∠A=15°, 则∠BDC=30°;设BC=x, 则BD=2x, CD= x, 计算AC=AD+CD=(2+ )x, BC=x, AB=12, 根据勾股定理计算AC, BC的长度, △ABC的面积为根据•BC•AC计算可得.解答:解: 如图, 作∠ABD=∠A=15°BD交AC于D, 则∠DBC=75°﹣15°=60°在Rt△BCD中, 因为∠BDC=90°﹣∠DBC=30°所以BD=2BC, CD= BC设BC=x,所以BD=2x, CD= x因为∠A=∠ABD, 所以AD=BD=2x所以AC=AD+DC=(2+)x在Rt △ABC中AC2+BC2=AB2∴∴,故选B.点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用, 考查了直角三角形面积的计算, 本题中设BC=x, 根据直角△ABC求x的值, 是解题的关键.24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为()A.54 B.75 C.90 D.96考点:勾股定理;相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有分析:先利用勾股定理求出AB的长, 再根据相似三角形对应边成比例求出DE、BD的长, 然后代入面积公式即可求解.解答:解: ∵∠BDE=∠C=90°, ∠B=∠B∴△BDE∽△BCA∴BE: BA=BD: BC∵AC=BE=15, BC=20∴AB==25∴15: 25=BD: 20∴BD=12∴DE=9∴S△BDE=×12×9=54;S△ABC=×15×20=150∴四边形ACED的面积=S△ABC﹣S△BDE=150﹣54=96故选D.故选D.点评:此题主要考查了学生对相似三角形的性质及勾股定理的运用.25. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是()A.A B=AC B.∠BO2E=2∠E C.A B=BE D.E O2=BE考点:勾股定理;对顶角、邻补角;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理. 菁优网版权所有专题:证明题;压轴题.分析:根据等腰三角形的性质证出∠BO2E=2∠BDE, 即可得出答案B错误, 假设A成立证出C也正确, 即可判断A、C都错误, 即可选出选项.解答:解: A.∵∠ABC+∠EDA=180°, ∠ADB=90°,∴∠EDB+∠ABC=90°.∵∠BDE+∠EDC=90°, 且∠EDC=∠BCA.∴∠ABC=∠BCA.∴AB=AC. 正确, 故本选项错误;B.∵O2B=O2D,∴∠DBO2=∠EDB,∴∠BO2E=2∠BDE,∵BE=BD,∴∠BDE=∠E,∴∠BO2E=2∠E, 正确, 故本选项错误;C.∵AC=AB,∴∠C=∠ABC,∵∠BO2E=2∠BDE, ∠ABC=∠BO2E+∠E,∴∠ABC=3∠E,∵BC为⊙O2的直径,∴∠CDB=90°,∴4∠E=90°,∠E=22.5°∴∠C=∠ABC=67.5°,∴∠A=180°﹣2×67.5°=45°,在Rt△ABD中由勾股定理得:AB= BD= BE, 正确, 故本选项错误;D.故本选项正确;故选D.故选D.点评:本题主要考查了勾股定理, 三角形的内角和定理, 等腰三角形的性质, 圆周角定理, 对顶角, 邻补角等知识点, 综合运用性质进行证明是解此题的关键.26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为()A .1B .C .D.考点:勾股定理;锐角三角函数的定义. 菁优网版权所有专题:网格型.分析:cosα的值可以转化为直角三角形的边的比的问题, 先根据勾股定理求出AB的长, 再在Rt△ABC中根据三角函数的定义求解.解答:解: 在Rt△ABC中, BC=3, AC=4,则AB= =5,则cosα= = .故选D.点评:本题考查勾股定理和锐角三角函数的概念:在直角三角形中, 正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.27. 直角A.10 B.2C.4或10 D.10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是()考点:勾股定理;解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题:分类讨论.分析:先解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4, 所以另一条边是6, 再分两种情况考虑:①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是2 ;②若8和6是两条直角边, 再用勾股定理求斜边得10.解答:解: 根据题意得解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4,所以另一条边是6,①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是=2 ;②若8和6是两条直角边, 则此直角三角形的第三条边长是=10.故选:D.故选: D.故选:D.点评:本题考查了勾股定理、解方程. 解题的关键是要注意分情况讨论.28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是()A.1:5 B.1: 25 C.5:1 D.25: 1考点:勾股定理的证明. 菁优网版权所有分析:根据勾股定理可得大正方形ABCD的边长, 再根据和差关系得到小正方形EFGH的边长, 根据正方形的面积公式可得大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积, 进一步即可求解.解答:解: 如图, 设大正方形的边长为xcm,由勾股定理得32+42=x2,解得:x=5,则大正方形ABCD的面积为: 52=25;∵小正方形的边长为: 4﹣3=1,∴小正方形EFGH的面积为: 12=1.则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是25:1.故选:D.故选: D.故选:D.点评:本题考查勾股定理及正方形的面积公式, 比较容易解答, 关键是求出大小正方形的边长.29. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;。
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算(重难点)
(12)如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高?
(13)两棵之间的距离为8m,两棵树的高度分别为8m、2m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米?
①x2+y2=49, ②x﹣y = 2,
③2xy+4=49, ④x+y=9.
其中说法正确的是( )
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二.填空题(共2小题)
12.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=_____cm.
13.如图,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长是_________.
2)在直角三角形中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是( )
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
(3)已知在直角三角形ABC中,AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A、 1 B、
C、 D、2
6.已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为( )
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ,则该△为三角形
勾股定理专题训练
勾股定理专题训练1、一块试验田的形状如图所示,已知:∠ABC=90°,AB=4 m,BC=3 m,AD=12 m,CD =13 m.求这块试验田的面积.2、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条水渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?3、如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?4如图:已知长方体的长、宽、高分别为12、9、5,蚂蚁从A爬到C'点的最短路程是多少?(长方体各面都是长方形)5、如图,在长方体上有一只蚂蚁从项点A出发,要爬行到顶点B去找食物,一只长方体的长、宽、高分别为4、1、2,如果蚂蚁走的是最短路径,你能画出蚂蚁走的路线吗?6、如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.7、如图,在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警船的速度为多少时,才能恰好在C处将可疑船只截住?8、定义:三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出若干根,首尾依次相接组成三角形,进行探究活动.小亮用12根火柴棒,摆成如图所示的“整数三角形”;小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”;小辉受到小亮、小颖的启发,分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”.(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图;(2)你能否也从中取出若干根,按下列要求摆出“整数三角形”,如果能,请画出示意图;如果不能,请说明理由.①摆出等边“整数三角形”;②摆出一个非特殊(既非直角三角形,也非等腰三角形)“整数三角形”.9、张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表:n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n (n>1)的代数式表示:a =" ______,b" =" ______,c" = ______.(2)猜想:以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形?并说明你的猜想.10、如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=900,试求∠A的度数。11、求图中的字母A、B所代表的正方形的面积.12、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.13、如图,已知长方形ABCD中AB="8" cm,BC="10" cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.14、如图:要修建一个育苗棚,棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?15、如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?16、如图,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,且,,F 为CD 的中点,连接AF 、AE ,问△AEF 是什么三角形?请说明理由.17、勾股数又称商高数,它有无数组,是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子:,,(其中为正整数,且).你能验证它吗?利用这组式子,完成下表,通过表格,你会发现勾股数有哪些规律?请查阅有关资料,相信你将有更多收获.12 3 4 5 6 …2 3 4 5 6 … … … … … … … …18、已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?19、一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.20、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,验证:试卷答案1,四边形ABCD的面积是36 m22,D点在距A点64米的地方,水渠的造价最低,其最低造价为480元3,这棵树有15米高.4,解:①如图展开得:根据题意得:AB=12,BC'=5+9=14,在△ABC′中,由勾股定理得:AC′===2.②如图AC=12+9=21,C C′=5,由勾股定理得:AC'=>2答:蚂蚁从A爬到C′点的最短路程是2.5,解:线段AB的长就是蚂蚁走的最短距离,分为两种情况:如图1:AC=4,BC=2+1=3,∠C=90°,由勾股定理得:AB=5;如图2:AC=4+1=5,BC=2,∠C=90°,在△ABC中,由勾股定理得:AB=>5,∴沿图1路线走时最短,即能画出蚂蚁走的最短路线:如图从A到C′再到B.6,解:如图展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,过S作SE⊥CD于E,则BC=SE=×24cm=12cm,EF=18cm﹣1cm﹣1cm=16cm,在Rt△FES中,由勾股定理得:SF===20(cm),答:捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm.7,解:∵AB=6,BC=8∴AC==10km,∵可疑船只的行驶速度为40km/h,∴可疑船只的行驶时间为8÷40=0.2小时,∴我边防海警船的速度为10÷0.2=50km/小时,∴我边防海警船的速度为50km/h时,才能恰好在C处将可疑船只截住.8,解:(1)小颖摆出如图1所示的“整数三角形”:小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”:(2)①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下:设等边三角形的边长为a,则等边三角形面积为.因为,若边长a为整数,那么面积一定非整数.所以不存在等边“整数三角形”;②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”:9,(1)n2-1,2n,n2+1;(2)是直角三角形10,135011,字母A所代表的正方形的面积是225;字母 B所代表的正方形的面积是22512,解:(1)∵A D平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练(1)的值是()1.在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2+眈2€AC2A.2B.4C.6D.82•有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD〃BC,斜腰DC的长为10cm,Z D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).3.__________________________________________________ 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为•4•一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m?5•如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.第5题图6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.第7题图8.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。
求CD的长.第8题图9.如图,在四边形ABCD中,ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.n第9题图10.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家•他要完成这件事情所走的最短路程是多少?11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?5m12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?、选择题1•下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是(2•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()C.三边之比为訂:2:驀D.三个内角比为1:2:33•已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为()A 迈B.^10C.4-込或2颅D.以上都不对4. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()CD25,则三角形的最大内角的度数是.其面积为. 7•已知三角形ABC 的三边长为a ,b ,c 满足.「,c=8,则此三角形为三角形.a +b 二10,ab=188. 在三角形ABC 中,AB=12cm ,AC=5cm ,BC=13cm ,则BC 边上的高为AD=cm . 三、解答题9. 如图,已知四边形ABCD 中,Z B =90°,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13,求四边形ABCD 的面积.第9题图勾股定理的逆定理(2)A.9,12,15B.C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9A.三个内角比为1:2:1B.三边之比为1:2:A B二、填空题5.△ABC 的三边分别是7、24、6•三边为9、12、15的三角(A)(B)(C)25 (D)110.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=4BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问A AEF是什么三角形?请说明理由.11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.12.如图,为修通铁路凿通隧道AC,量出ZA=40°ZB=50°,AB=5公里,BC=4公里,若每天凿隧道0.3公里,问几天才能把隧道AB凿通?勾股定理的逆定理(3)一、基础•巩固1•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:5二、综合•应用9.如图18—2—9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论12.已知:如图18—2—10,四边形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形ABCD勾股定理的应用(4)2.求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量ZA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天,问学校需要投入多少资金买草皮?3..(12分)如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。
勾股定理专题训练及含答案
勾股定理专题训练一、解答题(每空?分,共?分)1、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格点,请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形.所画的三角形是直角三角形吗?说明理由.2、如图,在ΔABC中,AB=AC=10,BC=8.用尺规作图作BC边上的中线AD(保留作图痕迹,不要求写作法、证明),并求AD的长.3、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足,试判断△ABC的形状.解:因为,(A)所以(B)所以(C)所以△ABC是直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步骤的代号:_________;(2)错误的原因为:______________________________________;(3)请写出本题正确的解答过程及结论.4、大家都折过纸玩吗?如图所示,把矩形纸片ABCD沿BF折叠,使点C恰好落在处,已AB=9cm,BC=15cm,求FC的长。
5、如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点落在点处。
(1)求证:;(2)设,试猜想之间的一种关系,并给予证明.6、华罗庚爷爷说:数学是我国人民所擅长的学科.请同学们求解《九章算术》中的一个古代问题:“今有木长二丈,围之三尺,葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?” 白话译文:如图,有圆柱形木棍直立地面,高20尺,圆柱底面周长3尺.葛藤生于圆柱底部A点,等距离缠绕圆柱七周,恰好子长到圆柱上底面的B点.问葛藤的长度是多少尺?7、如图,将一个长、宽分别为8、4的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是多少?二、选择题(每空?分,共?分)8、在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形的是( )A.5,13,12 B.2,3,C.4,7,5 D.1,,9、如图,在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形,则满足的关系式是()A.B.C.D.(第9题)(第10题)10、如图所示,在Rt△ABC中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,AD⊥BC,那么AD的长为()A.1 B.2 C.3 D.4.811、现有两根木棒的长度分别是40cm和41cm,若要钉成一个直角三角形架,则所需要的另一根木棒的长可以为()A.7cm B.9cm C.11cm D.13cm12、如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是()A.7,24,25 B.,,C.3,4,5 D.4,,13、如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC、AC⊥CD,AD⊥DE,则AE等于()A.1 B.C.D.2(第13题)(第14题)(第15题)14、如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米。
勾股定理解答题专题训练
勾股定理解答题专题训练1、如图,从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远?解:在 ABC 中 由勾股定理得:2、如图,一根旗杆在折断之前有24m ,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?3、如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识 (1)求△ABC 的周长与面积 (1)判断△ABC 是什么形状? 并说明理由.4、 在图3中,BC 长为3,AB 长为4,AF 长为12,求正方形的面积。
(其中∠FAC 和∠ABC 都为直角。
)5、一架梯子AB 的长度为25,如图斜靠在墙上,梯子底端离墙底端BC 为7米。
(1)这个梯子顶端离地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑9米,那么梯子的底部在水平方向滑动了几米?6、如图,长方体的长为15 cm ,宽为10 cm ,高为20 cm ,点B 离点C 5 cm ,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B ,需要爬行的最短距离是多少?7、一只蚂蚁从长宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是多少?ABCCBAF ED8、如图所示的有一个长方体容器,AB=4厘米,BC=3厘,BF=12厘,现有一条长度为14厘的木棒想放入容器,那么放入容器后该木棒露出外面最短的长度是多少?9、假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米?10、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米。
11、一辆高3米,宽2.4米的卡车能否通过半径为3.6米的半圆形隧道?若如果这个隧道是双行道的话,这辆卡车能够通过吗?2AA第10题AHBCDEFG。
勾股定理在实际生活中的应用专题训练
勾股定理在实际生活中的应用专题训练1、已知:如图1,点A、D、B、E在同一条直线上,AD=BE,AC∥DF,BC∥EF.求证:AC=DF.思路分析:要证明AC=DF,则需要证明⊿ABC≌⊿DEF.在⊿ABC和⊿DEF中,由AC∥DF可得∠CAB=∠FDE, 由BC∥EF可得∠CBA=∠FED,现已证两三角形的两组对应角相等,所以考虑夹边,用ASA,证明⊿ABC≌⊿DEF.由已知AD=BE可得:AD+DB=BE+DB,即AB=DE,命题得证.2、已知:如图2,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别是E、F,O是BD的中点.求证:BE=DF.思路分析:要证明BE=DF,则需要证明⊿BOE≌⊿DOF.在⊿BOE和⊿DOF中,由BE⊥AC,DF⊥AC可得∠BEO=∠DFO=90°,∠BOE=∠DOF,现已证两三角形的两组对应角相等,所以考虑其中一组对应角的对边,用AAS,证明⊿BOE≌⊿DOF.由已知O是BD的中点可得:OB=OD,条件已具备,命题得证.3、已知:如图3, AB=DE,BC=EF,AF=CD.求证:AB∥DE, BC∥EF.思路分析:要证明AB∥DE, BC∥EF,则需要证明∠A=∠D, ∠BCA=∠EFD,由此只需要证明⊿ABC≌⊿DEF.在⊿ABC和⊿DEF中,已知AB=DE,BC=EF,即两三角形的两组对应边相等,因此,只需证明边AC=DF,用SSS证明⊿ABC≌⊿DEF.由已知AF=CD,根据等式性质得:AF+CF=CD+CF,即AC=DF,命题得证.4、已知:如图4, AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE.求证:. ∠B=∠D.思路分析:要证明∠B=∠D,只需要证明⊿ABC≌⊿ADE.在⊿ABC 和⊿ADE中,已知AB=AD, AC=AE,即两三角形的两组对应边相等,因此,只需证明两条已知边的夹角相等,用SAS证明⊿ABC≌⊿ADE.由已知∠BAD=∠CAE,根据等式性质得:∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,命题得证.5、已知:如图5, AD=AE,点D、E在BC上,BD=CE,∠ADE=∠AED.求证: ⊿ABE≌⊿ACD思路分析:要证明⊿ABE≌⊿ACD,在⊿ABE和⊿ACD中,已知AD =AE, ∠ADE=∠AED即相邻的一角一边对应相等,因此,只需证明∠ADE 与∠AED的另一邻边相等即可,用SAS证明⊿ABE≌⊿ACD.由已知BD=CE可得:BD+DE=CE+DE,即BE=CD,命题得证.。
初中勾股定理练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题(8×3′=24′) 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是( ) A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数,且│x 2-4│+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,则此△为( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为( ) A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上一点,且DA=DB=5,又△DAB 的面积为10,那么DC 的长是( ) A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( ) A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、填空题(12×3′=36′)9、在△ABC 中,点D 为BC 的中点,BD=3,AD=4,AB=5,则AC=___________。
勾股定理(专题训练)
5、勾股定理专题训练【知识点精讲】1 勾股定理:__________________________________________2勾股定理的逆定理:________________________________________________ 3勾股数:______、______、______、______、______、______、4两种特殊的直角三角形:①30°的直角三角形______________________________②45°的直角三角形________________________5两点之间______最短,但蚂蚁在圆柱体表面爬行时,所走的路线必定是______线。
6立体图形转化为______图形,再转化为______问题7勾股定理是求______的长度的主要方法,若缺少直角条件则可以通过作垂线段的方法构造RT △,为勾股定理的应用创造必要的条件。
8勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用,还经常利用方程求线段的和差等关系。
【典型例题与思维拓展】板块一、利用勾股定理求线段长例1已知如图,在R t △ABC 中,∠ACB=90°,AC=7,BC=24,CD 是斜边AB 上的高,求CD 的长.BDA拓展与变式练习11. 已知如图,在R t △ABC 中,∠ACB=90°,BC=40,AB=41,CD 是斜边上的高,求CD 的长。
BDA2. 如图将R t △ABC 沿AD 对折,使点C 落在AB 上的E 处,若AC=6,AB=10,求DB 的长。
DCB板块二、翻折类型例2如图,折叠长方形的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处,若AB=3,BC=4,求EC 的长。
拓展变式练习21.如图折叠长方形ABCD,先折出对角线BD,再折叠AD 边与BD 重合,得到折痕DG.若AB=12,AD=9,求AG 的长.GCBAD2.如图将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使C 点落在F 处,BF 交AD 于点E,AD=10,AB=6,求△BDE 的面积是多少?DCBA板块三、构造RT Δ例3如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E 在BC 上,∠DAE=45°. 求证:CD 2+BE 2=DE2.BEC拓展变式练习3CEFBDDBAEBC1. 已知如图,在△ABC 中,∠A=90°,DE 为BC 的垂直平分线,求证:BE 2=AC 2+AE 22. 如图在R t △ABC 中,∠C=90°,DA=DB,E 、F 分别在AC 和BC 上,且ED ⊥DF, 求证:EF 2=AE 2+BF 2BA板块四、勾股定理逆定理 例4、如图在四边形ABCD 中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,求四边形ABCD 的面积.拓展变式练习41. 如图,在四边形ABCD 中,已知AB,BC,DA 的长分别为2、2、2,且CD 2=12,AB ⊥BC,求∠DAB 的度数.DC2. 如图在△ABC 中,BC=6,AC=8,在△ABE 中,DE 是AB 边上的高,DE=7, △ABE 的面积为35, 求∠C的度数.例5、若△ABC的三边长a、b、c满足条件:a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判断△ABC的形状.板块五、最短路径问题例6:有一个长宽高分别为2cm,1cm,3cm的长方体,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处,则它爬行的最短路程为________cm.拓展与变式练习51、△ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,△ABC是____三角形。
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勾股定理专题训练一、填空题 1.填空:(1)一个直角三角形的三边从小到大依次为x ,16,20,则x =_______;(2)在△ABC 中∠C =90°,AB =10,AC =6,则另一边BC =________,面积为______,• AB 边上的高为________; (3)若一个矩形的长为5和12,则它的对角线长为_______. 2.三角形三边长分别为6、8、10,那么它最短边上的高为______. 3.已知一直角三角形两边长分别为3和4,则第三边的长为______. 4.若等腰直角三角形斜边长为2,则它的直角边长为_______. 5.测得一个三角形花坛的三边长分别为5c m ,12c m ,•13c m ,•则这个花坛的面积是________.6.矩形纸片ABCD 中,AD =4c m ,AB =10c m ,按如图18-1方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则DE =_______c m .7.如图18-2,在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4个正方形中,与众不同的是_________,不同之处:_________.8.一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里.9.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当他把绳子的下端拉开5m •后,发现下端刚好接触地面,你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________.10.如图18-3,△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,若AD =2BD ,AC =6,BC =3,则BD 的长为( )A .3B .12C .1D .4 11.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则该等腰三角形面积为_______. 12.△ABC 中,∠C =90°,c =10,a :b =3:4,则a =______,b =_______. 13.等腰三角形的腰长为5,底边长为8,则它底边上的高为_____,面积为____.DBCAD 图18-314.如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13c m•和5c m,那么这个直角三角形的面积是________c m2.15.在△ABC中,若三边长分别为9、12、15,•则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________.16.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,•试写出两种勾股数_______.17.有一长、宽、高分别为5c m、4c m、3c m的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计),要求木条不能露出木箱,请你算一算,•能放入的细木条的最大长度是_________c m.18.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积是_______.二、选择题19.在△ABC中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是()A.BC2=AB2+AC2; B.AB2=AC2+BC2; C.AB2=BC2-AC2; D.AC2=BC2-AB220.三角形三边之比分别为①1:2:3,②3:4:5;③1.5:2:2.5,④4:5:6,其中可以构成直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个21.若线段a、b、c能构成直角三角形,则它们的比为()A.2:3:4 B.3:4:6 C.5:12:13 D.4:6:722.一直角三角形的斜边长比一条直角边大2,另一条直角边长为6,则斜边长为(•)A.4 B.8 C.10 D.1223.若直角三角形两角边的比为5:12,则斜边与较小直角边的比为()A.13:12 B.169:25 C.13:5 D.12:524.下面四组数中是勾股数的有()(1)1.5,2.5,2 (2,2(3)12,16,20 (4)0.5,1.2,1.3A.1组B.2组C.3组D.4组25.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,•小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为(•)A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米26.如图18-4,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()A.0 B.1 C.2 D.327.一电线杆AB的高为10米,当太阳光线与地面的夹角为60°时,其影长AC≈1.732,结果保留三个有效数字)()A.5.00米B.8.66米C.17.3米D.5.77米28.如图18-5,一架25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,•这时梯的底部距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯的底部将平滑()A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米B CA图18-4BCA D图18-629.如图18-6,△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,若AD=2BD ,AC=6,BC=3,则BD 的长为( )A .3B .12C .1D .4 30.如图18-7,长方形ABCD 中,AB=4,BC=3,将其沿直线MN 折叠,使点C 与点A 重合,•则CN 的长为( )A .72 B .258C .278D .15431.若一直角三角形两边的长为12和5,则第三边的长为( ) A .13 B .13 C .13或15 D .1532.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )A .2,3,4B .3,4,6C .5,12,13D .4,6,733.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n 2-1、2n (n>1),那么它的斜边长是( ) A .2nB .n+1C .n 2-1D .n 2+134.以下列各组数为边的三角形中,是直角三角形的有( )(1)3,4,5;(23)32,42,52;(4)0.03,0.04,0.05.A .1个B .2个C .3个D .4个35.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A .12米 B .13米 C .14米 D .15米36.放学以后,萍萍和晓晓从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,•若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分,萍萍用15分钟到家,晓晓用20分钟到家,萍萍家和晓晓家的距离为( ) A .600米 B .800米 C .1000米 D .不能确定37.如图18-8所示,要在离地面5•米处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若要考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L 1=5.2米,L 2=6.2米,L 3=7.8米,L 4=10米四种备用拉线材料中,拉线A38.在△ABC 中,∠C=90°,周长为60,斜边与一直角边比是13:5,•则这个三角形三边长分别是( ) A .5,4,3 B .13,12,5 C .10,8,6D .26,24,1039.如图18-9所示,AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC ,AC ⊥CD ,AD ⊥DE ,则AE=( )A .1BCD .240.如图18-10所示,有一块直角三角形纸片,两直角边分别为:AC=6c m ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( ) A .2c m B .3c m C .4c m D .5c m图18-7三、解答题41.如图18-11,△ABC 中,AB =13,BC =14,AC =15,求BC 边上的高AD .BC AD 42.如图18-12,在一次夏令营活动中,•小明从营地A 点出发,沿北偏东60°方向走了米到达B 点,然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C 点,求A 、C 两点间的距离.43.如图18-13,求图中字母所代表的正方形面积.44.如图18-14,所示,四边形ABCD 中,AB =4,BC =3,AD =13,CD =12,∠B =90°,•求该四边形的面积.B CAD45.如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A 处登陆后,往东走8km ,又往北走2km ,遇到障碍后又往西走3km ,再折向北方走到5km 处往东一拐,仅1km •就找到了宝藏,问:登陆点(A 处)到宝藏埋藏点(B 处)的直线距离是多少?图18-11图18-12图18-13图18-1415328BA46.如图18-16,古埃及人用下面方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后用桩钉成如图所示的一个三角形,其中一个角便是直角,请说明这种做法的根据.47.已知,如图18-17所示,折叠长方形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F •处,•如果AB =8c m ,BC =10c m ,求EC 的长.48.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图18-18所示,∠ACB =90°,AC =80米,BC =60米,若线段CD 是一条小渠,且D 点在边AB 上,•已知水渠的造价为10元/米,问D 点在距A 点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?50.阅读材料并解答问题:古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方,勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组,在《几何》课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”,以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法:图18-15图18-16 图18-17 图18-18方法1:若m 为奇数(m≥3),则a =m ,b =12(m 2-1)和c =12(m 2+1)是勾股数. 方法2:若任取两个正整数m 和n (m>n ),则a =m 2-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2是勾股数.(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a ,b ,c 为边长的△ABC 是直角三角形; (2)请根据方法1和方法2(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图18-19所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成,要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,且每个三角形的各边长之比为5:12:13,那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵.51.清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,•西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,•设其面积为S ,则第一步:6S =m ;第三步:分别用3、4、5乘以k ,得三边长”.(1)当面积S 等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;图18-19(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.52.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心.其中心最大风力为12级,每离台风中心20km,风力就会减弱一级,该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变,•如图18-20,若城市所受风力达到或超过4级,则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由;(2)若会受台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?•该城市受到台风影响的最大风力为几级?图18-20勾股定理参考解析一、填空题1.(1)12;(2)8 24 4.8(点拨:两直角边的积=斜边×斜边上的高);(3)132.8(点拨:此三角形为直角三角形.)3.54为斜边长和直角边长解.)4(点拨:设直角边长为x,有x2+x2=22,x.)5.30c m2(点拨:此三角形为直角三角形,且两直角边长分别为5c m,12c m.)6.295(点拨:设DE=x,则DE=BE=x,AE=AB-BE=10-x;在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,所以x2=(10-x)2+16,即x=295.)7.A A不是直角三角形,B、C、D是直角三角形(点拨:先观察得出A•不是直角三角形,对于其他三角形,设每一个小正方形边长为1,利用勾股定理求出各三角形的边长,再验证.)8.30 (点拨:根据题意画出方位图,运用勾股定理解.)9.12米10.A(点拨:设BD为x,则36-(2x)2=9-x2,x=3.)11.48(点拨:设底边长为2x,则腰长为16-x,有(16-x)2=82+x2,x=6,∴S=12×2x×8=48.)12.6 8 (点拨:设a=3x,b=4x,则c=5x,有5x=10,x=2.∴a=6,b=8.)13.3 12 (点拨:作底边上高.)14.30 (点拨:另一直角边为12c m.)15.108 (点拨:因为92+122=152,所以此三角形是直角三角形,拼成的矩形的两条边是直角三角形的两直角边.)16.如3,4,5;6,8,10;12,5,13等.17.18.24(点拨:由a+b=14,得a2+2ab+b2=196,而a2+b2=c2=100,有ab=48,∴S=ab=24.)二、选择题19.B点拨:BC是斜边,在应用勾股定理时,应分清斜边和直角边.20.B点拨:②③可构成直角三角形;①不能构成三角形;④不能构成直角三角形.21.C22.C点拨:设斜边长为x,有x2=(x-2)2+62,x=10.23.C点拨:设两直角边为5x,12x x.24.A25.A.26.C点拨:AB=AC5,BC=.27.D点拨:BC=2AC,有AC2+102=4AC2,AC.28.D分米,平滑后高为24-4=20,即平滑15-7=8 (分米).29.A点拨:设BD为x,则36-(2x)2=9-x2,x=3.30.B31.B点拨:12可能是斜边长,也可能是直角边的长.32.C33.D点拨:c===n2+1.34.B点拨:(1)、(4)构成直角三角形.35.A36.C点拨:画出图形,东南方向与西南方向成直角.37.B点拨:在Rt△ACD中,AC=2AD,设AD=x,由AD2+CD2=AC2,即x2+52=(2x)2,•x,∴2x=5.7736.38.D点拨:设斜边为13x,则一直角边长为5x x,•∴13x+•5x+12x=60,x=2,∴三角形分别为10、24、26.39.D点拨:AE===240.B点拨:AB=10,∠AED=90°,CD=DE,AE=AC=6,∴BE=4,设CD=x,则BD=8-x.•在Rt△BED中,BE2+DE2=BD2,即42+x2=(8-x)2,x=3.三、解答题41.解:设BD=x,则CD=14-x,在Rt△ABD中,AD2+x2=132,在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2,所以有132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,在Rt△ABD中,AD= .42.解:过点B作NM垂直于正东方向,垂足为M,则∠ABM=60°.因为∠NBC=30°,所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中,AC=(米).43.A=81;B=64;C=100.44.解:在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,则有AC,∴S△ABC=12AB·BC=12×4×3=6.在△ACD中,AC=5,AD=13,CD=12.∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC 2+CD 2=AD 2,∴△ACD •为直角三角形, ∴S △ACD =12AC ·CD =12×5×12=30, ∴S 四边形ABCD = S △ABC + S △ACD =6+30=36.45.解:过点B 作BC ⊥AC ,垂足为C .观察答图18-1可知AC =8-3+1=6,BC =2+5=7,•在Rt •△ACB 中,AB=..点拨:所求距离实际上就是AB 的长.解此类题目的关键是构造直角三角形,利用勾股定理直接求解. 46.解:设相邻两个结点的距离为m ,则此三角形三边的长分别为3m 、4m 、5m ,•有(3m )2+(4m )2=(5m )2,所以以3m 、4m 、5m 为边长的三角形是直角三角形.47.连结AE ,则△ADE ≌△AFE ,所以AF =AD =10,DE =EF .设CE =x ,则EF =DE =8-x ,BF=6,CF =4.在Rt △CEF 中,EF 2=CE 2+CF 2,即(8-x )2=x 2+16,故x =3 48.当CD 为斜边上的高时,CD 最短,从而水渠造价最价 ∵CD ·AB =AC ·BC ∴CD =AC BCAB=48米 ∴AD米所以,D 点在距A 点64米的地方,水渠的造价最低,其最低造价为480元. 49.如图,△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,若∠C =90°,如图18-2(1),•根据勾股定理,则a 2+b 2=c 2,若△ABC 不是直角三角形,如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,•试猜想a 2+b 2与c 2的关系,并证明你的结论.49.解:若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2;若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2. 证明:①当△ABC 是锐角三角形时,如图18-3,过点A 作AD ⊥CB ,垂足为D ,设CD 为x ,则有DB =a -x , 根据勾股定理,得b 2-x 2=c 2-(a -x )2.答图18-1答图18-2即b 2-x 2=c 2-a 2+2ax -x 2,∴a 2+b 2=c 2+2ax .∵a >0,x >0,∴2ax >0,∴a 2+b 2>c 2.c bB C AD cb a BC AD ②当△ABC 是钝角三角形时,如图18-4,过点B 作BD ⊥AC ,交AC 的延长线于点D ,设CD •为x ,•则BD 2=a 2-x 2.根据勾股定理,得(b +x )2+a 2-x 2=c 2.即b 2+2bx +x 2+a 2-x 2=c 2.∴a 2+b 2+2bx =c 2.∵b >0,x >0,∴2bx >0,∴a 2+b 2<c 2.50.(1)方法1c -a =12(m 2+1)-m=12(m 2-2m+1)=12(m-1)2>0,c -b =1>0, 所以c >a ,c >b .而a 2+b 2=m 2+[12(m 2-1)] 2=(14m 4-2m 2+1)+m 2 =14(m 4+2m 2+1)=[12(m 2+1)] 2=c 2, 所以以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形.同理可证方法2.(2)方法1中自上而下:7、24、25;9、40、41.方法2中自上而下:5、2、21、20、29;5、1、24、10、26.(3)120.51.(1)解:当S=150时,==, 所以三边长分别为:3×5=15,4×5=20,5×5=25;(2)证明:三边为3、4、5的整数倍,设为k 倍,则三边为3k ,4k ,5k ,•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边.其面积S=12(3k )·(4k )=6k 2, 所以k 2=6S ,即将面积除以6,然后开方,即可得到倍数.52.解:(1)如图,过点A 作AD ⊥BC 于D ,则AD 是该城市离台风中心最短的距离,在Rt △ABD 中,∠B =30°,AB =220千米,答图18-3 答图18-4 答图18-5∴AD=110千米,故城市A受到此次台风影响.(2)在BC上取E、F两点,使AE=AF=160,当台风中心从E处移到F处时,•该城市都会受到台风的影响.在Rt△ADE中,DE千米,∴EF≈232.38(千米),•故这次台风影响该城市的连续时间约为232.3815≈15.49(小时).当台风中心位于D处时,A•市所受这次台风的风力最大,其最大风力为12-11020=6.5级.点拨:该城市是否会受到此次台风的影响,取决于该城市距台风中心的最近距离,若大于160km,则不受台风影响.风力达到或超过4级称受台风影响,•故该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度即为影响的时间,•在离台风中心最近处风力最大.。